Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7

Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp ĐẶT VẤN ĐỀ Đào tạo hệ trẻ trở thành người động sáng tạo , độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục quan tâm Vấn đề không nằm mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nước ta giai đoạn lịch sử Trong tập hợp mơn nằm chương trình giáo dục phổ thơng nói chung, trường THCS nói riêng, mơn Tốn mơn khoa học quan trọng, cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tính thực tiễn cao sống xã hội với cá nhân Đổi phương pháp dạy học hiểu tổ chức hoạt động tích cức cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ khơi dậy thúc đẩy lịng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tịi, khám phá, chiếm lĩnh tự thân người học từ phát triển, phát huy khả tự học họ Đối với HS bậc THCS vậy, em đối tượng người học nhạy cảm, việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu tư duy, khả tư tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh?Để trả lời câu hỏi này, trước vấn đề người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phương pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, sáng tạo Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên ngược lại, giải điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức mơn học Trong q trình giảng dạy mơn tốn trường THCS tơi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng làm tập chứng minh hình học , tập cần phải vẽ thêm đường phụ Khi gặp tập dạng này, hầu hết học sinh không nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ, vẽ đường phụ cách mị mẫm, chí cịn có học sinh vẽ thêm đường phụ sai Về phía giáo viên hướng dẫn tập dạng thường nêu cách vẽ đường phụ, sau gợi ý em chứng minh, giáo viên chưa phân tích cặn kẽ để học sinh hiểu lại phải kẻ thêm đường phụ vậy? Vẽ thêm đường phụ có lợi ích cho việc chứng minh hình? Do học sinh phần lớn khơng khỏi lúng túng, chí bế tắc gặp tập lạ Vấn đề định hướng cho học sinh vẽ đường phụ chứng minh hình học giúp em dần hình thành phương pháp suy luận, phát triển tư logic, óc tìm tịi sáng tạo thơng qua việc giải tập hình học điều tơi thấy cần phải làm Vì tơi chọn đề tài : “Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp 7” NỘI DUNG ĐỀ TÀI A Cơ sở lí luận đề tài Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở nên thuận lợi, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ để có lợi cho việc giải tốn điều khó khăn phức tạp Kinh nghiệm thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ mà sáng tạo giải toán Nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu lại vẽ Những câu hỏi như: lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, cách vẽ cịn cách vẽ khác khơng? Hay vẽ GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp giải tốn? Gặp phải tình ngưới giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu lại khơng cao, học sinh không nghĩ cách làm gặp tốn tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Bởi việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn khơng phải cơng việc tùy tiện Đặc biệt học sinh lớp 7, vừa chập chững làm quen với tốn chứng minh hình học Việc tiếp thu tốt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho em học lớp cao Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản.Vì cần phải phát triển cho học sinh lực tư B.Cơ sở thực tiễn:Qua q trình cơng tác giảng dạy, thấy: - Đa số học sinh thường lúng túng ,khơng biết phải chứng minh hình học nào, đâu Khâu quan trọng khâu vẽ hình chắt lọc lý thuyết vận dụng vào thực tế để chứng minh Khó khăn việc giải tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ - Học sinh yếu toán, đặc biệt chứng minh hình học Nguyên nhân chủ yếu lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập - Khơng học sinh thật chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên kết học tập chưa cao Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ - Vẽ đường phụ tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải toán.Sau vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu xem người ta lại kẻ thêm đường phụ - Học không đôi với hành làm cho thân học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức Do lực cá nhân khơng phát huy hết - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ tốn với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em học sinh, giúp học sinh có hứng thú học tốn - Qua nhiều năm thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh có lỗ hổng từ tiếp cận với tập chứng minh hình học lớp 7, sau ảnh hướng đến lớp 8, lớp Việc vận dụng yếu tố trung gian học sinh lúng túng, chưa nhận biết biết cần vận dụng vào chứng minh tốn hình Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm đường phụ, cách nhận biết tốn hình học phải vẽ thêm đường phụ Từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho toán, hiệu cao C Giải vấn đề I.Giải pháp thực đề tài Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng góc góc cho trước Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, đựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Dựng tia phân giác góc cho trước Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước Qua điểm nằm đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh góc xen giữa, cạnh hai góc kề tam giác cân, tam giác GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Qua toán mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải kết tốn hình thức: Kiểm tra kết quả, xem lại cách lập luận Nghiên cứu, tìm tịi, tìm cách giải khác toán, thay đổi liệu toán để có tốn mới, tốn cho có liên quan đến tốn giải trước khơng? Trong đề tài việc hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm đường phụ, tơi cịn minh họa cách khai thác, phát triển kết toán quen thuộc Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị giải tốn hình học II Nội dung cụ thể 1.Phương pháp 1: Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước a) Bài toán 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB AC Chứng minh MN // BC MN = BC : Phân tích tốn: Cho ABC, MA = MB, NA = NC Chứng minh MN // BC MN = BC : Hướng suy nghĩ: Để chứng minh BC = 2MN, ta tạo đoạn thẳng 2MN, chứng đoạn thẳng BC.Trên tia đối tia NM lấy điểm D choND = MN Chứng minh GT KL ABC, MA = MB, NA = NC A MN // BC MN = BC : Trên tia đối tia NM lấy điểm D cho ND = MN M N D Xét NMA NDC có ( đối đỉnh); AN = NC (gt) NM = ND; B Do NMA = NDC (c.g.c) C AM = DC Mà hai góc so le AB // CD Xét BMC DCM có MB = DC (= AM); MC cạnh chung Do BMC = DCM (c.g.c) Mà hai góc so le BC = DM, MN = DM : MN // BC MN = BC : Nhận xét: Từ kết toán ta chứng minh được: * Nếu tam giác ABC có M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh AC MN song song với BC MN = BC : * Nếu tam giác ABC có M trung điểm cạnh AB, N cạnh AC MN song song với BC N trung điểm cạnh AC b) Bài toán 2:Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25 tr 67 – sgk toán tập 2) GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp * Phân tích tốn: Tam giác ABC vng A, AM trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh AM BC * Hướng suy nghĩ :Ta cần tạo đoạn thẳng AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD * Chứng minh A ABC; AM trung tuyến GT KL AM 1 B BC M C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét MAB MDC có: D MA = MD ( theo cách vẽ điểm D) (đối đỉnh) MB = MC ( Theo gt) MAB = MDC ( c g c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) (2 góc tương ứng) AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Lại có: AC AB ( gt) AC CD hay (2) Xétt ABC CDA có: AB = CD ( Theo (1)) ( Theo (2)) AC cạnh chung Suy : ABC = DCA ( c g c) BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM AM AD BC 2 * Nhận xét: Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp chứng minh hai tam giác c) Bài toán 3:Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh ( tr 24 sbt tốn tập 2) * Phân tích tốn: Cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC So sánh ? GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp * Hướng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC khơng thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải toán * Lời giải: A GT ABC; AB < AC MB = MC So sánh ? B M C KL Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét MAB MDC có: D MA = MD ( theo cách vẽ điểm D) ( đối đỉnh) MB = MC ( Theo gt) MAB = MDC ( c g c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) (2 góc tương ứng) CD < AC (2) (3) Xét ACD có: CD < AC ( theo (3)) Mà (theo (2) hay * Nhận xét: Trong cách giải tập trên, ta phải so sánh hai góc khơng phải tam giác nên khơng vận dụng định lí quan hệ góc cạng đối diện tam giác Ta chuyển góc tam giác cách vẽ đường phụ giải, lúc ta cần phải so sánh tam giác ADC Phương pháp : Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc a) Bài tốn 1:Cho tam giác ABC có AB = AC Chứng minh * Phân tích tốn: Tam giác ABC, AB = AC Chứng minh * Hướng suy nghĩ: Ta thấy phải tạo hai tam giác mà có hai góc tương ứng Chọn điểm phụ trung điểm M đoạn thẳng BC.Chứng minh ABM = ACM, từ cho ta lời giải tốn * Lời giải GT ABC, AB = AC KL A Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC, nối A M Xét MAB MAC có: AB = AC (gt); BM = MC; AM cạnh chung Do AMB = AMC ( c.c.c) GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản C B M Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp hay *Nhận xét: AMB = AMC Mà Do AM đường trung trực đoạn thẳng AB Từ ta xây dựng tốn : Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM đường trung trực đoạn thẳng BC b) Bài tốn 2:Cho tam giác ABC có AB = 10cm, BC = 12cm, D trung điểm AB Vẽ DH vng góc với BC H cho DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A * Phân tích tốn: Cho tam giác ABC, AB = 10cm, BC = 12cm, D trung điểm AB, DH vng góc với BC H, DH = 4cm.Chứng minh tam giác ABC cân A * Hướng suy nghĩ: Tam giác ABC cân A AB = AC Ta nghĩ điến điểm phụ K trung điểm AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ trung điểm BC * Chứng minh: A ABC; AB = 10cm;BC = 12 cm; GT DA DB AB ; DH D BC; DH = cm KL ABC cân A H B Gọi K trung điểm BC, ta có BK = KC = BC C K cm Lại có : BD = AB = cm (gt) Xét HBD có: (gt), Theo định lí Pitago ta có : D H ( cm) BH DB BH DB DH BH = Ta có : BD = DA; BH = HK ( = cm) ( Vận dụng kết toán phương pháp 1: Trong tam giác đường thẳng nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba.) DH // AK Ta có: DH Xét BC, DH // AK AK BC ABK ACK có: BK = KC (theo cách lấy điểm K) AK cạnh chung Suy : ABK = ACK (c g c) AB = AC ABC cân A * Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh cịn sử dụng thêm tốn phụ : Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ song song với cạnh thứ ba GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp c) Bài tốn 3:Cho tam giác ABC có , BD CE hai đường phân giác tam giác ABC Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh ID = IE * Phân tích tốn: Tam giác ABC có , BD CE hai đường phân giác tam giác ABC Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh ID = IE * Hướng suy nghĩ: Ta dễ thấy , đường phân giác IM tam giác IBC, giúp chứng minh ID = IE dễ chứng minh ID = IM IE = IM * chứng minh: GT KL A ABC; BD CE hai đường phân giác I giao điểm BD CE ID = IE 60° D E I vẽ IM đường phân giác tam giác BIC ta có ( BI phân giác tam giác ABC) B C M ( CI phân giác tam giác ABC) Nên = Do : ( = = Xét tam giác BEI tam giác BMI ta có ( BD phân giác tam giác ABC) BI cạnh chung Do ; (g.c.g) suy IE = IM Chứng minh tương tự ta có ID = IM suy ID = IE * Nhận xét:Ta cịn có BE = BM, CD = MC Do ta có tốn phụ :Cho tam giác ABC có , BD CE hai đường phân giác tam giác ABC Chứng minh BE + CD = BC Đường phân giác IM tam giác IBC ( I giao điểm BD CE) hình phụ cần vẽ thêm Phương pháp 3:Nối hai điểm có sẵn hình vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng Mục đích: Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác 3.1: Kẻ thêm đoạn thẳng cách nối hai điểm có hình vẽ a) Bài tốn 1: Cho hình vẽ, biết AB = DC, AD = BC Chứng minh: AB // DC, AD // BC GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp B A D C * Phân tích tốn : Bài cho hình vẽ biết AB = DC, AD = BC Chứng minh: AB // DC, AD // BC * Hướng suy nghĩTa cần tìm cặp tam giác Đoạn thẳng AC yếu tố phụ cần vẽ thêm toán * Chứng minh B A GT AB = DC; AD = BC KL AB // DC; AD //BC D C Nối A C ( nối B D) Xét ABC CDA có: AB = CD (gt); AC cạnh chung; BC = AD (gt) Do ABC = CDA (c.c.c) Suy Ta có Mặt khác mà cặp góc so le nên AB // DC mà cặp góc so le nên AD // BC * Nhận xét: Việc chứng minh AB // CD AD // BC ta nghĩ tới chứng minh cặp góc so le cặp góc đồng vị Như nối A C ( B D) ta tạo cặp góc so le Cơng việc chứng minh lại tương đối dễ dàng học sinh b) Bài tốn 2:Cho hình vẽ biết AB // CD AC // BD A B Chứng minh AB = CD, AC = BD * Phân tích tốn Cho hình vẽ biết AB // CD; AC // BD D C Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD * Hướng suy nghĩ:Ta chứng minh AB = CD, AC = BD Vậy ta cần tạo tam giác chứa cặp cạnh Yếu tố phụ cần vẽ nối B với C nối A với D * Chứng minh: GT AB // CD; AC // BD KL AB = CD; AC = BD B A C GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản D Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Ta có: AB // CD ( so le trong) AC // BD ( so le trong) Xét ABD DCA có: ; AD cạnh chung; ABD = DCA ( g c g) AB = CD; AC = BD ( cặp cạnh tương ứng) *Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hình vẽ hai tam giác có cạnh chung AD Muốn chứng minh AB = CD, AC = BD ta cần chứng minh ABD = DCA Do hai tam giác có cạnh chung AD nên cần chứng minh hai gó kề cạnh Điều thực nhờ vận dụng tính chất hai đường thẳng song song 3.2 Kẻ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng khác Chúng ta thường dùng cách sau : - Lấy trung điểm đoạn thẳng ; - Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng có hình vẽ Bài toán 1: Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD Phân tích :Để chứng minh CD = AC + BD (H 2a) ta cần tìm đoạn thẳng trung gian để so sánh Một là, CD lấy điểm I cho CI = CA Như ta cần phải chứng minh DI = DB Nhưng để chứng minh điều lại không đơn giản Hai :Trên tia đối tia BD lấy điểm E cho BE = AC Ta thấy cách chứng minh dễ dàng Giải: Trên tia đối tia BD lấy điểm E cho BE = AC Xét ∆OAC ∆OBE có : y x D C AC = BE ( cách dựng) A B O Suy : ∆OAC = ∆OBE ( cgc) Suy E ( góc tương ứng) OC = OE Mà suy Suy : C, O, E thẳng hàng Nên : mà suy Xét ∆OCD ∆OED có : OC = OE ( cmt) OD cạnh chung GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy CD = DE Mà DE = BD + BE BE = AC Vậy CD = AC + BD Phương pháp 4:Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song hay vng góc với đường thẳng cho trước 4.1 Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước Phương pháp: Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông tam giác vuông cân tạo hai tam giác vuông bằngnhau Ta thường vẽ đường vng góc hình vẽ có góc với số đo cụ thể (chẳng hạn góc 300, 600, 450, …), có đường phân giác, a) Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vng cân: Ta thường dùng cách tốn cho góc có số đo * Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có cạnh AC cm, BC = cm Tính độ dài , AB = Phân tích : Từ gợi ý ta nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ AH vng góc BC H để tạo tam giác vng cân Lời giải: Vẽ AH Ta có ( hai góc kề bù) A Nên suy Xét tam giác ABH vng H có C H nên tam giác ABH vuông cân H B Suy AH = HB ( Định lý pytago Ta có AH = cm Nên HB = HA = 1cm Ta có HC = BH+ BC = 1+2 = cm Xét tam giác HAC vuông H suy Suy AC = cm * Bài toán 2: Cho tam giác ABC biết AB = 16 cm, BC = 20 cm tính AC Phân tích: Theo giả thiết AB = 16 cm nên ta nghĩ việc tạo tam giác vng cân có cạnh huyền AB Vẽ AH ta dễ dàng chứng minh Lời giải: Vẽ AH Tam giác ABH vng H có nên tam giác ABH vuông cân H Suy AH = HB Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng AHB AHC, ta có HA2 + HB2 = AB2 hay 2HA2 = 2HB2 = A = 512 HA = HB = 16 (cm) Vì BH < BC (16 < 20) nên H nằm B C GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản C B H 10 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Suy HC = BC – HB = 20 – 16 = (cm) Áp dụng định lí Pitago cho AHC, ta có : AC2 = HA2 + HC2 = 162 + 42 = 272 ≈ 16,49 (cm) Vậy AC ≈ 16,49 (cm) Suy AC = b) Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vng *Bài tốn 1: Trên hình vẽ cho biết AD DC, DC BC, AB = 13cm, AC = 15cm, DC = 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BC Phân tích toán A Bài toán cho AD DC, DC BC, AB = 13cm, AC = 15cm, DC = 12cm Yêu cầu tính BC 13 Hướng suy nghĩ Tam giác ABC có AB = 13cm, AC = 15cm Do biết độ dài đoạn thẳng AH ( AH BC, H BC) tính độ dài đoạn thẳng BC Điều có AH = DC Yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm H Lời giải Vẽ AH BC, H BC Khi AH BC DC AH // DC ( so le trong) Tương tự ta có Xét AHC D 12 15 B H C BC (gt) CDA có A ; D AC cạnh chung; 13 Do AHC = CDA (g.c.g) AH = DC = 12cm AHB vuông H Nên theo định lí Pitago ta có: BH AB AH 13 12 12 15 25 BH B C (cm ) HAC vuông H Nên theo định lí Pitago ta có: HC AC AH 15 12 81 CH (cm ) Do đó: BC = BH + CH = + = 14 cm *Nhận xét: Việc kẻ thêm AH BC, H BC giúp cho ta có hai tam giác vuông AHB vuông H, HAC vuông H ta cần áp dụng định lí Pitago tính BH CH, từ tính BC *Bài tốn 2:Cho tam giác ABC Tia phân giác góc ABC cắt tia phân giác góc ACB I Vẽ ID , IE Chứng minh BD + CE = BC Phân tích : Để chứng minh tổng hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba có cách giải sau: Cách 1: Chia đoạn thẳng thứ thành phần cách hợp lý, chứng minh phần đoạn thẳng thứ nhất, phần lại đoạn thẳng thứ hai GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 11 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Cách 2: Vẽ đoạn thẳng bù thêm đoạn thẳng cách thích hợp chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba đoạn thẳng bù thêm đoạn thẳng Cách 3: Vẽ đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng, chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Cách 4: vẽ đoạn thẳng hiệu đoạn thẳng thứ đoạn thẳng chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng cịn lại Để giải tốn ta chọn cách 1: vẽ thêm đường phụ IF vng góc BC F Lời giải: Vẽ IF Xét tam giác DBI vuông D tam giác FBI vuông F ta có: A ( BI phân giác) BI cạnh chung Do = E ( cạnh huyền – góc nhọn) D I Suy BD = BF C B Chứng minh tương tự ta có CE = CF F Ta có BD + CE = BF + FC = BC c) Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vng * Bài tốn 1:Cho tam giác ABC vng A có AB < AC Vẽ AH vng góc với BC ( H thuộc BC), D điểm cạnh AC cho AD = AB Vẽ DE vng góc BC ( E thuộc BC) chứng minh HA = HE Phân tích: cần làm xuất đoạn thẳng đoạn thẳng HE tìm cách chứng minh đoạn thẳng HA Do ta phải vẽ thêm đường phụ để có hai tam giác Và đường phụ DK ( K thuộc AH) Lời giải: Vẽ DK ( K thuộc AH) Xét vuông H vuông K ta có AH = AD ( gt) ( phụ với góc KAD) Do = ( c.h – g.n) A D K C B H E Suy HA = KD Ta có DK Xét Do AH vuông K ( cmt) = Mà HA = KD; suy EH // KD vuông E ta có ( c.h – g.n) Suy HE = KD HA = HE *Bài toán 2:Cho tam giác ABC Dựng điểm D nằm khác phía với điểm C AB cho AD AB, AD = AB; dựng điểm E nằm khác phía với điểm B AC cho AE GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 12 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp AC, AE = AC Kẻ đường thẳng d qua A, vng góc với DE H cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Phân tích : Ta nhận thấy hình vẽ có góc nhau: ( phụ ( phụ Và AD = AB; AE = AC Điều ta nghĩ đến tạo tam giác vuông với tam giác vuông AHD AHE? Kết hợp với kết trên, ta thấy từ B C kẻ đường vuông góc đến đường thẳng AI hợp lí Lời Giải : Gọi F G chân đường vng góc kẻ từ B C tới d Ta có: nên ( 1) = vng H H D Từ (1) (2) suy Xét E ( 2) A vng F ta có ( cmt) F B C I Do = ( c.h – g.n) Suy HA = FB( 3) G Chứng minh tương tự, ta có HAE = GCA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy HA = CG (4) Từ (3) (4) suy FB = CG Xét ta có = ( ) Do = ( gcg) Suy IB = IC nên I trung điểm BC 4.2 Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Mục đích : Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc phía bù đặc biệt hai tam giác Ta thường dùng cách có đường thẳng song song hình vẽ *Bài tốn 1:Cho tam giác ABC ( AB< AC) Từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E Chứng minh BD = CE Phân tích tốn ABC ( AB< AC) Từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E Chứng minh BD = CE Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta cần tạo đoạn thẳng thứ ba chứng minh chúng đoạn thẳng thứ ba Đường phụ cần vẽ thêm đường thẳng qua B song song với AC cắt DE F, BF đoạn thẳng thứ ba GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 13 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Chứng minh A ABC; AB < AC; AH tia phân giác góc BAC DE AH ; GT E B H BD = CE KL M C F D Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, gọi F giao điểm đường thẳng với đường thẳng DE Ta có: BF // CE Xét MBF ( so le trong) MCE có: ( đối đỉnh) ; MB = MC ( gt); MBF = Mặt khác ta có Do đó: MCE (g c g) ADE có AH BF = CE ( cạnh tương ứng) (1) DE AH tia phân giác ( gt) ADE cân A Mà BF // CE ( đồng vị) Do : BDF cân B BF = BD Từ (1) (2) suy ra: BD = CE (2) Nhận xét Cách vẽ đường phụ toán nhằm tạo đoạn thẳng thứ ba hai đoạn thẳng cần chứng minh Đây cách hay sử dụng nhiều toán Cách giải áp dụng để giải số tốn hay chương trình THCS 2.5 Phương pháp 5: Phương pháp tam giác Đây phương pháp đặt biệt, nội dung tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải tốn thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc ta vẽ tam giác cân, đặc biệt tam giác Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ có tam giác cân với góc có số đo cho trước Đối với tập tính số đo góc, trước tiên ta cần ý đến tam giác chứa góc có s ố đo xác định : Tam giác cân có m ột góc xác định Tam giác Tam giác vuông cân - Tam giác vuô ng có m ột góc nhọn biết hay cạnh góc vng b ằng nửa cạnh huyền Sau ta nghĩ đến việc tính số đo góc cần tìm thơng qua mối liên hệ với góc hình chứa góc có số đo hồn toàn xác định nêu (Thường với mối liên hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau) a) Bài tốn1 :Cho tam giác ABC cân A có AD = BC Chứng minh Trên cạnh AB lấy điểm D cho GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 14 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Phân tích tốn ABC cân A, u cầu chứng minh AD = BC ( D AB) Hướng suy nghĩ Bài cho tam giác ABC cân A có, suy góc đáy 20 số đo góc tam giác Vậy ta vẽ tam Ta thấy giác BMC Chứng minh A 0 0 ABC; AB = AC; AD = BC (D AB) GT KL D ABC có AB = AC; Suy ra: Cˆ Bˆ 180 ( gt) 20 80 M Vẽ tam giác BCM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) B Ta được: AD = BC = CM MAB = C MAC ( c c c) Xét CAD ACM có: AD = CM ( chứng minh trên) AC cạnh chung Suy : CAD = ACM ( c g c ) Vậy Nhận xét: Đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 80 20 ,suy góc đáy 20 số đo góc tam giác Chính liên hệ gợi ý cho ta Ta thấy vẽ tam giác BCM vào tam giác ABC.Với giả thiết AD = BC vẽ tam giác giúp ta có mối liên hệ AD với cạnh tam giác đều, từ chứng minh dể dàng 0 b) Bài toán 2:Cho tam giác ABC vuông A , = AC Chứng minh tam giác OBC cân Trên tia BA lấy điểm O cho BO Phân tích tốn :Bài cho tam giác ABC vng A, O cho BO = AC Chứng minh tam giác OBC cân O GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Trên tia BA lấy điểm 15 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Hướng suy nghĩ: Ta thấy suy số đo góc tam giác sử dụng phương pháp tam giác vào việc giải toán Chứng minh: O GT KL ABC; Aˆ = 900; Cˆ = 150 O tia BA: BO = 2AC OBC cân O H Ta có : ABC; Aˆ = 900; Cˆ = 150 (gt) M M Bˆ = 75 Vẽ tam giác BCM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) A Ta có Gọi H trung điểm OB = B ˆ Hˆ A = 90 C MOB cân M = 150 = 3600 – ( 1500 + 600 ) = 1500 MOB = MOC ( c – g – c) OB = OC, OBC cân O Ngồi cách tốn cịn có cách khác: Cách 2: Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy, cho góc BCy = 750 Gọi O’ giao điểm tia Cy tia BA Cách 3: Trên nửa mặt phẳng bờ BO có chứa điểm C, vẽ tam giác OBD Gọi M trung điểm BD Cách 4: Gọi D giao điểm đường trung trực đoạn thẳng BC với AB Suy tam giác DBC cân D chứng minh D trùng O Nhận xét: Trong toán sử dụng phương pháp tam giác vào việc giải tốn phát thấy suy số đo góc tam giác đều, điều gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM trêm Nhờ có cạnh tam giác nhau, góc tam giác 600, ta chứng minh = ( c- g –c); = ( c –g – c) dẫn đến tam giác OBC cân O, tác dụng “ phương pháp tam giác đều” MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho ABC vuông A (AB < AC) Lấy điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh BC cho MH vng góc với BC MH = HB Chứng minh AH tia phân giác góc A Bài 2: Tam giác ABC có đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Chứng minh ABC tam giác vuông Bài 3: Cho góc vng xOy, tia phân giác Oz từ A thuộc tia Oz kẻ AB Ox, AC Oy (B Ox, C Oy) Lấy điểm M AB, nối MO từ M vẽ đường thẳng tạo với MO góc góc BMO cắt AC N Tính Bài 4: Cho ABC vuông A, đường trung tuyến AM Chứng minh BC = 2AM Bài 5: Cho ABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB (D C nằm khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc AC (E B nằm khác phía AC) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM DE Bài 6: Trên cạnh BC ABC lấy điểm E F cho BE = CF Qua E F, vẽ đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh EG + FH = AB Bài 7: Cho ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ đường vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 16 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Chứng minh AE = AF ; Bài 8: giác Cho ABC vuông cân A, D điểm nằm tam giác ABC cho tam giác DAC cân có góc D = 1500 Tính số đo góc ADB Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Cho biết BH – HC = AC Chứng minh = 300 Bài 10: :Cho tam giác ABC vuông A, BD đường phân giác Đường thẳng vng góc với AC C cắt BD E chứng minh chu vi tam giác ABD nhỏ chu vi tam giácCDE D Hiệu áp dụng Trong q trình dạy học hình học, tơi áp dụng đề không đề dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi mà linh hoạt dạy cho học sinh đại trà Đặc biệt học sinh lớp 7, bắt đầu làm quen với chứng minh hình học Tuy lúc đầu em cịn ngại học hình nói chung sợ tốn chứng minh Hầu học sinh có ý thức làm tìm lời giải dừng lại khơng suy nghĩ thêm sau có kết tốn, thỏa mãn với Các em chưa thấy tác dụng mạnh việc nhìn tốn nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác, rèn cho thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư sáng tạo, tính kiên trì, độc lập (những đức tính tốt cần thiết người học tốn) Song, qua thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết em tham gia, hưởng ứng cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức thành thạo làm số dạng có liên quan từ dễ đến khó Quan trọng hơn, em khơng cịn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ Do đó, học tốn nói chung hình học nói riêng em nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát thể tìm tịi, sáng tạo bước đầu tích cực Thực tế, sử dụng vào giảng dạy cho khối trường THCS nơi công tác năm học 2017-2018 vừa qua kết cho thấy học sinh có ý thức thi đua học tập, hào hứng phát biểu cách suy nghĩ, tìm tịi, phát cách giải khác, tốn mới, … Và tơi thấy tinh thần học tập em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu toán học em phát huy cách tích cực; kết học tập mơn tốn, hình học có nhiều tiến Các em nắm vững kiến thức SGK, em cịn có cố gắng việc tìm hiểu giải tốn nâng cao, tốn khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tịi khai thác, phát triển tốn cho trước Cụ thể: Các năm trước chưa thực phương pháp kết chất lượng mơn toán khối HS chưa cao, tỉ lệ HS yếu hình từ 15% - 20% HS khơng thích học hình học Nhưng năm áp dụng đề tài kết cải thiện đáng kể sau Năm học 2017- 2018 Giỏi Khá TB Yếu 20% 47% 25 % 8% GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Kém 17 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp KẾT LUẬN I Ý nghĩa đề tài: Việc nhìn nhận chứng minh tốn hình học góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh học mơn Tốn- việc bồi dưỡng học sinh giỏi Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân tơi nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy tốn đánh giá cao tầm quan trọng việc chứng minh tốn hình học mà lập luận, phân tích … HS giải Mở rộng, phát triển thêm toán khác (đơn giản phức tạp hơn) nhằm phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho người dạy người học Trong trình giảng dạy học tập tốn,việc khai thác, tìm hiểu sâu cách giải khác nhau, kẻ thêm nhiều đường phụ Nó khơng giúp nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái qt, đặc biệt hóa, tổng qt hóa tốn, từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách logic, khoa học, tạo hứng thú khoa học u thích mơn tốn Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành sáng kiến với đề tài “một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp 7” Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vần đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho cơng tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường II Khả áp dụng Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên chuyển tải kiến thức khó khăn, dạng tốn chứng minh hình học, sử dụng yếu tố phụ Do cần có thời gian phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan Muốn dạy học sinh biết cách “vẽ thêm yếu tố phụ chứng minh hình học”, thân GV phải thường xun thực điều đó, liên tục tìm tịi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo đặc biệt qua trang Web có liên quan …; GV cần có chủ động, có kế hoạch ngày, lên lớp III Bài học kinh nghiệm Để chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao người giáo viên cần nắm vững kiến thức dạy, kiến thức chương trình, phải tốn thời gian suy nghĩ tạo tình dẫn dắt học sinh để em học tập cách tự học Trong q trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích lũy rút nhiều điều bổ ích cho Bên cạnh cần phải thường xun kiểm tra nắm bắt thơng tin qua việc học tập kinh nghiệm đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu chuyên đề để bổ sung cách hợp lý chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua mơn nói chung mơn Tốn nói riêng việc làm Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến yếu tố trung gian nhiều Trong phương pháp, dạng tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tư sáng tạo, kỹ phân tích áp dụng Thường xuyên dự đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho Thường xuyên cập nhật thông tin Thư viện đề thi đề kiểm tra Web IV Đề xuất kiến nghị: Để đạt kết cao trình giảng dạy tơi mong cấp lãnh đạo tạo điều kiện tốt sở vật chất, đồ dùng dạy học tổ chức thảo luận chun mơn để giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm để tổ chức học tốt GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 18 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp - Việc khai thác, phát triển từ toán quen thuộc biết, giúp cho học sinh định hướng tìm lời giải tốn hình học vấn đề quan trọng thiếu công tác dạy học tốn nói chung dạy hình học nói riêng Phong trào thi viết sáng kiến trường học phong trào có tác dụng tốt, có ý nghĩa, đặc biệt xu thời đại cần sáng tạo, chủ động, tích cực lĩnh vực cơng tác Vì vậy, tơi mạnh dạn mong muốn Phịng giáo dục đào tạo cấp trì phong trào này, khích lệ động viên tập thể, cá nhân có sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên - Tuy cố gắng kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên nội dung đề tài chắn không tránh khỏi sai sót Rất mong trao đổi, đóng góp ý kiến thầy, giáo để đề tài hoàn thiện Trên ý kiến thân tơi q trình cơng tác Vì thời gian ngắn nên viết cịn nhiều thiếu sót Rất mong góp ý, rút kinh nghiệm quý thầy cô giáo, quý bạn đọc… để sáng kiến tơi hồn thiện vào thực tiễn Tôi xin trân thành cảm ơn! GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 19 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) SGK Toán – NXBGD 2) SBT Toán – NXBGD 3) Phương pháp dạy học mơn Tốn – NXBGD (dùng cho hệ CĐSP) 4) Nâng cao phát triển Toán – NXBGD 5) Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học – Nguyễn Đức Tấn – NXBGD 6) Toán nâng cao chuyên đề Hình học Nhà xuất giáo dục GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 20 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp MỤC LỤC STT Tên mục GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Trang 21 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp ĐẶT VẤN ĐỀ NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn Giải vấn đề Giải pháp thực Nội dung cụ thể 10 Phương pháp 1: Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước 2.Phương pháp : Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc Phương pháp 3: Nối hai điểm có sẵn hình vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng 11 4.Phương pháp 4: Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song hay vng góc với đường thẳng cho trước 3-5 5-7 - 10 10 - 14 Phương pháp 5: Phương pháp tam giác 12 14-16 Một số tập luyện tập 13 16 D Hiệu áp dụng 14 17 KẾT LUẬN 15 18 I Ý nghĩa đề tài 16 18 II Khả áp dụng 17 18 III Bài học kinh nghiệm 18 IV Đề xuất kiến nghị 18 18 - 19 19 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 22 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp Bình Tân, ngày …… tháng……….năm 2019 TM HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BÌNH TÂN ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Bình Tân, ngày …… tháng……….năm …… TM HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản 23 ... 20 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp MỤC LỤC STT Tên mục GV: Nguyễn Thị Thu Hằng _ Trường THCS Trần Quốc Toản Trang 21 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình. .. Trần Quốc Toản Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Qua tốn mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải kết tốn hình thức: Kiểm... THCS Trần Quốc Toản 19 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học lớp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) SGK Toán – NXBGD 2) SBT Toán – NXBGD 3) Phương pháp dạy học mơn Tốn – NXBGD (dùng cho hệ