Một số kinh nghiệm rèn kĩ năng giải toán hình học lớp 7

Saunhiều năm trăn trở , trực tiếp giảng dạy và trao đổi với đồng nghiệp , tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải toán hình học cho học sinh lớp 7” để trình

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc.

TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP :

MỘT SỐ KINH NGHIỆM RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 7

Họ và tên : Dương Văn Dũng

Chức vụ : Giáo viên.

Đơn vị : THCS Thái Thủy - Lệ Thủy - Quảng Bình

Quảng Bình, tháng 05 năm 2015.

1- PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Hình học đối với học sinh lớp 7 là một môn học khó Khó bởi tính trừutượng của hình học , mặc dù các em đã được tiếp cận với môn Hình học từ cấptiểu học, song đến năm học lớp 6 vẫn mới chỉ là những kiến thức rất cơ bản vàchủ yếu học bằng phương pháp đo đạc và công nhận

Đối với học sinh lớp 7, phân môn hình học bước đầu yêu cầu học sinhphải biết vẽ hình một cách chính xác Với một bài toán ít giả thiết thì việc vẽhình không khó khăn lắm, nhưng với một bài toán có nhiều giả thiết thì việc vẽhình đúng và dễ nhìn là một vấn đề khó đối với các em học sinh

Bên cạnh đó,phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy diễn bướcđầu được đưa vào với học sinh Nội dung này khó với học sinh bởi tính trừutượng và tư duy logic toán học được thể hiện ở nội dung này

Nâng cao hơn nữa các bài toán tổng quát hoá, đặc biệt hoá … đối với họcsinh khá giỏi lại là một vấn đề đáng được quan tâm , vì thông qua những bài toánnày giúp học sinh nhìn nhận toán học một cách tổng quát hơn và cụ thể hơn

Do vậy, việc dạy học môn hình học cho học sinh lớp 7 có tầm quan trọngđặc biệt Làm thế nào để học sinh yên tâm hơn , tự tin với môn học này Saunhiều năm trăn trở , trực tiếp giảng dạy và trao đổi với đồng nghiệp , tôi mạnh

dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải toán hình học cho học sinh lớp 7” để trình bày một vài kinh nghiệm nhỏ trong môn học này

Xin được nêu để đồng nghiệp tham khảo và chia sẻ

* Điểm mới của đề tài:

Đề tài này chắc hẳn cũng đã có một số tác giả nghiên cứu Tuy nhiên,trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi đề cập đến các giải pháp cụ thể hơn, chitiết hơn, có hình vẽ minh họa rõ ràng; các bài toán được khai thác trong sáchgiáo khoa và đặc biệt là chuyên đề BDHSG do hội đồng bộ môn Toán của phòng

GD – ĐT huyện nhà biên soạn Vì thế, đề tài này đã và sẽ được áp dụng vào việc

dạy hình học 7 đại trà BDHSG Toán 7 có hiệu quả trong phạm vi các trườngTHCS trên địa bàn huyện.

1.2 Phạm vi áp dụng:

Đề tài áp dụng cho GV trong việc dạy môn hình học cho lớp 7 Các ví dụcủa đề của đề tài được lấy trong SGK toán 7; chuyên đề BDHSG Toán 7 của Hộiđồng bộ môn Toán huyện nhà; Tài liệu nâng cao và phát triển Toán 7 của VũHữu Bình, Bùi Văn Tuyền và một số tài liệu khác

Đối tượng áp dụng: áp dụng cho GV giảng dạy hình lớp 7 đại trà và bồidưỡng học sinh giỏi toán 7

2- PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Trong quá trình dạy học bộ môn hình học cho học sinh lớp 7 tại đơn vị, tôinhận thấy: Kĩ năng giải bài tập hình học của học sinh còn yếu Đa số các em cótâm lý e ngại hoặc không thích bộ môn hình học Hơn nữa, trong khi giải bài tậphình các em thường có nhiều hạn chế như: Vẽ hình không chính xác, vẽ hình đặcbiệt dẫn đến ngộ nhận, lập luận thiếu chặt chẽ, thiếu lôgic

Kết quả kiểm tra 45 phút hình học ( chương 3), trước khi áp dụng đề tàiđối với một lớp 7 ( năm học 2012 – 2013) tại đơn vị như sau:

+ Học sinh không vẽ được hình: 02 em – chiếm 6,3%

+ Học sinh vẽ hình đặc biệt dẫn đến ngộ nhận trong chứng minh: 05 em –chiểm 15,6%

+ Học sinh vẽ hình sai, thiếu chính xác: 12 em – chiếm 37,5%

+ Học sinh vẽ hình đúng, chính xác (nhưng chưa đầy đủ các trường hợp):

11 em – 34,4 %

+ Học sinh vẽ hình đúng, đầy đủ các trường hợp: 05 em – chiếm 15,6% + Học sinh không chứng minh được: 14 em – chiếm 43,8%

+ Học sinh chứng minh được dạng đơn giản: 15 em – chiếm 46,9%

+ Học chứng minh được dạng nâng cao: 01 em – chiếm 3,1%

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên Nhưng theo tôi một trongnhững nguyên nhân quan trọng đó là học sinh không được trang bị, rèn luyệnmột cách tốt nhất các kĩ năng, như: Kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận và chứngminh, kĩ năng tính toán

Bằng những kinh nghiệm của bản thân và học hỏi đồng nghiệp, tôi đã đúcrút được những giải pháp và xin mạnh dạn nêu ra dưới đây

Một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt,hình vẽ không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp Vì vậy, trong quátrình giảng dạy, giáo viên cần nhắc học sinh tránh những sai lầm trên cũng nhưphân tích cho học sinh thấy những trường hợp có thể xảy ra trong mỗi bài toán

để học sinh hình thành thói quen, hình thành kĩ năng phân tích các tình huốngkhi giải quyết mỗi bài toán Sau đây, tôi xin nêu một số ví dục trong chươngtrình hình học lớp 7:

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại A.

Khi thực hiện vẽ tam giác cân học sinh thường vẽ không chính xác dokhông nắm được cách vẽ Vì vậy, trong khi giảng dạy, tôi thường hướng dẫn họcsinh dùng những cách sau tùy theo những dụng cụ vẽ hình khác nhau:

+Cách 1:( Dùng ê ke và thước thẳng có chia khoảng): Vẽ cạnh đáy trước

sau đó dựng trung trực của cạnh đáy Trên đường trung trực đó lấy một điểm bất

kỳ (điểm đó khác trung điểm cạnh đáy), nối điểm đó với hai đầu của đoạn thẳngchứa cạnh đáy ta sẽ được tam giác cân

+ Cách 2:(Dùng compa và thước thẳng):

Vẽ cạnh đáy trước sau đó dùng compa lấy hai đầu mút cạnh đáy làm tâm

vẽ hai cung tròn có bán kính bằng nhau bất kỳ , hai cung tròn này cắt nhau tạimột điểm, nối điểm đó với hai đầu đoạn thẳng ta được tam giác cân

+ Cách 3:(Dùng thước đo góc)

Vẽ cạnh đáy sau đó trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứacạnh đáy ta vẽ hai tia cùng hợp với đáy hai góc nhọn bằng nhau (thường là khácgóc 45 độ) Hai tia đó cắt nhau tại một điểm, ta sẽ được tam giác cân

Ví dụ 2 : Cho ∆ ABC = ∆ A’B’C’ Chứng minh rằng hai phân giác AD và A’D’ bằng nhau.

Vì bài tập này được đưa ra sau phần tam giác cân nên học sinh thường vẽ

và đường cao , từ đó học sinh dễ ngộ nhận trong lời chứng minh

Với bài tập này, khi giảng dạy điều đầu tiên giáo viên cần lưu ý học sinhkhông nên vẽ các tam giác đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giácđều) Sau đó yêu cầu học sinh nhắc lại cách vẽ hai tam giác bằng nhau, cách vẽ

tia phân giác của một góc Nếu học sinh không nhắc lại được thì giáo viên có thểnhắc lại:

+ Để vẽ hai tam giác bằng nhau:

Cách 1: Dùng compa và thước thẳng để vẽ 3 cặp cạnh tương ứng bằng

nhau ( trường hợp cạnh – cạnh – cạnh) Cách này đơn giản nhất vì chỉ dùngcompa và thước thẳng)

Cách 2: Dùng thước thẳng và thước đo góc để vẽ hai tam giác bằng nhau

theo trường hợp cạnh – góc - cạnh: Vẽ tam giác ABC, vẽ đoạn A’B’ = AB, vẽ tiaB’x sao cho góc A’B’x bằng góc ABC, trên B’x lấy điểm C’ sao cho B’C’=BC,nối A’C’ ta có 2 tam giác bằng nhau

Cách 3: Dùng thước thẳng và thước đo góc để vẽ hai tam giác bằng nhau

theo trường hợp góc - cạnh – góc: Vẽ tam giác ABC, vẽ đoạn A’B’ = AB, vẽ tiaB’x sao cho góc A’B’x bằng góc ABC, vẽ tia A’y sao cho góc B’A’y bằng gócBAC, hai tia B’x và A’y cắt nhau tại C’ , ta có 2 tam giác bằng nhau cần vẽ

GV cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm vì có em không nắm chắc kiếnthức về 3 trường hợp bằng nhau của hai tam giác dẫn đến các em dùng thước đogóc vẽ hai tam giác có ba cặp góc tương ứng bằng nhau mà không cần quan tâmđến yếu tố về cạnh

+ Để vẽ hai tia phân giác AD và A’D’: GV nhắc lại 3 cách vẽ bằng cácdụng cụ khác nhau: dùng compa và thước thẳng; dùng thước hai lề hoặc thước

đo góc và thước thẳng ( phần này khá đơn giản nên tôi không nhắc lại ở đây)

Ví dụ 3: Cho ∆ ABC có AH là đường cao , AM là trung tuyến Trên tia đối của tia AH lấy điểm E sao cho HE = HA Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA Nối B với E, C với I Chứng minh BE = CI.

đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau dẫn đến bài toán không tìmđược lời giải

Do vậy: Để học sinh tránh được những sai lầm này thì trong dạy học tôi

luôn lưu ý, nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không

được vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác Để học sinh

có thể vẽ được và vẽ chính xác hình cho bài toán này, giáo viên cần cho học sinhnêu lại cách vẽ trung tuyến, cách vẽ tia đối của một tia cho trước, cách vẽ haiđoạn thẳng bằng nhau

minh ∠ABD = ∠ ACE.

Khi đọc đề và vẽ hình bài tập này thường thì học sinh có thể sai lầm khi vẽtam giác cân, tam giác đều dẫn đến chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc chỉ

vẽ trường hợp tam giác có ba góc nhọn ( hình 2.1VD4.1 vẽ bên dưới) Sau đó

minh này chưa thật đầy đủ, nhất là đối với bài toán ra cho học sinh giỏi

Giáo viên cần hướng dẫn học sinh không vẽ hình đặc biệt ( tam giác cân,tam giác đều) và phải vẽ hình cả 4 trường hợp:

TH1: Tam giác nhọn

Hình 2.1VD4.1TH2: Tam giác tù tại đỉnh B

Hình 2.1VD4.2TH3: Tam giác tù tại đỉnh C

Hình 2.1VD4.3TH4: Tam giác tù tại đỉnh A

Hình 2.1VD4.4Sau khi vẽ hình, đối với TH1, TH2, TH3 thì phần chứng minh là giống

Riêng TH4 ( hình 2.1VD4.4): học sinh phải chứng minh khác 3 trường

Lưu ý: để đơn giản hơn, ta xét thấy bài toán đề cập đến hai đường cao xuất

phát tại hai đỉnh B và C nên sau khi phân tích các trường hợp trên, học sinh chỉcần xét hai trường hợp: Tam giác ABC nhọn (hình 2.1VD4.1) và tam giác ABC

Với bài tập này, nếu học sinh vẽ tam giác ABC cân, đều , hoặc vuông thì

sẽ nhận đến ngộ nhận về các cặp tam giác bằng nhau hoặc các góc bằng nhaudẫn đén sai lầm hoặc thiếu sót trong chứng minh Do vậy, giáo viên cần nhắc nhởhọc sinh không vẽ hình đặc biệt Thông thường học sinh chỉ vẽ hình một trườnghợp ( tam giác nhọn) rồi chứng minh nên bài chứng minh không đầy đủ, khôngđúng với các trường hợp khác Bởi vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh xétcác trường hợp: tam giác không có góc tù và tam giác tù; và chi tiết hơn nửa làgóc tù tại đỉnh A; góc tù tại đỉnh B ( lớn hơn 120 °, bằng 120°, bé hơn 120 ° vì cóliên quan đến hai góc kề bù)

TH1: Tam giác không có góc tù ( bao gồm tam giác nhọn và tam giácvuông) ( Hình 2.2VD5.1)

TH2: Tam giác tù tại đỉnh A ( Hình 2.2VD5.2)

Lưu ý: ở đây ta không cần xét các trường hợp góc tù tại đỉnh C vì các

trường hợp này tương tự như các trường hợp góc tù tại đỉnh B

Hình 2.2VD5.1 Hình 2.2VD5.2

Tuy nhiên, cách chứng minh trên không còn đúng với TH4 ( Hình

2.2VD5.5) và trường hợp 5 (Hình 2.2VD5.5)

Trong bài toán trên, để đơn giản hơn ta có thể xét lại 3 trường hợp liên quan đến góc ABC: ∠ABC < 120 độ; ∠ABC = 120 độ và ∠ABC > 120 độ

2.2.2 Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh:

Việc rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặcbiệt vì học sinh cần có kỹ năng này, không những chỉ khi giải các bài toán chứngminh mà cả khi giải các bài toán về quĩ tích , dựng hình và một số bài toán vềtính toán

Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận và chứng minh theocác hướng :

- Tăng cường các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lý

- Hướng dẫn học sinh suy luận theo nguyên tắc suy diễn và quy tắc quynạp

- Tích cực rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận ngược và suy luậnxuôi ( quy tắc suy luận theo phương pháp phân tích đi lên và phương pháp tổnghợp )

- Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện

Ví dụ : Cho ∆ABC Dựng các tam giác đều MAB , NBC, PCA thuộc miền ngoài ∆ABC Chứng minh MC = NA = PB

Giải:

Phân tích, vẽ hình như Ví dụ 5 mục 2.1 ở trên:

TH1: ∠ABC < 120 độ

Để chứng minh MC = NA = PB ta có thể chứng minh MC = NA và NA = BP

Để chứng minh MC = NA có thể gắn vào hai tam giác MBC và ABN

Để chứng minh NA = BP có thể gắn vào hai tam giác ACN và PCB

GV có thể phân tích đi lên theo sơ đồ sau:

GV có thể phân tích đi lên theo sơ đồ sau:

” Nếu tam giác ABC và tam giác A’B’C’

có AB = A’B’ , ∠ A =∠ A’ , AC = A’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau “

b.Quy tắc suy luận :

Khi dạy giải bài tập giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các quy tắc suyluận Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận : Quy tắc quynạp và quy tắc suy diễn

- Quy tắc quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung , từ cụ thể đếntổng quát

- Quy tắc suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta đi từ kết luận đến giảthiết ( phân tích đi lên ) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháptổng hợp ( từ giả thiết suy ra kết luận )

Ví dụ : Cho ∆ ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho: AE =AB Gọi AD là phân giác của ∆ ABC, K là giao điểm của DE và AB Chứng minh:

∆ DEC = ∆ DBK

Hướng dẫn :

- Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ? Khi trình bày lời giải ta thường suy luận ngược lại

Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 mới tập giải toán chứng minh,

do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh sắp xếp các lập luận saocho logic, chặt chẽ

Chẳng hạn trong ví dụ trên nếu ta xét ngay hai tam giác DBK và DEC thìviệc trình bày phần chứng minh sẽ dài dòng , không khoa học , học sinh tiếp thukiến thức sẽ khó khăn hơn , bởi vậy tôi sẽ hướng dẫn học sinh suy luận để dẫn

Quy tắc quy nạp thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết cáctrường hợp có thể xảy ra Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia racác trường hợp riêng nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đếnkết luận, hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp Vì vậy , trongquá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý bồi dưỡng cho học sinh năng lực phânchia ra các trường hợp riêng

c Khái quát hoá:

Để góp phần rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh trong một số

trường hợp nên hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán

xOy , Ot’ là tia phân giác của góc x’Oy Biết ∠xOy = 130° Tính ∠tOt’

Sau khi học sinh giải bài tập này ta có thể cho học sinh giải bài toán tổngquát hơn đó là thay ∠ xOy = 130° bằng ∠ xOy = m° Qua đó có thể cho học sinhrút ra nhận xét về hai tia phân giác của hai góc kề bù ( Ot ⊥ Ot’ ), ta có bài toántổng quát:

Bài toán khái quát Ví dụ 1.1 : Cho hai góc kề bù xOy và x’Oy Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy , Ot’ là tia phân giác của góc x’Oy Tính ∠tOt’.

Ví dụ 2: ( Đề thi HSG toán 7 cấp huyện năm học 2008-2009) Cho tam giác nhọn ABC cố định, trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao

cho BM + CN = BC Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn

đi qua một điểm cố định.

Cách giải bài toán này như sau:

Từ bài toán trên, ta có thể khái quát thành các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC cố định ( góc ABC khác góc vuông) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM + CN = BC Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Để giải quyết bài toán này học sinh cần xét hai trường hợp: TH1 ( gócABC nhọn) và TH2 ( góc ABC tù )

Bài toán 2: Cho góc xOy cố định khác góc bẹt Trên Ox lấy điểm M, trên

Oy lấy điểm N sao cho OM+ON=m không đổi Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M và N di chuyển trên Ox và Oy

2.2.3 Rèn luyện kỹ năng tính toán :

Trong quá trình giải toán , học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắngọn hay không , điều đó phụ thuộc vào kỹ năng tính toán và kiến thức của từng

em và sự hướng dẫn, định hướng của giáo viên Một số em thường không thiếtlập được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau, vận dụng lý thuyết chưakhéo Do vậy, trong mỗi dạng tính toán, giáo viên cần cho học sinh nhắc lạinhững kiến thức và kĩ năng có liên quan để từ đó học sinh có thể vận dụng vàthực hành tính toán chính xác , hiệu quả

Để làm tốt dạng toán này, giáo viên cần trang bị cho học sinh nắm chắccác kiến thức dùng để tính toán trong hình học 7, chủ yếu là: Định lí Pitago ápdụng cho tam giác vuông; định lí tổng 3 góc trong tam giác; tính chất tia phângiác; tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông; bất đẳng thức tamgiác; tính chất góc ngoài của tam giác; các tính chất về góc ( 2 góc đối nhau, kề

bù, phụ nhau, bù nhau, đối nhau, hai góc so le trong, hi góc đồng vị, hai góctrong cùng phía…); tính chất trung tuyến, trung trực ; tính chất đường trung bìnhcủa tam giác; các công thức tính (chu vi, diện tích tam giác) và một số kiến thứcđại số bổ trợ ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất tỉ lệ thức …)

Ví dụ 1: Tam giác ABC có ba cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 6 Gọi M , N, P là trung điểm các cạnh AB, AC và BC Tính các cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác MNP bằng 5,2 m

Để giải quyết bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức:công thức tính chu vi tam giác ,tính chất trung điểm; tính chất đường trung bìnhcủa tam giác và thiết lập được mối quan hệ giữa chu vi của hai tam giác , sau đódùng đến kiến thức đại số đó là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tính độ dàicác cạnh của tam giác ABC