Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7

SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== PHN I - ĐẶT VẤN ĐỀ Đào tạo hệ trẻ trở thành người động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục quan tâm.Vấn đề khơng nằm ngồi mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nước ta giai đoạn lịch sử Trong tập hợp môn học nằm chương trình giáo dục phổ thơng nói chung, trường THCS nói riêng, mơn Tốn mơn khoa học quan trọng, cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tính thực tiễn cao sống xã hội với cá nhân Đổi phương pháp dạy học hiểu tổ chức hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ khơi dậy thúc đẩy lịng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tịi, khám phá, chiếm lĩnh tự thân người học từ phát triển, phát huy khả tự học họ Đối với học sinh bậc THCS vậy, em đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu tư duy, khả tư tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phương pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, sáng tạo Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên ngược lại, giải điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lnh hi kin thc Toỏn ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== PHN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI I/ NHỮNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ để có lợi cho việc giải tốn điều khó khăn phức tạp Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo trong giải tốn, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán cách ngắn gọn công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản, nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu lại phải vẽ vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, cách vẽ cịn có cách khác khơng? hay: vẽ thêm giải toán? gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu khơng cao, học sinh khơng nghĩ cách làm gặp tốn tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho tốn, hiệu cao Đó động lực thúc đẩy để chọn đề tài: “Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn Hình học lớp 7” để nghiên cứu thực hiện, chương trình dạy học sinh giỏi toán lớp II/ NHỮNG CƠ SỞ CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ 1- Cơ sở lý luận: ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp 7” ================================================ =========== Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình số tốn dựng hình Sau số tốn dựng hình chương trình THCS: Bài tốn 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh a; b; c Giải: Cách dựng: a B c -ADựng tia Ax b b c a x C - Dựng đường tròn(A; b) Gọi C giao điểm đường tròn ( A; b) với tia Ax - Dựng đường tròn (A; c) đường tròn (C; a), gọi B giao điểm chúng Tam giác ABC tam giác phải dựng có AB = c; AC = b; BC = a - Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) ( C; a) khơng cắt khơng dựng tam giác ABC Bài tốn 2: Dựng góc góc cho trước Cách dựng: · - Gọi xOy góc cho trước Dựng đường trịn (O; r) cắt Ox A cắt Oy B ta ∆OAB - Dựng ∆OAB = ∆OAB ( c- c- c) toán 1, ta Oˆ ' = Oˆ x A’ A O B y O’ B ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình häc líp 7” ================================================ =========== Bài tốn 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax B cắt Ay C - Dượng đường tròn ( B; r) ( C; r) chúng cắt D Tia phân giác phân giác · xAy Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ1 = Aˆ x B r r D A r trước Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho C Cách dựng: z r y - Dựng hai đường tròn ( A; AB ) ( B; BA )chúng cắt C, D Giao điểm CD AB trung điểm AB C A B D *Chú ý: Đây cách dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trc ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trêng THCS Xu©n Thđy- LƯ Thđy SKKN “Mét sè phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán H×nh häc líp 7” ================================================ =========== Bài tốn 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng a cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn ( O; r) cắt a A, B - Dựng đường trung trực AB O A B Trên tốn dựng hình bản, cần sử dụng mà khơng cần nhắc lại cách dựng Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh phải vào đường D dựng để vẽ thêm, không nên vẽ cách tuỳ tiện 2- Cơ sở thực tiễn: Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải toán khơng phải lúc hai tam giác cần có cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì u cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung tốn hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tơi tích luỹ c mt s ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trêng THCS Xu©n Thđy- LƯ Thđy SKKN “Mét số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== cỏch v yu tố phụ đơn giản thiết thực, hướng dẫn học sinh thực giải toán hiệu Trước xây dựng chuyên đề này, tiến hành khảo sát học sinh giỏi khối chứng minh tốn hình học có yếu tố vẽ đường phụ, kết là: Đội tuyển HSG khối 7: em Tìm hướng giải hồn chỉnh Khơng tìm hướng giải Khi chưa áp dụng KN em: 20 % em: 80 % 3- Các biện pháp vẽ yêú tố phụ Bây nghiên cứu số cách đơn giản nhất, thông dụng để vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn Hình học 7: Cách 1: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vng góc với BC( H ∈ BC) DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích tốn: Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H ∈ BC) DH = 4cm Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân A 2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân A ⇔ AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ trung điểm BC 3) Chứng minh: GT AA ∆ABC; AB = 10cm; BC = 12 cm; DA = DB = AB ; DH ⊥ BC D B ============================================== C K H ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trêng THCS Xu©n Thđy- LƯ Thđy SKKN “Mét số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== DH = cm KL ∆ ABC cân A Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC = cm 2 Lại có: BD = AB = cm ( D trung điểm AB) · Xét ∆ HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 ⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = ⇒ BH = ( cm) Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = cm) ⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒AK ⊥ BC Xét ∆ ABK ∆ACK có: + BK = KC ( theo cách lấy điểm K) + ·AKB = ·AKC = 900 + AK cạnh chung ⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c g c) ⇒AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác , đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thử ba, kiến thức đường trung bình học sinh nghiên cứu chương trình tốn phạm vi kiến thức lớp chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết tốn mà khơng chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải cách vận dụng trường hợp góc - cạnh - góc hai tam giác) 1) Phân tích tốn: ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp 7” ================================================ =========== ˆ ˆ Bài cho: tam giác ABC có B = C ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC 2) Hướng suy nghĩ: A Đường phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC (I∈ BC) 3) Chứng minh: GT ˆ ˆ = ∆ABC; B C KL AB = AC B · Vẽ tia phân giác AI BAC (I∈ BC) ˆ =A ˆ = ⇒A · BAC ˆ ⇒ˆ I1 = I2 (1) 1 I C ˆ ( gt) ˆ = Mà B C (2) Xét ∆ ABI ∆ ACI ta có: ˆ + ˆ I1 = I ( theo (2)) + Cạnh AI chung ˆ =A ˆ ( theo (1)) + A ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g - c - g) ⇒AB = AC (2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm đoạn thẳng AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác Cách 2: Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) 1) Phân tích tốn: Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC ⇒2 AM = BC ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== 2) Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD A 3) Chứng minh: GT ˆ =900 ; ∆ABC; A AM trung tuyến KL M B AM = BC C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAC ∆ MDB ta có: + MA = MD ( theo cách lấy điểm D) D ¶ = M ¶ ( đối đỉnh) +M + MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c) ⇒AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) ˆ =D ˆ (2 góc tương ứng) A ⇒AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Lại có: AC ⊥ AB ( gt) ˆ =C ˆ = 90 (2) ⇒AC ⊥CD (Quan hệ tính song song vng góc) hay A ˆ =C ˆ = 900 (Theo (2)); AC Xét ∆ ABC ∆ CDA có: AB = CD ( Theo (1)); A cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c - g - c) 2 ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM = AD ⇒ AM = BC 4) Nhn xột: ============================================== ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm 2 đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh: · · MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán tập 2) BAM 1) Phân tích tốn: Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC · · Yêu cầu : So sánh BAM MAC ? 2) Hướng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC khơng thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu A tố phụ cần vẽ thêm để giải toán 3) Lời giải: GT KL ∆ABC; AB < AC M trung điểm BC B M C · · So sánh BAM MAC ? Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Đ Xét ∆ MAB ∆ MDC ta có: + MA = MD ( theo cách lấy điểm D) ¶ = M ¶ ( đối đỉnh) +M + MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c) ⇒AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) ============================================== 10 ============ Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp 7” ================================================ =========== ˆ ˆ A1 =D (2 góc tương ứng) (2) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒ CD < AC (3) Xét ∆ACD có: CD < AC ( theo (3)) ˆ