Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -VĂN BẢO NGÂN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: THS TRẦN SƠN LÂM Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, kết nghiên cứu số liệu thực nghiệm nêu khóa luận trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả khóa luận Văn Bảo Ngân LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến ThS Trần Sơn Lâm – thầy người tận tình hướng dẫn cho tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Tôi học hỏi từ thầy cách làm việc khoa học cẩn thận nghiên cứu tốn học Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy, Cơ hội đồng chấm khố luận dành thời gian quý báu để xem xét góp ý khố luận để tơi rút kinh nghiệm cho q trình nghiên cứu sau Tơi vơ biết ơn xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè ln quan tâm, động viên khích lệ tinh thần tơi suốt thời gian thực khố luận Cuối cùng, tơi mong nhận bảo quý báo từ Quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn Xin chân thành cảm ơn Tác giả khóa luận Văn Bảo Ngân MỤC LỤC Trang phụ bìa…………………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………………… Lời cảm ơn………………………………………………………………………… Mục lục………………………………………………………………………….… Danh sách chữ viết tắt………………………………………………………… MỞ ĐẦU………………………………………………………………… Lí chọn đề tài……………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….… Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………… Phạm vi nghiên cứu…………………………………………………………… NỘI DUNG……………………………………………………………… 10 CHƯƠNG KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN Khoảng cách…………………………………………………………………… 10 1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng………………………… 10 1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng…………………………… 10 1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song……………… 10 1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song……………………………… 11 1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau…………………………… 11 1.5.1 Phương pháp dựng đoạn vng góc chung thứ nhất……………… 11 1.5.1.1 Cạch .11 1.5.1.2 Cách 2…………………………………………… 12 1.5.2 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng… 13 Góc .13 2.1 Góc hai mặt phẳng…………………………………………………… 13 2.1.1 Định nghĩa góc hai mặt phẳng…………………………………13 2.1.2 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau……………………13 2.1.3 Chú ý……………………………………………………………… 14 2.2 Góc đường thẳng mặt phẳng…………………………………… 14 2.2.1 Định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng……………………14 2.2.2 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng……………… 14 2.2.3 Chú ý…………………………………………………………… .14 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh hình chóp………………………………………………………………………… 15 1.1 Xét toán………………………………………………………… …… 15 1.2 Áp dụng…………………………………………………………… 16 1.3 Chú ý……………………………………………………………… 18 Phân loại dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình học không gian………………………………………………………………… 19 2.1 Loại 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh hình chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh hình chóp ……………………… 19 2.2 Loại 2: Khoảng cách từ điểm (khác chân đường cao hình chóp) đến mặt phẳng khơng chứa đường cao hình chóp……………………… 20 2.2.1 Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp .20 2.2.2 Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp ……………………… .21 2.3 Loại 3: Khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao hình chóp…………………………………… .23 2.4 Loại 4: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa chân đường cao hình chóp…………………………………………………… 23 Cơng thức tính loại góc hình học khơng gian…………………… .25 3.1 Cơng thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (1) (cơng thức tính góc đường thẳng với mặt phẳng)…………………………………………………………… 25 3.2 Cơng thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) (cơng thức tính góc hai mặt phẳng cắt nhau)………………………………………………………………… 25 CHƯƠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG Một số tập sách "Chinh phục kỳ thi THPT trắc nghiệm mơn Tốn" NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017………………………… 27 1.1 Bài tập khoảng cách………………………………………………… 27 1.2 Bài tập góc………………………………………………………… 33 Một số câu tính khoảng cách góc đề thi thử trường THPT năm 2016…………………………………………………………………… .35 Bài tập thực tiễn ……………………………………………………………… 48 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………………… 51 PHỤ LỤC………………………………………………………………………… 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… 62 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông GD-ĐT : Giáo dục – Đào tạo NXB : Nhà xuất MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Khoảng cách góc kiến thức quan trọng hình học khơng gian, đề tài Kỳ thi THPT Quốc Gia, Kỳ thi học sinh giỏi nhắc đến câu tính khoảng cách góc hình học khơng gian nhiều học sinh ngại ngần phải vẽ thêm xác định khoảng cách xác định góc; chí số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ trục toạ độ để giải phương pháp thời gian ảnh hưởng đến kết thi em Vào ngày 28 tháng năm 2016 Bộ GD-ĐT thông báo Kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia môn Khoa học tự nhiên Khoa học xã hội thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan (ngoại trừ môn Ngữ văn) Đặc biệt môn Tốn, trước em trình bày theo phương pháp truyền thống tự luận nên chuyển đổi sang phương pháp trắc nghiệm em gặp nhiều khó khăn, chí số học sinh có ý định bỏ hẳn phần hình học khơng gian Là người giáo viên tương lai trăn trở vấn đề nên chọn đề tài “Một số phương pháp tính khoảng cách góc hình học khơng gian” để giúp em có hướng làm hiệu mà rút ngắn thời gian Mục đích nghiên cứu “ Một số phương pháp tính khoảng cách góc hình học khơng gian” đề tài giúp em học sinh khơng e ngại giải tập liên quan đến khoảng cách góc hình học khơng gian cách hiệu thời gian ngắn Hướng em sử dụng máy tính cầm tay để hổ trợ tìm kết cách hiệu nhanh Các máy tính cầm tay phép mang vào phòng thi theo Quy định Bộ Giáo Dục Đào Tạo Lưu ý: Những cơng thức có giá trị học sinh học qua toán khoảng cách nghĩa kiến thức tương đối phù hợp với học sinh lớp 12 Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu sở tổng hợp chứng minh vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày tập có liên quan làm khảo sát phương pháp học sinh 11 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nội dung liên quan đến “Khoảng cách góc không gian”, thực nghiệm trường THPT Trần Khai Nguyên từ ngày 13/2/2017 đến ngày 8/4/2017 Nội dung khóa luận gồm chương Chương Lí thuyết khoảng cách góc khơng gian Chương Một số phương pháp tính khoảng cách góc hình học không gian Chương Bài tập áp dụng Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài khóa luận nhiều thiếu sót kiến thức kinh nghiệm Tôi mong nhận ý kiến đóng góp từ q Thầy, Cơ bạn sinh viên để khóa luận nghiên cứu tơi hồn chỉnh 10 NỘI DUNG CHƯƠNG KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN Khoảng cách 1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm 𝑂 đường thẳng 𝑎 Trong mặt phẳng (𝑂, 𝑎) gọi 𝐻 hình chiếu vng góc 𝑂 lên 𝑎 Khi khoảng cách hai điểm 𝑂 𝐻 gọi khoảng cách từ điểm 𝑂 đến đường thẳng 𝑎 Kí hiệu 𝑑(𝑂, 𝑎) 1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm 𝑂 mặt phẳng (𝛼) Gọi 𝐻 hình chiếu vng góc 𝑂 lên (𝛼) Khi khoảng cách hai điểm 𝑂 𝐻 gọi khoảng cách từ điểm 𝑂 đến mặt phẳng (𝛼) Kí hiệu 𝑑(𝑂, (𝛼)) Phương pháp dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 𝐵1 : Tìm mặt phẳng (𝛽) qua điểm 𝑂 vng góc với mặt phẳng (𝛼) 𝐵2 : Tìm giao tuyến Δ = (𝛼) ∩ (𝛽) 𝐵3 : Hạ hình chiếu vng góc 𝐻 𝑂 lên Δ : 𝑑(𝑂, (𝛼)) = 𝑂𝐻 1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng 𝑎 mặt phẳng (𝛼) Khoảng cách đường thẳng 𝑎 mặt phẳng (𝛼) khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng 𝑎 đến mặt phẳng (𝛼) Kí hiệu 𝑑(𝑎, (𝛼)) 49 tường, khoảng cách mép tường 𝐴𝐵 trái banh không đáng kể xem trái banh nằm đường thẳng 𝐴𝐵 Hãy cho biết quãng đường ngắn mà trái banh được, biết 𝑀, 𝑁 trung điểm 𝐴𝐷 𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐶𝐷 hình chữ nhật có 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 8𝑚, 𝐻𝑀 = 6𝑚 Giải: Bài toán tìm khoảng cách từ điểm đường thẳng 𝐴𝐵 đến mặt phẳng 𝐷𝐶𝐻𝐾 Ta có : 𝑑(𝐴, (𝐷𝐶𝐻𝐾)) = 𝑑(𝑀, (𝐷𝐶𝐻𝐾)) = 1 √ + 𝐻𝑀2 𝑀𝐷2 = 12√13 13 (𝑚) Bài 2: Nhà bạn An có ý định xây kho chứa đồ có đáy hình chữ nhật hình vẽ Biết bạn An muốn xây mặt tường 𝐻𝐷𝐶𝐾 hình vng có 𝐶𝐷 = 6𝑚, bạn An bạn Minh tư vấn nên xây cho mặt tường 𝐻𝐷𝐶𝐾 hợp với mặt phẳng 𝐿𝐵𝐶𝐻 góc 900 nhà kho có hình dạng cân đối đẹp mặt, hỏi bạn An phải xây cột nhà kho 𝐻𝑀 cao được? Giải: Ta có: (𝐻𝐷𝐶𝐾) ∩ (𝐿𝐵𝐶𝐻 ) = 𝐻𝐶 Gọi 𝜑 góc mặt phẳng 𝜑 = 90° Ta có : 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑑(𝐷,(𝐿𝐵𝐶𝐻)) 𝑑(𝐷,𝐻𝐶) = 𝑑(𝑀,(𝐿𝐵𝐶𝐻)) 𝐶𝐷√2 ⟹ 𝑑(𝑀, (𝐿𝐵𝐶𝐻 )) = 3√2(𝑚) Lại có: 𝑑(𝑀, (𝐿𝐵𝐶𝐻 )) = 1 + √ 𝐻𝑀2 𝑑(𝑀,𝐵𝐶)2 = 1 + 𝐻𝑀2 𝐶𝐷2 √ ⟹ √ 1 + 𝐻𝑀2 36 = 3√2 50 ⟹ 𝐻𝑀 = 6𝑚 Bài 3: Thầy 𝑇 dự định xây dựng khung đu dây cho bé hàng xóm vui chơi Địa điểm thầy muốn làm nhà thiếu nhi Quận 𝑋, nhà thiếu nhi có dạng hình hộp hình vẽ, thầy 𝑇 bắt điểm cạnh cột 𝐴𝐴′ sau kéo dây nối xuống điểm 𝐶 để tạo dây đu cho bé, biết 𝐴𝐵 = 6𝑚, 𝐵𝐶 = 8𝑚 Để an toàn cho bé thầy 𝑇 dự định để dây hợp với mặt đáy góc 300 Hỏi thầy 𝑇 phải chọn điểm cạnh cột 𝐴𝐴′ để đảm bảo an toàn cho bé Giải: Gọi 𝑑 sợi dây bắt ta có (𝑑, (𝐴𝐵𝐶𝐷 )) = 𝜑 < 30° Gọi 𝑀 điểm chọn Ta có: 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑑(𝑀,(𝐴𝐵𝐶𝐷)) 𝑑(𝑀,𝐶) < 2 1 ⟹ 𝑑(𝑀, (𝐴𝐵𝐶𝐷 )) < 𝑑 (𝑀, 𝐶 ) = √𝑑(𝑀, (𝐴𝐵𝐶𝐷 )) + 𝐴𝐶 2 Đặt 𝑡 = 𝑑(𝑀, (𝐴𝐵𝐶𝐷 )) Ta có bất phương trình: 𝑡 < √𝑡 + 102 ⟺ 𝑡 < Lại có: 𝑑(𝑀, (𝐴𝐵𝐶𝐷 )) = 𝑀𝐴 < 10 10.√3 (𝑚) √3 ≈ 5,77(𝑚) Vậy thầy T nên chọn điểm 𝑀 cho 𝑀𝐴 = 5,77𝑚 hợp lý cho việc xây dựng 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tôi viết khóa luận nhằm mục đích xây dựng số mơ hình tính khoảng cách góc đưa hệ thống tập tương ứng với mơ hình giúp em học sinh có phương pháp làm tập hình học khơng gian hiệu mà tiết kiệm thời gian Trong tương lai, tiếp tục nghiên cứu phương pháp phát triển theo hướng tính khoảng cách góc hình học khơng gian chưa có sẵn đường cao hình chóp Nếu làm tốt công việc này, giúp cho việc học toán học sinh trở nên nhẹ nhàng giúp em có kết tốt lần thi học kỳ, thi tốt nghiệp đại học Mặc dù đă cố gắng khóa luận chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp Quý Thầy, Cô bạn 52 PHỤ LỤC Do q trình thực tập tơi phân cơng dạy hai lớp 11 gồm lớp khối 𝐴1 (11A7) lớp khối 𝐷 (11A12) nên thực khảo sát hai lớp Đề kiểm tra lớp 11A7 Đề kiểm tra lớp 11A12 53 Đối với lớp 11A12 cho em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải cho em làm câu, lớp 11A7 tơi hướng dẫn phương pháp tính góc đường thẳng mặt phẳng, tính góc hai mặt phẳng cắt nên làm em sử dụng phương pháp để giải từ câu 4) đến câu 6) Kết khảo sát: Ở lớp 11A7 (40 học sinh)  24 học sinh đạt 10 điểm  học sinh đạt từ 8,5 đến 9,5 điểm  học sinh điểm  học sinh điểm  học sinh luyện thi Olympic miễn kiểm tra Ở lớp 11A12 (35 học sinh)  học sinh đạt 10 điểm 54  22 học sinh đạt từ đến điểm  học sinh điểm trung bình  học sinh luyện thi Olympic miễn kiểm tra Một số kiểm tra minh họa học sinh:  Lớp 11A7 55 56 57 58 59  Lớp 11A12 60 61 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa “Hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên), sách giáo khoa “Hình học 11” (nâng cao), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [3] Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa “Bài tập Hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [4] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), “Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kí mơn Tốn lớp 11”, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [5] Cao Văn Tuấn – Lê Bá Bảo – Nguyễn Đỗ Chiến – Đặng Quang Hiếu – Nguyễn Mạnh Hùng, “Chinh phục kỳ thi THPT trắc nghiệm mơn Tốn”, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017 [6] Các đề thi thử THPT trường năm 2016:  Trường Thpt Phú Xuyên B, Hà Nội  Trường Thpt Nguyễn Khuyến, Tphcm  Trường Thpt Hàn Thuyên, Bắc Ninh  Trường Thpt Như Xuân, Thanh Hóa  Trường Thcs&Thpt Nguyễn Viết Xuân, Phú Yên  Trường Thpt Thuận Thành I, Bắc Ninh  Trường Thpt Triệu Sơn I, Thanh Hóa  Trường Thpt Thạch Thành I, Thanh Hóa  Trường Thcs&Thpt M.V Lơmơnơxốp, Hà Nội  Trường Thpt Yên Lạc, Vĩnh Phúc  Trường Thpt Chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội  Trường Thpt Trung Giã, Hà Nội  Trường Thpt Lê Lợi, Thanh Hóa  Trường Thpt Hùng Vương, Bình phước 63  Trường Thpt Marie Curie, Tphcm  Trường Thpt Đăkmil, Đăknông  Trường Thpt Việt Yên II, Bắc Giang  Trường Thpt Ngô Sỹ Liên, Bắc Giang  Trường Thpt Chuyên Vĩnh Phúc [7] Các đề thi THPT, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng:  Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015  Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014, khối B  Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối D  Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2002, khối D  Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2007, khối B ... Một số phương pháp tính khoảng cách góc hình học khơng gian để giúp em có hướng làm hiệu mà rút ngắn thời gian Mục đích nghiên cứu “ Một số phương pháp tính khoảng cách góc hình học khơng gian ... câu tính khoảng cách góc hình học khơng gian nhiều học sinh ngại ngần phải vẽ thêm xác định khoảng cách xác định góc; chí số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ trục toạ độ để giải phương. .. cầu dựng đoạn vng góc chung mà tính khoảng cách ta dựa vào phương pháp để đưa tốn việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt, ta xây dựng phương pháp cho loại khoảng cách Góc 2.1 Góc hai mặt phẳng