Phương pháp tọa độ đề các vuông góc trong hình học không gian (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Nguyễn Văn Thơ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ Phƣơng pháp toán sơ cấp Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Nguyễn Văn Thơ – C00310 PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Tiến sĩ: Nhâm Ngọc Tần Hà Nội – Tháng năm 2016 Thư viện Đại học Thăng Long MỤC LỤC Lời nói đầu…………………………………………………………………………………………… Chƣơng I Lịch sử phát triển sở lý thuyết……………………………….……… 1.1 Lịch sử phát triển……………………………………………………… …… 1.2 Hệ trục tọa độ Đề - vng góc khơng gian………….…18 1.3 Phương trình đường, mặt quan hệ.……………………………22 1.4 Bài tập vận dụng.……………………………………………………….……27 Chƣơng II Phƣơng pháp tọa độ Đề - vng góc ……………………….………33 2.1 Phương pháp……………………………………………………………… …33 2.1.1 Sơ lược phương pháp………………………………………… ……33 2.1.2 Dấu hiệu nhận biết………………………………………………… ……33 2.1.3 Các bước giải………………………………………………………….……34 2.1.4 Cách đặt hệ trục tọa độ với số hình thường gặp…… ……35 2.2 Vận dụng phương pháp………………………….…………………………45 2.2.1 Một số tập nhóm dấu hiệu 1………………………………………45 2.2.2 Một số tập nhóm dấu hiệu 2………………………………………53 2.2.3 Một số tập nhóm dấu hiệu 3………………………………………58 2.3 Bài tập tự luyện…….…………………………………………………………69 Chƣơng III Tính ƣu việt phƣơng pháp tọa độ Đề - vng góc… …72 3.1 So sánh phương pháp tọa độ Đề - phương pháp tổng hợp qua số tập hình học khơng gian ……………………………72 3.2 Vận dụng phương pháp giải số tập đại số … ……………88 3.3 Tính ưu việt phương pháp…………………….………………… …92 Kết luận………….…………………………………………………………… …93 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………… …94 Lời nói đầu Hình học khơng gian phần quan trọng chương trình tốn trung học phổ thơng Các tốn hình học khơng gian đa dạng phức tạp, đòi hỏi người học phải có tư tốt Một số tốn tính số đo góc, tính thể tích hay khoảng cách hai đối tượng không gian giải theo phương pháp tổng hợp thường khó tốn nhiều thời gian Nhưng giải theo phương pháp tọa độ Đề - vng góc thuận lợi nhiều Hiện nay, có nhiều cơng cụ hỗ trợ cho việc tính tốn với tốc độ nhanh xác làm cho phương pháp tọa độ trở lên ưu việt q trình giải tốn Bởi muốn xây dựng một phương pháp giải toán giúp em học sinh phát huy lực tự học, sáng tạo nên tơi chọn luận văn: “ Phƣơng pháp tọa độ Đề - vng góc hình học khơng gian” Nội dung luận văn gồm chương: Chƣơng I Lịch sử phát triển sở lý thuyết 1.1 Lịch sử phát triển 1.2 Hệ tọa độ Đề - vng góc khơng gian 1.3 Phương trình đường, mặt quan hệ 1.4 Một số tập vận dụng Chƣơng II Phương pháp tọa độ Đề - vng góc hình học khơng gian 2.1 Sơ lược phương pháp Thư viện Đại học Thăng Long 2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ Đề - vng góc để giải số tập hình học khơng gian (tính khoảng cách, tính góc, thể tích, ) 2.3 Một số tập tương tự Chƣơng III Trình bày số tập hình học khơng gian giải theo hai phương pháp, phương pháp tọa độ phương pháp tổng hợp vận dụng phương pháp giải số tập đại số để thấy tính ưu việt phương pháp Qua đó, giúp cho linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp với tập hình học không gian Đại số Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sỹ Nhâm Ngọc Tần, Giảng viên khoa toán trường Đại học Thăng Long, Tiến sỹ đưa đề tài hướng dẫn tận tình suốt qua trình tơi làm luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo phịng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Các kiến thức phục vụ cho luận văn không địi hỏi nhiều kỹ thuật có cách nhìn sâu, rộng Vì trình độ kinh nghiệm cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo tận tình thầy, cơ, đóng góp bạn bè đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Thơ Chƣơng I LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN 1.1.1 Ba vấn đề lớn toán học cổ điển [12] Trong thực tế, hình học chứa đựng nhiều vấn đề phức tạp khác Đường cong đường thẳng hình vẽ hình học bản, nhân loại biết vẽ sớm đường thẳng đường trịn Vẽ đường thẳng cơng cụ có cạnh bên thẳng, vẽ đường trịn cơng cụ có cạnh cố định cạnh xoay Điều dẫn đến đời thước kẻ compa Thước kẻ người Hy lạp cổ đại chưa có đơn vị đo Họ tự cảm nhận đơn vị đo kinh nghiệm vẽ gần cần thước compa vẽ nên hình vẽ hình học Các hình vẽ hình học đa dạng, theo yêu cầu vẽ hình học người ta đưa ký hiệu đo phù hợp dùng cơng cụ thơ sơ bước hồn thành Nhưng tốn học cổ đại gặp phải ba vấn đề khó tìm câu trả lời là: *1 Vấn đề chia ba góc nhau: Chia góc xác định thành ba góc *2 Vấn đề bội tích lập phương: Yêu cầu vẽ đường chéo khối lập phương cho thể tích khối lập phương gấp đơi thể tích khối lập phương biết *3 Vấn đề chuyển đường trịn thành hình vng: u cầu vẽ hình vng cho diện tích với diện tích hình trịn biết Thư viện Đại học Thăng Long Nhìn bề ngồi ba vấn đề tưởng đơn giản Hình vẽ chúng dường thể Do vậy, 2000 năm trôi qua, nhiều người theo đuổi nghiên cứu ba vấn đề khó này, họ đưa nhiều phương pháp giải khác Những phương pháp phù hợp với phương pháp vẽ thước kẻ, compa tìm hiểu kĩ phát thấy vấn đề chưa giải Khi đó, nhà bác học tìm cách để thay đổi vấn đề Trong trình tìm lời giải đáp, họ lại phát vài vấn đề có quan hệ mật thiết tới ba vấn đề Ví dụ đường thẳng đường trịn, chia đường trịn, đường trịn nội tiếp hình đa cạnh, chưa có tìm phương pháp giải chúng Ba vấn đề lớn khó hình học khiến khơng người dày cơng vắt óc nó, nhiều người thử sức khơng đem lại thành cơng Sau có người vơ vọng ngộ nhận kết thật nó, lại có người chuyển sang nghi ngờ ba vấn đề có phải dùng thước kẻ compa dựng lên khơng? Các nhà tốn học bắt đầu xem xét đến vấn đề hình vẽ dùng phương pháp thước kẻ compa, hình vẽ khơng thể dùng phương pháp đó, tiêu chuẩn gì? Giới hạn đâu? 1.1.2 Bƣớc chuyển biến lớn [11], [12] Đến kỷ XVII, nhà toán học pháp Đề - ( René Descartes ) đưa phán đốn tính khả vẽ hình thước kẻ compa dựa phương pháp tiến hành nghiên cứu từ Đại số Đây thực bước chuyển biến lớn trở thành chìa khóa để giải ba vấn đề nhiều vấn đề khác toán học Với Đề - Sau nhiều năm nghiên cứu chiêm nghiệm thuyết phục ông tất khoa học có liên quan với chìa khóa cho liên quan Tốn học Trong sách tiếng “Discours de la Méthodes” xuất vào năm 1637 ông nêu: “Chuỗi dài lập luận dễ dàng đơn giản mà nhà Hình học quen dùng để tới kết luận cho chứng minh hóc hiểm họ khiến nghĩ tất vật, kiến thức mà người có được, dính dáng lẫn theo cách, từ trước đến khơng có bị loại bỏ khỏi lại tầm hiểu biết hay q dấu kín khơng phát được, miễn ta kiêng dè không chấp nhận sai thành ln ln gìn giữ tư tưởng trật tự cần thiết cho diễn dịch từ đến khác” Ơng giải thích phương pháp ơng hợp “Giải tích (Hình học) người xưa” “Đại số người đại” đề quy tắc quy trình nói “Bằng cách tơi tin tơi vay mượn tất tốt Giải tích hình học Đại số, chỉnh sửa tất khiếm khuyết nhờ trợ giúp kia” Nói Descartes thành công việc hợp tất thứ khoa học đáng, ông làm việc tái hợp hai họ toán học lớn số lượng hình dạng ba phụ chương “Discours de la Méthode”, có tựa đề đơn giản “La Géometrie” (Hình học) Đây ấn Hình học giải tích Trong phụ chương ông áp dụng phương pháp đại số vào hình học biểu diễn phân loại đuờng cong hình hình học khác phương trình đại số liên kết với hệ toạ độ Ông dùng cách tiếp cận đại số để khảo sát giải số câu hỏi hình học, có ba vấn đề lớn mà lúc cịn chưa giải đuợc Thư viện Đại học Thăng Long Sau hình học giải tích đời (Sự hợp số lượng hình dạng) người ta biết đường thẳng đường tròn phân biệt quỹ tích phương trình bậc I phương trình bậc II Trên phương diện đại số mà nói vấn đề giao điểm đường thẳng đường thẳng, giao điểm đường thẳng đường tròn, đường tròn đường trịn, khơng vấn đề giải phương trình bậc I, bậc II mà cịn có cách giải sau thông qua cộng, trừ, nhân chia, khai phương bậc hữu hạn từ hệ số phương trình để giải Do đó, đơn vị đo hình học khơng dùng thước kẻ compa vẽ nó, mà cịn giải cách tính tốn từ số đo biết thông qua cộng, trừ, nhân chia, khai phương 1.1.3 Vài nét nhà Toán học Descartes 1.1.3.1 Thuở thiếu thời René Descartes chào đời La Haye thuộc tỉnh Touraine nước Pháp, ngày 31 tháng năm 1596 gia đình quý tộc Cậu René thứ ba ông Joachim Descartes, cố vấn Nghị Viện Rennes bà Jeanne Brochard Cậu trải qua thời thơ ấu mà khơng có đủ tình thương mẹ vào năm cậu lên tuổi, mẹ cậu qua đời Ơng Joachim giao cậu cho người vú ni dưỡng nên René Descartes (1596-1650) sau, Descartes quý mến người mẹ nuôi Mẹ cậu chết bệnh phổi nên cậu Réné hay ho khan da xanh lợt cậu khiến cho y sĩ đoán cậu chẳng sống lâu Năm 1600, ơng Joachim kết với Morin có thêm với bà vợ người con, số đứa trẻ, ơng nhận thấy có Descartes thơng minh Tuy nhiên tính tình cậu trai lại không hợp với ông ông thường phàn nàn tính ương ương gàn gàn cậu Ơng lại bơng đùa mà gọi cậu René "triết gia" không ngờ sau này, tư tưởng cậu khởi đầu ngành triết học Vì khơng thường sống chung gia đình nên cậu René bị người quên lãng, cha cậu gần khơng thừa nhận đứa thiệt thịi cịn anh em khác lại hay dèm pha tỏ khơng có cảm tình với cậu Vào thời cịn niên thiếu mà gặp phải nhiều cay đắng nên sau, Descartes lẩn trốn người thân yêu mà khơng hối tiếc Hồn cảnh phải khiến cho Descartes trở nên người sống cô đơn đau khổ Năm lên tuổi, Descartes theo học trường La Flèche cha Dòng Tên đảm nhiệm Trường học Vua Henri IV lập ra, mục đích để dạy dỗ cháu gia đình q tộc Từ ngồi vào ghế nhà trường, Descartes tỏ học sinh gương mẫu Cậu học Văn Chương, Vật Lý, Luận Lý, Siêu Hình v.v Tất mơn học khó hiểu chứa đựng nhiều học thuyết tối nghĩa nhiều tư tưởng cao siêu Muốn hiểu thấu tất cả, người học sinh phải có trí thơng minh đáng kể Hơn nữa, phương pháp giáo dục lại cổ hủ gồm tranh luận trích giảng từ tác phẩm Aristotle Các học sinh tranh luận với nơi nào, lúc nào: lớp, dạo, vào chơi, Vì cách giảng dạy này, Descartes u thích mơn Tốn Học mơn học khác Tại trường Dịng Tên, có vài vị tu sĩ 10 Thư viện Đại học Thăng Long Trong tam giác vuông SHN vuông H ta có: √ √ √ Cách 2: Phương pháp tọa độ Đề - vng góc Phân tích: Vì đáy vng góc với tam giác Các điều kiện tốn cho thuộc nhóm dấu hiệu Trong dựng tia tọa độ Đề - vng góc vng góc ⃗⃗⃗⃗⃗ cho: Khi ta đặt hệ trục ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , xem Hình 3.6 Hình 3.6 Tọa độ điểm là: ( * 81 ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ √ ( ) Tọa độ vectơ: ⃗⃗⃗⃗ √ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ √ ( ( * ) ⃗ Vì góc SC mp(ABC) 60o ta có: |⃗⃗⃗⃗ ⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | | ⃗ | √ ( ⃗⃗⃗⃗ | ( √ * √ ) √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ) [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ √ √ ( | ) √ ( ) Khi đó: [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( Từ suy √ √ √ √ √ [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ) hai đường thẳng chéo nên: |[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ | |[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| | √ ( √ | √ ) 82 Thư viện Đại học Thăng Long √ - Thể tích khối chóp: √ |[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ | Nhận xét: Cũng toán 3.2 lời giải tập 3.3 phương pháp tổng hợp ngắn gọn dễ hiểu Nhưng để tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC thực khó, địi hỏi em phải có kỹ tư hình học tốt để phân tích điều kiện tốn tìm lời giải Ngược lại, việc tính thể tích khoảng cách theo phương pháp tọa độ Đề - vng góc thuận lợi dễ dàng 3.1.4 Bài tập 3.4 Cho hình chóp Cạnh bên hình thoi cạnh , ̂ có đáy vng góc với đáy, √ Tính khoảng cách hai đường thẳng Tính số đo góc hai mặt phẳng Giải: Cách 1: Phương pháp tổng hợp, xem Hình 3.7 Hình 3.7 83 theo 1.Tính khoảng cách hai đường thẳng Từ điều kiện toán cho ta thấy tam giác tam giác đều, tam giác SCD tam giác cân Gọi trung điểm ta có:  ,  (  ) Mặt khác:  √ √ Tính số đo góc hai mặt phẳng Gọi Dựng góc hai mặt phẳng vng góc với   Dựng vng ta có: √ vng ta có: ̂ Trong ̂  ̂ Trong Vì Trong √ √ ̂ vng ta có: 84 Thư viện Đại học Thăng Long ) √ ̂ Trong vng ta có Vậy góc hai mặt phẳng Cách 2: Phương pháp tọa độ Đề - vng góc Phân tích: Các điều kiện tốn cho thuộc nhóm dấu hiệu Đặt hệ trục tọa độ Đề - vng góc , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ với: ⃗⃗⃗⃗⃗ giao điểm xem Hình 3.8 ( Hình 3.8 ) Khi tọa độ điểm ( ( √ ) √ ) ( ) Tọa độ vectơ là: 85 ( ( ) √ ) ⃗⃗⃗⃗ ( √ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) √ √ ( ) √ ) ) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB Ta có: [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] √ ( √ |[⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| ) √ √ [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ Từ suy hai đường thẳng chéo nên: |[⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ | |[⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| d √ Tính số đo góc hai mặt phẳng Gọi ⃗⃗⃗⃗ ⃗ vectơ pháp tuyến ⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] Ta chọn ⃗⃗ √ ( ( √ ) Tương tự ta có ⃗ - Gọi ) ( | ⃗⃗ | √ ) ( √ √ |⃗ | √ góc hai mặt phẳng (SAB) (SBD) ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ | | ⃗ | √ √ 86 Thư viện Đại học Thăng Long ta có: ) Nhận xét: Bài tập 3.4 thêm ví dụ thể tính ưu việt phương pháp tọa độ Đề - vng góc giải tốn tập hình học khơng gian 3.1.5 Bài tập tƣơng tự ( So sánh tính ưu việt phương pháp tọa độ Đề - vng góc với phương pháp tổng hợp qua tập sau ) Bài tập 3.5 Cho lăng trụ cạnh Gọi , có mặt bên hình vuông trung điểm cạnh hai đường thẳng đáy Bài tập 3.6 Cho hình chóp Tính theo a vng góc có đáy Bài tập 3.7 Cho tứ diện √ tam giác cạnh đến mặt phẳng , khoảng cách từ để hai mặt phẳng Tính khoảng cách vuông , √ Gọi M trung điểm cạnh đường cao Tính khoảng cách hai đường thẳng có đáy tam giác Bài tập 3.8 Cho hình chóp vng cân , hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm Đặt Xác định giá trị để góc phẳng nhị diện 60o Bài tập 3.9 Cho hình chóp √ , cạnh vng góc với trung điểm cạnh có đáy tam giác đều, cạnh Gọi Tính góc khoảng cách hai đường thẳng theo a 87 3.2 VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC VNG GĨC VỚI MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ 3.2.1 Bài tập 3.10 Giải hệ phương trình: { Giải: nghiệm có hệ cho Giả sử Trong hệ trục tọa độ Đề - vng góc Xét hai vectơ ⃗ Khi ta có: ⃗ |⃗ | √ | | √ √ |⃗ | | | Từ (i), ii (iii) ⃗ Mặt khác ta có: | ⃗ | | | ⃗ Từ (1) (2) suy |⃗ | | | ⃗ { Từ ta có: { { { Thử lại ta hệ cho có ba nghiệm: 88 Thư viện Đại học Thăng Long 3.2.2 Bài tập 3.11 Giải hệ phương trình: { Giải: Trong hệ trục tọa độ Đề - vng góc Xét hai vectơ ⃗ Ta có: ⃗ Từ |⃗ | √ | | √ , √ |⃗ | | | ⃗ ⃗ Kết hợp với Thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm là: { 3.2.3 Bài tập 3.12 Giải bất phương trình: √ √ √ Giải: Điều kiện nghiệm bất phương trình là: { 89 Trong hệ trục tọa độ Đề - vng góc Xét hai vectơ ⃗ √ (√ ) √ Ta có: ⃗ √ |⃗ | √ | | √ Từ √ ⃗ √ √ √ √ ta thấy: |⃗ | | | √ √ √ √ Bất đẳng thức Vậy nghiệm bất phương trình cho là: 3.2.4 Bài tập 3.13 Cho a, b hai số thực tùy ý Chứng minh rằng: Giải: Trong hệ trục tọa độ Đề - vng góc Xét hai vectơ ⃗ ta có: |⃗ | ⃗ √ | | ⃗ (1) √ (2) (3) Từ (1), (3) ta có: ⃗ ⃗ |⃗ | | | √ ⃗ √ 90 Thư viện Đại học Thăng Long √ √ Mặt khác: | | ⃗ | ⃗ | ⃗ | | 3.2.5 Bài tập tƣơng tự (Giải phương pháp tọa độ Đề - vng góc Oxyz ) Bài tập 3.15 Chứng minh hệ phương trình sau vơ nghiệm: √ { √ { √ √ Bài tập 3.16 Giải hệ phương trình sau: { { Bài tập 3.17 Chứng minh rằng: | | |⃗ | | | | ⃗ | Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: √ √ √ √ với ( độ dài cạnh tứ giác có chu vi Bài tập 3.18 Cho Chứng minh rằng: √ √ √ √ Bài tập 3.19 Giải bất phương trình sau: √ √ √ √ √ √ 91 √ √ 3.3 TÍNH ƢU VIỆT CỦA PHƢƠNG PHÁP 3.3.1 Ƣu điểm Phương pháp tọa độ Đề - vng góc không gian giúp cho học sinh giải số tập tính góc, tính khoảng cách, thể tích,… không gian đơn giản thuận lợi nhiều dùng phương pháp tổng hợp Lượng kiến thức kĩ để giúp học sinh giải tốn hình học thơng qua phương pháp không nhiều chủ yếu kiến thức tọa độ véc tơ khơng gian, phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mối quan hệ chúng Phương pháp khơng q khó, nên em học sinh trung bình việc sử dụng phương pháp đơn giản nhiều so với phương pháp tổng hợp chìa khóa phương pháp em đặt hệ trục tọa độ Đề - vng góc cho phù hợp với tập Với sáng tạo sử dụng phương pháp hợp lý, linh hoạt em có áp dụng giải nhiều tập đại số phương pháp 3.3.2 Nhƣợc điểm Khơng phải tất tập hình học khơng gian sử dụng phương pháp tọa độ Đề - vng góc Oxyz để giải, với hình đặc biệt có cạnh có quan hệ vng góc với ta nên sử dụng phương pháp khơng việc tính tọa độ điểm khó khăn Sử dụng phương pháp địi hỏi phải có kĩ tính tốn tốt phải nhớ cơng thức phương trình đường thẳng mặt phẳng, công thức khoảng cách Các công thức giống nên dễ gây nhầm lẫn sai sót q trình giải tốn 92 Thư viện Đại học Thăng Long KẾT LUẬN Luận văn “ Phương pháp tọa độ Đề - vng góc hình học khơng gian” trình bày số vấn đề sau: Luận văn trình bày lịch sử hình thành phát triển, hệ thống lại sở lý thuyết Phương pháp tọa độ Đề - vng góc hình học khơng gian Đồng thời, làm rõ số cơng thức tính diện tích, tính thể tích,… kiến thức tọa độ Tiếp theo, luận văn khái quát phương pháp đưa dấu hiệu nhận biết, trình tự bước giải tập hình học không gian Phương pháp tọa độ Đề - vng góc Cuối luận văn thơng qua việc so sánh phương pháp độ Đề - vng góc với phương pháp tổng hợp qua việc giải số tập hình học khơng gian, áp dụng với tập đại số tính ưu việt phương pháp Cấu trúc luận văn thể thống nhất, trọn vẹn Nội dung có nhiều ý nghĩa thực tiễn, tài liệu tham khảo áp dụng trình học tập giảng dạy  _ _ _ _ _ _ 93 Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Cang (1999), Lịch sử toán học, NXB Trẻ [2] Lê Hải Châu (2002), Danh nhân toán học giới, NXB Trẻ [3] Đào Văn Dũng (2007), Ba phương pháp giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo Dục [4] Lê Hồng Đức (2007), Phương pháp giải tốn hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Trần Bá Hà (2008), Phương pháp giải tốn hình học khơng gian, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Phạm Văn Hùng - Phạm An Hòa (2004), Tự luyện giải đề thi hình học khơng gian, NXB Đà Nẵng [7] Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [8] Nguyễn Văn Ngọc (2015), Bất đẳng thức hình học phương pháp chứng minh, Đại học Thăng Long [9] Trần Văn Hạo (2014), SGK Hình học lớp 11, NXB Giáo Dục [10] Trần Văn Hạo (2014), SGK Hình học lớp 12, NXB Giáo Dục [11] http://www.gdcmc.byethost4.com/lichsu/history_6.html [Truy cập: 01 /12/2015] [12] http://www.bachkhoatrithuc.vn/encyclopedia/1598-0963343182933 9006250/Loi-thach-do-cua-toan-hoc/Su-thach-thuc-truoc-cac-van-de-kho -trong- toan- hoc-co-dien.htm# [Truy cập: 01/12/2015] [13] Một số đề thi đại học, Cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2014 [14] Phần mềm vẽ hình GeoGebra 94 Thư viện Đại học Thăng Long CƠNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Thơ Tên đề tài luận văn: “ Phƣơng pháp tọa độ Đề - vng góc hình học khơng gian” Mã học viên: C00310 Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Thăng Long Căn vào biên họp hội đồng chấm luận văn thạc sĩ ngày 15 tháng năm 2016 trường Đại học Thăng Long ý kiến nhận xét, góp ý cụ thể thành viên hội đồng tác giả thực số chỉnh sửa sau: Chỉnh sửa số lỗi tả trang 5, 27, 29 luận văn Định dạng lại công thức số hàm lượng giác luận văn Bổ sung thêm phần kết luận luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Xác nhận giáo viên hƣớng dẫn Tác giả luận văn ( Tác giả bổ sung chỉnh sửa nội dung theo ý kiến nhận xét, đóng góp hội đồng chấm luận văn ) Nguyễn Văn Thơ Xác nhận chủ tịch hội đồng chấm luận văn 95