Do thi ham so on thi thpt qg mon toan fzwn9

ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng toán SỰ TƯƠNG GIAO Cho đồ thị hàm số: y  f  x  , y  g  x  Phương trình hồnh độ giao điểm: f  x   g  x   f  x   g  x   phương trình đại số, tuỳ theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao: vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm: giao điểm, Chú ý: 1) Phương trình bậc ax3  bx2  cx  d  0, a  ln ln có nghiệm Nếu có nghiệm x  x0 ta phân tích thành tích số:  x  x0   Ax2  Bx  C   Nếu đặt hàm số f  x   ax3  bx2  cx  d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yCĐ yCT  0, có nghiệm: yCĐ yCT  0, có nghiệm phân biệt: yCĐ yCT  0,  yCĐ yCT   Phương trình bậc có nghiệm dương khi:  xCĐ , xCT  a f     2) Hai điểm nhánh đồ thị y  Bài toán Cho hàm số y  g  x , ta thường lấy hoành độ k  a k  b với a, b  xk  2x Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng x 1 y  mx  cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt Giải Tập xác định D  R \ 1 Đường thẳng y  mx  cắt đồ thị hai điểm phân biệt  Phương trình  2x  mx  có hai nghiệm phân biệt x 1  Phương trình mx   m   x   có hai nghiệm phân biệt, khác m   m  6  m          m  6  5, m  m  12m  16  g     Bài toán Cho hàm y  x2  có đồ thị  C  Tìm m cho đường thẳng y  m  x  2  x cắt đường cong  C  hai điểm thuộc hai nhánh Giải • Tập xác định D  R \ 0 Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong  C  nghiệm phương trình: m  x  2   x   mx  x    x  x  4, x  x   m 1 x   m   x   0, x  Hai nhánh  C  nằm hai bên đường tiệm cận đứng x  Đường thẳng cho cắt  C  hai điểm thuộc hai nhánh; phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu m   a     4  m    m   0 P    m 1 Bài toán Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y  x  m  cắt y  x  3x  hai điểm phân biệt x 1 Giải Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong nghiệm phương trình  x  3x   x  m   x   m  3 x  m  0, x  x 1 Vì x  khơng phải nghiệm    m  3  8m  m2  2m   với m, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt suy đpcm Bài tốn Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: y  x3   2m  1 x   3m   x  m  Giải Cho y   x3  (2m  1) x2  (3m  2) x  m     x  1  x2  2mx  m     x  1 f  x   x2  2mx  m   (1) Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1  '  m  m      m  1 m  2, m     f  1  m    Bài toán Tìm m để đồ thị  Cm  : y  x3  3mx  m  cắt trục hoành điểm phân biệt Giải D  R Ta có y '  3x2  3m, y '   x  m Điều kiện  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt m  yCĐ yCT   f   m  f  m    (m   2m m )(m   2m m )   (m  1)  4m3   4m3  m2  2m     m  1  4m2  3m  1   m  (vì    16  nên 4m2  3m   0, m) Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ o cắt đồ thị hàm số y  x 1 x 2 hai điểm phân biệt nhận O làm trung điểm Giải Đường thẳng d qua O có hệ số góc k  d : y  kx d cắt đồ thị hàm số y  x 1 điểm M, N x 2  kx   2k  1 x   có nghiệm phân biệt khác  k  0;   4k   0; 1   k  Điểm O trung điểm MN khi: Vậy: k    y   xM  xN 2k  1 0 0k k x Bài toán Cho hàm số y  x   3m   x  3m có đồ thị Cm  , m tham số Tìm m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị Cm  điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cm  đường thẳng: x   3m   x  3m  1 Đặt t  x , t  0, phương trình trở thành: t   3m   t  3m    t  t  3m  0  3m   4     m  1, m  3m   Yêu câu tốn tương đương:  Bài tốn Tìm m để đồ thị Cm  : y  x  3x  1  m  x   3m cắt trục hoành điểm Giải D  R Ta có y '  3x  x  1  m  ,  '  9m - Nếu m  y '  0, x nên Cm  cắt trục hoành điểm: thoả mãn - Nếu m  y '  có nghiệm phân biệt x1 , x2 S  2, P   m ĐK Cm  cắt Ox điểm yCD yCT  Ta có y   x  1 y '  mx   m   yi   mxi   m  nên điều kiện  mxi   m  mx2   m    m x1 x2  m 1  m  x1 x2  1  m    m 1  m   2m 1  m   1  m    m3   m  Vậy giá trị cần tìm m  Bài toán Cho hàm số: y  2x 1 Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt  C  hai x 1 điểm A, B thỏa mãn AB  10 Giải Tập xác định D  R \ 1 Phương trình hoành độ giao điểm d  C  :  2x 1  x   m  1 x  m   =-x+m   x 1  x  Đường thẳng d cắt  C  điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 2   m    (m  1)  4(m  1)   m  6m      1  0, m m    1   m  1  m   Khi A  x1;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  x1  x2  m  1; x1.x2  m  Ta có AB  10   x2  x1    x2  x1   10   x2  x1   x  x2   x1 x2    m  1   m  1   2  m   1  m  (thỏa mãn)   m   m  Vậy m  hay m  Dạng toán GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH - Góc đường thẳng:   cos   cos n, n  - AB  x AA ' BB ' A2  B2  A '2  B '2  x A    yB  y A  B - Từ M0  x0 , y0  đến    : Ax  By  C  : d  Ax0  By0  C A2  B - Phương trình trùng phương ax  bx  c  0, a  có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  t1  t2 , t2  9t1 (đặt t  x2 t1 , t2 nghiệm phương trình at  bt  c  0) Bài tốn Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị  C  : y mx  1  2m  x  3m  x 3 hợp với Ox góc 30 Giải Ta có y  mx  1  2m  x  3m  x 3 Vì xlim  y   mx   m   xlim    mx   m  x 3  nên TCX y  mx   m với m  0, có hệ số góc x 3 k  m TCX hợp với Ox góc 30  m   tan 30   Bài tốn Tìm m để đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y  x  2mx  hai điểm x 1 phân biệt M N cho OM  ON Giải Đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số hai điểm M N phương trình hồnh độ có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1: x  2mx  1  2m  x   2m  Do đó: m  , m  x 1 Ta có  x  2m  x  1   x y'   x  1 2   y'  2mx   x   2xm i i Điều kiện OM  ON  2m 2m 4m  1   1 x1 x2 x1 x2  4m  2m    m  1  (chọn) Bài toán Cho hàm số y  x   3m  5 x   m  1 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Giải Cho y   x   3m  5 x   m  1  (2) Đặt t  x , t  PT: t   3m  5 t   m  1  (3)    3m  5   m  1   5m  7 m  3 2 Điều kiện (2) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng (3) có nghiệm dương phân biệt t1 , t2  t1  t2  : t2  9t1 Vì x1   t2 , x2   t1 , x3  t1 , x4  t2 x4  3x2 ta có t1,2   3m    5m  7 m  3  nên điều kiện:  5m  7 m  3   92 3m    5m  7 m  3   3m    5 m    5m   m  3  12m  20   19m  70m  125    m  m   25 19 Bài toán Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M thuộc đồ thị  C  đến tiệm cận số a) y  2x  x 3 b) y  x  5x  x2 Giải a) Đồ thị y   2x  có TCĐ:  : x  3, TCN:  ' : y  x 3 2x   Với M  x;    C  , tích khoảng cách đến tiệm cận:  x 3  d  M ,   d  M ,  '   x  b) y  2x  2  x 3  không đổi x 3 x 3 x  5x  nên TCĐ:  : x  2  4x   x2 x2 TCN  ' : y  x   x  y       Với M  x; x     C  , khoảng cách đến tiệm cận: x2 d  M ,   d  M ,  '   x  16  x  Bài toán Cho hàm số y   17 : không đổi x2 Tìm điểm M đồ thị hàm số cho khoảng x 3 cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Giải Tập xác định: D  \ 3 Giả sử M  x0 ; y0   C  Gọi d1 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d2 khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang thì: d1  x0  , d2  y0   Ta có x0   x0   x0   x0     Vậy M  5,1  , M '  5,1  Bài toán Cho hàm số y   2x  Tìm đồ thị  C  tọa độ điểm mà tổng x 1 khoảng cách đến hai tiệm cận  C  nhỏ Giải Tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y   2a   Gọi M  a;  thuộc đồ thị  C   a 1  Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận  C  d  a 1  2a  1   a 1  2 a 1 a 1 Dấu "  " a    a  a  2 a 1 Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận  C  nhỏ 2, điểm có tọa độ M  0;1 M(-2; 3) Bài tốn Tìm điểm M thuộc đồ thị C  : y  x2  có tổng khoảng cách đến trục bé x 2 Giải  Gọi M  x;  x2     C  tổng khoảng cách đến trục x 2   3 x2  3 d x , x  Xét điểm A  0;    C  d  , d  nên xét điểm x 2 2  2 có hồnh độ x  Khi x2  x2   nên d  x  x 2 x 2 Nếu  x  x2  x  8x  d  f  x   x  , f ' x  2 x 2  x  2 Lập BBT d  f    2 f ' x   x   x2  1 Nếu   x  thi d  g  x    x  , g ' x  0 x 2  x  2     Do g nghịch biến  ;   g  x   g 0   2 So sánh d   3 M  A  0;   2 Bài tốn Tìm hai điểm nhánh đồ thị C  : y  x2  x 1 có khoảng cách bé x 2 Giải Hàm số y  x2  x 1  x 1 ,x  x 2 x 2  1  1     Gọi A   a;3  a   , B   b;3  b   điểm thuộc nhánh với a, b  a b 2    1   Ta có: BA   a  b    a  b      a  b  1      a b   ab    2 2      a  b    2   4ab    2 ab a b  ab a b         2ab     4.2 ab   Dấu = a  b 2ab  1 ab ab  1   1   2  2 Vậy A   ;3    B   ;3    Bài toán Cho hàm số: y  2x 1 Tìm m để đường thẳng d : y  3x  m cắt đồ thị  C  x 1 hai điểm A, B cho độ dài AB nhỏ Giải Tập xác định D  \ 1 Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  : 2x 1  3x  m  3x   m  5 x   m  1  0, x  x 1 Ta có    m  5  12  m  1  m2  2m  12  0, m Vì x  khơng nghiệm nên phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Vậy d cắt  C  hai điểm phân biệt A  x1; 3x1  m  B  x2 ;3x2  m  Theo định lý Viet ta có x1  x2   m5 m 1 x1 x2  3 Nên AB2   x2  x1    x2  x1   10  x1  x2  2 2  m5 m 1  10  x1  x2   40 x1 x2  10    40   10 10 40  m  2m  13  m  1  12   9     Dấu đẳng thức xảy m  1 Vậy m  1 Bài toán 2: Cho hàm số: y   x   m  1 x   3m   x  có đồ thị Cm  với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  2) Tìm m để đồ thị Cm  có hai điểm phân biệt có hồnh độ dấu tiếp tuyến C  điểm vng góc với đường thẳng d : x  3y   m Giải 1) Khi m  hàm số trở thành y   x  x  x  • Tập xác định D  • Sự biến thiên: y '  2 x  x  4; y '   x  1  x  Bảng biến thiên x 1  y' y   +   4  Hàm số đồng biến khoảng  1;2  nghịch biến khoảng   ; 1 ,  2;   Hàm số đạt cực tiểu x  1 yCT  4, đạt cực đại x  yCD   5   • Đồ thị: Đồ thị cắt Oy  0;   , y ''  4 x  2; y ''   x  nên đồ thị nhận điểm uốn 1 1 I  ;  làm tâm đối xứng 2 2 2) y '  2 x   m  1 x  3m  Hệ số góc d : x  3y   k  Tiếp tuyến Cm  điểm vuông góc với đường thẳng d : x  3y   y '  3  2 x   m  1 x  3m   3  x   m  1 x  3m   Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2   '  m   3m    m  4m           3m   m  0     m  3  m  3    m  1     1  m  1   m  Vậy m  3 hay 1  m  Bàn toán 3: Cho hàm số y  x  3x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số 2) Tìm số m dương để đường thẳng y  m cắt  C  hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O Giải 1) • Tập xác định D  , hàm số chẵn • Sự biến thiên: y '  x  x  x  x  3 y '   x  0, x   Bảng biến thiên x y' y    +   17   Hàm số đồng biến khoảng     +    6  6  ;   ,  0;       2      17    ;   ;   , nghịch biến khoảng       Hàm số đạt cực đại điểm x  0, yCD  2, cực tiểu điểm x   17 , yCT   • Đồ thị: Đồ thị hàm số  C  nhận Oy trục đối xứng 2) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y  m với C  : x  3x   m  x  3x   m  Với m  đường thẳng y  m cắt  C  hai điểm phân biệt A  x A ; m  B  xB ; m  đối xứng qua Oy, x A  xB Tam giác OAB vuông O nên OA.OB   x A  xB  a2  Mà x A  xB  nên x A  a, xB  a Do a4  3a2  a     a    a3  2a2  a  1   a  (vì a  0) Vậy a  Bài toán 4: Cho hàm số y  x  8x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  mx  tiếp xúc với đồ thị hàm số Giải a) Tập xác định D  Hàm số chẵn lim   • Sự biến thiên: x   y '  x  16 x  x x  , y '   x  x  2 Bảng biến thiên: x y' y 2   0 +   +  9  9 Hàm số đồng biến khoảng  2;   2;   , nghịch biến khoảng  ; 2 ,  0;2  Hàm số đạt cực đại  0;  , cực tiểu  2; 9  ,  2; 9  • Đồ thị: y "  12 x  16, y ''   x    nên đồ thị có hai điểm uốn    17  ;   Cho x   y  7, cho y   x  1 x   b) Đường thẳng y  mx  tiếp xúc với  C  hệ phương trình sau có nghiệm   x  8x   mx  1   4 x  16 x  m   Thay (2) vào (1) ta được:   x  8x   x  16 x x   3x  8x  16   x  2 Thay x  2 vào (2) m  giá trị cần tìm Bài tốn 5: Cho hàm số: y  2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số 2) Tìm tiếp điểm tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng A, cắt đường tiệm cận ngang B mà OB  2OA Giải 1) • Tập xác định D  \ 1 • Sự biến thiên: Ta có lim y   lim y   x  1 x  1   Do đường thẳng x  1 tiệm cận đứng y  lim y  nên đường thẳng y  tiệm cận ngang Ta có xlim  x  y'   x  1  0, x  1 Bảng biến thiên: x 1  y'  + y +  2  Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;   • Đồ thị: Đồ thị  C  cắt Ox 1;  , cắt Oy  0; 2  , nhận giao điểm I  1;2  hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Phương trình tiếp tuyến M  x0 ; y0   C  , x0  1 d:y x  1 x  x  x0  x0  2x    Giao điểm d với tiệm cận đứng x  1 A  1;  x0    Giao điểm d với tiệm cận ngang y  B  x0  1;2  Do OB  2OA    x0  1  2x        x0   2  2x     x0  1     x0    x0  12  x0   2 x02  x0  13  VN  x0      x0  12 2 x02  x0  11   x0    x0   Vậy hoành độ tiếp điểm x0  7  137 Bài toán 6: Cho hàm số: y  x 1 x 2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có hồnh độ âm, biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S  Giải 1) • Tập xác định D  \ 2 • Sự biến thiên: Ta có lim y   lim y   nên tiệm cận đứng x 2  đường thẳng x  x 2  Ta có xlim y  lim y  nên tiệm cận ngang đường thẳng y   x  3 y'   x  2  0, x  Bảng biến thiên: x   y' + y +   Hàm số nghịch biến khoảng  ;2   2;   • Đồ thị: x  y   , y  x  1 Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận I  2;1 làm tâm đối xứng 2) Ta có y '  3  x  2 ,x  Tiếp tuyến d với  C  M  x0 ; y0  , x0  d:y 3 x  2 x0  2 x  x  x Gọi A B giao điểm d với Ox Oy  x02  x0    x02  x0    Ta có: A ;  , B  0;        x0    S 2 1 x0  x0  x0  x0   OA.OB   6  x0    x02  x0   x  1  x0     x0  x0    x0  4  x0  Chọn x0  nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y   1 x  1 ; d2 : y   x   12 Bài toán 7: Cho hàm số y  x2 x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số b) Tìm m để đường thẳng y  3x  m cắt đồ thị  C  điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1  x2 đạt giá trị nhỏ Giải a) Ta có: y  x2  x 1 x 1 x 1 • Tập xác định D  \ 1 , • Sự biến thiên: y '    x2  2x  x  1  x  1 2 y '   x  x  x  tiệm cận đứng lim y  , lim y   x 1 y  x 1   tiệm lim y   x  1  lim x  x  x 1 cận xiên 0 x 1 Bảng biến thiên x  y' + y   - Đồ thị b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2  3x  m  x   m  3 x  m  0, x  x 1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1:    0  m  2m    : m  1   g 1        +  Ta có x1  x2  b   b      2a 2a m  2m    4  m  1 8  2 Vậy giá trị x1  x2 nhỏ m  1 Bài toán 8: Cho hàm số y  x  3x  x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị b) Chứng minh qua điểm M  3; 1 vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hai tiếp tuyến vng góc với Giải a) • Tập xác định D  \ 1 , y  x   • Sự biến thiên y '  x2  2x  x  1 x 1 , y '  x  x  TCĐ: x  1, TCX: y  x  Bảng biến thiên x  y' + y  3     - Đồ thị x  y  3 Tâm đối xứng I 1; 1 b) Phương trình đường thẳng qua M  3; 1 hệ số góc a y  a  x  3  1, đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị hệ sau có nghiệm:  +   x  3x   a  x  3  11   f  x   g  x   x 1   x  2x  f '  x   g '  x    a 2   x  1  Thay (2) vào (1) rút gọn ta được: x  x   PT có nghiệm thỏa mãn x1  x2  1, x1.x2  1 Ta có y '  x1  y '  x2   x x   2 x12  x1 x22  x2 2 x     x2  1  x1 x2  x1  x2   x1 x2 x x  x1  x2  1  1   1   1  1 Vậy tiếp tuyến qua M vng góc với Bài tốn 9: Cho hàm số y  x  x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số b) Với giá trị m, phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt? Giải a) • Tập xác định D  Hàm số chẵn • Sự biến thiên: y '  8x  8x; y '   x  x  1 lim y  lim y   x  x  Bảng biến thiên x y' y 1   0 +    +  2 2 Hàm số nghịch biến  ; 1  0;1 , đồng biến  1;  1;   Hàm số đạt cực tiểu x  1, yCT  2; đạt cực đại x  0, yCD  • Đồ thị: y ''  24 x  8, y ''   x    nên đồ thị có hai điểm uốn    10  ;   Cho y   x  x   b) Ta có x x   m  x  x  2m Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y  2m cắt đồ thị  C '  hàm số y  x  x điểm phân biệt 2 x  x x  Ta y  x  x   nên đồ thị  C '  suy từ đồ thị  C   x  x x      cách giữ nguyên phần đồ thị phía Ox, cịn phần phía Ox  C  lấy đối xứng qua Ox Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thoả mãn khi:  2m    m  Bài toán 10: Cho hàm số y  x  kx  k  1, k tham số, đồ thị  Ck  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số k  1 b) Chứng minh đồ thị  Ck  luôn qua hai điểm cố định A B k thay đổi Tìm k tiếp tuyến  Ck  A B vng góc với Giải a) Khi k  1, ta có y  x  x • Tập xác định D  Hàm số chẵn y   • Sự biến thiên: xlim    y '  x  x  x x  , y '   x  0; x   2 Bảng biến thiên x  2/2  y'  y +     +  1/ Hàm số đạt CT     2/2 1/ 1 ;   CĐ  0;   Đồ thị: y ''  12 x  y ''   x   nên đồ thị có điểm uốn   ;   36     x   y  0; y   x x    x  x  1 b) Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định: y0  x04  kx02  k  1, k Vậy đồ thị luôn qua hai điểm cố định A 1;  B  1;  Ta có: y '  x  2kx Hệ số góc tiếp tuyến  Ck  A y ' 1   2k, B y '  1  4  2k Điều kiện tiếp tuyến vng góc với nhau: y ' 1 y '  1  1    2k  4  2k   1  4k  16k  15   k1  3 5 k2  2 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Cho hàm số y  x4  x2 1   a) Khảo sát vẽ đồ thị  C  b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A  0;2  tiếp xúc với  C  HD-ĐS a) Tập xác định D  Hàm số chẵn   y '  x  x  x x  , y '   x  x   b) Phương trình đường thẳng qua điểm A  0;2  có hệ số góc k : y  kx   f  x  g x Điều kiện tiêp xúc với  C  : hệ phương trình:  có nghiệm  f '  x   g '  x  Kết y   x  3 Bài tập 2: Cho hàm số y  x  x  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng HĐ-ĐS a) Tập xác định D  Hàm số chẵn   y '  x  x  x x  , y '   x  x   b) Đặt t  x , t  0, điều kiện PT có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng PT theo t có nghiệm dương phân biệt t1 , t2  t1  t2  t2  9t1 Vì x1   t2 , x2   t1 , x3  t1 , x4  t2 x4  3x2 Kết m  41 25 Bài tập 3: Cho hàm số y  x 3 (*) x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) b) Gọi  C  đồ thị hàm số (*) cho Chứng minh đường thẳng y  x  m cắt  C  hai điểm phân biệt A B Xác định m cho độ dài đoạn AB nhỏ HĐ-ĐS a) Tập xác định D  \ 2 Tiệm cận đứng: x  2 tiệm cận ngang: y  y'  1  x  2  0, x  2 Hàm số khơng có cực trị BBT: x 2  y'  y      Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2   2;   b) Phương trình hồnh độ giao có nghiệm phân biệt khác 2 Kết m  2 Bài tập 4: Cho hàm số y  x 2 x 1 HD-ĐS a) Tập xác định D  R \ 1 y   x  1  0, x  1 nên hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;   Tiệm cận đứng x  1; :Tiệm cận ngang y  Bảng biến thiên x 1  y'  y   +  x 2 x  1 x   x  b) Ta có: y   x 1  x   x  1  x  Kết quả: m  1 nghiệm phân biệt; 1  m  có nghiệm nhất; m  phương trình vơ nghiệm Bài tập 5: Cho hàm số y  x  3x  (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số (1) b) Tìm  C  điểm A cho khoảng cách từ A đến điểm K  2; 4  nhỏ HD-ĐS a) Tập xác định D  y '  3x  x, y '   x  x  b) Dựa vào đồ thị để so sánh vị trí khoảng cách Kết A  2; 2  Bài tập 6: Cho hàm số y   x  3x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9 x HD-ĐS a) Tập xác định D  y '  3x  3, y '   x  1 x  b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9 x hệ số góc y '  Do 3x   9  x   x   Kết y  9 x  16 y  9 x  16 x  5x  Bài tâp 7: Cho hàm số y  (1) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị  C  M , N  xM  xN  ; đồng thời cắt tiệm cận đứng, tiệm cận xiên P, Q cho PM  NQ HD-ĐS a) Tập xác định D  \ 1 Hàm số y  x  5x  nên có tiệm cận đứng x  1 tiệm cận xiên y  x   x 4 x 1 x 1 b) Dùng phương trình hồnh độ giao điểm đoạn MN với PQ có trung điểm Kết m  m  Bài tập 8: Cho hàm số  x  1 y x 2 có đồ thị  C  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  b) Xác định hàm số y  g  x  có đồ thị đối xứng với  C  qua A 1;1 HD-ĐS a) Tập xác định D  \  2 x2  2x  Hàm số y  nên có tiệm cận đứng x  tiệm cận xiên y  x  x x 2 x 2 Đạo hàm y '    x  2  x2  4x  x 2 b) Gọi M  x; y  thuộc đồ thị  C   x  1 y x 2 x '   x Điểm M '  x '; y ' đối xứng M qua A 1;1 có tọa độ:  y '   y x   x ' Thế ngược  vào  C  có đồ thị C '  Kết y  g  x   x  x y   y ' ... 3x có đồ thị  C  Lập phương trình tiếp tuyến C  , song song với d : y  x Giải Tập xác định D  y ''  x  Ta có tiếp tuyến song song với d : y  x nên f '' x  x    x  12  x0  2... xứng giao điểm tiệm cận Có trục đối xứng khơng song song với Oy phân giác góc hợp tiệm cận 4) Ta dự đốn yếu tố đối xứng qua tập xác định, bảng biến thi? ?n, dạng đồ thị, nhóm số hạng Bài tốn Chứng... M: Tìm toạ độ x, y M, khử tham số x y Giới hạn: Chuyển điều kiện có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M  x, y   V  cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số Bài tốn Tìm quỹ tích