Đồ thị hàm số và ứng dụng (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG LÊ THANH BÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG LÊ THANH BÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn khoa học TS VŨ HOÀI AN HÀ NỘI - Năm 2015 Thang Long University Library i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài " Đồ thị hàm số ứng dụng" Các tài liệu trích dẫn đầy đủ Tác giả ii LỜI CÁM ƠN Trong trình học tập thực luận văn, nhận dạy bảo tận tình thầy giáo Trường Đại Học Thăng Long Đặc biệt bảo, hướng dẫn trực tiếp TS Vũ Hoài An Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Vũ Hồi An, tới thầy giáo bạn đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian qua Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Lê Thanh Bình Thang Long University Library iii Mục lục Các kí hiệu Danh mục từ viết tắt v Mở đầu 1 Đồ thị hàm số 1.1 Đồ thị ánh xạ 1.1.1 Định nghĩa đồ thị ánh xạ 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Các lớp hàm bản, đồ thị hàm số cho tham số 1.2 Các phương pháp xác định đồ thị hàm số 31 1.2.1 Xác định đồ thị phương pháp khảo sát hàm số 31 1.2.2 Vẽ đồ thị phép biến đổi đồ thị 37 1.2.3 Sử dụng phần mềm vẽ đồ thị hàm số, phân tích tính chất 40 Ứng dụng đồ thị hàm số vào tốn học phổ thơng 2.1 46 Ứng dụng đồ thị hàm số vào phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình 46 2.1.1 Ứng dụng đồ thị hàm số vào giải biện luận theo tham số số nghiệm phương trình 46 2.1.2 Bài tốn biện luận bất phương trình đồ thị 64 iv 2.1.3 Bài tốn biện luận hệ phương trình đồ thị 73 2.1.4 Bài tốn giải biện luận hệ bất phương trình đồ thị 79 Kết Luận 86 Tài liệu tham khảo 87 Thang Long University Library v Các kí hiệu Danh mục từ viết tắt • R: Tập số thực • f : Hàm số thực • [a; b]: Đoạn đóng tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • (a;b): Khoảng mở tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • ∀: Với • ∃: Tồn S • A B : Hợp hai tập hợp A B T • A B :Giao hai tập hợp A B • TXĐ: Tập xác định • SBT: Sự biến thiên • BBT: Bảng biến thiên • CĐ: Cực đại • CT: Cực tiểu • TCĐ: Tiệm cận đứng • TCN: Tiệm cận ngang • GTLN: Giá trị lớn • GTNN: Giá trị nhỏ MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Đồ thị hàm số Tốn học phổ thơng khái niệm Có thể thấy khái niệm xuất chương trình Tốn Tiểu học, Trung học sở, Trung học phổ thơng, Báo Tốn học & Tuổi Trẻ, Đề thi tốt nghiệp phổ thông, Đề thi đại học, Đề thi học sinh giỏi, tài liệu toán nâng cao thường xuất nội dung liên quan đến đồ thị hàm số ứng dụng Nhiều Tốn sử dụng phương pháp đồ thị hay phương pháp hình học cho lời giải ngắn gọn, đẹp phương pháp khác Trong vật lý, hóa học, sinh học, mơi trường, dân số, lĩnh vực kinh tế, văn hóa, xã hội, ta thường dùng đồ thị hàm số để mơ tả đối tượng có tương quan Nhờ đó, vấn đề xét trở nên trực quan Theo hướng tiếp cận để đáp ứng nhu cầu dạy học Toán bậc trung học phổ thông, luận văn nhằm nghiên cứu vấn đề: Đồ thị hàm số ứng dụng Luận văn chia làm hai chương: Chương I: Trình bày phương pháp xác định đồ thị hàm số chương trình tốn trung học phổ thơng (gồm ba phương pháp ): phương pháp khảo sát vẽ đồ thị hàm số, phương pháp biến đổi đồ thị hàm số, phương pháp dùng phần mềm vẽ đồ thị để mô tả phân tích tính chất Chương 2: Trình bày ứng dụng đồ thị hàm số vào việc giải tốn chương trình Trung học phổ thơng: Gồm tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Thang Long University Library toán biện luận Mục đích nghiên cứu: - Tổng hợp trình bày phương pháp xác định đồ thị hàm số - Tổng hợp trình bày ứng dụng đồ thị hàm số vào giải biện luận phương trình,hệ phương trình,bất phương trình,hệ bất phương trình Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đồ thị hàm số tốn học trung học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu nghiên cứu: Thông qua nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa giải tích 12, báo tốn học tuổi trẻ, đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng mơn tốn, tài liệu tốn nâng cao từ đưa giải khác Đặc biệt khai thác tính chất tối ưu cơng cụ hàm số với hỗ trợ phần mềm vẽ đồ thị Từ việc khai thác hiệu phần mềm vẽ đồ thị, từ khái quát hóa nhằm đưa tốn cụ thể liên quan tới chương trình tốn học phổ thơng Chương Đồ thị hàm số Trong chương chúng tơi trình bày hai nội dung: - Đồ thị ánh xạ bao gồm: Định nghĩa đồ thị ánh xạ Các lớp hàm bản, đồ thị hàm số cho tham số - Các phương pháp xác định đồ thị hàm số bao gồm phương pháp khảo sát vẽ đồ thị hàm số Phương pháp xác định đồ thị hàm số thông qua cách biến đổi đồ thị Và phương pháp sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để phân tích tính chất 1.1 1.1.1 Đồ thị ánh xạ Định nghĩa đồ thị ánh xạ Định nghĩa 1.1 Cho hai tập A B Một quy luật f cho phần tử tập hợp A với một phần tử f (x) ∈ B gọi ánh xạ từ A vào B kí hiệu f : A −→ B Cho ánh xạ f : A −→ B Xét tập kí hiệu A × B gọi tích Descartes A B gồm tất cặp có thứ tự (a,b) a ∈ A b ∈ B A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} Tập Gf = {(x, f (x))|x ∈ A} ⊂ A × B gọi đồ thị ánh xạ f Đồ thị ánh xạ f có tính chất: ∀x ∈ A tồn x ∈ B để (x, y) ∈ Gf Thang Long University Library hai điểm phân biệt có y = m cắt đồ thị (Ca ) hàm số y = x−2 hoành độ thuộc [0; 2] ∪ (2; 3] ≤ m ≤ m ≥ Đồ thị minh họa: Hình 2.11 Bài Tốn 2.9 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2 x + sin2 3x − m cos2 2x = (2.11) Lời giải phương trình: sin2 x + sin2 3x − m cos2 2x = ⇔ − cos 2x − cos 6x + = m cos2 2x 2 Đặt t = cos 2x ∈ [−1; 1], (2.11)⇔ f (t) = −2t3 + t + = mt2 Ta có: f (t) = −6t2 + 1, f (t) = ⇔ t = ± √ 61 Bảng biến thiên: Đồ thị: Hình 2.12 Nhìn vào đồ thị ta thấy Phương trình (2.11) có nghiệm Parabol (Pm ) : y = mt2 cắt đồ thị (C) : y = f (t) điểm có hồnh độ t ∈ [−1; 1] ⇔ m > Bài Tốn 2.10 Tìm m để phương trình √ m−x+ √ x + = có ba nghiệm phân biệt Lời giải √ Đặt t = x + ≥ ⇒ x = t2 − Khi phương trình cho tương đương với phương trình: √ m − t2 + = − t ⇔ m − t2 + = (1 − t)3 Thang Long University Library 62 ⇔ f (t) = −t3 + 4t2 − 3t − = m Xét đồ thị hàm số (C): y = f (t) √ ± Ta có f (t) = −3t2 + 8t − 3, f (t) = ⇔ t = ! √ √ 4± −7 ± 14 Vậy ta có cực trị f = f (0) = −1 27 Ta có hình dạng đồ thị (C): Hình 2.13 Với gía trị t ≥ cho ta nghiệm x = t2 − nên để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt f (t) = m phải có ba nghiệm phân biệt t ≥ Nghiệm phương trình f (t) = m hồnh độ giao điểm đồ thị y = f (t) với đường thẳng y = m Nhìn vào đồ thị ta có f (t) = m có ba nghiệm phân biệt t ≥ √ √ ! 4− −7 − 14 < m ≤ f (0) ⇔ m = Tại B ứng với m = Vậy ta có: Nếu ≤ m < phương trình có hai nghiệm Nếu m = −1 ≤ m < phương trình có nghiệm Nếu m > m < −1 phương trình vơ nghiệm Hình 2.14 Thang Long University Library ⇔ 64 2.1.2 Bài toán biện luận bất phương trình đồ thị Bài Tốn 2.12 Tìm m để bất phương trình: p (4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m ∀x ∈ [−4; 6] Lời giải  y ≥ p Đặt y = (4 + x)(6 − x) ⇔ y = (4 + x)(6 − x)  y ≥ ⇔ (x − 1)2 + y = 25 (C) đường trịn phía Ox với tâm I(1; 0), bán kính R = (Pm ) : y = x2 − 2x + m Parabol có đỉnh D(1; m − 1) thuộc đường thẳng x = p Ta có (4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m ∀x ∈ [−4; 6] ⇔ (C) nằm (Pm ) ∀x ∈ [−4; 6] ⇔ điểm T (1; 5) (C) nằm đỉnh D(1, m − 1) ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ Đồ thị minh họa: Hình 2.15 65 Bài Tốn 2.13 Cho bất phương trình: q x(2 − x) + m + ≥ x2 − 2x + (2.12) a) Tìm m để bất phương trình (2.12) có nghiệm b) Tìm m để độ dài miền nghiệm (2.12) Lời giải Ta có Parabol (P): y = x2 − 2x + có đỉnh D((1; 2) Khi y= q  y ≥ x(2 − x) + m + ⇔ y = x(2 − x) + m +  y ≥ Gọi (Cm ) : (x − 1)2 + y = m + với m ≥ −2 Ta có (Cm ) nửa đường trịn phía Ox với tâm I(1; 0), bán kính √ √ R = m + có đỉnh T (1; m + 2) √ a) Để bất phương trình có nghiệm đỉnh T (1; m + 2) phải nằm phía √ D(1; 2) ⇔ m + ≥ ⇔ m + ≥ ⇔ m ≥ b) Giả sử (Cm ) ∪ (P ) hai điểm A1 (x1 ; yo ), A2 (x2 ; yo ) ⇒ miền ngiệm bất phương trình (2.13) [x1 ; x2 ] ⇒ x2 − x1 = (1) Vì A1 , A2 thuộc (P ) nên ta có x1 , x2 nghiệm phương trình: x2 − 2x + − yo = ⇒ x1 + x2 = Kết hợp với (1) ⇒ x1 = 0, x2 = ⇒ yo = ⇒ m + = (x1 − 1)2 + yo2 = + = 10 ⇒ m = Thang Long University Library 66 Đồ thị minh họa: Hình 2.16 Bài Tốn 2.14 Tìm m để bất phương trình: q −4 (4 − x)(2 + x) ≤ x2 − 2x + a − 18 (2.13) với ∀x ∈ [−2; 4] Lời giải Bất phương trình: p p −x2 x (4 − x)(2 + x) ≤ x − 2x + a − 18 ⇔ (4 − x)(2 + x) ≥ + − a − 18    y ≥ p y≥0 Đặt y = (4 − x)(2 + x) ⇔ ⇔ y = (4 − x)(2 + x) (x − 1)2 + y = (C) đường trịn phía Ox với tâm I(0; 1), bán kính R = −x2 x a − 18 (Pm ) : y = + − Parabol quay bề lõm xuống 4 nhận đường thẳng x = trục đối xứng (C) ∩ Ox A(−2; 0) B(4; 0) đối xứng qua x = Ta xét Parabol (P ) 67 −42 a − 18 thuộc họ (Pm ) qua A, B : = + − ⇔ a = 10 ⇒ (P ) : 4 −x2 x y= + + Nhìn đồ thị suy để (2.14) ∀x ∈ [−2; 4] a ≥ 10 Đồ thị minh họa: Hình 2.17 Bài Tốn 2.15 Cho bất phương trình q x(6 − x) ≥ x2 − 6x + m + (2.14) Tìm m để tập nghiệm p (2.14) thỏa mãn ≤ p ≤ Lời giải  y ≥ p Đặt y = x(6 − x) ⇔ y = x(6 − x)  y ≥ ⇔ (C) : (x − 3)2 + y = (C) nửa đường trịn phía Ox với tâm I(3; 0), bán kính R = (Pm ) : y = x2 − 6x + m + Parabol quay bề lõm lên nhận x = trục đối xứng Thang Long University Library 68 Giả sử (C)∩(Pm ) hai điểm phân biệt M1 (x1 ; yo ), M2 (x2 ; yo ) với x1 < x2 ⇒ M1 , M2 đối xứng với qua đường thẳng x = ⇒ x1 +x2 = 2.3 = Nghiệm bất phương trình (2.14) x ∈ [x1 ; x2 ] ⇒ tập nghiệm p (2.15) là: p = x2 − x1 = 2(x2 − 3) Để ≤ p ≤ ≤ x2 − ≤ ⇔ ≤ x2 ≤ Xét Parabol (P1 ), (P2 ) thuộc họ (Pm ) qua hai √ √ √ điểm A(2; 2), B(5; 5) ∈ (C) (P1 ) : y = x2 − 6x + + 2 √ (P2 ) : y = x2 − 6x + + Nhìn vào đồ thị suy bất phương trình (2.15) có tập nghiệm thỏa mãn √ √ √ √ ≤ p ≤ + ≤ m + ≤ + 2 ⇔ + ≤ m ≤ + 2 Đồ thị minh họa: Hình 2.18 Bài Tốn 2.16 Tìm m để bất phương trình: (x − 2)2 + 2|x − m| ≥ ∀x ∈ R Lời giải (x − 2) −x2 ⇔ |x − m| ≥ Parabol (P ) : y = − (x − 2)2 + 2|x − m| ≥ ⇔ |x − m| ≥ + 2x − −x2 + 2x − quay bề lõm xuống Đồ thị (Dm ) : 2 69 y = |x − m| hình vẽ chữ V đỉnh M (m; 0) gồm hai nửa đường thẳng nằm phái Ox tạo với Ox góc 45o 135o Xét nhánh phải (Dm ) tiếp xúc với (C), hồnh độ tiếp điểm nghiệm  của:   x − m = −x + 2x − x = 2 ⇔  m = 1 = −x + ⇒ (Do ) : y = |x| tiếp xúc với (C) Xét nhánh trái (Dm ) tiếp xúc với (C), hồnh độ tiếp điểm nghiệm  của:   −x + m = −x + 2x − x = 2 ⇔  m = −1 = −x + ⇒ (D4 ) : y = |x − 4| tiếp xúc với (C) Nhìn vào đồ thị ta có: Bất phương trình ∀x ∈ R ⇔ Đỉnh M (m; 0) (Dm ) nằm bên trái đỉnh (0; 0) (Do ) bên phải đỉnh (4; 0) (D4 ) ⇔ m ≤ m ≥ Đồ thị minh họa: Hình 2.19 Thang Long University Library 70 Bài Toán 2.17 Giải biện luận bất phương trình theo a : |x2 − 5x + 4| < a Lời giải  x2 − 5x + x ∈ R(1; 4) ta có (C) : y = |x − 5x + 4| = −x2 + 5x − x ∈ [1; 4] Giọ (C1 ) phần đồ thị nằm phía trục hồnh y = x2 − 5x + (C2 ) phần đồ thị đối xứng qua Ox với phần đồ thị nằm phái Ox y = x2 − 5x + Khi (C) = (C1 ) ∪ (C2 ) √  − + 4a   x = x =    2 Xét (C1 ) ∩ (y = a) := x − 5x + = a ⇔  √   + 4a +   x = x2 = Nhìn vào đồ thị ta có: Nếu a ≤ bất phương trình vơ nghiệm Nếu < a ≤ bất phương trình có nghiệm x ∈ (x1 ; x3 ) ∪ (x4 ; x2 ) Nếu a > bất phương trình có nghiệm x ∈ (x1 ; x2 ) Đồ thị minh họa: Hình 2.20 71 Bài Tốn 2.18 x2 + 2x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = f (x) = x−1 b) Tìm số a nhỏ để: a(x2 + x − 1) ≤ (x2 + x + 1)2 ∀x ∈ [0; 1] Lời giải x2 + 2x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = f (x) = x−1 Tập xác định: R{1} ; f (x) = ⇔ x = −1 ⇒ y = Sự biến thiên: f (x) = − (x − 1) x = ⇒ y = Hàm số đồng biến ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Hàm số nghịch biến ∀x ∈ (−1; 1) ∪ (1; 3) Cực trị: Cực đại (−1; 0), cực tiểu (3; 8) Tiệm cận xiên y = x + 3, tiệm cận đứng x = Bảng biến thiên: Đồ thị: Hình 2.21 b) Tìm số a nhỏ để: a(x2 + x − 1) ≤ (x2 + x + 1)2 ∀x ∈ [0; 1] Thang Long University Library