Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian

Loại 2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp………...... Lí do chọn đề tài Khoảng cách và góc là một trong những kiến

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -

VĂN BẢO NGÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: THS TRẦN SƠN LÂM

Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 5 năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các kết quả nghiên cứu và số liệu thực nghiệm được nêu trong khóa luận là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả khóa luận Văn Bảo Ngân

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến ThS Trần Sơn Lâm – thầy là người tận tình hướng dẫn cho tôi và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này Tôi đã học hỏi được từ thầy cách làm việc khoa học và sự cẩn thận trong nghiên cứu toán học

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm khoá luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý về khoá luận để tôi rút ra kinh nghiệm cho quá trình nghiên cứu sau này

Tôi vô cùng biết ơn và cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè đã luôn quan tâm, động viên và khích lệ tinh thần tôi trong suốt thời gian thực hiện khoá luận Cuối cùng, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báo từ Quý Thầy, Cô cũng như

sự góp ý chân thành của các bạn

Xin chân thành cảm ơn

Tác giả khóa luận Văn Bảo Ngân

MỤC LỤC

Trang phụ bìa……… 1

Lời cam đoan……… 2

Lời cảm ơn……… 3

Mục lục……….… 4

Danh sách các chữ viết tắt……… 7

MỞ ĐẦU……… 8

1 Lí do chọn đề tài……… 8

2 Mục đích nghiên cứu……….… 8

3 Phương pháp nghiên cứu……… 9

4 Phạm vi nghiên cứu……… 9

NỘI DUNG……… 10

CHƯƠNG 1 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1 Khoảng cách……… 10

1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng……… 10

1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……… 10

1.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song……… 10

1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song……… 11

1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……… 11

1.5.1 Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung thứ nhất……… 11

1.5.1.1 Cạch 1 11

1.5.1.2 Cách 2……… 12

1.5.2 Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng… 13

2 Góc 13

2.1 Góc giữa hai mặt phẳng……… 13

2.1.1 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng………13

2.1.2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau………13

2.1.3 Chú ý……… 14

2.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……… 14

2.2.1 Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………14

2.2.2 Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……… 14

2.2.3 Chú ý……… 14

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh của hình chóp……… 15

1.1 Xét bài toán……… …… 15

1.2 Áp dụng……… 16

1.3 Chú ý……… 18

2 Phân loại các dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian……… 19

2.1 Loại 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh của hình chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp ……… 19

2.2 Loại 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình chóp) đến mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp……… 20

2.2.1 Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp 20

2.2.2 Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp ……… 21

2.3 Loại 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp……… 23

2.4 Loại 4: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa chân đường cao của hình chóp……… 23

3 Công thức tính các loại góc trong hình học không gian……… 25

3.1 Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng)……… 25

3.2 Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) (công thức tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau)……… 25

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Một số bài tập trong sách "Chinh phục các kỳ thi THPT trắc nghiệm môn Toán"

của NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017……… 27

1.1 Bài tập khoảng cách……… 27

1.2 Bài tập góc……… 33

2 Một số câu tính khoảng cách và góc trong đề thi thử của các trường THPT năm 2016……… 35

3 Bài tập thực tiễn ……… 48

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 51

PHỤ LỤC……… 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 62

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông GD-ĐT : Giáo dục – Đào tạo NXB : Nhà xuất bản

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Khoảng cách và góc là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không gian, đề tài này còn được ra trong các Kỳ thi THPT Quốc Gia, Kỳ thi học sinh giỏi nhưng khi nhắc đến những câu tính khoảng cách và góc trong hình học không gian thì nhiều học sinh khá ngại ngần vì phải vẽ thêm hình cũng như xác định khoảng cách và xác định góc; thậm chí một số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ trục toạ độ để giải nhưng phương pháp này khá mất thời gian ảnh hưởng đến kết quả bài thi của các em

Vào ngày 28 tháng 9 năm 2016 Bộ GD-ĐT ra thông báo trong Kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia các môn Khoa học tự nhiên và Khoa học xã hội thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan (ngoại trừ môn Ngữ văn) Đặc biệt là môn Toán, vì trước giờ các em đều trình bày theo phương pháp truyền thống là tự luận nên khi chuyển đổi sang phương pháp trắc nghiệm các em gặp nhiều khó khăn, thậm chí một số học sinh có ý định bỏ hẳn phần hình học không gian

Là người giáo viên tương lai tôi trăn trở về vấn đề này nên chọn đề tài “Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” để giúp các em

có hướng làm bài hiệu quả hơn mà vẫn rút ngắn được thời gian

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này tôi đã sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu trên

cơ sở đó tổng hợp và chứng minh các vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày các bài tập có liên quan và đã làm khảo sát phương pháp này đối với học sinh 11

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về nội dung liên quan đến “Khoảng cách và góc trong không gian”, được thực nghiệm tại trường THPT Trần Khai Nguyên từ ngày 13/2/2017 đến ngày 8/4/2017

Nội dung khóa luận gồm 3 chương

Chương 1 Lí thuyết về khoảng cách và góc trong không gian

Chương 2 Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian

Chương 3 Bài tập áp dụng

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài khóa luận này nhưng vẫn còn nhiều thiếu sót về kiến thức và kinh nghiệm Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để khóa luận nghiên cứu của tôi được hoàn chỉnh nhất

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN

1 Khoảng cách

1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm 𝑂 và đường thẳng 𝑎 Trong mặt phẳng (𝑂, 𝑎)

gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝑂 lên 𝑎 Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng

cách từ điểm 𝑂 đến đường thẳng 𝑎 Kí hiệu là 𝑑(𝑂, 𝑎)

1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm 𝑂 và mặt phẳng (𝛼) Gọi 𝐻 là hình chiếu

vuông góc của 𝑂 lên (𝛼) Khi đó khoảng cách giữa

hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng cách từ điểm 𝑂

𝐵3: Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝑂 lên Δ thì : 𝑑(𝑂, (𝛼)) = 𝑂𝐻

1.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song

Cho đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼) Khoảng cách

giữa đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼) là khoảng cách

từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑎 đến mặt

phẳng (𝛼) Kí hiệu là 𝑑(𝑎, (𝛼))

1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng đến mặt phẳng kia

Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng (𝛼) và

(𝛽) song song nhau là 𝑑((𝛼), (𝛽)).Khi đó

𝑑((𝛼), (𝛽)) = 𝑑(𝑀, (𝛽)) với 𝑀 ∈ (𝛼) hay

𝑑((𝛼), (𝛽)) = 𝑑(𝑀′, (𝛼)) với 𝑀′ ∈ (𝛽)

1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai hai đường thẳng chéo nhau là độ

dài của đoạn vuông góc chung

1.5.1 Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung

1.5.1.1 Cách 1: Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau

𝐵1: Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa đường thẳng 𝑎 và song song với đường thẳng 𝑏

𝐵2: Hạ hình chiếu vuông góc 𝑏′ của đường thẳng 𝑏 trên mặt phẳng (𝛼)

𝐵3: Đặt 𝐴 = 𝑎 ∩ 𝑏′

z𝐵4: Hạ hình chiếu vuông góc của điểm 𝐴 là 𝐵 lên đường thẳng 𝑏 thì 𝐴𝐵 là đoạn vuông góc chung nên ta có 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝐴𝐵

1.5.1.2 Cách 2: Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau trong không gian và

1.5.2 Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau

𝐵1: Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa đường thẳng 𝑎 và song song với đường thẳng 𝑏

𝐵2: Ta có: 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, (𝛼)) = 𝑑(𝑀, (𝛼)) (với 𝑀 là điểm thuộc đường thẳng 𝑏) Như vậy nếu đề bài không yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung mà chỉ tính khoảng cách thì ta sẽ dựa vào phương pháp này để đưa bài toán về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt, và ta sẽ xây dựng phương pháp cho loại khoảng cách này

2 Góc

2.1 Góc giữa hai mặt phẳng

2.1.1 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0°

2.1.2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt

nhau

Giả sử hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) cắt nhau theo giao

tuyến là 𝑐 Từ một điểm 𝐼 bất kì nằm trên 𝑐 ta dựng

một đường thẳng 𝑎 nằm trong mặt phẳng

(𝛼) vuông góc với 𝑐 và dựng một đường thẳng 𝑏

nằm trong mặt phẳng (𝛽) vuông góc với 𝑐 Góc

giữa hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) là góc giữa hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏

2.1.3 Chú ý: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn [0; 90°]

2.2.2 Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau

Khi d không vuông góc với mặt phẳng (𝛼) và d

cắt (𝛼) tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp

1.1 Xét bài toán: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy Hãy xác định khoảng cách từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶)

Giải:

Theo cách giải của SGK:

Tìm mặt phẳng (𝛼) chứa điểm 𝐴 và vuông góc với mặt

phẳng (𝑆𝐵𝐶)

Tìm giao tuyến của (𝛼) và (𝑆𝐵𝐶)

Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝐴 lên giao tuyến

𝑑 2 (𝐴,(𝑆𝐵𝐶))=𝑆𝐴12+𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)1 (1)

1.2 Áp dụng:

Bài 1: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑆𝐴 =

𝑎 Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy Tính 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶))

Do 𝑆𝐴 vuông góc đáy nên suy ra 𝐴 là chân đường cao, (𝑆𝐵𝐶) đi qua đỉnh 𝑆 nên ta

có thể sử dụng công thức (1), lại có cạnh đáy (𝑆𝐵𝐶) là 𝐵𝐶 và tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴 nên suy ra: 𝑑(𝐴, 𝐵𝐶) = 𝑎

Do 𝑆𝐴 vuông góc đáy nên suy ra 𝐴 là chân đường cao, (𝑆𝐵𝐶) đi qua đỉnh 𝑆 nên ta

có thể sử dụng công thức (1), lại có cạnh đáy (𝑆𝐵𝐶) là 𝐵𝐶

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều nên suy ra: 𝑑(𝐴, 𝐵𝐶) = 𝑎√32

Áp dụng công thức (1) ta có:

𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶)) = 1

√𝑆𝐴21 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)1 =𝑎√217 chọn B

b) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3:

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3 suy ra độ dài đường cao góc

𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 𝐴𝐻 = 1

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại A và có 𝐵𝐴𝐶̂ = 120∘, 𝐴𝐵 = 𝑎 suy ra độ dài đường cao góc

𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: = 2𝑆∆𝐴𝐵𝐶

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√2, 𝐴𝐶 = 𝑎√5 suy ra độ dài đường cao góc

𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 𝐴𝐻 = 2.𝑆∆𝐴𝐵𝐶

𝐵𝐶

Sử dụng công thức Heron ta có: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =𝑎2

2

Suy ra: 𝑑(𝐴, 𝐵𝐶) = 𝑎

√2

𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶)) = 1

√𝑆𝐴21 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)1 =𝑎√33 chọn B

1.3 Chú ý: Công thức số (1) chỉ sử dụng để tính khoảng cách từ chân đường cao

(tính từ đỉnh của hình chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp

Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎,

𝐴′𝐴𝐵𝐶 là hình chóp tam giác đều, gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴′𝐴 = 2𝑎 Tính khoảng cách từ 𝐺 đến các mặt phẳng:

=𝑎√16545

b) Ở câu này mặt phẳng (𝐵𝐶𝐶′𝐵′) không đi qua đỉnh 𝐴′ nên ta không áp dụng công thức (1) ngay được, mà ta sẽ dựng một đường cao phụ như sau:

Dựng hình bình hành 𝐺𝐴′𝐶′𝐻 thì ta có 𝐻 nằm trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và 𝐺𝐴𝐶𝐻 cũng là một hình bình hành

Ta có:

𝑑(𝐺, (𝐵𝐶𝐶′𝐵′)) = 𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶′)).𝑁𝐺

𝑁𝐻

Đối với các bài tập dạng này ta có thể áp dụng công thức (1) để làm bài

Ví dụ 1 : Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵 Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎 Tính khoảng cách từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷)

[Học Kì II- Trần Quang Diệu – Quãng Ngãi- 2016]

Giải:

[Câu 5, Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối D]

2 Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐷 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) Biết 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 =4𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 3𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 5𝑐𝑚 Tính khoảng cách từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷)

[Câu IV, Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2002, khối D]

2.2 Trường hợp 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình chóp) đến mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp

Vì mặt phẳng này không chứa chân đường cao của hình chóp nên ta sẽ sử dụng công thức đổi khoảng cách để biến đổi liên tục khoảng cách đề bài cần tính về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng cần tính Đối với bài tập rơi vào loại này tôi chia làm 2 dạng:

2.2.1 Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp:

Ta sử dụng phương pháp này khi dễ dàng nhìn ra giao điểm giữa điểm cần tính khoảng đến chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính khoảng cách; và

ta cũng dễ lập được tỉ số đồng dạng giữa khoảng cách cần tính và khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta xét ví dụ 3

Ví dụ 3: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 2√2𝑎, 𝐴𝐶𝐵̂ = 30° Hình chiếu vuông góc 𝐻 của đỉnh 𝑆 trên mặt đáy là trung điểm của cạnh 𝐴𝐶 và 𝑆𝐻 = 2𝑎 Tính khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵)

[Học Kì II- Lê Quảng Chí – Hà Tĩnh-2016]

Giải:

Ta có 𝐻 là chân đường cao của hình chóp nên ta biến

đổi tính khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵)

1 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 2𝑎, 𝐴𝐶𝐵̂ =

300 Hình chiếu vuông góc 𝐻 của đỉnh 𝑆 trên mặt đáy là trung điểm của cạnh 𝐴𝐶 và

𝑆𝐻 = √2𝑎 Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 và khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵)

[Câu 6, Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015]

2 Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎 Hình chiếu vuông góc của 𝐴′ trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm của cạnh 𝐴𝐵, góc giữa đường thẳng 𝐴′𝐶

và mặt đáy bằng 600 Tính theo 𝑎 thể tích của khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ và khoảng cách từ điểm 𝐵 đến mặt phẳng (𝐴𝐶𝐶′𝐴′)

[Câu 6, Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014, khối B]

2.2.2 Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp:

Ta áp dụng phương pháp này khi sử dụng phương pháp dời trực tiếp không thể đưa khoảng cách cần tính về dạng tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp (nghĩa là ta vẫn thấy giao điểm giữa điểm cần tính khoảng cách đến chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính khoảng cách, nhưng việc lập tỉ số đồng dạng giữa khoảng cách cần tính và khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính không dễ dàng)

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta xét ví dụ 4

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật (𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎√2, 𝐴𝐴′ = 2𝑎 Gọi 𝐼 là điểm đối xứng của 𝐴 qua 𝐷, tính 𝑑(𝑀, (𝐷′𝐶𝐼)) với

𝑀 là trung điểm 𝐴𝐴′

Giải:

Nếu đổi trực tiếp tính khoảng cách từ điểm M về tính khoảng cách từ điểm D thì rất khó xác định được tỷ số

Ta đổi tính khoảng cách từ điểm 𝑀 về tính

khoảng cách từ điểm 𝐴′ rồi đổi từ tính khoảng

cách từ điểm 𝐴′ về tính khoảng cách từ điểm 𝐷

Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang, 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐵𝐴𝐷̂ = 900, 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝑎,

𝐴𝐷 = 2𝑎 Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎√2 Gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝑆𝐵 Chứng minh tam giác 𝑆𝐶𝐷 vuông và tính (theo 𝑎) khoảng cách từ 𝐻 đến mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷)

[Câu V.b Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2007, khối B]

2.3 Trường hợp 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp

Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, hãy tính khoảng cách từ điểm 𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶)

2.4 Trường hợp 4: Khoảng cách từ một điểm thuộc đáy đến mặt phẳng chứa chân đường cao của hình chóp

Cho lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, 𝐴′ 𝐴𝐵𝐶 là hình chóp tam giác đều, gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴′𝐴 = 2𝑎 Tính 𝑑(𝐵, (𝐺𝐶𝐶′))

Dựng hình bình hành 𝐺𝐴′𝐶′𝐻 thì ta có 𝐻 nằm trên

mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và 𝐺𝐴𝐶𝐻 cũng là một hình bình

hành

Lúc này thay vì ta tính trực tiếp thì rất khó Vì vậy ta

tiến hành đổi khoảng cách này sang tính khoảng

Bài tập tương tự (trường hợp 3 và trường hợp 4):

Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang cân, 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =

𝐶𝐷 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑆𝐴 = 2𝑎 và 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶)

a) Tính khoảng cách từ 𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶)

b) Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝑆𝐷 Tính khoảng cách từ 𝐵 đến mặt phẳng (𝐴𝐼𝐶)

3 Công thức tính các loại góc trong hình học không gian

3.1 Công thức sin 𝝋 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt

2 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh , mặt bên (𝑆𝐴𝐵) là tam giác đều Gọi 𝐻 là trung điểm của các cạnh 𝐴𝐵 Tính số đo góc giữa 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝑆𝐻𝐷)

3.2 Công thức sin 𝝋 số (2) (công thức tính góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng):

Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 đặt 𝜑 là góc giữa mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷)

Thì ta có:

𝒔𝒊𝒏𝝋 =𝒅(𝑨, (𝑩𝑪𝑫))

𝒅(𝑨, 𝑩𝑪) =

𝒅(𝑫, (𝑨𝑩𝑪))𝒅(𝑫, 𝑩𝑪) (𝟐) Với 𝐵𝐶 = (𝐴𝐵𝐶) ∩ (𝐵𝐶𝐷)

Tổng quát ta có:

𝒔𝒊𝒏𝝋 = 𝒅(𝑨, (𝑩𝑪𝑫))

𝒅(𝑨, 𝑩𝑪) =

𝟑𝑽𝑨𝑩𝑪𝑫𝟐𝑺𝑩𝑪𝑫 𝑺𝑨𝑩𝑪

Chú ý: Ta có một công thức đổi khoảng cách như sau:

Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 ta có:

𝑑(𝐴, (𝐵𝐶𝐷))𝑑(𝐵, (𝐴𝐶𝐷)) =

𝑑(𝐴, 𝐶𝐷)𝑑(𝐵, 𝐶𝐷)Trong đó: (𝐵𝐶𝐷) ∩ (𝐴𝐶𝐷) = 𝐶𝐷

Công thức này thực ra chính là công thức đổi đỉnh khi sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách, tuy nhiên bằng công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) ta có thể dễ dàng chứng minh nó mà không cần thông qua khái niệm thể tích của lớp 12

Bài toán tương tự:

Cho hình chóp đều 𝑆 𝐴𝐵𝐶, đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 tâm 𝑂 cạnh 𝑎 Góc giữa mặt bên

và mặt đáy là 600 Gọi 𝐼, 𝐽 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶 Tính góc giữa hai mặt phẳng:

a) (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐵𝐶)

b) (𝑆𝐴𝐽) và (𝑆𝐶𝐼)

Câu 2: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy

và 𝑆𝐴 = 2𝑎 Nếu điểm 𝑀 thuộc đoạn 𝐴𝐷 thì khoảng cách từ 𝑀 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng

Câu 3: Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎 Hình chiếu của 𝐴′ lên (𝐴𝐵𝐶) trùng với trung điểm 𝐻 của 𝐴𝐶 Biết 𝐴′𝐻 = 3𝑎 Khi đó, khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng 𝐴𝐵𝐵′𝐴′ bằng

Câu 6: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷),

𝑆𝐴 = 𝑎 Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐷, khi đó khoảng cách từ điểm 𝐺 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng

Câu 7: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂 cạnh 𝑎;

𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 = 𝑆𝐷 = 𝑎√2 Gọi 𝑀 là trung điểm 𝑆𝐴 Khoảng cách từ điểm 𝑀 đến mặt phẳng(𝑆𝐵𝐶) bằng

Câu 8: Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂 cạnh

𝑎 ; hình chiếu của 𝐴′ lên (𝐴𝐵𝐶𝐷) trùng với 𝑂 và 𝐴𝐴′ = 𝑎√2

Câu 10: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang cân có hai đường chéo là

𝐴𝐶, 𝐵𝐷 vuông góc với nhau và 𝐴𝐷 = 2𝑎√2, 𝐵𝐶 = 𝑎√2 Hai mặt phẳng (SAC) và (𝑆𝐵𝐷) cùng vuông góc với đáy Mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) hợp với đáy một góc bằng 60° Khoảng cách từ trung điểm 𝑀 của 𝐴𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) bằng