Bài tập VDC đồ thị hàm số và sự tương giao của đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

Vì đây là phần kiến thức tương đối rộng nên tôi xin chỉ khai thác ở một góc độ nào đó của bài toán.. Khi đó k thu ộc khoảng nào trong các khoảng sau đây[r]

(1)

A – KIẾN THỨC CHUNG

ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Định hình hàm số bậc 3: y ax bx cx d= 3+ 2+ +

a>0 a<0

'

y = có hai nghiệm phân

biệt hay

/ y ∆ >

'

y = có hai nghiệm kép hay

/ y ∆ =

'

y = vô nghiệm hay

/ y ∆ >

2 Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: y ax bx c= 4+ 2+

+) Đạo hàm: y' 4= ax3+2bx=2 2x ax b( 2+ ),

2 '

2

x y

ax b = 

= ⇔  + =

 +) Để hàm số có cực trị: ab<0

- Nếu  <ab>00

 hàm số có cực đại cực tiểu - Nếu  >ab<00

 hàm số có cực đại cực tiểu

+) Để hàm số có cực trị ab≥0 - Nếu  ≥ab>00

 hàm số có cực tiểu khơng có cực đại - Nếu  ≤ab<00

 hàm số có cực đại khơng có cực tiểu

(2)

'

y = có

nghiệm phân biệt hay ab<0

'

y = có

nghiệm hay

ab≥

3 Đồ thị hàm số y ax b cx d + =

+

+) Tập xác định: D R\ d c   = −   

+) Đạo hàm:

(ad bc)2

y

cx d − =

+

- Nếu ad bc− >0hàm sốđồng biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 4. - Nếu ad bc− <0hàm số nghịch biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 3.

+) Đồ thị hàm sốcó: TCĐ: x d c

= − TCN: y a c = +) Đồ thịcó tâm đối xứng: I d a;

c c − 

 

 

0

ad bc− > ad bc− <0

4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 1: Từđồ thị (C) hàm số y f x= ( ), suy cách vẽđồ thị (G) hàm số y= f x( )

( ) ( )( ) ( )( )

f x f x

y f x

f x f x

≥ 

= = 

− <

 Suy ( ) ( ) ( )G = C1 ∪ C2

+ ( )C1 phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh (y( )C ≥0)

(3)

Vì − =x x nên y f x= ( ) hàm số chẵn, suy đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng Vì Suy ( ) ( )3

( )H = C ∪ C

+ ( )C3 phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (x≥0) + ( )C4 phần đối xứng ( )C3 qua trục tung

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 - Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số:

Phương pháp:

Cho hàm số y f x y g x= ( ), = ( ) có đồ thị (C) (C’)

+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm (C) (C’): f x( )=g x( ) +) Giải phương trình tìm x từđó suy y tọa độgiao điểm

+) Số nghiệm (*) sốgiao điểm (C) (C’) 2 - Tương giao đồ thị hàm bậc

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồthị)

+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm dạng F x m( , )=0(phương trình ẩn x tham số m) +) Cơ lập m đưa phương trình dạng m f x= ( )

+) Lập BBT cho hàm số y f x= ( ) +) Dựa giả thiết BBT từđó suy m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên m độc lập với x Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm F x m( , )=0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x= là nghiệm phương trình +) Phân tích: ( , ) ( 0) ( ) ( )0 0

x x

F x m x x g x

g x = 

= ⇔ − = ⇔ 

=

 (là g x( )=0 là phương trình bậc ẩn x tham số m )

+) Dựa vào yêu cầu tốn xửlý phương trình bậc g x( )=0 Phương pháp 3: Cực trị

*) Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm *) Quy tắc:

+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm F x m( , )=0(1) Xét hàm số y F x m= ( , )

+) Để (1) có nghiệm đồ thị

( , )

y F x m= cắt trục hoành điểm (2TH)

- Hoặc hàm sốluôn đơn điệu R ⇔ hàm số khơng có cực trị ⇔ y' 0= vơ nghiệm có nghiệm kép

' y

⇔ ∆ ≤

(4)

( , )

y F x m= cắt trục hoành

điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực

đại, cực tiểu y ycd ct <0

( , )

y F x m= cắt trục hoành

điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực

đại, cực tiểu y ycd ct =0

Bài tốn: Tìm m đểđồthịhàm bậc cắt trục hoành điểm lập thành cấp sốcộng: 1 Định lí vi ét:

*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2+bx c+ =0 có nghiệm 1,

x x ta có: x x1+ = −ba,x x1 = ca *) Cho bậc 3: Cho phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 có nghiệm

1, ,2

x x x ta có: b, 2 3 c, d

x x x x x x x x x x x x

a a a

+ + = − + + = = −

2.Tính chất cấp sốcộng:

+) Cho số a b c, , theo thứ tựđó lập thành cấp số cộng thì: a c+ =2b 3 Phương pháp giải toán:

+) Điều kiện cần: nghiệm phương trình Từđó thay vào phương trình để tìm m

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm vào phương trình kiểm tra 3 - Tương giao hàm số phân thức

Phương pháp

Cho hàm số y ax b( )C cx d

+ =

+ đường thẳng d y px q: = + Phương trình hồnh độgiao điểm (C) (d):

( , ) ax b px q F x m cx d

+

= + ⇔ =

+ (phương trình bậc ẩn x tham số m) *) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt ⇔( )1 có nghiệm phân biệt khác d c −

2 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C) ⇔( )1 có nghiệm phân biệt 1,

x x thỏa mãn :− <d x xc <

3 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh trái (C) ⇔( )1 có nghiệm phân biệt 1,

x x thỏa mãn x1 <x2 < −dc 3b

x

(5)

4 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh (C) ⇔( )1 có nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1 < − <dc x2

5 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

+) Đoạn thẳng AB k= +) Tam giác ABC vng +) Tam giác ABC có diện tích S0

* Quy tắc:

+) Tìm điều kiện tồn A, B ⇔ (1) có nghiệm phân biệt

+) Xác định tọa độ A B (chú ý Vi ét)

+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từđó suy m

*) Chú ý: Công thức khoảng cách:

+) ( ) ( ) ( )2 ( )2

; , ; : B

A A B B B A A

A x y B x y AB= x −x + y −y

+) ( 0) ( ) 0

2

0

;

,

:

Ax By C

M x y d M

Ax By C A B

+ +



⇒ ∆ =

∆ + + =

+ 

4 - Tương giao hàm số bậc

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC TRÙNG PHƯƠNG: ax4+bx2+ =c 0 (1) 1 Nhẩm nghiệm:

- Nhẩm nghiệm: Giả sử x x= 0 nghiệm phương trình

- Khi ta phân tích: ( ) ( 2) ( ) ( ) 0

,

0

x x

f x m x x g x

g x = ± 

= − = ⇔ 

= 

- Dựa vào giả thiết xửlý phương trình bậc g x( )=0 2 Ẩn phụ - tam thức bậc 2:

- Đặt t x t= 2,( ≥0) Phương trình: at2+bt c+ =0 (2)

- Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm t t1 2, thỏa mãn: 2

0

t t

t t < = 

 = = 

- Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm t t1 2, thỏa mãn: 2 0

t t

t t < < 

 < = 

- Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm t t1 2, thỏa mãn: 0= <t t1 2 - Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm t t1 2, thỏa mãn: 0< <t t1 2

3 Bài tốn: Tìm m để(C): y ax= 4+bx2+c( )1 cắt (Ox) điểm có hồnh độlập thành cấp số cộng

- Đặt t x t= 2,( ≥0) Phương trình: at2+bt c+ =0 (2)

(6)

B – BÀI TẬP

DANG ĐỒ THỊ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai)Cho hàm số y ax b cx d + =

+ (c≠0 ad bc− ≠0) có đồ thịnhư

hình vẽ

Tìm khẳng định khẳng định sau:

A ad <0,ab>0 B bd >0,ad <0 C ad >0,ab<0 D ab<0,ad <0 Câu (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh)Cho hàm số y=(a−1)x4+(b+2)x2 + −c 1 có đồ thịnhư hình vẽ

bên

Mệnh đềnào đúng?

A a>1, b> −2, c>1 B a>1, b< −2, c>1 C a<1, b> −2, c>1 D a>1, b<2, c>1 Câu Cho đồ thị hàm số y ax bx c= 4+ 2+ hình vẽ bên Biết rằng AB BC CD= = , mệnh đề nào sau

đúng?

A a>0,b<0,c>0,100b2 =9ac B a>0,b>0,c>0,9b2 =100ac C a>0,b<0,c>0,9b2 =100ac D a>0,b>0,c>0,100b2 =9ac

Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai)Hình vẽbên đồ thị hàm số y ax bx c= + 2+ Giá trị của biểu thức M a b c= 2+ +2 2 có thể nhận giá trị giá trị sau

(7)

Câu (Chuyên Hưng Yên Lần 3)Cho y F x= ( )và y G x= ( )là hàm sốcó đồ thị cho hình

bên dưới, đặtP x( )=F x G x( ) ( ).Tính P' ( )

A 3

2 B 4 C 6 D

5

Câu (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019.)Cho Đồ thị hình bên

dưới hàm số có cơng thức

A B C D

Câu Cho Đồ thịhình bên hàm số có cơng thức

A B C D

Câu Cho Đồ thịhình bên hàm số có cơng thức ( ) ( )3

1 3

f x = x− − x+

( 1)

y= −f x+ − y= −f x( + +1 1) y= −f x( − −1 1) y= −f x( − +1 1) ( ) ( )2

1

f x = x− − x

( 1 1)

y= −f x + − y= −f x( 2+ +1 1) y f x= ( 2+ −1 1) y f x= ( 2+ +1 1)

( ) ( )

( )

2

x x

f x

x x

− − + − +

=

(8)

A B C D Câu (Chuyên Vinh Lần 3)Cho    3

1 3

f x  x  x Đồ thị hình bên hàm số có cơng thức A y f x  1 1 B y f x  1 1 C y f x  1 1 D y f x  1 1 Câu 10 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh)Cho hàm số bậc ba f x( )=x bx cx d3+ 2+ + Biết đồ thị của hàm số

( ) ′ =

y f x hình vẽ Giá trị c b

A

− B 3

4 C

1

3 D

3 −

Câu 11 Cho đồ thị ba hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ) vẽ mơ tảởhình Hỏi

đồ thị hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ) y f x= ′′( ) theo thứ tự, tương ứng với đường

cong nào?

A ( ) ( ) ( )C3 ; C2 ; C1 B ( ) ( ) ( )C2 ; C1 ; C3 C ( ) ( ) ( )C2 ; C3 ; C1 D ( ) ( ) ( )C1 ; C2 ; C3 Câu 12 Cho đồ thị ba hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ) vẽ mơ tảởhình Hỏi

cong nào?

( 1)

y= −f x+ − y f x= ( + +1 1) y f x= ( + −1 1) y= −f x( − +1 1)

x y

3

2

(9)

cong nào?

(10)

cong nào?

A a b c, , B b a c, , C a c b, , D b c a, ,

cong nào?

Câu 18 Cho đồ thị bốn hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ), y f= '''( )x vẽ mô tảở hình

dưới Hỏi đồ thị hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ) y f= '''( )x theo thứ tự, lần

lượt tương ứng với đường cong nào?

A c d b a, , , B d c b a, , , C d c a b, , , D d b c a, , ,

dưới Hỏi đồ thị hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ), y f= '''( )x theo thứ tự, lần

(11)

A B C D

Câu 20 Một vật chuyển động có đồ thị hàm quãng đường, hàm vật tốc hàm gia tốc theo thời gian

được mơ tảởhình Hỏi đồ thị hàm số theo thứ tựlà đường cong nào?

A B C D

Câu 21 Cho đồ thị ba hàm số , , vẽ mơ tảởhình Hỏi

đồ thị hàm số , theo thứ tự, tương ứng với đường

cong nào?

A B C D

Câu 22 Cho hàm số , , có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đềnào sau đúng?

A B

C D

Câu 23 Cho đồ thị hàm số hình bên Khẳng định sau đúng?

, , ,

c d b a d c a b, , , d c b a, , , d b c a, , , t

, ,

b c a c a b, , a c b, , c b a, ,

( )

y f x= y f x= ′( ) y f x= ′′( ) ( )

y f x= y f x= ′( ) y f x= ′′( )

( ) ( ) ( )C3 ; C2 ; C1 ( ) ( ) ( )C2 ; C1 ; C3 ( ) ( ) ( )C2 ; C3 ; C1 ( ) ( ) ( )C1 ; C3 ; C2

3 y f x= ( ) y g x= ( )= f x′( ) y h x= ( )=g x′( )

( ) ( )1 ( )1

g − > − >h f − h( )− >1 g( )− >1 f ( )−1 ( )1 ( )1 ( )1

h − > f − >g − f ( )− >1 g( ) ( )− > −1 h

f f '

O

x y

2 0,5 1,5 0,5

−

1

−

2

−

( )1

(12)

A B C D

Câu 25 Cho hàm số , , có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đềnào sau đúng?

A B C D

Câu 26 Một vật chuyển động có đồ thị hàm quãng đường , hàm vật tốc hàm gia tốc theo thời gian mơ tảởhình Khẳng định đúng?

A B

C D

( ) ( )

' ''

f − < f f ' 1( )− > f '' ( ) f ' 1( )− = f '' ( ) f '' 0( )≠ f '' ( )

f f '

( ) ( )

' ''

f − < f f ' 1( )− > f '' ( ) f ' 1( )− = f '' ( ) f ' '' ( )− = f ( )

3 y f x= ( ) y g x= ( )= f x′( ) y h x= ( )=g x′( )

( ) ( )1 ( )1

g >h > f h( )1 >g( )1 > f ( )1 h( )1 > f ( )1 >g( )1 f ( )1 >g( ) ( )1 >h  

s t v t   

a t t

     .

s π v π a π a     .π v π s π 

     .

s π a π v π  v π a π     . s π

 

s t v t   

(13)

A B C D DANG BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM DỰA VÀO ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN

Câu (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh)Cho hàm số y f x= ( )có bảng biến thiên hình vẽ

Khi phương trình f x( )+ =1 m có ba nghiệm thực phân biệt

A 1<m<2 B 1≤m≤2 C 0≤m≤1 D 0<m<1 Câu (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019)Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên đây:

Đểphương trình 2f x( − = −1) m có nghiệm phân biệt thuộc [ ]0;1 giá trị tham số m thuộc khoảng đây?

A (−∞ −; 3) B ( )1;6 C (6;+∞) D (−3;1) Câu Cho hàm số y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ + có bảng biến thiên sau:

Khi | ( ) |f x =m có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4

x <x <x < <x ( ) ( ) ( )4 4

s <v <a a( ) ( ) ( )4 <v <s s( ) ( ) ( )4 <a <v v( ) ( ) ( )4 <a <s

(14)

A 1

2< <m B

1 1

2≤ <m C 0< <m D 0< ≤m

Câu (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục [ ]1;3 có bảng biến thiên sau

Có giá trị nguyên m để phương trình ( 1) 2

4

m f x

x x

+ =

− + có nghiệm khoảng ( )1;2

A 10 B C D

Câu (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên hình vẽ bên:

Có sốngun dương m đểphương trình f (2sinx+ =1) f m( ) có nghiệm thực?

A B C D

Câu (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số có đạo hàm Bảng biến thiên hàm số hình

Tìm để bất phương trình nghiệm với

A B C D

Câu (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x= ( ) thỏa mãn ( )0

f < có bảng biến

thiên sau:

( )

y f x= 

( ) ' y f x=

m m+2sinx f x≤ ( ) x∈(0;+∞)

(0)

m f≥ m f≤ (1) 2sin1− m f≤ (0) m f≥ (1) 2sin1−

( )

y f x= 

( ) ' y f x=

m ( )

3

m x+ ≤ f x + x x∈( )0;3

(0)

m f< m f≤ (0) m f≤ (3) (1)

(15)

Giá trị lớn tham số m đểphương trình e2f x3( )−132f x2( )+7f x( )−12 =m có nghiệm đoạn [ ]0;2

A e2 B e1513 C e4 D e3

Câu (Đặng Thành Nam Đề 17)Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên hình vẽ sau

Phương trình f ( )2sinx =3 có nghiệm đoạn 0;5 .

π

 

 

 

A 3 B 2 C 4 D 5

BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bản chất toán: Bài toán cho giải phương trình hay bất phương trình phương pháp tương

giao hai đồ thị y g x= ( ) y h m= ( )

- Đồ thị hàm số y h m= ( ) chất đường thẳng song song trùng với trục Ox qua điểm

có tung độ có giá trị h m( )

- Đồ thị hàm số y g x= ( ) xác định tính chất dựa vào kiện cho hàm số y f x= ( ) ban đầu; hàm số y f x= ( ) cho cơng thức, đồ thị, hàm đạo hàm nó, đồ thị đạo hàm Vì phần kiến thức tương đối rộng nên xin chỉkhai thác ởmột góc độnào tốn. Khó khăn đối với học sinh:

-Từđồ thị hàm số y f x= ( ) suy đồ thị hàm số y g x= ( )

-Trong trường hợp không thểdùng đồ thị hàm số học sinh khó khăn việc kiểm soát đặc điểm hàm số y g x= ( ) hàm số y g x= ( ) có chứa biểu thức hàm hợp phức tạp hàm y f x= ( )

-Phần lớn học sinh chưa phân biệt kiến thức: “Số nghiệm phương trình sốgiao điểm đồ thị hai hàm số” “Nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm”

Giải pháp:

-Sử dụng số phép biến đổi đồ thịcơ

(16)

Kiểu 2: Sử dụng cách đặt ẩn phụđưa hàm số theo ẩn có chứa y f t= ( )

Sau xin đưa lớp toán sưu tầm theo mức độđểgiúp học sinh có cách nhìn dễ dàng thi trắc nghiệm:

Câu 10 (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho ( )P y: = −x2 và đồ thị hàm số y ax bx= 3+ 2+cx−2 như hình vẽ

Tính giá trị biểu thứcP a b c= −3 5−

A 3 B −7 C 9 D −1

Câu 11 (Hàm Rồng)Cho hàm số y f x= ( )=ax bx3+ 2+cx d+ có đạo hàm hàm số y f x= ′( ) với đồ thịnhư hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y f x= ( ) tiếp xúc với trục hoành điểm có hồnh

(17)

A B C −4 D Câu 12 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽdưới

Khi đó, phương trình ( 2)

f x− = − có nghiệm?

A 2 B 0 C 6 D 4

Câu 13 Cho hàm số thoảđiều kiện Số nghiệm lớn có phương trình ,

A B . C . D .

Câu 14 (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục

đoạn [−2; 2] có đồ thịlà đường cong hình vẽ

Hỏi phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2; 2]?

A 4 B 5 C 3 D 6

Câu 15 (CổLoa Hà Nội)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Hỏi

phương trình f (2− f x( ))=1 có tất nghiệm thực phân biệt?

( )

y f x= =ax +bx +c ( 2 0)

4

ab

ac b ac

< 

 − > 

( )

f x =m m∈

(18)

A 5 B 6 C 3 D 4 Câu 16 Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình sau:

Số nghiệm phương trình ( )( )

f x f x −

=

+ là:

A 2 B 4 C 3 D 1

Câu 17 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình v

Gọi m số nghiệm phương trình f f x( ( ))=1 Khẳng định sau đúng?

A m=7 B m=5 C m=9 D m=6

(19)

Số nghiệm thực phương trình f x2( )− =1 0

A 7 B 4 C 3 D 8

Câu 43.Cho hàm số f x( )=x3−3x2+2có đồ thị là đường cong hình bên Hỏi phương trình ( 3 2 ) (3 3 2 )2

3 3 2

x − x + − x − x + + = có nghiệm thực dương phân biệt?

A B C D

Câu 19 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số y=4x3−6x2+1 có đồ thị là đường

cong hình

Khi phương trình 4 4( x3−6x2+1) (3−6 4x3−6x2+1)2+ =1 0 có nghiệm thực

A 9 B 6 C 7 D 3

Câu 20 Cho hàm số f x( )=x4−4x2+3 có đồ thị là đường cong hình bên Hỏi phương trình ( 4 2 )4 ( 4 2 )2

4 4 3

(20)

A 0 B 9 C 8 D 4

Câu 21 (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số ( ) 2 3 1

f x = − x + x − x+ Khi

đó phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm thực?

A 9 B 6 C 5 D 4

Câu 22 (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm  có đồ thịlà đường cong hình vẽdưới đây:

Đặt g x( )= f f x( ( )) Số nghiệm phương trình g x′( )=0

A 6 B 5 C 8 D 7

Câu 23 (Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịlà đường cong

trơn (khơng bịgãy khúc), hình vẽ bên Gọi hàm g x( )= f f x ( ) Hỏi phương trình g x′( )=0 có nghiệm phân biệt?

A 10 B 12 C 8 D 14

Câu 24 (Đặng Thành Nam Đề 9)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục R có đồ thịnhư hình vẽ bên Số

nghiệm thực phân biệt phương trình f f x( ( ))= f x( )

x y

3

- 3

2 1

-1

3

(21)

A 7 B 3 C 6 D 9

Câu 25 (Đặng Thành Nam Đề 5)Cho hàm số f x( )=ax bx cx d a b c d3+ 2+ + ( , , , ∈) có đồ thịnhư hình vẽ bên

Phương trình f f f f x( ( ( ( ))))=0 có tất nghiệm thực phân biệt?

A 12 B 40 C 41 D 16

Câu 26 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2019 LẦN 3)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Số nghiệm thực phương trình f f x( ( )) − f x( ) =0

A 20 B 24 C 10 D 4

Câu 27 (Đặng Thành Nam Đề 5)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Số

(22)

A 3 B 2 C 6 D 4

Câu 28 (Đặng Thành Nam Đề 3)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Số

nghiệm thực phân biệt phương trình f f x( ( ))=0

A 7 B 3 C 5 D 9

Câu 29 (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình

đây

Số nghiệm phân biệt phương trình f f x( ( ))+ =1

A 9 B 8 C 10 D 7

Câu 30 (Hải Hậu Lần1)Cho hàm sốy f x= ( ) xác định \ 0{ } có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f (3 2− x) −10 0=

A B C D

(23)

Tìm sốgiao điểm đồ thị hàm số y g x= ( )= f x′( ) −2 f x f x( ) ( ) ′′ trục Ox

A 6 B 2 C 4 D 0

Câu 32 (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng

2

y= m− cắt đồ thị hàm số y x= 3−3 x +1 điểm phân biệt

A 0≤ ≤m B m≥1 C 0< <m D m<0

Câu 33 (Đặng Thành Nam Đề 14)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục R, f(2) 3= có đồ thịnhư hình

vẽ bên

A 2 B 18. C 4 D 19.

Câu 34 (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019)Cho hàm số f x( )=x3−3x2 Tính tổng tất cả giá trị nguyên của

m đểđồ thị hàm số g x( )= f x( )+m cắt trục hoành điểm phân biệt

A B 10 C D

Câu 35 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số ( )C y x: = 3−6x2+9x và đường thẳng

:

d y= m m− Tìm số giá trị tham số thực m đểđường thẳng d đồ thị ( )C có hai điểm chung

A 4 B 3 C 2 D Vơ số

Câu 36 (HKII-CHUN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI)Tìm m đểphương trình

2

5 log

x − x + = m có nghiệm phân biệt:

A 0<m< 29 B −4 29 <m<4 29 C Không có giá trị m D 1<m<4 29

Câu 37 (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số m đểphương trình f f x m ( )+ =0 có nghiệm phân biệt

A 1. B 2 C 3 D 4

(24)

A −10 B −8 C −6 D −5

Câu 39 (Đặng Thành Nam Đề 2)Cho hàm số f x( ) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Có số ngun m để phương trình f(sin )x m= có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn

[ ]0;π

A 5 B 4 C 3 D 2

Câu 40 (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên

Số giá trị nguyên tham số m đểphương trình f x m( + )=m có nghiệm thực phân biệt

A 1 B 3 C 2 D 4

Câu 41 (Chuyên Lam Sơn Lần 2)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục R có đồ thịnhư hình bên Phương

trình f f x( ( )− =1 0) có tất nghiệm thực phân biệt?

A B C D

Câu 42 (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3)Cho hàm số y f x= ( )=x3−3 1x+ Số nghiệm của phương trình ( ) ( )

3

f x f x

  − + =

  là:

A B C D

Câu 43 (Đặng Thành Nam Đề 15)Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽdưới

Tập hợp tất giá trị thực tham số m đểphương trình f (1 2cos− x m)+ =0 có nghiệm thuộc khoảng ;

2 π π

− 

 

(25)

A [−4;0] B [−4;0) C [0;4 ) D ( )0;4

Câu 44 (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có bảng biến thiên

hình

Số số ngun m thỏa mãn phương trình f(3sinx+4cosx+5)=m có nghiệm

A 10001 B 20000 C 20001 D 10000

Câu 45 (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình f (cosx)= −2m+1 có

nghiệm thuộc khoảng 0; π

 

 

 

A (−1;1] B ( )0;1 C (−1;1) D (0;1 ]

Câu 46 (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019)Cho hàm số y f x  liên tục R có đồ thị hình vẽ

bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f 2sinx 1 m có nghiệm thuộc nửa khoảng 0;

6



   

 

 là:

A 2;0 B  0;2 C 2;2 D 2;0

Câu 47 (THPT ISCHOOL NHA TRANG)Cho hàm số f x( ) xác định  có đồ thịnhư hình vẽ Có giá trị nguyên m đểphương trình f 4 sin( 4x+cos4x)=m

  có nghiệm?

1

y

x

3

1

(26)

A B C D Câu 48 (Cụm trường chuyên lần1)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Số giá trịngun dương m đểphương trình f x( 2−4x 1+ + =) m có nghiệm

A 3 B 4 C 0 D Vô số

Câu 49 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019)Cho hàm số f x( ) có đồ thịnhư hình

vẽ

Số nghiệm thuộc đoạn ;5 6 π π

− 

 

  phương trình f (2sinx+2 1)=

A 1 B 3 C 2 D 0

(27)

Tập hợp tất giá trị thực tham số mđể bất phương trình f ( 4−x2)=m có nghiệm thuộc nửa khoảng − ; 3)

A (−1;3] B (−1;f ( )2  C [−1;3] D −1;f ( )2  Câu 51 (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số

( ) ( 0)

y f x= =ax bx cx d a+ + + ≠ có đồ thịnhư hình vẽ:

Phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm thực?

A 3 B 7 C 9 D 5

Câu 52 (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1)Cho hàm số y x= 4−2x2−3 có đồ thịnhư hình vẽbên dưới Với giá trị tham số mthì phương trình x4−2x2− =3 2m−4 có hai nghiệm phân biệt?

A

2

m≤ B 01

2 m m

<    = 

C 0

2 m

< < D 01 m m

=    > 

Câu 53 (TTHT Lần 4) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2;2], có đồ thịlà đường cong

trong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

(28)

Câu 54 (TTHT Lần 4)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2;2], có đồ thịlà đường cong

trong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )= −1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

trong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

trong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )− = −1 x có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

Câu 57 (Đặng Thành Nam Đề 17)Cho hàm số f x( )=ax3 +bx2 +cx d+ với a b c d, , , số thực, có

đồ thịnhư hình bên Có giá trị nguyên tham số m đểphương trình f x m( − + =1) m có nghiệm phân biệt

A B Vô số C D

Câu 58 (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị hình vẽ

(29)

Có giá trị nguyên m đểphương trình f x(  1) m có nghiệm phân biệt ?

A 2 B 1 C 3 D 4

Câu 59.Tìm tất giá trị thực kđểphương trình 2 3 3 1

2 2k

x x x

− − + + = − có nghiệm phân biệt

A 19 ;5

k∈ 

  B k∈∅

C ( 2; 1) 1;19

k∈ − − ∪  

  D

3 19

2; ;6

4

k∈ − −   ∪ 

   

Câu 60.Hình bên đồ thị hàm số y=2x3−3x2 Sử dụng đồ thịđã cho tìm tất cả giá trị thực của tham số m đểphương trình 2( 2 ) ( 2 )3

16 x −12x x + =1 m x +1 có nghiệm

x y

1 -1

2

A Với m B − ≤ ≤1 m C − ≤ ≤1 m 0. D 1≤ ≤m 4. Câu 61 (Thanh Chương Nghệ An Lần 2)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

x y

2 14

-1

3

-13 O

(30)

Tổng giá trị nguyên mđểphương trình f f x( ( )+ =1) m có nghiệm phân biệt

A 15 B 1 C 13 D 11

Câu 62 (Đặng Thành Nam Đề 17)Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Có số ngun m đểphương trình f f x( ( +1))=m có nghiệm thực phân biệt?

A 2 B 3 C 5 D 4

Câu 63 (Đặng Thành Nam Đề 10)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽbên

Có số ngun mđểphương trình f f x m( ( )− )=0 có tất nghiệm thực phân biệt?

A B 0 C 3 D 2

Câu 64 (Đặng Thành Nam Đề 3)Cho hai hàm số y f x= ( ) y g x= ( )là hàm xác định liên tục  có đồ thịnhư hình vẽbên (trong đường cong đậm đồ thị hàm số y f x= ( ) ) Có số ngun m đểphương trình f (1−g x(2 1)− )=m có nghiệm thuộc đoạn 1;5

2

− 

 

 

(31)

A 8 B 3 C 6 D 4

Câu 65 (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số có đồ thịnhư hình vẽ bên Có số ngun

đểphương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ?

A B C D

Câu 66 (Đặng Thành Nam Đề 10)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình bên

Có số ngun m đểphương trình f x x( ( −3)2)=m có nghiệm thực thuộc đoạn [ ]0; ?

A 3 B 2 C 5 D 4

Câu 67 (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình)Cho f x( )=x3−3x2+1 Có bao nhiêu giá trị nguyên m đểphương trình 2019.f f x( ( ))=m có nghiệm phân biệt?

A 4037 B 8076 C 8078 D 0

Câu 68 (ĐH Vinh Lần 1)(Phát triển từđềthi đại học 2018) Cho hàm số có đạo hàm

Đồ thị hàm số hình ( )

y f x= m

( 3 )

f x − x =m [−1;2]

3

( )

y f x= 

(32)

A B C D

Câu 69 (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số có đạo hàm Đồ thị hàm số hình

vẽbên

A B C D

Câu 70 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm sốy f x mx4nx3 px2qx r ,

, , , ,

m n p q r Biết hàm số y f x  có đồ thịnhư hình bên Số nghiệm phương

trình f x 16m8n4p2q r

A B C D

Câu 71 (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị hình vẽ

Có tất giá trịnguyên dương mđểphương trình 3f x( )=m 9−x2 có nghiệm

m m x+ 2+ ≥4 2(f x( + −1 2) x) x∈ −[ 4;2]

2 (0)

m≥ f − m≥2 ( 3) 4f − − m≥2 (3) 16f − m≥2 (1) 4f −

( )

y f x=  y f x= '( )

m m x− ≤2f x( + +2 4) x+3 x∈ − +∞( 3; ) (0)

(33)

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 72 (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên)Cho hàm số f x( ) xác định liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ Có giá trị ngun m đểphương trình 2 3 9f ( − − x2+30x−21)= −m 2019 có nghiệm

A 15 B 14 C 10 D 13

Câu 73 (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số mđể phương trình

(3 6 9 2) 1 0

f − x− x + +m = có nghiệm

A 6 B 4 C 5 D 7

Câu 74 (CổLoa Hà Nội)Cho hàm số y f x= ( ) xác định liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số m đểphương trình f ( 408− +x 392+ −x 34)=m có

(34)

A B 2 C 3 D 4 Câu 75 (Sở Thanh Hóa 2019)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ

Có giá trị ngun tham số m đểphương trình f ( cosf ( x))=m có nghiệm ;

x∈π π  

A 4 B 3 C 2 D 5

Câu 76 (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019)Chohàm số y f x= ( ) xác định liên tục

trên R có đồ thịnhư hình vẽ

Có giá trị ngun tham số m đểphương trình 3f ( − + cosx)=3m−7 có hai nghiệm phân biệt thuộc ;

2 π π

−

 

 

 ?

A B C D

Câu 77 (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số có đồ thịnhư hình vẽ

y

x

7

-3

7 -3

2 -5

-6

-2

6

O

(35)

Có số ngun đểphương trình có nghiệm thuộc đoạn ?

A 11 B C D 10

Câu 78 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho hàm số có đồ thịnhư hình bên Có số nguyên m

để bất phương trình nghiệm với ?

A B C D

Câu 79 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ Tập hợp tất giá trị m đểphương trình 22

1 x

f f m

x

   =

 

  + 

  có nghiệm

A [−1;2] B [ ]0;2 C [ ]−1;1 D [−2;2]

Câu 80 (Thị Xã Quảng Trị)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Tìm giá trị tham số m đểphương trình

( ) ( )

3

2

2 1

m m f x

f x +

= +

+ có ba nghiệm thực phân biệt

A m= B m= 26 C m= 10 D m=1

m 1

3

x

f  + + = x m

  [−2;2]

(x)

y f=

(mx m+ 5−x2 +2m+1 ( ) 0)f x ≥ x∈ −[ 2;2]

(36)

Câu 81 (Yên Phong 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ Có giá trị tham số m đểphương trình sau có nghiệm phân biệt

( ) ( )

3

2

4 3

2

m m f x

f x +

= +

+

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 82 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho hàm số có đồ thịnhư hình bên Có số ngun m

để hàm số có tập xác định

A B C D

Câu 83 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho hàm số có đồ thịnhư hình bên tập số nguyên m

để bất phương trình nghiệm với

mọi Tổng phần tử

A B C D

Câu 84 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ (x)

y f=

2

4 2 1 ( )

1

x

y mx m m m f x

x

 − 

=  + + + + 

+ −

  [ 2;2]−

1

(x)

y f= S

(m3 2x2−2x+ −4 mx+2m+3)(f x( ) 2019+ f2019( )x )≥0

[ 2;2019)

x∈ − S

1

6

− O

y

(37)

Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình (2sin )

2

m f x =  f  

  có 12

nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π;2 ] Tính tổng tất phần tử A

A B C D

Câu 85 (Sở Quảng NamT)Cho hai hàm đa thức y f x y g x= ( ), = ( ) có đồ thị hai đường cong hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y f x= ( ) có điểm cực trị B, đồ thị hàm số y g x= ( )

có điểm cực trị A

AB= Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng

(−5;5) để hàm số y= f x( )−g x( )+m có điểm cực trị ?

A B 3 C 4 D 6

Câu 86 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)Cho hàm số y f x= ( ) hàm đa thức với hệ số

(38)

Tập giá trị tham số m để phương trình f x( )=mex có hai nghiệm phân biệt [ ]0;2 nửa khoảng [ )a b; Tổng a b+ gần với giá trịnào sau đây?

A −0.81 B −0.54 C −0.27 D 0.27

Câu 87 (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị tham số mđểphương trình f (3− 4−x2)=m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn − 2; 3 Tìm tập S

A S = −( 1; f (3− 2) B S =(f (3− ;3) 

C S = ∅ D S= −[ 1;3]

Câu 88 (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hàm số y f x= ( )xác định, liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình

( 2)

2 9f − x− x = −m có nghiệm

A 13 B 12 C 8 D 10

Câu 89 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019)Cho hàm số y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ + (với a b c d, , , ∈,a>0 ) Biết đồ thị hàm số y f x= ( ) có điểm cực đại A( )0;1 điểm cực tiểu B(2; 3− ) Hỏi tập nghiệm phương trình f x3( )+ f x( )−23 f x( )=0 có phần tử?

A 2019 B 2018 C 9 D 8

(39)

A m∈ −{ 3;1} B m∈ −( 3;1) C m∈ −[ 3;1) D m∈ −( 3;1]

Câu 91 (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019)Cho hàm số f x( ) liên tục  Hàm số y f x= ′( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Bất phương trình f (2sinx)−2sin2x m< đúng với mọi x∈(0;π) chỉ A ( )1

2

m f> − B ( )1

m f≥ − C ( )0

2

m f≥ − D ( )0

2 m f> − Câu 92 (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị

như hình vẽ bên Biết f x′( )>0 với x∈ −∞ − ∪( ; 3) (2;+ ∞) Số nghiệm nguyên thuộc khoảng (−10;10) bất phương trình f x( )+ −x 1(x2− −x 6)>0

 

A 9 B 10 C 8 D 7

Câu 93 (THPT Nghèn Lần1)Tìm tất giá trị thực tham số m để hệphương trình sau có nghiệm

( )( )

2

4

2

x x y m

x xy x

 + + =



 + + =



A m≥6 B − ≤ ≤10 m C m≤ −10 D m≤ −10

6 m≥

Câu 94.Gọi ( )H hình phẳng giới hạn parabol ( )P y: =8x x− 2 trục hoành Các đường thẳng

, ,

y a y b y c= = = với 0< < < <a b c 16 chia ( )H thành bốn phần có diện tích Giá trị

của biểu thức (16−a) (3+ 16−b) (3+ 16−c)3 bằng:

(40)

DANG SỰ TƯƠNG GIAO BẰNG SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẬC BA

Câu 1: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Biết hai đồ thị hàm số

3 2

y x= +x − y= − +x2 x cắt tại ba điểm phân biệtA B C, , Khi đó, diện tích tam giác ABC

A B C D

Câu 2: Biết đồ thị hàm số y P x= ( )=x3−2x2−5x+2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần

lượt có hồnh độ x x x1, ,2 Khi giá trị biểu thức

2 2

1 3

1 1

4 4

T

x x x x x x

= + +

− + − + − +

A ' 1( )( ) ' 3( )( )

2

P P

T

P P

 

= − + 

  B

( )

( ) ( )( ) ' '

2

P P T P P   = − −   

C ' 1( )( ) ' 3( )( )

2

P P

T

P P

 

=  − 

  D

( )

( ) ( )( ) ' '

2

P P T P P   =  +   

Câu 3: Biết đồ thị hàm số f x( )=a x bx cx d3+ 2+ + cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần

lượt x x x1, , 2 3 Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( )

1

1 1

' ' '

T

f x f x f x

= + +

A

3

T = B T =3 C T =1 D T =0

Câu 4: Cho hàm số f x( )=x3−3x2+2 có đồ thịlà đường cong hình bên

Hỏi phương trình(x3−3x2+2) (3−3 x3−3x2+2)2+ =2 0 có nghiệm thực phân biệt?

A 6. B 5. C 7. D 9.

Câu 5: Cho hàm số y x= 3−2009x có đồ thị ( )C

M điểm ( )C có hồnh độ x1=1 Tiếp tuyến ( )C M1 cắt ( )C điểm M2 khác M1, tiếp tuyến ( )C M2 cắt ( )C điểmM3 khác M2, …, tiếp tuyến ( )C Mn−1 cắt ( )C Mn khác Mn−1 (n=4;5; ), gọi (x yn; n) tọa độđiểm Mn Tìm n để: 2009xn+yn+22013 =0

A n=685 B n=679 C n=672 D n=675

Câu 6: Cho hàm số f x( )=x3−6x2 +9x Đặt f xk( )= f f( k−1( )x ) với k số nguyên lớn 1 Hỏi

phương trình f x5( )=0 có tất cả nghiệm phân biệt ?

A 363 B 122 C 120. D 365

Câu 7: Cho hàm số f x( )=x3−6x2+9x Đặt f xk( )= f f( k−1( )x ) với k số nguyên lớn 1 Hỏi

phương trình f x6( )=0 có tất cả nghiệm phân biệt.

A 1092. B 363 C 365 D 1094.

Câu 8: Cho hàm số có đồ thị (C), với m tham số Giả sửđồ thị (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn

Khẳng định sau đúng?

3 6 9

y x= − x + x m+

1 3.

x x< < x

O x

y

2

−

1+ 1−

(41)

A B

C D

Câu 9: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số 3 9 ( ) m

y x= − x − x m C+ cắt trục hoành điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng

A m=11 B m=10 C m=9 D m=8

Câu 10: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho đồ thị hàm số

3

2

y= x + mx − −m (m tham số) cắt trục hoành điểm giá trị m A m=0 B − < <6 m 2 C 0≤ <m 2 D − < ≤6 m

Câu 11: Đường thẳng d y x: = +4 cắt đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+(m+3)x+4 điểm phân biệt ( )0;4 ,

A B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M( )1;3 Tìm tất giá trị

m thỏa mãn yêu cầu toán

A m=2 m=3 B m= −2 m=3

C m=3 D m= −2 m= −3

Câu 12: Cho hàm số y x= 3−3x2+ −x 1 có đồ thị ( )C . Có giá trị của tham số m đểđường thẳng y=(m−2)x+3 tạo với đồ thị ( )C có hai phần diện tích khép kín nhau?

A 0 B 1. C 2 D 3

Câu 13: Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + (m tham số) có đồ thị (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích

A 37

2

m= ± B 137

2

m= ± C

2

m= ± D 142

2

m= ±

Câu 14: Đường thẳng d y x: = +4 cắt đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+(m+3)x+4 tại điểm phân biệt ( )0;4 ,

A B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M( )1;3 Tìm tất giá trị

A m=2 m=3 B m= −2 m=3

C m=3 D m= −2 m= −3

Câu 15: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số 2 ( )

3 m

y= x mx− − + +x m C cắt trục hoành điểm phân biệt x x x1; ;2 3 thỏa mãn điều kiện 2

1 15

x +x +x >

A

4 m m < −   >  B 1 m m < −   >  C m m < −   >

 D

0 m m <   >  Câu 16: (Ba Đình Lần2)Cho hàm số y x= 3+3mx m2 − có đồ thị ( )

m

C đường thẳng d y m x: = +2m3 Biết m m m m1, 2( 1 > 2) hai giá trị thực m đểđường thẳng d cắt đồ thị ( )Cm

điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn 4

1 83

x +x +x = Phát biểu sau

đúng về quan hệ hai giá trị m m1, 2 ?

A m m1+ =0 B m12 +2m2 >4 C m22+2m1>4 D m m1− =0

Câu 17: Cho hàm số có đồ thị Giá trị cắt trục hồnh điểm phân biệt cho

A B C D

1

1< <x x < <3 x <4 0< < <x1 x2 < <3 x3<4

1 3

x < < <x < <x < 1< < <x1 x2< <4 x3

( )

3 2 1

y x= − x + −m x m+ ( )C m ( )C

1, ,2

x x x 2

1

x +x +x <

1

m< − < <  ≠  1 m m

− < <1

4 m < <

(42)

Câu 18: Cho hàm số y x= 3−3mx2+(3m−1)x+6m có đồ thị là( )C Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để ( )C cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn điều kiện

2 2

1 3 20

x +x +x +x x x =

A 5

3

m= ± B 22

3

m= ± C

3

m= ± D 33

3

m= ± Câu 19: Cho số thực a b c, , thỏa mãn

8

a b c

− + − + > 

 + + + <

 Số giao điểm đồ thị hàm số

3

y x ax bx c= + + + trục Ox

A 0 B C 2 D 3

Câu 20: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)Tất giá trị tham số m đểđồ

thị hàm số ( )C y: = −2x3+3x2+2m−1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

A 0

2

m

≤ ≤ B 0

2

m

< < C 1

4≤ <m D

1

2 m

− < <

Câu 21: Biết đường thẳng y=(3m−1)x+6m+3 cắt đồ thị hàm số y x= 3−3x2+1 tại ba điểm phân biệt cho giao điểm cách hai giao điểm cịn lại Khi mthuộc khoảng đây?

A ( 1;0)− B (0;1) C (1; )3

2 D

3 ( ;2)

2 Câu 22: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho hàm số f x( )=x3+3x2+mx+1. Gọi

S tổng tất giá trị tham số m đểđồ thị hàm số y f x= ( ) cắt đường thẳng y=1 ba điểm phân biệt A( )0;1 , B,

C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x= ( ) B, C vng góc với Gía trị S

A 9

2 B 9 C 9 D 11.5

Câu 23: (Đặng Thành Nam Đề 9)Có số thực m đểđường thẳng y= − +x m cắt đồ thị hàm số

3

1 (2 ) 3(2 3)

3

= + − + − +

y x m x m x m ba điểm phân biệt A m(0; ), B,C cho đường thẳng OA phân giác góc BOC ?

A 1 B 3 C 2 D 0

Câu 24: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f x( )=x3−3 1x+ Tìm số nghiệm của phương trình ( )

( )

f f x =

A 5 B 9 C 4 D 7

Câu 25: (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f x( )=x3−3x2−6x+1 Phương trình ( ( ) 1) ( )

f f x + + = f x + có số nghiệm thực

A B C D

Câu 26: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI)Cho hàm số 2 ( 3) 4( ) m y x= + mx + m+ x+ C Giá trị tham số m để đường thẳng ( )d y x: = +4 cắt ( )Cm ba điểm phân biệt

( )0;4 , ,

A B C cho tam giác KBC có diện tích với điểm K( )1;3 là:

A 137

2

m= + B 137

2

m= ± + C 137

2

m= ± D 137

2

m= −

Câu 27: (Cụm trường chuyên lần1) Tính tổng Stất giá trị tham sốmđể đồ thị hàm số

3 2

( ) 3

f x x= − mx + mx m+ − m tiếp xúc với trục hoành

A S =0 B S =1 C

3

S= D

3

(43)

Câu 28: (Đặng Thành Nam Đề 15)Có số thực m đểđường thẳng y=(m−6)x−4 cắt đồ thị

hàm số y x= 3+x2−3 1x− tại ba điểm phân biệt có tung độ

y , y2, y3 thỏa mãn

1

1 1

4 4

y + + y + + y + =

A 2 B 0 C 3 D 1

Câu 29: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019)Cho hai hàm số y x= 2+ −x 1 y x= 3+2x2+mx−3 Giá trị tham số m đểđồ thị hai hàm số có giao điểm phân biệt giao điểm

nằm đường trịn bán kính thuộc vào khoảng đây?

A (−∞ −; 4) B (− −4; 2) C (0;+ ∞) D (−2;0)

Câu 30: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho đồ thị ( )C hàm số

( )

3 2 2 2

y x= − mx + m + −m x m+ parabol ( )P y x: = 2− −x 1 cắt tại ba điểm phân biệt

, ,

D E F Tổng giá trị m để đường tròn qua ba điểm D E F, , qua điểm

0;

G −   

A 4

3 B −1 C

4

− D 1

Câu 31: (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2019 LẦN 3)Có tất giá trị nguyên tham số

m thuộc khoảng (−3 ;3π π) đểđồ thị hàm số y=2 x3−3(m+1)x2+6m x m+ 2−3

cắt trục hoành điểm phân biệt

A 8 B 9 C 6 D 7

Câu 32: Cho hàm số y f x ax bx cx d= ( )= 3+ 2+ + có bảng biến thiên sau:

Khi | ( ) |f x =m có bốn nghiệm phân biệt x1<x2 <x3< <21 x4 A 0<m≤1 B 1

2≤ <m C

1 1

2 < <m D 0<m<1 HÀM BẬC BỐN

Câu 33: Gọi (Cm) độ hàm số y x= −2x m2− +2017 Tìm m để (Cm) có điểm chung phân biệt với trục hồnh, ta có kết quả:

A m=2017 B 2016< <m 2017 C m≥2017 D m≤2017

Câu 34: (Chuyên Hưng Yên Lần 3)Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x= 4−2x2 tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ 0, 1, m n Tính S m n= 2+ 2

A S =0 B S =1 C S =2 D S =3

Câu 35: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019)Tìm m đểđồ thị hàm số y x= 4−2mx2+m2−1 cắt trục hoành điểm phân biệt

A m>1 B − ≤1 m≤1 C m≤ −1 D

1 m m

≤ −   ≥

(44)

Câu 36: Cho hàm số y x mx= 4− 2+m (m tham số) có đồ thị ( )C Biết rằng đồ thị ( )C cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x x x x1, , ,2 3 4 thỏa mãn 14 34 44

2 30

x +x +x +x = m m= 0 Hỏi mệnh đềnào sau đúng?

A 4<m0 ≤7 B 0<m0 <4 C m0 >7 D m0≤ −2

Câu 37: Cho hàm số y x mx= 4− 2+m (m tham số) có đồ thị ( )C Biết rằng đồ thị ( )C cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x x x x1, , ,2 3 4 thỏa mãn 14 34 44

2 30

x +x +x +x = m m= 0 Hỏi mệnh đềnào sau đúng?

A 4<m0 ≤7 B 0<m0 <4 C m0 >7 D m0≤ −2

Câu 38: Gọi mlà số thực dương cho đường thẳng y m= +1cắt đồ thị hàm số y x= 4−3x2−2 tại hai

điểm A B, thỏa mãn tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?

A 9;

m∈ 

  B

1 3;

m∈ 

  C

3 5; 4

m∈ 

  D

5 7; 4

m∈   

Câu 39: (THTT lần5)Cho hàm sốy x= 4−2x2có đồ thị ( )C , có đường thẳng d có

điểm chung với đồ thị ( )C điểm chung có hồnh độx x x1, ,2 3thỏa mãnx13+x23+x33 = −1

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 40: Gọi (Cm) độ hàm số y x= −2x m2− +2017 Tìm m để (Cm) có điểm chung phân biệt với trục hồnh, ta có kết quả:

A m=2017 B 2016< <m 2017 C m≥2017 D m≤2017

điểm A B, thỏa mãn tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?

A 9;

m∈ 

  B

1 3;

m∈ 

  C

3 5; 4

m∈ 

  D

5 7; 4

m∈   

Câu 42: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019)Gọi m số thực dương cho đường thẳng y m= +1 cắt đồ thị hàm số y x= 4−3x2−2 tại hai điểm phân biệt M N, thỏa mãn tam giác OMN vuông O (O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?

A 11 15; 4

m∈ 

  B

1 3;

m∈ 

  C

7 9; 4

m∈ 

  D

3 5; 4

m∈   

Câu 43: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2)Cho phương trình (x2−3x m+ )2+x2−8x+2m=0 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−20;20] đểphương trình cho có nghiệm phân biệt?

A 19 B 18 C 17 D 20

HÀM PHÂN THỨC

Câu 44: Tìm tất giá trị thực tham sốm cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y H x + =

− đường thẳng

:

d y x m x m= + + giao hai điểm phân biệt A, B cho AB=

A m=4 B m=3 C m=0 D 10

2 m m =   = − 

Câu 45: Tìm tất giá trị thực đểđường thẳng cắt đồ thị hàm số

hai điểm phân biệt cho

A B C D

m y x m= + −1

1 x y x + = + ,

A B AB=2

4 10

(45)

Câu 46: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hàm số 1 x y x + =

+ có đồ thị (C) Gọi S tập tất giá trị tham số m đểđường thẳng d y x m: = + −1 cắt đồ thị (C) hai

điểm phân biệt A, B cho AB=2 Tính tổng bình phương phần tử S

A 38 B 52 C 28 D 14

Câu 47: Tìm tất giá trị thực tham sốm cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y H x + =

:

d y x m x m= + + giao hai điểm phân biệt A, B thuộc nhánh khác Xác định m

đểđoạn AB có độ dài ngắn

A m=5 B m= −3. C m=0 D m= −1

Câu 48: (Chuyên Bắc Giang)Tìm giá trị thực tham số m đểđường thẳng d y x m: = − +2 cắt đồ thị

hàm số ( )

1

x

y C

x =

− hai điểm phân biệt A B cho độ dài AB ngắn

A m= −3 B m=3 C m= −1 D m=1

Câu 49: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số ( )

2 m m x y H x − =

+ đường

thẳng d: 2x+2y− =1 giao hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích

8

S=

A m=3 B

2

m= C m=2 D m=1

Câu 50: Tìm tất giá trị thực tham sốm cho đồ thị hàm số ( )

2

x

y H

x =

:

d y x m= + giao hai điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách hai điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ

A m=4 30 B

m= 31 C m=0 32 D m= −1 33 Câu 51: Tìm tất giá trị thực a b cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y C x − =

+ đường thẳng

:

d y ax b= + giao hai điểm phân biệt, đối xứng qua đường thẳng ∆:x−2y+ =3

A

1 a b = −   = −  B 2 a b = −   = −  C a b = −   = −  D a b = −   = −  Câu 52: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y C x + =

:

d y mx= + giao hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ)

A m= ±3 B m= −3 C m= +3 D m= ±2 Câu 53: Cho hàm số

1 x y x − =

+ có đồ thị (C) điểm P( )2;5 Tìm giá trị tham số m đểđường

thẳng d y: = − +x m cắt đồ thị ( )C hai điểm phân biệt A B cho tam giác PAB

Phương trình hoành độgiao điểm đường thẳng d đồ thị ( )C là:

A m=1, m= −5 B m=1,m=4 C m=6, m= −5 D m=1, m= −8

Câu 54: Cho hàm số có đồ thi điểm Tìm đểđường thẳng cắt

đồ thị hai điểm phân biệt cho tứ giác hình bình hành ( gốc toạđộ)

2 x y x − =

+  C A( 5;5)− m y = − +x m

(46)

A B C D Câu 55: Cho hàm số

1 x m y mx − =

+ với m tham số Xác định m đểđường thẳng d cắt trục Ox Oy,

lần lượt C D, cho diện tích ∆OAB lần diện tích ∆OCD

A

3

m= ± B m= ±3 C

3

m= ± D

3

m= ±

Câu 56: Cho hàm số 2x 1( )

1

y C

x + =

+ Tìm k để đường thẳng d y k: = x 2+ k+1 cắt (C) hai điểm phân

biệt A B, cho khoảng cách từ A B đến trục hoành

A 12 B −4 C −3 D

Câu 57: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+3(m−1)x+2( )C

đường thẳng ∆:y= − +x điểm phân biệt A( )0;2 ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M( )3;1

A

3 m m =   =  B m m =   =  C m m =   =

 D

2 m m =   = 

Câu 58: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Giá trị k thỏa mãn đường thẳng d y kx k: = + cắt đồ thị ( ):

2 x H y x − =

− hai điểm phân biệt A B, cách đường

thẳng y =0 Khi k thuộc khoảng khoảng sau đây?

A (− −2; 1) B ( )1;2 C (−1;0) D ( )0;1 Câu 59: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2)Cho hàm số

2 x y x + =

+ (1) Đường thẳng d y ax b: = + tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A, B cho tam giác OAB cân O Khi a b+

A −1 B 0 C 2 D −3

Câu 60: (THPT Nghèn Lần1)Cho hàm số

2 x x y x + =

− có đồ thị ( )C đường thẳng d y: = −2x Biết d

cắt ( )C hai điểm phân biệt A, B Tích hệ số góc tiếp tuyến ( )C A B

bằng

A 0 B 4 C

6

− D 5

2

Câu 61: (SGD-Nam-Định-2019)Cho hàm số điểm Tìm đểđường thẳng cắt hai điểm phân biệt cho đạt giá trị nhỏ

A B C D

Câu 62: (Quỳnh Lưu Lần 1)Cho hàm số

2 x y x − + =

− (C), y x m d= + ( ) Với m đường thẳng ( )d cắt đồ thị (C) hai hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2lần lượt hệ số góc tiếp

tuyến với (C) A B; Giá trị nhỏ 2020 2020

1

T k= +k

A 1 B 2 C 1

2 D

2 Câu 63: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019)Cho hàm số

1 x y

x =

− ( )C đường

thẳng d y: = − +x m Gọi S tập hợp số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị ( )C tạihai

0

(47)

điểm phân biệt A B, cho tam giác OAB (O gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 Tổng phần tử S

A B 4 C 1 D 2

HÀM SỐ KHÁC

Câu 64: Cho hàm số y f x= ( )=22018 3x +3.22018 2x −2018 có đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt

có hồnh độ x1, x2, x3 Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( )

1

1 1

P

f x f x f x

= + +

′ ′ ′

A P=22018. B P=0. C P= −2018. D P=3.22018−1. Câu 65: (Chuyên Thái Nguyên) Tính tổng giá trị nguyên tham số m∈ −[ 50;50] cho bất

phương trình mx4−4x m+ ≥0 nghiệm với mọi x∈

A 1272 B 1275 C D 0

Câu 66: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho số thực a b Tìm giá trị nhỏ a b2 + đểđồ thị

hàm số y f x= ( ) 3= x4 +ax3 +bx2 +ax+3 có điểm chung với trục Ox A 9

5 B

1

5 C

36

5 D

4

Câu 67: (Sở Hà Nam)Cho hàm số y f x= ( )=x2−4x+3 có giá trị nguyên của tham số m để

phương trình: f x2( )−(m−6) f x( )− + =m 5 0 có nghiệm thực phân biệt

A 2 B 4 C 1 D 3

Câu 68: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho hàm sốđa thức bậc ba ( )

y f x= có đồ thịđi qua điểm A( )2;4 , B( )3;9 , C(4;16) Các đường thẳng AB, AC, BC lại cắt đồ thị tại điểm D, E, F (D khác A B, E khác A C, F

khác B C) Biết tổng hoành độ D, E, F 24 Tính f ( )0

A −2 B 0 C 24

5 D 2

Câu 69: (Quỳnh Lưu Nghệ An)Tìm tất giá trị tham số m∈ cho phương trình

2 2 1

x mx+ + = x+ có hai nghiệm thực

A

12

m> B

2

m≥ − C

2

m≥ D

2

m≥

Câu 70: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018) Tập hợp tất giá trị tham số m đểđồ

thị hàm số y x= 2+m 4−x2 + −m 7 có điểm chung với trục hoành [ ]a b; (với a b; ∈) Tính giá trị S =2a b+

A 19

S = B S=7 C S=5 D 23

3

S =

Câu 71: Cho hàm số với tham số thực Gọi tổng tất giá trị nguyên tham số đểđồ thị hàm sốđã cho cắt trục hoành hai điểm phân biệt Tính

A B C D

Câu 72: (Sở Quảng NamT)Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng ( 1;7)− đểphương

trình: (m−1)x+(m+2) x x( +1) = x2 +1 có nghiệm?

A B 7 C 1 D 5

Câu 73: (Sở Hưng Yên Lần1) Có giá trị âm tham số m để phương trình

2

2019m+ 2019m x+ =x có hai nghiệm thực phân biệt

A B 0 C Vô số D 2

( )

2 2018 1 2021

y x= +m −x + − m S

m S

(48)

Câu 74: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3)Cho hàm số f x( )=x5+3x3−4m Có giá trị nguyên tham số m đểphương trình f (3 f x m( )+ )= −x m3 có nghiệm thuộc đoạn [ ]1;2

?

A 15 B 16 C 17 D 18

Câu 75: Cho hàm số ( ) 3

f x =x − x + +x Phương trình (( )( ))

2

f f x

f x − = có nghiệm thực phân biệt ?

(49)

DANG ĐỒ THỊ HÀM SỐ, ĐỒ THỊĐẠO HÀM

Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai)Cho hàm số y ax b cx d

+ =

+ (c≠0 ad bc− ≠0) có đồ thịnhư hình vẽ

Tìm khẳng định khẳng định sau:

A ad <0,ab>0 B bd >0,ad <0 C ad >0,ab<0 D ab<0,ad <0

Lời giải

Chọn C

Nhìn vào đồ thị, ta thấy:

Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độdương ⇒ ≠a b a

− > Suy ab<0

Đồ thị có tiệm cận đứng x d cd c

= − < ⇒ > (1)

Đồ thị có tiệm cận ngang y a ac c

= > ⇒ > (2) Từ (1) (2) ta có ac d2 > ⇒0 ad >0 c≠0

Câu (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh)Cho hàm số y=(a−1)x4+(b+2)x2 + −c 1 có đồ thịnhư hình vẽ bên

Mệnh đềnào đúng?

A a>1, b> −2, c>1 B a>1, b< −2, c>1 C a<1, b> −2, c>1 D a>1, b<2, c>1

Lời giải

Chọn B

Đồ thịđi lên x→ +∞ nên a− > ⇔ >1 a

(50)

Đồ thị hàm sốcó điểm cực trị nên (a−1) ( b+2)<0 mà a>1 nên b+ < ⇔ < −2 b

Câu Cho đồ thị hàm số y ax bx c= 4+ 2+ hình vẽ bên Biết rằng AB BC CD= = , mệnh đề nào sau

đúng?

A a>0,b<0,c>0,100b2 =9ac B a>0,b>0,c>0,9b2 =100ac C a>0,b<0,c>0,9b2 =100ac D a>0,b>0,c>0,100b2 =9ac

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số có hệ số a>0 hàm số có cực trị nên b<0 Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm ( )0;

A c nên c>0

Đồ thị hàm số y ax bx c= 4+ 2+ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên Biết AB BC CD= = tức phương trình ax bx4 + 2+ =c 0

có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔at2+ + =bt c 0có nghiệm phân biệt thỏa

2 91 t = t

1

1 2

2

1 10

10 10

9 100

9 9

10 b

b t

t

t t t a a

b ac

c b c

t t t t

a a a

  = − = −   + =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = =     =  −  =      

Vậy a>0,b<0,c>0,9b2 =100ac

Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai)Hình vẽbên đồ thị hàm số y ax bx c= + 2+ Giá trị của biểu thức M a b c= 2+ +2 2 có thể nhận giá trịnào giá trị sau

A M =18 B M =6 C M =20 D M =24

Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số y ax bx c= 4+ 2+ ta có a<0;b>0;c<0, đồ thịđi qua điểm A=( )1;2 ; (0; 1)

B= − ycd =3 Ta có hệphương trình

.1

.0

3

a b c

b y a   + + =   + + = −       − =       2 1 3 16

2

c c

a b a b

b a

b b

a b c

(51)

2

3

16 48

c a b b b  = −  ⇔ + =  − + =  12 c a b b b   = −  ⇔ + =  =   =  a b c = −   ⇔ =  = − 

hoặc

9 12 a b c = −   =   = − 

Suy M a b c= 2+ +2 =18 hoặc M a b c= 2+ +2 =226 Từđó M có thể nhận giá trịlà 18.

Câu (Chuyên Hưng Yên Lần 3)Cho y F x= ( )và y G x= ( )là hàm sốcó đồ thịcho hình

bên dưới, đặtP x( )=F x G x( ) ( ).Tính P' ( )

A 3

2 B 4 C 6 D

5

Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị, ta có ( )

2 4 7, 3 13, 3

4

x x x

F x x x  − + ≤  =  + >

 ( )

1 1, 4

2 17 , 4

3 x x G x x x  + ≤  = 

− + > 

Khi ( ) 1 , 34,

4 x x F x x − <   ′ =  >

 ( )

1 ,

2 , x G x x  <  ′ =  − >  Ta có P x( )=F x G x( ) ( )⇒P x′( )=F x G x F x G x′( ) ( )+ ( ) ( )′

Do ( )2 ( ) ( )2 ( ) ( )2 0.2 3.1 2

P′ =F′ G +F G′ = + =

Câu (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀĐH VINHL3 -2019.)Cho Đồ thị hình bên

dưới hàm số có cơng thức

( ) ( )3

1 3

(52)

A B C D

Lời giải

Chọn B

Ta thử với đáp án:

+) Đáp án A: loại

+) Đáp án B: thỏa mãn

+) Đáp án C: loại

+) Đáp án D: loại

Câu Cho Đồ thịhình bên hàm số có cơng thức

A B C D

Lời giải

Chọn D

+) Đáp án B: loại

+) Đáp án C: loại

+) Đáp án D: thỏa mãn

Câu Cho Đồ thịhình bên hàm số có cơng thức ( 1)

y= −f x+ − y= −f x( + +1 1) y= −f x( − −1 1) y= −f x( − +1 1)

( )1 ( )0 y − = −f − = − − = − ⇒

( )1 ( )0 1 y − = −f + = − + = − ⇒

( )1 ( )2 18 17 y − = −f − − = − = ⇒

( )1 ( )2 18 19 y − = −f − + = + = ⇒

( ) ( 1)2 2 f x = x− − x

( 1 1)

y= −f x + − y= −f x( 2+ +1 1) y f x= ( 2+ −1 1) y f x= ( 2+ +1 1) ( )0 ( )1 1

y = −f − = − = ⇒ ( )0 ( )1 y = −f + = + = ⇒

( )0 ( )1 y = f − = − − = − ⇒

( )0 ( )1 1 y = f + = − + = − ⇒

( ) ( ) ( )

2

x x

f x

x x

− − + − +

=

(53)

A B C D

Lời giải

Chọn C

+) Đáp án B: loại

+) Đáp án C: thỏa mãn

+) Đáp án D: loại

Câu (Chuyên Vinh Lần 3)Cho f x   x 133x3 Đồ thịhình bên hàm số có cơng thức A y f x  1 1 B y f x  1 1 C y f x  1 1 D y f x  1 1

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có    3  

1

f x  x  x

Thửđiểm đáp án

Đáp án A: y f x  1 1  y 1  f 2 1   Loại

Đáp án B: y f x  1 1  y 1  f 2 3   thoả mãn

Đáp án C: y f x  1 1  y 1  f 0 1  3  Loại

Đáp án D: y f x  1 1  y 1  f 0 1  1  Loại

Cách 2: Từđồ thịsuy hàm sốứng với đồ thịtrên y  x3 3x1

Ta làm tường minh hàm sốcho đáp án so sánh

( 1)

y= −f x+ − y f x= ( + +1 1) y f x= ( + −1 1) y= −f x( − +1 1)

( )2 ( )1 1 y − = −f − − = − − = − ⇒

( )2 ( )1 1 y − = f − + = + = ⇒

( )2 ( )1 1 y − = f − − = − = ⇒

( )2 ( )3 1

5

(54)

Đáp án A: y f x      1 1 x3 3x 1  Loại

Đáp án B: y f x     1 1 x3 3x1  Nhận

Câu 10 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh)Cho hàm số bậc ba f x( )=x bx cx d3+ 2+ + Biết đồ thị của hàm số ( )

′ =

y f x hình vẽ Giá trị c b

A

− B 3

4 C

1

3 D

3 −

Lời giải

Chọn D

Tập xác định D=

Đạo hàm cấp f x′( )=3ax2+2bx c+

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ′( ) ta có bảng thiên hàm số f x( )

Ta có

2

 

′ = + +  

a

f b c 27

2

 

′ = + +  

a

f b c

Dựa vào bảng biến thiên ta có 4 27 36 36

27 12 27 12

+ + = + + =

 

⇒

 + + =  + + =

 

a b c a b c

3

24 32

4 ⇒ b+ c= ⇒ = −c

b

Vậy = − c

b

đồ thịcác hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ) y f x= ′′( ) theo thứ tự, tương ứng với đường cong

nào?

x y

3

2

O

(55)

A ( ) ( ) ( )C3 ; C2 ; C1 B ( ) ( ) ( )C2 ; C1 ; C3 C ( ) ( ) ( )C2 ; C3 ; C1 D ( ) ( ) ( )C1 ; C2 ; C3

Lời giải

Chọn A

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị C2 cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số C3 Đồ thị  C1 cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số C2

nào?

Lời giải

Chọn A

nào?

Lời giải

Chọn A

Dựa vào phương pháp có hai khảnăng : ( ) ( ) ( )C3 ; C1 ; C2 hoặc ( ) ( ) ( )C2 ; C1 ; C3 Quan sát đồ thị ta thấy

ứng với khoảng mà đồ thị  C1 nằm trục hồnh đồ thị C3 “đi lên” ngược lại; ứng với

(56)

nào?

A. ( ) ( ) ( )C1 ; C2 ; C3 B ( ) ( ) ( )C1 ; C3 ; C2 C ( ) ( ) ( )C3 ; C2 ; C1 D ( ) ( ) ( )C2 ; C3 ; C1

Lời giải

Chọn ADựa vào phương pháp có hai khảnăng : ( ) ( ) ( )C1 ; C3 ; C2 hoặc ( ) ( ) ( )C2 ; C3 ; C1 Quan sát đồ

thị ta thấy ứng với khoảng mà đồ thị  C3 nằm trục hồnh đồ thị  C2 “đi lên” ngược lại; ứng với khoảng mà đồ thị C1 nằm trục hồnh đồ thị  C3 “đi lên” ngược lại

nào?

Lời giải

Chọn A

nào?

Lời giải

Chọn C

(57)

Lời giải

Chọn C

dưới Hỏi đồ thịcác hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ) y f= '''( )x theo thứ tự,

tương ứng với đường cong nào?

A c d b a, , , B d c b a, , , C d c a b, , , D d b c a, , ,

Lời giải

Chọn B

Câu 19 Cho đồ thị bốn hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ), y f= '''( )x vẽ mơ tảở hình

dưới Hỏi đồ thịcác hàm số y f x= ( ), y f x= ′( ), y f x= ′′( ), y f= '''( )x theo thứ tự,

tương ứng với đường cong nào?

A B C D

Lời giải

Chọn C

Câu 20 Một vật chuyển động có đồ thị hàm quãng đường, hàm vật tốc hàm gia tốc theo thời gian

được mô tảởhình Hỏi đồ thịcác hàm sốtrên theo thứ tựlà đường cong nào?

, , ,

c d b a d c a b, , , d c b a, , , d b c a, , ,

(58)

A B C D

Lời giải

Chọn D

Câu 21 Cho đồ thị ba hàm số , , vẽ mơ tảởhình Hỏi

đồ thịcác hàm số , theo thứ tự, tương ứng với đường cong

nào?

A B C D

Lời giải

Chọn B Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số ; đồ thị cắt trục điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 22 Cho hàm số , , có đồ thịlà đường cong

hình vẽ bên Mệnh đềnào sau đúng?

A B

C D

Lời giải

Chọn BKết hợp phương pháp ta tìm

Hàm số , , có đồ thịlà đường theo thứ tựlà

, ,

b c a c a b, , a c b, , c b a, ,

( )

y f x= y f x= ′( ) y f x= ′′( )

( )

y f x= y f x= ′( ) y f x= ′′( )

( ) ( ) ( )C3 ; C2 ; C1 ( ) ( ) ( )C2 ; C1 ; C3 ( ) ( ) ( )C2 ; C3 ; C1 ( ) ( ) ( )C1 ; C3 ; C2

 C1 Ox

 C2  C3 Ox  C1

3 y f x= ( ) y g x= ( )= f x′( ) y h x= ( )=g x′( )

( ) ( )1 ( )1

g − > − >h f − h( )− >1 g( )− >1 f ( )−1

( )1 ( )1 ( )1

h − > f − >g − f ( )− >1 g( ) ( )− > −1 h

( )

y f x= y g x= ( )= f x′( ) y h x= ( )=g x′( )      1 ; ; 3 O

x y

2 0,5 1,5 0,5

− −

−

(59)

Từđồ thị ta thấy:

A. B C D

Lời giải

Chọn A

A. B C D

Lời giải

Chọn B

Câu 25 Cho hàm số , , có đồ thịlà đường cong

hình vẽ bên Mệnh đềnào sau đúng?

A. B C D

( )1 ( )1 ( )1

h − >g − > f −

f f '

( ) ( )

' ''

f − < f f ' 1( )− > f '' ( ) f ' 1( )− = f '' ( ) f '' 0( )≠ f '' ( )

f f '

( ) ( )

' ''

f − < f f ' 1( )− > f '' ( ) f ' 1( )− = f '' ( ) f ' '' ( )− = f ( )

3 y f x= ( ) y g x= ( )= f x′( ) y h x= ( )=g x′( )

( ) ( )1 ( )1

(60)

Lời giải

Chọn D

A B

C D

Lời giải

Chọn A

A B C D

Lời giải

Chọn A

 

s t v t   

a t t

     .

s π v π a π a     π v π s π  .

     .

s π a π v π  v     π a π s π .

 

s t v t   

a t t

( ) ( ) ( )4 4

(61)

DANG BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM DỰA VÀO ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN

Câu (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh)Cho hàm số y f x= ( )có bảng biến thiên hình vẽ

Khi phương trình f x( )+ =1 m có ba nghiệm thực phân biệt

A 1< <m 2 B 1≤ ≤m 2 C 0≤ ≤m 1 D 0< <m 1 Lời giải

Chọn A

Ta có: f x( )+ =1 m⇔ f x( )= −m 1( )*

Số nghiệm phương trình ( )* sốgiao điểm đồ thị hàm số y f x= ( ) đường thẳng y m= −1 Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng y m= −1 cắt đồ thị hàm số y f x= ( ) điểm phân biệt

0< − < ⇔ < <m 1 m

Câu (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019)Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên đây:

Đểphương trình 2f x( − = −1) m có nghiệm phân biệt thuộc [ ]0;1 giá trị tham số m thuộc khoảng đây?

A (−∞ −; 3) B ( )1;6 C (6;+∞) D (−3;1) Lời giải

Chọn B

Đặt t=2 1x− Ta thấy t hàm đồng biến theo x x∈[ ]0;1 ⇔ ∈ −t [ 1;1]

Do phương trình 1f x( − = −) m có nghiệm phân biệt thuộc [ ]0;1 ( )

m

f t −

⇔ = có nghiệm phân biệt thuộc [−1;1]

Dựa vào bảng biến thiên suy

m− m

(62)

Câu Cho hàm số y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ + có bảng biến thiên sau:

x <x <x < <x

A 1

2< <m B

1 1

2≤ <m C 0< <m D 0< ≤m Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

0 2

1

0

1

f a

f b

c f

d f

=

  =

 

= = −

 ⇔

 ′  = =

 

 ′ =  = 

, suy y f x= ( ) 2= x3−3x2+1

NX: ( ) 01

2 x f x

x =   = ⇔

 = − 

Bảng biến thiên hàm số y= f x( ) sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình | ( ) |f x =m có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4

x <x <x < <x

khi 1 2< <m

Câu (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục [ ]1;3 có bảng biến thiên sau

(63)

Có giá trị nguyên m để phương trình ( 1) 2

4

m f x

x x

+ =

− + có nghiệm khoảng ( )1;2

A 10 B C D

Lời giải Chọn B

Vì x2−4x+ =5 (x−2)2+ >1 0 ∀x nên ( ) ( ) ( )

1

4

m

f x x x f x m

x x

+ = ⇔ − + + =

− +

Đặt h x( )=(x2−4x+5)f x( +1), với x∈( )1;2

Ta có h x′( )=(x2−4x+5)f x′( + +1) (2x−4) (f x+1)

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x= ( ) ta có ∀ ∈x ( )1;2 ⇒ + ∈x 2;3( )⇒ f x′( + ≤1 0) 2x− < ∀ ∈4 0, x ( )1;2 ; f x( + ≥ >1 0,) x+ ∈1 2;3( ) Do h x′( )< ∀ ∈0, x ( )1;2

Bảng biến thiên hàm số y h x= ( ) khoảng ( )1;2

Khi phương trình h x( )=m có nghiệm x∈( )1;2 h( )2 < <m h( )1

( ) ( )

1 3f m 2f

⇔ < < ⇔ <3 m<8 Do có giá trịnguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên hình vẽ bên:

Có sốngun dương m đểphương trình f (2sinx+ =1) f m( ) có nghiệm thực?

A B C D

Lời giải Chọn D

Ta có ∀ ∈x : 2sin− ≤ x+ ≤1

Căn cứvào đồ thị ta có − ≤2 f x( ) 2≤ ∀ ∈ −x [ 1;3]⇒ − ≤2 f(2sinx+ ≤ ∀ ∈1) x  Từđó suy phương trình f (2sinx+ =1) f m( ) có nghiệm thực

2 f m( ) m

(64)

A B C D

Lời giải Chọn C

Ta có

Đặt

Ta có

Mà nên

Từđó ta có bảng biến thiên :

Bất phương trình nghiệm với

A B C D

Lời giải

ChọnB

( )

y f x= 

( ) ' y f x=

m m+2sinx f x≤ ( ) x∈(0;+∞)

(0)

m f≥ m f≤ (1) 2sin1− m f≤ (0) m f≥ (1) 2sin1−

( ) ( )

2sin 2sin

m+ x f x≤ ⇔ ≤m f x − x ( ) ( ) 2sin

g x = f x − x ( ) ( ) 2cos g x′ = f x′ − x ( ) ( ) 2cos g x′ = ⇔ f x′ = x

( ) 2, (0; )

f x′ ≥ ∀ ∈x +∞ 2cosx 2,≤ ∀ ∈x (0;+∞) g x′( )≥ ∀ ∈0, x (0;+∞)

( ) '( )

2cos f x

g x x

x = 

′ = ⇔ ⇔ = =



( )

g x

( ) ( )( )

2

m≤ f x+ + +x x+ x∈ − +∞( 3; ) ⇔ m g≤ ( )0 ⇔ ≤m f(0)

( )

y f x= 

( ) ' y f x=

m ( )

3

m x+ ≤ f x + x x∈( )0;3

(0)

m f< m f≤ (0) m f≤ (3) (1)

(65)

Ta có

Đặt

Ta có

Mà nên

Từđó ta có bảng biến thiên :

NHẬN XÉT: Bài toán xây dựng dựa ý tưởng mối quan hệ bảng biến thiên đồ

thị so sánh với đểsuy biến thiên hàm số có dạng Câu (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x= ( ) thỏa mãn ( )0

6

f < có bảng biến

thiên sau:

Giá trị lớn tham số m đểphương trình e2f x3( )−132f x2( )+7f x( )−12 =m có nghiệm đoạn [ ]0;2

A e2 B e1513 C e4 D e3

Lời giải Chọn A

Phương trình

( ) ( ) ( ) 13

2

f x f x f x

e − + − =m 2 3( ) 13 2( ) 7 ( ) ln

2

f x f x f x m

⇔ − + − = , m>0 Đặt t f x= ( )

Với x∈[ ]0;2 từ bảng biến thiên ⇒ ∈ t 1;max{f ( ) ( )0 , f }

( ) ( )

2 3

3

m x+ ≤ f x + x ⇔ ≤m f x + x x− ( ) ( )

3 g x = f x + x −x

( ) ( ) 2 ( ) ( 2 )

g x′ = f x′ +x − x f x= ′ − − +x x

( ) 0 ( ) 2

g x′ = ⇔ f x′ = − +x x ( ) 1, ( )0;3

f x′ > ∀ ∈x − +x2 2x= −1 (x−1)2 ≤ ∀ ∈1, x ( )0;3 g x′( )> ∀ ∈0, x ( )0;3 ( )

g x

( ) 3

m f x≤ + x x− x∈( )0;3

⇔ m g≤ ( )0 ⇔ ≤m f(0)

'( )

f x

'( )

(66)

Vì ( )0

f < , ( )2 ( )3 15 13

f < f = < nên max{ ( ) ( )0 , } f f =M <

Do [1; ] 1;7  

∈ ⊂ 

 

t M

Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn m đểphương trình ln 2 13 7 ( )

2

m= t − t + −t ∗ có nghiệm t∈[1;M]

Xét hàm số ( ) 2 13 7

2

g t = t − t + −t , t∈[1;M] ( ) 6 13 7

g t′ = t − t+

( ) 17

6

t g t

t

=   ′ = ⇔

 = 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy phương trình ( )∗ có nghiệm t∈[1;M]⇔g M( )≤lnm g≤ ( )1

max ln

⇒ m= [ ] ( ) ( )

1;

max = 2=

M g t g

2

maxm e

⇒ =

Vậy giá trị lớn m đểphương trình cho có nghiệm x∈[ ]0;2 e2

Câu (Đặng Thành Nam Đề17)Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên hình vẽ sau

Phương trình f ( )2sinx =3 có nghiệm đoạn 0;5 .

π      

(67)

Với 0;5 sin [ ]0;1 2sin [ ]1;2

6 x

x∈ π⇒ x∈ ⇒ =t ∈  

Phương trình trở thành f t( ) 3.= Kẻ đường thẳng y=3 cắt đồ thị hàm số f x( ) bốn điểm phân biệt có hoành độ x a= <1;x b= ∈( )1; ;x c= ∈( ;2 ;) x d= ∈(2;+∞)

Vậy phương trình f t( ) 3= có bốn nghiệm là:

( ) ( ) ( )

1; 1; ; ;2 ; 2;

t a= < t b= ∈ t c= ∈ t d= ∈ +∞

Đối chiếu điều kiện t∈[ ]1;2 nhận t b= ; t c= ( )

sin

2

2 1; sin log 0;

2 x = ∈b ⇔ x= b∈ 

  

Phương trình có nghiệm đoạn 0;5

π      

( )

sin

2

2 ;2 sin log ;1

2 x = ∈c ⇔ x= c∈ 

  

Phương trình có hai nghiệm đoạn 0;5

π      

Vậy phương trình cho có tất nghiệm đoạn 0;5

π       BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bản chất toán: Bài tốn cho giải phương trình hay bất phương trình phương pháp tương

giao hai đồ thị y g x= ( ) y h m= ( )

- Đồ thị hàm số y h m= ( ) chất đường thẳng song song trùng với trục Ox qua điểm

có tung độcó giá trị h m( )

- Đồ thị hàm số y g x= ( ) xác định tính chất dựa vào kiện cho hàm số y f x= ( ) ban đầu; hàm số y f x= ( ) cho cơng thức, đồ thị, hàm đạo hàm nó, đồ thị đạo hàm

Vì phần kiến thức tương đối rộng nên tơi xin chỉkhai thác ởmột góc độnào tốn.

Khó khăn đối với học sinh:

-Từđồ thị hàm số y f x= ( ) suy đồ thị hàm số y g x= ( )

-Trong trường hợp không thểdùng đồ thị hàm số học sinh khó khăn việc kiểm sốt đặc điểm hàm số y g x= ( ) hàm số y g x= ( ) có chứa biểu thức hàm hợp phức tạp hàm y f x= ( )

-Phần lớn học sinh chưa phân biệt kiến thức: “Số nghiệm phương trình sốgiao điểm đồ thị hai hàm số” “Nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm”

Giải pháp:

-Sử dụng số phép biến đổi đồ thịcơ

(68)

Kiểu 2: Sử dụng cách đặt ẩn phụđưa hàm số theo ẩn có chứa y f t= ( )

Sau xin đưa lớp tốn sưu tầm theo mức độđểgiúp học sinh có cách nhìn dễdàng thi trắc nghiệm:

Câu 10 (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho ( )P y: = −x2 và đồ thị hàm số y ax bx= 3+ 2+cx−2 như hình vẽ

Tính giá trị biểu thứcP a b c= −3 5−

A 3 B −7 C 9 D −1

(69)

Vì hai đồ thị hai hàm số cắt điểm có hồnh độ − −2; 1;1 nên ta có

( ) ( )( )( )

( ) ( )

3

1 2 1

1 2

ax b x cx a x x x

+ + + − = + + − ⇔ + + + − = + − −

Đồng hệ số hai vế phương trình, ta có

1

1 5

2

b a a

c a b P a b c

a c

+ = =

 

 = − ⇔ = ⇒ = − − = − + =

 

 =  = −

 

Câu 11 (Hàm Rồng)Cho hàm số y f x= ( )=ax bx3+ 2+cx d+ có đạo hàm hàm số y f x= ′( ) với đồ thịnhư hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y f x= ( ) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ âm

Khi đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độlà bao nhiêu?

A B C −4 D

Nhìn đồ thị ta thấy 0 x y

x =  ′ = ⇔  = −

 Do đó, hàm số y f x= ( ) đạt cực trị x=0 x= −2

Đồ thị hàm số y f x= ( ) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độâm nên suy hàm số y f x= ( ) đạt cực trị điểm có hồnh độ âm ⇒ f ( )− =2 (1)

Mặt khác f x′( )=3ax2+2bx c+

Đồ thị hàm số y f x= ′( ) qua điểm có tọa độ ( )0;0 , (−2;0), (− −1; 3) (2)

Từ (1), (2) lập hệphương trình

0

12

3

8 4

c a

a b c b

a b c c

a b c d d

= =

 

 − + =  =

 ⇔

 − + = −  =

 

− + − + =  = −

 

( ) 3 4

f x x x

⇒ = + −

Đồ thị hàm số y f x= ( ) cắt trục tung điểm có tung độ y f= ( )0 = -4

(70)

Khi đó, phương trình ( 2)

f x− = − có nghiệm?

A 2 B 0 C 6 D 4

Lời giải

Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vịđểđược đồ thị hàm số y f x= ( −2)

Tiếp theo giữ phần đồ thị phía bên phải đường thẳng x=2, xóa bỏ phần đồ thịphía bên trái đường thẳng

x=

Cuối lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ lại ởtrên qua đường thẳng x=2 Ta toàn phần đồ thị

của hàm số y f x= ( −2 ) (hĩnh vẽbên dưới)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình ( 2)

f x− = − có nghiệm phân biệt Chọn D

Câu 13 Cho hàm số thoảđiều kiện Số nghiệm lớn có phương trình ,

A B . C . D .

Do nên hàm sốđã cho có ba điểm cực trịvà tính tốn ba điểm cực trịđó

( )

y f x= =ax +bx +c ( 2 0)

4

ab

ac b ac

< 

 − > 

( )

f x =m m∈

4 12

(71)

là , , với

Lại có Do đồ thị hàm sốcó hai điểm

cực trị nằm khác phía với so với trục hoành Suy dạng đồ thị hàm số lúc

Dựa vào đồ thịtrên ta thấy số nghiệm lớn phương trình có

Câu 14 (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2; 2] có đồ thịlà đường cong hình vẽ

Hỏi phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2; 2]?

A 4 B 5 C 3 D 6

Ta có ( ) 1 ( )( ) 1 ( )( ) 1( )( )

1

f x f x

f x

f x f x

− = =

 

− = ⇔ ⇔

− = − =

 

Dựa vào đồ thị hàm sốđã cho ta thấy:

Phương trình f x( )=2 1( ) có nghiệm thuộc đoạn [−2; 2]

Phương trình f x( )=0 2( ) có nghiệm thuộc đoạn [−2; 2] khơng có nghiệm trùng với hai nghiệm phương trình ( )1

Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc [−2; 2]

Câu 15 (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Hỏi

phương trình f (2− f x( ))=1 có tất nghiệm thực phân biệt?

( )0;

A c ; Δ

2

b B

a a

 

− −

 

 

Δ

;

2

b B

a a

 

− − −

 

 

2

Δ=b −4ac

( 4 ) 0

ac b − ac > c.b2 4ac.a2 0 a

−

⇔ > Δ c

a ⇔ − < ,

B C A f x( )

( )

(72)

A 5 B 6 C 3 D 4 Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có: f (2− f x( ))=1 ( ) ( )

( ) ( )

2

2 1

f x f x

− = − =

 

⇔ ⇔

− = =

 

 

Mà f x( )=4 có nghiệm nhỏhơn −2 Và f x( )=1 có nghiệm phân biệt x= −2;x=1 Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt

Câu 16 Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình sau:

Số nghiệm phương trình ( )

( )

2

f x f x

−

= + là:

A 2 B 4 C 3 D 1

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( ) ( )

2

f x f x

−

=

+ ⇒ −1 f x( )= +2 2f x( ) ( )

f x

⇔ = −

Dựa vào đồ thịta có đồ thị hàm số y f x= ( ) cắt đường thẳng

(73)

Câu 17 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình v

Gọi m số nghiệm phương trình f f x( ( ))=1 Khẳng định sau đúng?

A m=7 B m=5 C m=9 D m=6

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt f x( )=u nghiệm phương trình f f x( ( ))=1chính hồnh độgiao điểm đồ thị f u( ) với đường thẳng y=1

Dựa vào đồ thị ta có ba nghiệm ( ) ( ) ( )

1

f x u

= 



= 

 = 

với u1∈ −( 1;0), u2∈( )0;1 ,u3∈5 ;32   

(74)

Dựa vào đồ thịta có giao điểm Suy phương trình ban đầu f f x( ( ))=1 có nghiệm Câu 18 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư sau

Số nghiệm thực phương trình f x2( )− =1 0

A 7 B 4 C 3 D 8

Ta có: 2( ) 1 0 ( )( ) 1

f x f x

f x

= 

− = ⇔  = − 

(75)

Câu 43.Cho hàm số f x( )=x3−3x2+2có đồ thị là đường cong hình bên Hỏi phương trình

( 3 2 ) (3 3 2 )2

3 3 2

x − x + − x − x + + = có nghiệm thực dương phân biệt?

A B C D

Phương pháp:

Đặt t x= 3−3x2+ =2 f x( ), dựa vào đồ thị hàm sốđã cho tìm nghiệm . i

t

Xét phương trình f x( )=ti, số nghiệm phương trình sốgiao điểm đồ thị hàm số y f x= ( )

và đường thẳng y t= isong song với trục hoành

Cách giải:

Đặt t x= 3−3x2+ =2 f x( )khi phương trình trở thành t3−3t2+ =2 0 hàm số f t( )= −t3 3t2+2có

hình dáng y Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ( )

1

t

f t t

t  = −  = =

 = + 

Với t= +1 3⇒ f x( )= +1 ( ) Số nghiệm phương trình (1) sốgiao điểm đồ thị hàm ( )

y f x= đường thẳng y= +1 3song song với trục hoành

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y= +1 3cắt đồ thị hàm số y f x= ( )tại điểm nên

phương trình (1) có nghiệm

Với t= ⇒1 f t( )=1 ( ) Lập luận tương tựnhư ta thấy phương trình (2) có nghiệm phân biệt Với t= −1 3⇒ f t( )= −1 3 ( ) Phương trình có nghiệm phân biệt

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt

Chú ý sai lầm: Sau đặt ẩn phụvà tìm nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm phương trình có nghiệm phân biệt chọn đáp án A Số nghiệm phương trình số nghiệm x khơng phải số nghiệm t

Câu 19 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số y=4x3−6x2+1 có đồ thị là đường

(76)

Khi phương trình 4 4( x3−6x2+1) (3−6 4x3−6x2+1)2+ =1 0 có nghiệm thực

A 9 B 6 C 7 D 3

Từđồ thị ta có

( ) ( )

( )

( ) ( )

3

4 6 1

4 1;0 (1)

4 0;1 (2)

4 1;2 (3)

x x x x

x x a

x x b

x x c

− + − − + + =  − + = ∈ −



⇔ − + = ∈ 

− + = ∈ 

Ta thấy số nghiệm phương trình 4x3−6x2+ =1 m sốgiao điểm của đồ thị hàm số

3

4

y= x − x + đường thẳng y m= Từđó ta có: (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt

(3) có nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm thực

Câu 20 Cho hàm số f x( )=x4−4x2+3 có đồ thị là đường cong hình bên Hỏi phương trình

( 4 2 ) (4 4 2 )2

4 4 3

(77)

A 0 B 9 C 8 D 4 Lời giải

Chọn A

Đặt t x= −2x2 +3 Khi ta có phương trình t4−4t2+ =3 0 (2)

Nghiệm phương trình (2) hồnh độgiao điểm đồ thị hàm sốvà trục hoành Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình có nghiệm

3 1 t t t t  = −  = −   =   =  4 4

2 3

2

2 3

x x x x x x x x  − + = −  − + = −  ⇒  − + =   − + = 

(vô nghiệm)

Câu 21 (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số ( ) 2 3 1

f x = − x + x − x+ Khi

đó phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm thực?

A 9 B 6 C 5 D 4

Xét hàm số 2 3 1

y= − x + x − x+ có +) y′ = − +x2 4x−3 Có 0

3 x y x =  ′ = ⇔  = 

+) Xét 1 2 3 1 6 9 0

3

x

y x x x x x x

x =  − = ⇔ + − + = ⇔ − + − = ⇔  = 

+) Xét 1 2 3 1 6 9 4 0

4

3 3

x

y x x x x x x

x =  − − − = ⇔ + − + = ⇔ − + − + = ⇔  =  Ta có bảng biến thiên hàm số 2 3 1

3

y= − x + x − x+ sau:

(78)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ( )

( ) ( ) ( ) 0;1

0 1;3

3;4

x a

f x x b

x c

= ∈ 



= ⇔ = ∈  = ∈ 

Khi ( ( ))

( ) ( )

0;1

0 1;3

3;4

f x a

f f x f x b

f x c

= ∈ 



= ⇔ = ∈  = ∈ 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

+) Phương trình f x( )=a ( )1 có nghiệm phân biệt

+) Phương trình f x( )=b( )2 có nghiệm khác nghiệm phương trình ( )1

+) Phương trình f x( )=c có nghiệm khác nghiệm phương trình ( )1 ( )2 Vậy phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm phân biệt

Câu 22 (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hàm số y f x= ( ) có đạo

hàm  có đồ thịlà đường cong hình vẽdưới đây:

Đặt g x( )= f f x( ( )) Số nghiệm phương trình g x′( )=0

A 6 B 5 C 8 D 7

Ta có g x′( )= f f x f x′( ( )) ′( ) ( )

g x′ = ⇔ ( ( )) ( )

0 f f x f x  ′ = 

′ =

 ⇔

( ) ( )

1 1 f x f x x x

= − 



= 

 = − 

= 

(79)

Vậy tổng số nghiệm phương trình g x′( )=0 1 6+ + + = nghiệm

Câu 23 (Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịlà đường cong

trơn (khơng bị gãy khúc), hình vẽ bên Gọi hàm g x( )= f f x ( ) Hỏi phương trình g x′( )=0 có nghiệm phân biệt?

A 10 B 12 C 8 D 14

( ) ( )

g x = f f x  ⇒ g x′( )= f x f f x′( ) ′ ( )

( )

g x′ = ⇔ f x f f x′( ) ′ ( )=0

( ) ( )

0 f x

f f x ′ = 

⇔  ′

 =    

( )

( ) ( )

{ }

( ) { }

{ }

1

2

1

2 6

7 9

2;

1;2

2;

( ) 2;0;2

( ) 1;2 ; ; ,

( ) ; ; ,

x x x x x x

f x x x x

f x x

f x x x x x x x x x x

f x x x x x x x x x x x

 = ∈ − − 

= 

 = ∈ 

 =  ⇔

= ∈ − − ⇔ = < − 

 = ⇔ ∈ − 

 = ∈ ⇔ ∈ < < < < < 

 = ⇔ ∈ < < < < < 

(80)

Câu 24 (Đặng Thành Nam Đề9)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục R có đồ thịnhư hình vẽ bên Số

nghiệm thực phân biệt phương trình f f x( ( ))= f x( )

A 7 B 3 C 6 D 9

Đặt t f x= ( )phương trình trở thành:

2

( )

2 = −   = ⇔ =

 = 

t

f t t t

t

Vì đồ thị f t( ) cắt đường thẳng y t= ba điểm có hồnh độ t= −2; 0; 2.t= t= Vậy

( ) 1;

( ) 0; ( 2; 1); (1;2)

( ) 1;

= − = = −

 

 = ⇔ = = ∈ − − = ∈

 

 =  = − =

 

f x x x

f x x x a x b

f x x x

Ta chọn đáp án A

Câu 25 (Đặng Thành Nam Đề5)Cho hàm số f x( )=ax bx cx d a b c d3+ 2+ + ( , , , ∈) có đồ thịnhư hình vẽ bên

Phương trình f f f f x( ( ( ( ))))=0 có tất nghiệm thực phân biệt?

A 12 B 40 C 41 D 16

(81)

Đặt ( )f xk = f( ( ( )));(f x k hàm f k; =1;4)

Ta có

4

3

( ) (1) ( )

( ) (2) f x

f x

f x = 

= ⇔  = 

Xét

3

2

( ) (3) (1) : ( )

( ) (4) f x

f x

f x = 

= ⇔  = 

Xét

( ) (5) (3) : f ( )

( ) (6) f x

x

f x =  = ⇔  =



Dựa vào đồ thị thấy (5) có nghiệm, (6) có nghiệm

Xét 2 12

3

( ) (0;1) (7) (4) : ( ) ( ) (1;3) (8) ( ) (3;4) (9)

f x a

f x f x a

f x a

= ∈ 



= ⇔ = ∈  = ∈ 

Theo đồ thị, phương trình (7),(8),(9) có nghiệm phân biệt (7),(8),(9) khơng có phương trình

nào có chung nghiệm Xét

( )

2

3 2

2

( ) (0;1) (10) (2) : ( ) ( ) (1;3) (11) (3;4) (12)

f x a

f x f x a

f x a

 = ∈ 

= ⇔ = ∈  = ∈ 

Lập luận tương tự trên, phương trình (10),(11),(12) có nghiệm phân biệt (10),(11),(12) khơng có phương trình có nghiệm chung

Vậy có tất 9 3 3 41+ + + + + + + = nghiệm phân biệt

Câu 26 (THANH CHƯƠNG NGHỆAN 2019 LẦN 3)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

(82)

A 20 B 24 C 10 D 4 Lời giải

Chọn A

Đặt f x( ) = ≥t Khi phương trình trở thành ( ) , 1( )

f t =t

Từđồ thị hàm số ta có

Phương trình ( )1 có nghiệm

( )

,

t a a

t b a b

t c c

t d d

= < < 



= < < 

 = < < 

 = < 

Khi phương trình f x( ) =a, f x( ) =b, f x( ) =c phương trình có nghiệm phân biệt khơng

trùng Phương trình f x( ) =d có nghiệm phân biệt khơng trùng với nghiệm phương trình

Vậy phương trình cho có 20 nghiệm phân biêt

Câu 27 (Đặng Thành Nam Đề5)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Số

nghiệm thực phương trình 2f x( 2− − =1 0)

A 3 B 2 C 6 D 4

( ) ( )

(83)

Đặt t x= −1 (t≥ −1)

Phương trình ( )1 trở thành ( ) ( ) f t − = ⇔ f t =

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

3 2; 1;0

t a a l

t b b l

t c c tm

 = < − 

⇔ = ∈ − − 

= ∈ − 

2 1 1

c x x c

⇒ = − ⇔ = ± +

Vậy số nghiệm thực phương trình ( )1

Câu 28 (Đặng Thành Nam Đề3)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Số

nghiệm thực phân biệt phương trình f f x( ( ))=0

A 7 B 3 C 5 D 9

Đặt t f x t= ( ) ( ∈), phương trình f f x( ( ))=0 trở thành f t( )=0

Qua đồ thị hàm số y f x= ( ) cho ta thấy: Đồ thị hàm số y f x= ( ) cắt trục hoành điểm phân biệt

có hồnh độ a, 0, b với a∈ − −( 2; ,) b∈( )1;2

Khi đó: ( )

( ) ( ) ( )

0 0

f x a t a

f t t f x

t b f x b

= 

 

= ⇔ = ⇒ = 

 = =

 

Nhận thấy đường thẳng đường thẳng y a= với ( 2; 1)

a∈ − − ; y=0; y b= với b∈( )1;2 cắt đồ thị hàm số y f x= ( ) điểm phân biệt

điểm có hồnh độ khác

Vậy phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm thực phân biệt

Câu 29 (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình

(84)

Số nghiệm phân biệt phương trình f f x( ( ))+ =1

A 9 B 8 C 10 D 7

Xét f f x( ( ))+ = ⇔1 f f x( ( ))= − ⇔1

( ) ( )

2

0

1

f x a a

f x b b

f x c c

= − < < − 



= < < 

 = < < 

Xét f x( )=a (− < < −2 a 1): Dựa vào đồ thị ta thấy y a= cắt đồ thị điểm phân biệt ( )1 Xét f x( )=b (0< <b 1): Dựa vào đồ thị ta thấy y b= cắt đồ thị điểm phân biệt ( )2

(85)

Câu 30 (Hải Hậu Lần1)Cho hàm sốy f x= ( ) xác định \ 0{ } có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f (3 2− x) −10 0=

A B C D

Đặt 2x t− = phương trình cho trở thành ( ) 10 ( ) 10 f t − = ⇔ f t = (*)

Số nghiệm phương trình (*) sốgiao điểu đồ thị hàm số y= f t( ) đường thẳng 10

3 y= song song trùng với trục hoành

Từ bảng biến thiên cho ta vẽđược bảng biến thiên hàm số y= f t( )

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm

Do hàm số t= −3 2xnghịch biến  nên số nghiệm tcủa phương trình (*) số nghiệm xcủa

phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt

(86)

Tìm sốgiao điểm đồ thị hàm số y g x= ( )= f x′( ) −2 f x f x( ) ( ) ′′ trục Ox

A 6 B 2 C 4 D 0

Lời giải

Chọn D

Vì đồ thị hàm số y f x= ( ) cắt trục hoành điểm phân biệt nên phương trình f x( )=0 có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4

Giả sử f x( )=a x x x x x x x x( − 1)( − 2)( − 3)( − 4) Ta có:

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( 12)( 23)( 44) ( 11)( 32)( 34)

f x a x x x x x x a x x x x x x

a x x x x x x a x x x x x x

′ = − − − + − − −

+ − − − + − − −

 Nếu x x= i, ∀i i: 1,4= f x′( )i ≠0 Khi đó, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

i i i i

g x =f x′  − f x f x′′ =f x′( )2 >0

Do đó, x x= i, ∀ =i 1,4 khơng nghiệm phương trình g x( )=0

 Nếu x x≠ i,∀ =i 1,4 ( ) ( )

1

1 1

f x f x

x x x x x x x x

 

′ =  + + + 

− − − −

 

( )

1 1

f x

f x x x x x x x x x

′

⇒ = + + +

− − − −

( )

( ) ( ) (2 ) (2 ) (2 )2

1

1 1

f x

f x x x x x x x x x

′  

 ′ 

⇒  = − + + + 

− − − −

   

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

1

1 1 0

f x f x f x

x x x x x x x x

f x

 

′′ −  ′ 

⇔ = − + + + <

 − − − − 

   

 

( ) ( ) ( ) f x f x′′ f x′

⇒ −  < ⇒g x( )>0 Vậy phương trình g x( )=0 vơ nghiệm

Câu 32 (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng

2

y= m− cắt đồ thị hàm số y x= 3−3 x +1 điểm phân biệt

A 0≤ ≤m B m≥1 C 0< <m D m<0 Lời giải

Chọn C

(87)

Từđồ thị hàm số y x= − +3 3 1x suy đồ thị hàm số y x= 3−3x +1 đồ thịbên

Dựa vào đồ thị hàm số y x= 3−3x +1 đồ thị hàm số y=2m−1

Ta có: đường thẳng y=2m−1 cắt đồ thị hàm số y x= 3−3x +1 điểm phân biệt

1 2m 1 m

⇔ − < − < ⇔ < <

Câu 33 (Đặng Thành Nam Đề14)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục R, f(2) 3= có đồ thịnhư hình

vẽ bên

A 2 B 18. C 4 D 19.

Có sốnguyên m∈ −( 20;20) đểphương trình f x m( + )=3 có nghiệm thực phân biệt

Ta có: ( ) 1

2

x m x m

f x m

x m x m

 + = −  = − − + = ⇔ ⇔

+ = = −

 

 

Đểphương trình có nghiệm phân biệt

4

2

2 1 -1 -1

3

4

2

5

(88)

{ }

1 1 19, ,

2

m

m m

m − − > 

⇔ − > ⇒ < − ⇒ ∈ − − 

Vậy có tất 18 sốnguyên thoả mãn

Câu 34 (SỞNAM ĐỊNH 2018-2019)Cho hàm số f x( )=x3−3x2 Tính tổng tất cảcác giá trịnguyên của

m đểđồ thị hàm số g x( )= f x( )+m cắt trục hoành điểm phân biệt

A B 10 C D

Xét hàm số f x( )=x3−3x2 Ta có đồ thị hàm số y f x= ( )như sau:

Như ta biết: để vẽđồ thị hàm số y f x= ( ) từđồ thị y f x= ( ) ta thực hiện:

Bước 1: Giữnguyên phần đồ thị y f x= ( )gồm điểm bên phải điểm nằm trục Oy; bỏ

phần đồ thịbên trái trục Oy.Ta phần đồ thị P1

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị P1 qua trục Oyta phần đồ thị P2

Khi đó: Đồ thị y f x= ( ) bao gồm đồ thị P1 P2 Từđó ta có đồ thị hàm số y f x= ( )= x3−3 x2 sau:

Đểđồ thị hàm số g x( )= f x( )+mcắt trục hoành điểm phân biệt phương trình g x( )=0 có nghiệm phân biệt Do phương trình f x( )= −mcó nghiệm phân biệt hay đường thẳng y= −m cắt

đồ thị hàm số y f x= ( )= x3−3x2 điểm phân biệt

(89)

Vậy tổng giá trịnguyên m thỏa mãn là: 6+ + =

Câu 35 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số ( )C y x: = 3−6x2+9x và đường thẳng

:

d y= m m− Tìm sốgiá trị tham số thực m đểđường thẳng d đồ thị ( )C có hai điểm chung

A 4 B 3 C 2 D Vô số

Xét f x( )=x3−6x2+9x ( ) 3 12 9

f x′ = x − x+ ; ( ) x f x

x =  ′ = ⇔ 

= 

Đồ thị hàm số y f x= ( )

Đồ thị hàm số y= f x( ) gồm hai phần:

Phần Giữnguyên phần đồ thị nằm phía trục hoành Phần Lấy đối xứng phần nằm trục hoành qua trục hoành

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng d đồ thị ( )C có hai điểm chung

2m m− =0 2m m− >4 m m

=  ⇔  =



2 2 4 0

m − m+ < (vô nghiệm ( )2

2 2 4 1 3 0,

(90)

Vậy có hai giá trị m thỏa mãn u cầu tốn

Câu 36 (HKII-CHUN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI)Tìm m đểphương trình

2

5 log

x − x + = m có nghiệm phân biệt:

A 0<m< 29 B −4 29 <m<4 29 C Khơng có giá trị m D 1<m<4 29

Xét hàm số y x= 4−5x2+4 có

TXĐ: D=

0

' 10 10

2 x

y x x

x =   = − = ⇔ 

= ± 

Với x= ⇒ =0 y 10

2

x= ± ⇒ =y −

BBT

Đồ thị

Từđồ thị hàm số y x= 4−5x2+4

Bước 1: Ta giữnguyên phần đồ thịphía trục hồnh

Bước 2: Lấy đối xứng phần phía trục hồnh đồ thịlên phía trục hồnh xóa bỏđi phần đồ

(91)

Khi số nghiệm phương trình

2

5 log

x − x + = m số giao điểm đồ thị hàm số

4 5 4

y x= − x + đường thẳng y=log2m với m>0 Dựa vào đồ thị hàm số y x= 4−5x2+4

ta thấy

đểphương trình

2

5 log

x − x + = m

có nghiệm thì:

2

0 log

4

< m< ⇔ < <m

Câu 37 (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ bên Có

bao nhiêu giá trịnguyên tham số m đểphương trình f f x m ( )+ =0 có nghiệm phân biệt

A 1. B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Đặt f x t( ) ( )= * Khi đó:

Nhận xét: +) Với t= −3⇒ phương trình ( )* có nghiệm x=1

+) Với t> − ⇒3 phương trình ( )* có hai nghiệm x x= 1 x x= 2 với x1<1;x2 >1 Ta có: f f x m ( )+ =0

2

t m t m

+ = = −

 

⇔ ⇔ + = = −

(92)

Vì 2− > − ∀m m m, nên f f x m ( )+ =0 có nghiệm phân biệt khi:

3

2

m m

m

m m

− = − =

 

⇔ ⇔ =

 − > −  <

 

Vậy có giá trịnguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 38 (Lý Nhân Tông)Cho hàm số y = f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽdưới Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để phương trình f(sin ) 2sinx = x m+ có nghiệm thuộc khoảng

(0; )π Tổng phần tử S bằng:

A −10 B −8 C −6 D −5

Lời giải

Chọn C

Đặt t=sinx với x∈( )0;π ⇒ ∈t (0;1]

Xét phương trình f t( ) 2= +t m

Đểphương trình có nghiệm đồ thị hàm y f t= ( ) cắt đồ thị hàm số y= +2t m điểm có

hồnh độ t thuộc (0;1 ]

Từđồ thịta suy đồ thị hàm số y= +2t m nằm phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y= +t y= −2 3t

Từđó suy − ≤ < ⇒ = − − −3 m m 3; 2; 1;0 Vậy tổng phần tử −6

(93)

A 5 B 4 C 3 D 2 Lời giải

Chọn D

Đặt t=sinx, với x∈[ ]0;π

Ta có t cosx′ = , 0 [ ]0;

2 t′ = ⇔cosx= ⇔ = ∈x π π Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Với t∈[0;1)cho ta tương ứng 2x∈[ ]0;π Với t=1cho ta tương ứng [ ]0;

2 x= ∈π π

Khi ta có phương trình f t( )=m (*)

Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn[ ]0;π ⇔pt(*) có nghiệm

[0;1)

t∈ ⇔ − < ≤1 m 1, m Z∈ ⇒ ∈m { }0;1 nên có hai sốngun mthỏa mãn tốn

Câu 40 (Đặng Thành Nam Đề6) Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên

1

0 0

t t'

x

-+ 0

π

2 π

(94)

Sốgiá trịnguyên tham số m đểphương trình f x m( + )=m có nghiệm thực phân biệt

A 1 B 3 C 2 D 4

Đặt t x m t= + ( ≥0)⇒ f t( )=m (*)

Với t= ⇔ = −0 x m; với t> ⇔ = − ±0 x m t

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt ⇔ − <1 m<3, m∈⇒ ∈m {1;0;2 }

Câu 41 (Chuyên Lam Sơn Lần 2)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục R có đồ thịnhư hình bên Phương trình f f x( ( )− =1 0) có tất nghiệm thực phân biệt?

A B C D

Từđồ thị hàm số y f x= ( ) ta có: f x( )=0 ⇔

( )

( ) 2; 1;0 0;2 x a x b x c

= ∈ − − 



= ∈ − 

 = ∈ 

Do f f x( ( )− =1 0)

( ) ( )

1

f x a

f x b

f x c

− = 



⇔ − =  − = 

( )1 ⇔ f x( )= + ∈ −a ( 1;0)

(95)

( )2 ⇔ f x( )= + ∈b 0;1( ) ⇒pt f x( )= +b có nghiệm x x x4, ,5 6 thỏa mãn

1

x a x< < < − <x b x< < < <x < <c x

( )3 ⇔ f x( )= + ∈c 1;3( ) ⇒ pt f x( )= +c có nghiệm x7 >x6 Vậy phương trình f f x( ( )− =1 0) có nghiệm phân biệt

Câu 42 (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3)Cho hàm số y f x= ( )=x3−3 1x+ Số nghiệm của phương trình

( ) ( )

3

f x f x

  − + =

  là:

A B C D

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm số y f x= ( )=x3−3 1x+ có dạng:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x( )=0 có nghiệm x1∈ − −( 2; ,) x2∈( )0;1 ,x3∈( )1;2 Nếu phương trình f x( ) −3 3f x( )+ =1 có nghiệm x0 f x( ) {0 ∈ x x x1, ,2 3}

Dựa vào đồ thị ta có:

+ f x( )=x x1, 1∈ − −( 2; 1) có nghiệm + f x( )=x x2, 2∈( )0;1 có nghiệm phân biệt + f x( )=x x3, 3∈( )1;2 có nghiệm phân biệt

Vậy phương trình f x( ) −3 3f x( )+ =1 có nghiệm phân biệt

Câu 43 (Đặng Thành Nam Đề15)Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽdưới

Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f (1 2cos− x m)+ =0 có nghiệm thuộc khoảng ;

2 π π − 

 

(96)

A [−4;0] B [−4;0) C [0;4 ) D ( )0;4 Lời giải

Chọn C

Đặt t= −1 2cosx, ;

2 π π

 

∈ − 

 

x t∈ −[ 1;1)

Khi phương trình f (1 2cos− x m)+ =0 trởthành phương trình f t( )= −m

Như để thỏa yêu cầu tốn phương trình f t( )= −m phải có nghiệm t∈ −[ 1;1)

Điều xảy − < − ≤ ⇔ ≤4 m 0 m<4

Câu 44 (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có bảng biến thiên

hình

Số sốnguyên m thỏa mãn phương trình f(3sinx+4cosx+5)=m có nghiệm

A 10001 B 20000 C 20001 D 10000

Đặt t=3sinx+4cosx+5 sin3 4cos

5 x x

 

=  + +

  =5sin(x+α)+5 với

4 sin

5 cos

5

α α 

=  

 = 

Ta có: − ≤1 sin(x+α)≤ ∀ ∈1, x  nên − ≤5 5sin(x+α)≤ ∀ ∈5, x  suy ra: 0≤ ≤t 10,∀ ∈x 

Phương trình cho trở thành: f t( )=m với t∈ 0;10

Do u cầu tốn ⇔ ≤ ≤0 m 10000 mà m∈ nên có 10001 giá trịnguyên m

Câu 45 (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình f (cosx)= −2m+1có nghiệm thuộc khoảng 0;

(97)

A (−1;1] B ( )0;1 C (−1;1) D (0;1 ] Lời giải

Chọn B

Đặt t=cosx Khi đó: 0; x∈  

 

π thì t∈( )0;1

Bài tốn trởthành: Tìm m đểphương trình f t( )= −2m+1 có nghiệm t∈( )0;1 hay phương trình

( )

f x = − m+ có nghiệm x∈( )0;1

Từđồ thị ta thấy điều kiện toán tương đương − < −1 2m+ < ⇔ < <1 m

Câu 46 (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019)Cho hàm số y f x  liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f2sinx 1 m có nghiệm thuộc nửa khoảng 0;

6

    

 

 là:

A 2;0 B  0;2 C 2;2 D 2;0 Lời giải

Chọn A

Đặt t2sinx1

Ta có: 0; 0 sin

6

x     x  x

 



0 2sinx 1 2sinx t          

 

2 f t

    Vậy chọnA

Câu 47 (THPT ISCHOOL NHA TRANG)Cho hàm số f x( ) xác định  có đồ thịnhư hình vẽ

Có giá trịngun m đểphương trình f 4 sin( 4x+cos4x)=m

  có nghiệm?

1

y

x

3

1

(98)

A B C D Lời giải

Chọn D

( 4 )

4 sin cos

f  x+ x =m ( )1

Đặt 4 sin( cos4 ) 4 1 1sin 22 3 cos 4

t= x+ x =  − x= + x

  Do t∈[ ]2;4

Dựa vào đồ thị ta thấy ∀ ∈t [ ]2;4 1≤ f t( )≤5

Suy phương trình ( )1 có nghiệm ⇔ ≤ ≤ ⇒ ∈1 m 5m∈m {1;2;3;4;5} Vậy có giá trịnguyên m

Câu 48 (Cụm trường chuyên lần1)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Sốgiá trịnguyên dương m đểphương trình f x( 2−4x 1+ + =) m có nghiệm

A 3 B 4 C 0 D Vô số

Đểphương trình x2−4x 5+ = ⇔k (x−2)2 = −k 1 có nghiệm k≥1

Do để f x( 2−4x 1+ + = ⇔) m f x( −4x 5+ )= −m 1 có nghiệm đường thẳng y m= −1 phải cắt

đồ thị y f x= ( ) điểm có hồnh độ lớn Dựa vào đồ thị ta thấy m− ≤ ⇔ ≤1 m Mà m nguyên dương

Vậy m∈{1;2;3} Có tất cả3 giá trị

Câu 49 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019)Cho hàm số f x( ) có đồ thịnhư hình

vẽ

Số nghiệm thuộc đoạn ;5 6 π π − 

 

(99)

A 1 B 3 C 2 D 0 Lời giải

Chọn C

Đặt t=2sinx+2

Khi ;5

6

x∈ − π π 

  t∈[ ]1;4

Với giá trị t∈[1;3) { }∪ tương ứng với giá trị ;

6

x∈ − π π   ∪  π    Với giá trị t∈[3;4) tương ứng với hai giá trị ;5 \

6

x∈π π    π    

Xét phương trình f t( )=1

Từđồ thị ta thấy phương trình f t( )=1 có nghiệm t thỏa mãn t∈[3;4)

Suy phương trình f (2sinx+2 1)= có nghiệm

Câu 50 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục

trên  có đồ thịnhư hình vẽdưới

Tập hợp tất giá trị thực tham số mđể bất phương trình f ( 4−x2)=m có nghiệm thuộc nửa khoảng − ; 3)

A (−1;3] B (−1;f ( )2  C [−1;3] D −1;f ( )2  Lời giải

Chọn A

Đặt

2

x

t x t

x

− ′ = − ⇒ =

(100)

Với x∈ − ; 3) ta có bảng biến thiên hàm số t= 4−x2 .

Vớix∈ − 2; 3)⇒ ∈t (1;2]

Từđồ thị ta có: t∈(1;2]⇒ f t( ) (∈ −1;3]

Vây đểphương trình f ( 4−x2)=m có nghiệm m∈ −( 1;3]

Câu 51 (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số

( ) ( 0)

y f x= =ax bx cx d a+ + + ≠ có đồ thịnhư hình vẽ:

Phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm thực?

A 3 B 7 C 9 D 5

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2; 1

0 0;1

1;2

f x a

f f x f x b

f x c

= ∈ − − 



= ⇔ = ∈  = ∈ 

Dựa vào đồ thị ta thấy: Mỗi phương trình ( )1 , ( )2 , ( )3 có nghiệm phân biệt nghiệm khơng trùng

Vậy phương trình f f x( ( ))=0 có nghiệm thực

(101)

A 2 B 8 C 4 D 6 Lời giải

Chọn B

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0

0 f x

g x f x f f x

f f x ′ = 

′ = ′ ′ = ⇔

′ =   

 ( )*

Theo đồ thị hàm sốsuy ( )

1

0 x

f x

x a =  ′ = ⇔  =

 , với 2<a1<3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

, f x

f f x

f x a

= 

′ = ⇔

=



Phương trình ( )1 : f x( )=0có nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình ( )*

Phương trình ( )2 : f x( )=a1 có nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình ( )1 phương trình ( )* Vậy phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt

Câu 52 (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1)Cho hàm số y x= 4−2x2−3 có đồ thịnhư hình vẽ bên dưới Với giá trị tham số mthì phương trình x4−2x2− =3 2m−4 có hai nghiệm phân biệt?

A m≤12 B 01

2 m m

<    = 

C 0

2 m

< < D 01 m m

=    > 

(102)

Chọn D

Phương trình x4−2x2− =3 2m−4 có hai nghiệm phân biệt chỉkhi đồ thị hàm số y x= 4−2x2−3

đường thẳng y=2m−4 cắt hai điểm phân biệt

Dựa vào đồ thị hàm sốtrên, yêu cầu toán thỏa mãn 4 01

2

2 m m

m m

=  − = −

 

⇔  − > −  >

 

Câu 53 (TTHT Lần 4) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2;2], có đồ thịlà đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

Cách 1:

Ta có: f x( )− =1 ( ) ( )

1

f x f x

− = 

⇔ 

− = − 

( ) ( )

3

1 f x

f x = 

⇔ 

= −



Phương trình ( )1 phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y f x= ( ) với đường thẳng y=3

Phương trình ( )2 phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y f x= ( ) với đường thẳng

1 y= −

(103)

Qua đồ thị ta thấy:

Phương trình ( )1 có nghiệm nhất;

Phương trình ( )2 có nghiệm phân biệt khơng trùng nghiệm phương trình ( )1 Vậy phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt

Cách 2: Xây dựng đồ thị hàm số chứa ẩn dấu giá trịtuyệt đối

Từđồ thị hàm số y f x= ( ), ta dễdàng suy đồ thị hàm số y f x= ( )−1 hình vẽ:

Tiếp theo ta vẽđồ thị hàm số y= f x( )−1:

Khi phương trình f x( )− =1 phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số

( )

(104)

Qua đồ thị ta thấy đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số y= f x( )−1 điểm phân biệt Vậy phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt

Phân tích toán:

- Đây câu mức độ vận dụng thấp Là toán tương giao lớp toán tương giao đồ thị

- Vấn đề làm khó học sinh ởđây chỉlà phương án xửlý phương trình chứa ẩn dấu giá trịtuyệt đối - Đối với toán cụ thểtrên, xử dụng Cách 1để giải phương án hợp lý tiết kiệm thời gian xử

dụng kỷ thuật

- Vậy đưa Cách 2? Vừa dùng nhiều kỹnăng vừa thời gian Giả sử giả thiết tốn

khơng đổi u cầu tốn tìm số nghiệm phương trình sau học sinh chắn gặp khơng khó khăn: f x( )= −1, f x( )− =1 2, f x( )− = −1 x;

Câu 54 (TTHT Lần 4)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2;2], có đồ thịlà đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )= −1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

Từđồ thị hàm số y f x= ( ), ta suy đồ thị hàm số y f x= ( ) sau:

(105)

Câu 55 (TTHT Lần 4)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2;2], có đồ thịlà đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

Từđồ thị hàm số y f x= ( ), ta suy đồ thị hàm số y= f x( )−1 sau:

Qua đồ thị ta thấy phương trình f x( )− =1 có nghiệm phân biệt

Câu 56 (TTHT Lần 4)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục đoạn [−2;2], có đồ thịlà đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x( )− = −1 x có nghiệm phân biệt đoạn [−2;2]

A B C D

Phương trình f x( )− = −1 x phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y= f x( )−1

và đường thẳng y= −2 x

(106)

Qua đồ thị ta thấy phương trình f x( )− = −1 x có nghiệm phân biệt

Câu 57 (Đặng Thành Nam Đề17)Cho hàm số f x( )=ax3 +bx2 +cx d+ với a b c d, , , số thực, có

đồ thịnhư hình bên Có giá trị ngun tham số m để phương trình f x m( − + =1) m có

đúng nghiệm phân biệt

A B Vô số C D

Đặt t x m= − +1(t ≥1), phương trình trở thành: f t( )=m ( )* + Với t = ⇔ =1 x m

+ Với t> ⇔ −1 x m t= − ⇔ = ± −1 x m t( 1) Khi với t>1cho ta hai giá trị x

Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt ( )* có nghiệm lớn

{ }

1 m m 2;3

⇔ < < ⇒ ∈

Câu 58 (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị hình vẽ

(107)

Có giá trịnguyên m đểphương trình f x(  1) m có nghiệm phân biệt ?

A 2 B 1 C 3 D 4

Lời giải ChọnC

Đồ thị hàm sốđược vẽtheo bước:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x= ( ) qua bên phải đơn vị + Giữnguyên phần bên phải, lấy đối xứng phần bên phải qua trục Oy

Từđồ thị ta thấy: phương trình f x( 1)m có nghiệm phân biệt khi 3 m 1

(108)

Câu 59.Tìm tất giá trị thực kđểphương trình 2 3 3 1

2 2

k

x x x

− − + + = − có nghiệm phân

biệt

A 19 ;5

k∈ 

  B k∈∅

C ( 2; 1) 1;19

k∈ − − ∪  

  D

3 19

2; ;6

4

k∈ − −   ∪ 

   

Xét hàm số 2 3 3

2

y= − x − x + x+ Ta có: 6 3 3 0 1 x

y x x y

x = −  

′= − − + ′= ⇔

 =  Bảng biến thiên đồ thị hàm số 2 3 3

2

y= − x − x + x+ Với:

1

3

2 7 33

2

8 x

x x x

x =  

− − + + = ⇔ − ±

 = 

Từ bảng biến thiên, nhận thấy: ycbt

19 6

11 1 2

3

8 2

4 k k

k  < < 

⇔ < − < ⇔ 

− < < − 

Câu 60.Hình bên đồ thị hàm số y=2x3−3x2 Sử dụng đồ thịđã cho tìm tất cả giá trị thực của tham số m đểphương trình 16 x3−12x x2( 2+ =1) (m x2+1)3 có nghiệm

x y

1 -1

2

(109)

Phương trình 16 2 12 2 2 22 3 22

1 1

x x m x x m

x x x x

   

−   = ←→ −   =

+  +  +  + 

Đặt 22

x t

x

= ≥

+ Ta có

2

1

x

x x t

x

+ ≥ → = ≤

+ Do 0≤ ≤t

Phương trình trở thành 2t3−3t2 =m ( )* Đây phương trình hồnh độgiao điểm của đồ thị hàm số

3

2

y= x − x (chỉxét phần x∈[ ]0;1 ) đường thẳng y m= (cùng phương với trục hoành)

Dựa vào đồ thị, ta thấy đểphương trình cho có nghiệm chỉkhi phương trình ( )* có nghiệm thuộc

đoạn [ ]0;1 ←→− ≤ ≤1 m Chọn C

Câu 61 (Thanh Chương Nghệ An Lần 2)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Tổng giá trịnguyên mđểphương trình f f x( ( )+ =1) m có nghiệm phân biệt

A 15 B 1 C 13 D 11

Phương trình f x( )=k có ba nghiệm phân biệt − <1 f x( )= <k hay

( )

0< f x + = + <1 k Với x∈( )0; ta có f x( ) (∈ −13;14)

Đặt u f x= ( )+1, ta có phương trình f u( )=m

- Nếu − < <1 m phương trình f u( )=mcó ba nghiệm phân biệt u u u1, ,2 thỏa mãn điều kiện

1

0< < <u u < <2 u <3, phương trình f x( )+ =1 u1, f x( )+ =1 u2, f x( )+ =1 u3 có

ba nghiệm phân biệt Do phương trình f f x( ( )+ =1) m có nghiệm phân biệt

- Nếu m=2 phương trình f u( )=mcó hai nghiệm phân biệt u1=1,u2∈( )2;

phương trình f x( )+ =1 u1, f x( )+ =1 u2 có ba nghiệm phân biệt Do phương trình ( )

( 1)

f f x + =m có nghiệm phân biệt

- Tương tự m= −1, phương trình f f x( ( )+ =1) m có nghiệm phân biệt

- Nếu m>2 m< −1 phương trình f u( )=mcó nghiệm u0 Khi phương trình

( ) ( )

f x + =u ⇔ f x =u − có ba nghiệm phân biệt

1 u

− < − < ⇔ <0 u0 <3⇔ − <13 f u( )0 <14 13

2 14

m m − < < − 

⇔  < <



Vậy m∈ −{ 12; 11; ; 2; 3; 4; ;13− − } Tổng cần tìm S = − +2 13 11=

x y

2 14

-1

3

-13 O

(110)

Câu 62 (Đặng Thành Nam Đề 17)Cho hàm số f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽbên Có

bao nhiêu sốngun m đểphương trình f f x( ( +1))=m có nghiệm thực phân biệt?

A 2 B 3 C 5 D 4

Nhận xét: Sốnghiệm phương trình f x b( + )=a sốnghiệm phương trình ( )

f x =a

Xét phương trình f f x( ( +1))=m ( )1

Đặt t f x= ( +1) Khi ta có phương trình f t( )=m( )*

+ Trường hợp 1: Với m∈ −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞)

Khi phương trình ( )* có nghiệm Suy phương trình ( )1 có tối đa nghiệm (không thỏa mãn)

+ Trường hợp 2: Với m= −1 Khi ( )* trởthành

( ) ( ) (( )) ( )

1 1

1 2

1

0;1 , 0;1

f x t

f t

t t f x t t

+ = 

= 

= − ⇔ = ∈ ⇔ 

+ = ∈



  .

Phương trình f x( + =1 2) có nghiệm, phương trình f x( + =1) t t1, 1∈( )0;1 có nghiệm Suy phương trình ( )1 có nghiệm (khơng thỏa mãn)

+ Trường hợp 3: Với m=2 Khi ( )* trởthành

( ) ( ) (( )) ( )

2 2

1 1

2

2;3 , 2;3

f x t

f t

t t f x t t

+ = 

= 

= ⇔ = ∈ ⇔ 

+ = ∈



  .

Phương trình f x( + =1 1) có nghiệm, phương trình f x( + =1) t t2, 2∈( )2;3 có nghiệm Suy phương

(111)

+ Trường hợp 4: Với m∈ −( 1;2) Khi ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

4 4

5 5

0;1 , 0;1

* 1;2 , 1;2

2;3 , 2;3

t t f x t t

= ∈ + = ∈

 

 

⇔ = ∈ ⇔ + = ∈

 = ∈  + = ∈

 

.

Phương trình f x( + =1) t t3, 3∈( )0;1 có nghiệm, phương trình f x( + =1) t t4, 4∈( )1;2 có nghiệm,

phương trình f x( + =1) t t5, 5∈( )2;3 có nghiệm Dựa vào đồ thị ta thấy nghiệm nghiệm

phân biệt Suy phương trình ( )1 có nghiệm phân biệt (thỏa mãn)

Vậy, phương trình f f x( ( +1))=m có nghiệm thực phân biệt ⇔ − < <1 m Vì m nguyên nên m∈{ }0;1

Minh họa đồ thị:

Câu 63 (Đặng Thành Nam Đề 10)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽbên

Có sốngun mđểphương trình f f x m( ( )− )=0 có tất cả9 nghiệm thực phân biệt?

A B 0 C 3 D 2

* Ta có đồ thị hàm số y f x= ( ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độlần lượt a, b, c với

2 a

(112)

Ta có ( ( ) )

( ) ( ) ( )

0

f x m a

f f x m f x m b

f x m c − = 



− = ⇔ − =

 − =



( ) ( )

1

f x m a

f x m b

f x m c

= + 



⇔ = +

 = +



Nhận thấy phương trình f x( )=k có nhiều nghiệm thực phân biệt với − < <3 k

* Đểphương trình f f x m( ( )− )=0 có nghiệm thực phân biệt phương trình ( )1 , ( )2 ( )3

đều có nghiệm thực phân biệt

Khi

3

m a m b m c − < + < 

− < + < 

− < + < 

( ) ( ) ( )

3

a m a

b m b

c m c

− − < < − 



⇔ − − < < − − − < < − 

Với − < < −2 a nên − − > −3 a suy m> −2 Với 1< <c nên 1− <c suy m<0

Do m∈ nên m= −1 * Với m= −1

+ Ta có − − < − < − =3 b m 1− > > − =b 1 1 m nên m= −1 thỏa mãn điều kiện ( )5 + Có − < < − ⇒ < − < ⇒ − − < − = < < −2 a 1 a a m a nên điều kiện (4) thỏa mãn

+ Có 1< < ⇒ − < − < − ⇒ − − < − < = − < −c 2 c c m 1 c nên điều kiện (6) thỏa mãn

Vậy có giá trịnguyên m thỏa mãn đề

Câu 64 (Đặng Thành Nam Đề 3)Cho hai hàm số y f x= ( ) y g x= ( )là hàm xác định liên tục

trên  có đồ thịnhư hình vẽbên (trong đường cong đậm đồ thị hàm số y f x= ( )) Có

bao nhiêu sốnguyên m đểphươngtrình f (1−g x(2 1)− )=m có nghiệm thuộc đoạn 1;5

− 

 

 

A 8 B 3 C 6 D 4

Đặt t= −1 g x(2 1)− Với 1;5

2

x∈ − 

  [ 3;4]x− ∈ − Mà từđồ thị hàm số y g x= ( ) ta có [ ; 4]min ( )− g x = −3 [ ; 4]max ( ) 4− g x =

(113)

Bài toán trởthành: Tìm m đểphương trình f t( )=m có nghiệm t thuộc đoạn [ 3;4]− (*) Vì hàm số y f x= ( ) xác định liên tục  nên (*) [ ; 4] ( )

[ ; 4]

min ( )f t m max f t

− −

⇔ ≤ ≤

Kết hợp với đồ thị hàm số y f x= ( ) ta a m≤ ≤2, với ( ) [ ; 4]min ( ) 1;0

a f t

−

= ∈ −

Mà m nguyên nên m∈{0;1;2} Vậy có giá trị m thỏa mãn toán

Câu 65 (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số có đồ thịnhư hình vẽbên Có sốngun đểphương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ?

A B C D

Đặt , xét hàm số đoạn

Ta có

Ta có bảng biến thiên hàm số đoạn

Từđó bảng biến thiên ta thấy:

+) Nếu

+) Nếu có hai nghiệm phân biệt

( )

y f x= m

( 3 )

f x − x =m [−1;2]

3

3 3

t x= − x t x= 3−3x [−1;2]

2

3

1

x t

t x

x t

= = −

 

′ = − = ⇔ ⇒

= − =

 

3 3

t x= − x [−1;2] x

t' t

-1

0

- +

-2

2

t= − x= ∈ −1 [ 1;2]

( 2;2]

(114)

Do phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng

Dựa vào đồ thị hàm số cho sốnguyên ta thấy thỏa mãn Vậy có hai giá trịnguyên thỏa mãn yêu cầu toán

Bài tốn tổng qt:

Cho hàm số có đồ thịcho trước (hoặc cho trước bảng biến thiên) Biện luận theo tham số

sốnghiệm phương trình tập cho trước ( );

các số thực; biểu thức với tham số Cách giải:

Bước 1: Đặt Khi

Bước 2:

+) Tìm miền giá trị ứng với

+) Chỉ mối quan hệ giá trịtương ứng

Bước 3: Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên hàm số ), biện luận theo sốnghiệm phương trình

Bước 4: Dựa vào mối quan hệ ởBước ta có biện luận sốnghiệm phương trình

Câu 66 (Đặng Thành Nam Đề 10)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình bên

Có sốngun m đểphương trình f x x( ( −3)2)=m có nghiệm thực thuộc đoạn [ ]0; ?

A 3 B 2 C 5 D 4

Đặt t x x= ( −3)2 t′ =0 ( 3)2 ( 0) x

x x x

x = 

⇔ − + − = ⇔ 

=



( 3 )

f x − x =m x [−1;2]

( )

f t =m t (−2;2] ( )*

( )

y f x= m m=0 m= −1 ( )*

m

( )

y f x= ( )C

m f n g x ( )+ p=h m( ) D D⊆ n p,

( )

h m m

( )

t n g x= + p f n g x . ( )+p=h m( )⇒ f t( )=h m( )

D′ t x D∈

t D∈ ′ x D∈

( )C y f x= ( ) m

t D∈ ′ f t( ) ( )=h m

x t x D∈

( ) ( )

(115)

Bảng biến thiên t sau

+ Nếu t t

<   >

 phương trình ( )

t x x= − khơng có nghiệm thuộc đoạn [ ]0;4

+ Nếu t t

=   =

 phương trình ( )

t x x= − có hai nghiệm thuộc đoạn [ ]0; + Nếu 0< <t phương trình t x x= ( −3)2 có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ ]0; Vậy phương trình ( ( )2)

3

f x x− =m có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn [ ]0; ⇔ f t( )=m có ba

nghiệm thực phân biệt t∈( )0; ⇔ < < ⇒ ∈0 m m {1,2,3}

Câu 67 (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình)Cho f x( )=x3−3x2+1 Có bao

nhiêu giá trịnguyên m đểphương trình 2019.f f x( ( ))=m có nghiệm phân biệt?

A 4037 B 8076 C 8078 D 0

Đặt y f f x= ( ( ))=(x3−3x2+1) (3−3 x3−3x2+1)2+1 Ta có: y′ =9x x( −2 ) (x3−3x2+1 ) (x3−3x2−1) Bảng biến thiên:

Từ bảng biên thiên ta thấy phương trình ( ( ))

2019 m

f f x = có nghiệm phân biệt

1

2019 m

(116)

Câu 68 (ĐH Vinh Lần 1)(Phát triển từđềthi đại học 2018)Cho hàm số có đạo hàm Đồ thị hàm số hình

A B C D

Đặt

Ta có

Đặt ta

là phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị đường thẳng : (hình vẽ)

Dựa vào đồ thị đường thẳng ta có

ta có hay

Xét hàm đồng biến suy bảng biến thiên hàm số :

( )

y f x= 

( )

y f x= ′

m m x+ 2+ ≥4 2(f x( + −1 2) x) x∈ −[ 4;2]

2 (0)

m≥ f − m≥2 ( 3) 4f − − m≥2 (3) 16f − m≥2 (1) 4f −

( )

( ) ( ) ( )2

2 4 2 1 2 2 1 2

m x+ + ≥ f x+ − x ⇔ ≥m f x+ − +x ( ) 2 ( 1) ( 2)2

g x = f x+ − x+

( ) ( 2) ( 2) 2( ( 1) ( 2))

g x′ = f x′ + − x+ = f x′ + − +x g x′( )= ⇔0 f x′( + = +1) x

1

t x= + f t′( )= +t ( )1

( )1 f t′( ) d y t= +1

( )

f t′ y t= +1

( )1

3 t t t

= −   ⇔ =

 = 

4 x x x

= −   =   = 

( )

t t x= = +x  g x( )

( )

2 4 2 1 2

m x+ + ≥ f x+ − x x∈ −[ 4;2]

(117)

Câu 69 (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số có đạo hàm Đồ thị hàm số hình

vẽbên

A B C D

Lời giải

ChọnB

Ta có

Đặt Ta có

Đặt ta

là phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị đường thẳng : (hình vẽ)

Dựa vào đồ thị đường thẳng ta có

ta có hay

Bảng biến thiên hàm số

( )

y f x=  y f x= '( )

m m x− ≤2f x( + +2 4) x+3 x∈ − +∞( 3; )

2 (0)

m≥ f − m≤2 (0) 1f − m≤2 ( 1)f − m≥2 ( 1)f −

( ) ( )

2 2 2 4 3 2 2 4 3

m x− ≤ f x+ + x+ ⇔ ≤m f x+ +x + x+

( ) 2 ( 2) 4 3

g x = f x+ +x + x+ g x′( )=2f x′( + +2 2) x+4

( ) ( 2) ( 2)

g x′ = ⇔ f x′ + = − +x

2

t x= + f t′( )= −t ( )1

( )1 f t′( ) d y= −t

( )

f t′ y= −t

( )

f t′ = −t

1 t t t t

= −   =  ⇔

 =  = 

3 x x x x

= −   = −   = −  = 

( )

g x

( ) ( )( )

2

m≤ f x+ + +x x+ x∈ − +∞( 3; )

(118)

Câu 70 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm sốy f x mx4nx3 px2qx r ,

, , , ,

m n p q r Biết hàm số y f x  có đồ thị hình bên Số nghiệm phương trình

  16

f x  m n p q r

A B C D

* Dựa vào đồ thị ta có m0

 

3

4 (x 1)(x 1)(x 4)

4 16 16

f x m

mx mx mx m

    

   

* Mà f x 4mx33nx22px q Suy

16 16

n m

p m

q m

          

* Phương trình f x 16m8n4p2q r

4 16 2 16 16 128 8 32

3

mx mx mx mx r m m m m r

         

4 16 2 16 0

3

m x x x x 

      

3

2

10 26 4 0

3 3

x

x x x

    

    



Phương trình 10 26

3 3

x  x  x  có nghiệm phân biệt khác Vậy phương trình f x 16m8n4p2q r có nghiệm

Vậy với x∈ −∞ −( ; 2) ta có:

( ) ( )

2

3

'

x

g x f x x

 − >

 ⇒ <



− <



⇒ với x∈ −∞ −( ; 2) hàm số g x( ) nghịch biến

(119)

Có tất cảbao nhiêu giá trịnguyên dương mđểphương trình 3f x( )=m 9−x2 có 3 nghiệm

A 2 B 3 C 4 D 5

Điều kiện: 9−x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤0 3 x 3

Từ giả thiết 3f x( )=m 9−x2 ( ) 9

m

f x x

⇔ = − m nguyên dương

Đặt 9

3

m

y= −x 2

2

1

y

x y

m

≥   ⇔ 

+ =



Đồ thị 9

m

y= −x nửa ( )E phần đồ thịnằm phía Oxcắt trục Ox hai điểm A′ −( 3;0)

, A( )3;0 cắt tia Oy B m(0; )

Số nghiệm phương trình 3f x( )=m 9−x2 là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y f x= ( )

9

m

y= −x

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y f x= ( ) 9

m

y= −x cắt điểm chỉkhi điểm

( 1;4)

M − nằm ( )E

⇔ ( )

2 2

2

1 1

9 m

−

(120)

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương nên m∈{1; 2; 3; 4} Vậy có giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề

Câu 72 (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên)Cho hàm số f x( ) xác định liên tục  có đồ thịnhư

hình vẽ Có giá trịnguyên m để phương trình 2 3 9f ( − − x2+30x−21)= −m 2019 có

nghiệm

A 15 B 14 C 10 D 13

Điều kiện: 1;7

x∈   

 

Xét phương trình: 2 3 9f ( − − x2+30x−21)= −m 2019 1( )

Ta có: −9x2+30x−21 3= −( x−5)2 ⇒ ≤0 4 5−( x− )2 ≤ ⇒ − ≤ −2 3 3 5−( x− )2 ≤3

Đặt t= −3 9− x2+30x−21, t∈ −[ 3;3]

Khi đó, phương trình ( )1 trởthành: ( ) 2019 ( ) 2019 ( )2

m

f t = −m ⇔ f t = −

Phương trình ( )1 có nghiệm 1;7

x∈   

  ⇔phương trình ( )2 có nghiệm t∈ −[ 3;3]

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ( ), phương trình ( )2 có nghiệm t∈ −[ 3;3] 2019

5 2009 2021

2

m− m

− ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Do m∈ ⇒ ∈m {2009, 2010, , 2021}

Vậy số giá trịnguyên m là: 2021 2009 13− + =

Câu 73 (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hàm số f x( ) liên tục

trên  có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số mđể phương trình

(3 6 9 2) 1 0

(121)

A 6 B 4 C 5 D 7 Lời giải

Chọn C

Đặt 2 ( )2 [ ]

3 1;3

t= − x− x = − − x− ⇒ ∈ −t Dựa vào đồ thị ta có t∈ −[ 1;3] ( ) 5;

2 f t ∈ − − 

 

Khi phương trình f (3 6− x−9x2)+ +1 m2 =0 có nghiệm chỉkhi phương trình

( ) 1

f t = − −m có nghiệm thuộc [−1;3]

2 1

5 2

2

m m m

⇔ − ≤ − − ≤ − ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Kết hợp điều kiện m∈ ⇒ ∈ − − m { 2; 1; 0; 1; 2}

Vậy có giá trịnguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 74 (CổLoa Hà Nội)Cho hàm số y f x= ( ) xác định liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Hỏi

có giá trịnguyên tham số m đểphương trình f ( 408− +x 392+ −x 34)=m có nghiệm phân biệt?

y

x

7

-3

7 -3

2 -5

-6

-2

6

(122)

A B 2 C 3 D 4 Lời giải

Chọn B

ĐK: −392≤ ≤x 408

Đặt t = 408− +x 392+ −x 34

( )( )

1 408 392

'

2 408 392 408 392

x x

t

x x x x

− − − +

⇒ = + =

− + − +

0 408 392

t = ⇔ − −x + = ⇔ =x x

( 392) (408) 20 34 5,71

t − =t = −  − ;

( )8 t =

5,71 t

⇒ − ≤ ≤

Phương trình cho trởthành f t( )=m ( )* với t∈ −[ 5,71;6] Với t∈ −[ 5,71;6) cho giá trị x

Với t =6 cho giá trị x

Do phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔( )* có nghiệm phân biệt t∈ −[ 5,71;6)

1

2 m ⇔ − < <

Mà m∈ nên m= − ∨1 m=0

Câu 75 (SởThanh Hóa 2019)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ

Có giá trịngun tham số m đểphương trình f ( cosf ( x))=m có nghiệm ;

x∈π π  

A 4 B 3 C 2 D 5

Ta có ;

2

x∈π π

(123)

Từđồ thị suy f (cosx)∈[0;2) ⇒ cosf ( x)∈[0;2)⇒ f ( cosf ( x))∈ −[ 2;2) Do phương trình f ( cosf ( x))=m có nghiệm ;

2

x∈π π

  m∈ −[ 2;2)

Do m nguyên nên m∈ − −{ 2; 1;0;1}

Câu 76 (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019)Chohàm số y f x= ( ) xác định liên tục

trên R có đồ thịnhư hình vẽ

Có giá trịnguyên tham số m đểphương trình 3f ( − + cosx)=3m−7

có hai nghiệm phân biệt thuộc ; 2

π π

−

 

 

 ?

A B C D

Đặt t= −5 3cos+ x (1) Vì ; cos [ ]1;3

2

x∈−π π⇒ ≤ x≤ ⇒ ∈t

 

Phương trình cho trởthành ( )

7

m

f t = − (2) Nhận xét:

+) Với cosx= ⇒ =1 t 1nên t=1 (1) có nghiệm x thuộc ; 2

π π

−

 

 

 

+) Với t∈(1;3] (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thuộc ; 2

π π

−

 

 

 

Như dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc ; 2

π π

−

 

 

 

phương trình (2) có nghiệm t∈(1;3]

3 4 7

7 7 7

3

2 3 3

7

m m

−

 = −  = −

 

⇔ − ⇔− < ≤

− < ≤ 



(124)

C

Câu 77 (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số có đồ thịnhư hình vẽ

Có sốngun đểphương trình có nghiệm thuộc đoạn ?

A 11 B C D 10

Ta có 6

2

1 1

3 2

x x

x

f x m⇔ f  + +  + = m+

  

 + + =

 

   ⇔ f t( )+ =6 3t m+6

Với

x

t= + x∈ −[ 2;2] nên ta có t∈[ ]0;2 Xét hàm số y f t= ( )+6t [ ]0;2

Ta có y′= f t′( )+ >6 0, ∀ ∈t [ ]0;2

Phương trình có nghiệm

[ ]0;2 ( ( ) ) [ ]0;2 ( ( ) )

min f t′ 6t 3m max f t′ 6t

⇔ + ≤ + ≤ + ⇔ f ( )0 3≤ m+ ≤6 f ( )2 12+ 3m 6 12

⇔ − ≤ + ≤ +

10 4

3 m

⇔ − ≤ ≤

Vì m∈ nên m∈ − − −{ 3; 2; 1;0;1;2;3;4}

Câu 78 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho hàm số có đồ thịnhư hình bên Có sốnguyên m

để bất phương trình nghiệm với ?

( )

y f x=

m 1

3

x

f  + + = x m

  [−2;2]

(x)

y f=

(125)

A B C D Lời giải

Chọn A

Đặt

Phương trình có nghiệm nghiệm bội lẻ Vì

Suy

Với ,

Ta có: ;

Vậy với , ta có

NHẬN XÉT:

Bài tốn tổng quát: Tìm tham số cho

Với hàm số liên tục Phân tích:

+ Mấu chốt tốn kiểm sốt nghiệm bội chẵn, lẻ trên

Tìm tập nghiệm với tập nghiệm bội lẻ với tập nghiệm bội chẵn Yêu cầu tốn suy Đây chìa khóa xây dựng lớp tốn Câu 79 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ Tập hợp tất giá trị m đểphương trình 22

1 x

f f m

x

   =

 

  + 

  có nghiệm

1

2

( )

g x =mx m+ −x + m+ ( )

f x = x=1

[ ]

( ) ( ) 0, 2;2

g x f x ≥ ∀ ∈ −x

( )

2

(1) 1

2

m

g m m

m L = −   = ⇔ + + = ⇔  = − 

m= − g x( )= − +x 5−x2 −1

[ ]

( )

, 2;1

( ) f x x g x ≥  ∀ ∈ −  ≥  ( ] 2 ( )

, 1;2

4 2

( )

5 f x x x x g x x x <   ∀ ∈ − −

 = <

 − + +



m= − g x f x( ) ( ) 0,≥ ∀ ∈ −x [ 2;2]

m f x m g x( , ) ( )≥0 ,∀ ∈x ( )a b;

( , ), ( )

y f x m y g x= = (a b; )

( , ) ( )

f x m g x = (a b; )

( )

g x = S S= 1∪S2 S1 S2

( , ) 0,

(126)

A [−1;2] B [ ]0;2 C [ ]−1;1 D [−2;2] Lời giải

Chọn D Vì:

2

1 1

1

x x

+ ≥ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ≤

+ +

Từđồ thị thấy

[ ] [ ]

1;1 ( ) 2;2

2;2 ( ) 2;2

x f x

∈ − ⇒ ∈ −

Xét phương trình

2

1 x

f f m

x

   =

 

  + 

  Đặt

2

x t

x

=

+ ;

2 x u f

x

 

=  + 

 

Vì t∈ −[ 1;1]⇒ ∈ −u [ 2;2]⇒ f u( )∈ −[ 2;2]

Vậy đểphương trình ban đầu có nghiệm f u( )=m có nghiệm thuộc đoạn [−2;2]

nên m∈ −[ 2;2]

Câu 80 (Thị Xã Quảng Trị)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽbên Tìm giá

trị tham số m đểphương trình

( ) ( )

3

2

2 1

m m f x

f x

+ = +

+ có ba nghiệm thực phân biệt

A m= B m= 26 C m= 10 D m=1

(127)

Chọn B

Phương trình tương đương m m3+ =( f x2( )+1)3+ f x2( )+1 (*) Xét hàm số f t( )= +t t3 trên

 có f t′( )=3t2+ > ∀ ∈1 0 t  nên hàm sốđồng biến  Từphương trình (*)⇒m= f x2( )+1 (Đk m≥1) Khi phương trình

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

2 (1)

1

1 (2)

f x m

m f x f x m

f x m

 = −



= + ⇔ = − ⇔

 = − −



Nếu m=1 ta có f x( )=0 phương trình có nghiệm nên m=1 loại

Nếu m>1 phương trình (2) có nghiệm, đểphương trình cho có ba nghiệm phân

biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt suy 1 5 26 26 m

m

m  = − = ⇔ 

= −

 ,do m>1 nên ta chọn m= 26

Câu 81 (Yên Phong 1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ Có giá trị tham số m đểphương trình sau có nghiệm phân biệt

( ) ( )

3

2

4 3

2

m m f x

f x

+

= +

+

A 0 B 1 C 2 D 3

Phương trình cho tương đương 4m m3+ =f x2( )+3 2 f x2( )+5

 

( ) ( )

3 2

8m 2m 2f x 2 f x

⇔ + = + +  + ⇔( )2m 3+2m=( 2f x2( )+5)3+ 2f x2( )+5 Xét hàm số g a( )=a a3+ , a∈ Ta có g a′( )=3a2+ >1 0, ∀ ∈a 

Do đó, g a( ) đồng biến  Mặt khác, g m( )2 =g( 2f x2( )+5) ⇔2m= 2f x2( )+5

2

6

− O

y

(128)

( )

2

0

2

m

f x m

≥  ⇔  = −  ( ) 2

4

4 m m m f x   ≥  ⇔ − ≥  −  = 

( )

5 m m f x  ≥   ⇔  −  = 

Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt chỉkhi đường thẳng

2 m

y= − cắt đồ thị hàm số ( )

y= f x ba điểm phân biệt

Từđó,

2

m − = ⇔4m2− =5 32 37

2

m

⇔ = ±

Đối chiếu với điều kiện, ta thu 37

m=

Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 82 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho hàm số có đồ thịnhư hình bên Có sốngun m

để hàm số có tập xác định

A B C D

Câu 83 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho hàm số có đồ thịnhư hình bên tập sốnguyên m

để bất phương trình nghiệm với

Tổng phần tử

(x)

y f=

2

4 2 1 ( )

1

x

y mx m m m f x

x

 − 

=  + + + + 

+ −

  [ 2;2]−

1

(x)

y f= S

(m3 2x2−2x+ −4 mx+2m+3)(f x( ) 2019+ f2019( )x )≥0 [ 2;2019)

x∈ − S

1

6

− O y

(129)

A B C D Câu 84 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình (2sin )

2

m f x =  f  

  có 12

nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π;2 ] Tính tổng tất phần tử A

A B C D

Đặt t=2sinx với x∈ −[ π π;2 ]

2cos

t′ = x

( )

0 2cos

2

t′ = ⇔ x= ⇔ = +x π kπ k∈

[ ;2 ] ; ;3

2 2

x∈ −π π ⇒ ∈ −x  π π π

 

(130)

Từđó, ta suy bảng biến thiên u= 2sinx

Với u=2 ta có nghiệm phân biệt x∈ −[ π π;2 ] Với u=0 ta có nghiệm phân biệt x∈ −[ π π;2 ] Với 0< <u ta có nghiệm phân biệt x∈ −[ π π;2 ]

Yêu cầu toán ⇔ ( )

2

m f u =  f  

  có nghiệm phân biệt khoảng ( )0;2

0 0 4

27 0

3

16

2

m

m m

f

m m

 < <

  < < 

 

⇔ − <  < ⇔ ⇔ ≠

   ≠ 



Vậy A={ }1;2 Tổng tất phần tử A

Câu 85 (Sở Quảng NamT)Cho hai hàm đa thức y f x y g x= ( ), = ( ) có đồ thị hai đường cong hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y f x= ( ) có điểm cực trị B, đồ thị hàm số y g x= ( ) có điểm cực trị A

4

(131)

A B 3 C 4 D 6

Gọi x0 điểm cực trị f x( ) g x( ) Dựa vào đồ thị ta có bảng dấu f x′( ) g x′( )

Đặt h x( ) ( ) ( )=f x g x− ; x∈ Lúc đó, h x′( )=f x g x′( )− ′( )= ⇔ =0 x x0

Ta có BBT h x( ) là:

Dựa vào BBT h x( ), phương trình h x( )=0 có hai nghiệm phân biệt a b (a b< )

Lúc đó, ta có BBT hàm số y h x= ( ) sau:

Dựa vào BBT hàm số y h x= ( ) hàm số y= f x( )−g x( )+m có cực trị

4

(132)

Vì m∈ −( 5;5) m∈ nên m=2;3;4

Vậy có giá trị m thỏa yêu cầu toán

Câu 86 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)Cho hàm số y f x= ( ) hàm đa thức với hệ số

thực Hình vẽbên phần đồ thị hai hàm số: y f x= ( ) y f x= ′( )

Tập giá trị tham số m để phương trình f x( )=mex có hai nghiệm phân biệt [ ]0;2 là nửa

khoảng [ )a b; Tổng a b+ gần với giá trịnào sau đây?

A −0.81 B −0.54 C −0.27 D 0.27

Nhận xét: Đồ thị hàm y f x= ′( ) cắt trục hồnh điểm x0 x0 điểm cực trị hàm y f x= ( ) Dựa vào hai đồ thịđềbài cho, ( )C1 đồ thị hàm y f x= ( ) ( )C2 đồ thị hàm y f x= ′( )

Xét phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y f x= ( ) y me= x ta có:

( )= x

f x me ⇔ =m f x( )x e

Đặt g x( )= f x( )x

e ta có:

( ) ′( )− ( )

′ = f x x f x g x

(133)

( ) ( ) ( )

( )

0

1;0  =



′ = ⇔ ′ = ⇔ =

 = ∈ − 

x

g x f x f x x

x x

Dựa vào đồ thị hai hàm số: y f x= ( ) y f x= ′( ) ta được:

Yêu cầu toán ta suy ra: f ( )22 ≤ <m

e (dựa vào đồ thịta nhận thấy f ( )0 = f ( )2 ≈ −2)

0,27

⇔ − ≤ <m Suy ra: a= −0,27,b=0 Vậy a b+ = −0,27

Câu 87 (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thịnhư hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị tham số mđể phương trình f (3− 4−x2)=m có hai

nghiệm phân biệt thuộc đoạn − 2; 3

  Tìm tập S

A S = −( 1; f (3− 2) B S =(f (3− ;3) 

C S = ∅ D S= −[ 1;3]

Xét phương trình f (3− 4−x2)=m Điều kiện 4−x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤0 2 x 2

Đặt t= −3 4−x2 với x∈ − 2; 3

  Ta có ′ = 4−

x t

x t′ = ⇔ =0 x

Bảng biến thiên hàm số t= −3 4−x2 trên đoạn − 2; 3

(134)

Nhận xét:

+) Mỗi ∈(1;3− 2 

t cho ta giá trị x∈ − 2; 3 +) Mỗi t∈ −(3 2;2 cho ta giá trị x∈ − 2; 3 +) t=1 cho ta nghiệm x=0

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ( ) ta suy đường thẳng y m= cắt đồ thị

hàm số y f t= ( ) nhiều điểm [ ]1;2

Do đó, đểphương trình f (3− 4−x2)=m có hai nghiệm phân biệt thuộc

đoạn − 2; 3 m∈ −( 1; 3f ( − 2) 

Vậy, giá trị m cần tìm m∈ −( 1; 3f ( − 2)

Câu 88 (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hàm số y f x= ( )xác định, liên tục

 có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun m để phương trình

( 2)

2 9f − x− x = −m có nghiệm

A 13 B 12 C 8 D 10

Cách 1:

Điều kiện:6 9 0 0 x− x ≥ ⇔ ≤ ≤x

(135)

Với 0;2

x∈  

 , ta có

2

0 6x9x  (1 )  x 1 0 6x9x2 4

2 3 9x x

⇔ ≥ − − ≥ −

Dựa vào đồ thị ta có: − ≤5 f (3 9− x− x2)≤ ⇒ − ≤1 10 9f ( − x− x2)≤2

Khi phương trình 2 9f ( − x− x2)= −m 3 có nghiệm

10 m

⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤7 m

Do m∈ nên m∈ − −{ 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5− − − − − }, có 13 giá trị m

Cách 2:

Điều kiện:6 9 0 0 x− x ≥ ⇔ ≤ ≤x

Đặt 3 6 9 ( ), 0;2

x x g x

t= − − = x∈  

  suy ( )

( ) ( )

2

12 0

3

6

x

g x g x x

x x − ′ = ⇒ ′ = ⇔ = − ( ) ( ) ( ) 2 0; 0; 3

0 3;

3

x x

Max g x g g Min g x g

   

∈  ∈ 

   

   

= =  = =  = −

    suy t∈ −[ 1;3]

Phương trình 2 9f ( − x− x2)= −m 3có nghiệm 2. ( ) 3 ( ) 3, [ 1;3]

m

f t m f t − t

⇔ = − ⇔ = ∈ − có

nghiệm

5

2 m−

⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤7 m

Do m∈ nên m∈ − −{ 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5− − − − − }, có 13 giá trị m

Câu 89 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019)Cho hàm số y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ + (với a b c d, , , ∈,a>0 ) Biết đồ thị hàm số y f x= ( ) có điểm cực đại A( )0;1 điểm cực tiểu B(2; 3− ) Hỏi tập nghiệm phương trình f x3( )+ f x( )−23 f x( )=0 có phần tử?

A 2019 B 2018 C 9 D 8

Ta có f x( )=ax bx3+ 2+cx d+ ⇒ f x′( )=3ax2+2bx c+ +A( )0;1 điểm cực đại ( )

( ) 0 f f ′ =  ⇒  =  c d =  ⇒  =  ( ) ( ) 2

f x ax bx

f x ax bx

 = + +

 ⇒ 

′ = +



+B(2; 3− ) điểm cực tiểu ( )

( ) 2 f f ′ =  ⇒  = − 

12

8

a b a b + =  ⇒  + + = −  a b =  ⇒  = − 

Suy f x( )=x3−3x2+1

Thử lại: ( ) 3 6 0

2

x y

f x x x

x y

= =

 

′ = − = ⇔ ⇒

= = −

(136)

Từ bảng biến thiên, chứng tỏ f x( )=x3−3x2+1 là một hàm số cần tìm( )1

+ Xét phương trình:

( ) ( ) ( )

3 23 0

f x + f x − f x = ⇔ f x3( )+2.f x( )=(3 f x( ))3+2.3 f x( ) ( )* Xét hàm sốđặc trưng h t( )= + ⇒t3 2t h t′( )=3t2+ >2 0, ∀ ∈t 

Phương trình ( )* trởthành: f x( )= 3 f x( ) ⇔ f x3( )= f x( )

( ) ( ) ( )

0 1

f x f x f x

= 



⇔ =

 = −



( )2

Từ ( )1 ( )2 ta có:

3

3 (1 )

3 (2 )

3 (3 )

x x

′

 − + =



′

− =



 − + = ′



Phương trình (1 )′ có nghiệm phân biệt, phương trình ( )2′ có nghiệm phân biệt, phương trình ( )3′ có

3 nghiệm phân biệt (Khơng có nghiệm trùng nhau) nên tổng sốnghiệm

Câu 90 (Chuyên Hà Nội Lần1)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thịnhư hình bên Phương

trình f (2sinx)=m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π; ]

A m∈ −{ 3;1} B m∈ −( 3;1) C m∈ −[ 3;1) D m∈ −( 3;1] Lời giải

Chọn A

Ta có bảng biến thiên hàm số y g x= ( )=2sinx [−π π; ] x

 

' f x

 

f x

 0 2 

0 

 

1

3

 

(137)

Phương trình f (2sinx)=m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π; ] chỉkhi phương trình f t( )=m có:

Một nghiệm t=0, nghiệm cịn lại khơng thuộc [−2;2], m∈∅

hoặc nghiệm t=2 nghiệm lại thuộc (−2;2 \ 0) { }, m=1

hoặc nghiệm t= −2, nghiệm lại thuộc (−2;2 \ 0) { }, m= −3 Vậy m∈ −{ 3;1}

Câu 91 (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019)Cho hàm số f x( ) liên tục

trên  Hàm số y f x= ′( ) có đồ thịnhư hình vẽ

Bất phương trình f (2sinx)−2sin2x m< đúng với mọi x∈( )0;π chỉ A ( )1

2

m f> − B ( )1

m f≥ − C ( )0

2

m f≥ − D ( )0

2 m f> − Lời giải

Chọn A

(2sin ) 2sin2 ( )1

(138)

Ta có: x∈( )0;π ⇒sinx∈(0;1] Đặt 2sinx t t= ( ∈(0;2]) ta bất phương trình: ( ) ( )2

2

f t − t <m

( )1 với x∈( )0;π ( )2 với t∈(0;2] Xét ( ) ( )

2

g t = f t − t với t∈(0;2]

( ) ( )

g t′ = f t t′ −

Từđồ thị hàm số y f x= ′( ) y x= (hình vẽ) ta có BBT g t( ) sau:

Vậy yêu cầu toán tương đương với ( )1 ( )1 m g> = f −

Câu 92 (THPT LƯƠNG THẾVINH 2019LẦN 3)Cho hàm số y f x= ( ) liên tục  có đồ thị hình vẽbên Biết f x′( )>0 với x∈ −∞ − ∪( ; 3) (2;+ ∞) Sốnghiệm nguyên thuộc khoảng

(−10;10) bất phương trình f x( )+ −x 1(x2− −x 6)>0

 

A 9 B 10 C 8 D 7

(139)

Đặt h x( )=f x( )+ −x 1(x2− −x 6)

  hàm sốliên tục 

Mặt khác, ( )

( ) ( ) ( )( )

2 6 0 6 0 1

0

2

1

x x x x

h x

f x x f x x

 − − =  − − =

= ⇔ ⇔

+ − = = − +

 

+ Phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt x= −2 x =3

+ Phương trình ( )2 phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y f x= ( ) đường thẳng

1

y= − +x Dựa vào đồ thị hàm sốđã vẽởhình bên, ta thấy phương trình ( )2 có nghiệm phân biệt

là x= −3, x= −1, x =0 x=2 Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu h x( ), ta có

( ) 1 ( 6) 0 ( ) 0 ( 3; 2) ( 1;0) (0;2) (3; ) f x + −x x − −x > ⇔h x > ⇔ ∈ − − ∪ −x ∪ ∪ + ∞

 

 

Kết hợp điều kiện x nguyên x∈ −( 10;10) ta có x∈{1;4;5;6;7;8;9} Vậy có tất giá trị x thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 93 (THPT Nghèn Lần1)Tìm tất giá trị thực tham số m để hệphương trình sau có nghiệm

( )( )

2

4

2

x x y m

x xy x

 + + =



 + + =



A m≥6 B − ≤ ≤10 m 6 C m≤ −10 D m≤ −10 6

m≥

( )( )

( )

( )( ) ( )

2

4

2 2

x x y m y m x x

x xy x x x mx x

 + + =  = − −

 ⇔

 + + =  − − + + =

 

 

(140)

Hệcó nghiệm ⇔ phương trình ( )2 có nghiệm

( ) ( 3 2)( ) ( ) 2( )2 ( )

2 ⇔ − −x 2x x+ +2 mx x+2 9= ⇔ −x x+2 +mx x+2 9=

Đặt x x( +2)= ⇔t x2+2x t− =0(phương trình có nghiệm ∆ = + ≥ ⇔ ≥ −′ 1 t 0 t 1)

Khi phương trình ( )2 trởthành − +t2 mt− =9 0 (*) Phương trình ( )2 có nghiệm chỉ

phương trình ( )* có nghiệm t≥ −1

2 9 0 t

t mt m

t +

− + − = ⇔ = (do t=0 nghiệm) Xét hàm số f t( ) t2 9,(t 1)

t +

= ≥ − Ta có f t( ) t2 29 t t

−

′ = = ⇔ =

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm m≤ −10 m≥6

Câu 94.Gọi ( )H hình phẳng giới hạn parabol ( )P y: =8x x− 2 trục hoành Các đường thẳng

, ,

y a y b y c= = = với 0< < < <a b c 16 chia ( )H thành bốn phần có diện tích Giá trị biểu thức (16 ) (3 16 ) (3 16 )3

a b c

− + − + − bằng:

A 2048 B 3584 C 2816 D 3480

Ta có

cơng thức tính nhanh: “Nếu hai đồ thị cắt có phương trình hồnh độgiao điểm ax bx c2+ + =0 khi diện tích hình phẳng hai đồ thịđó ( )

3

Δ

6 S

a

= với Δ=b2−4ac”

Do xét 8x x− = ⇔a x2−8x a+ =0 nên ( ) 16

3 a

a

S = −

Tương tự ta có: ( ) ( )

3

4 16 16

;

3

b c

S = − S = −

Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( )P y: =8x x− 2 trục hoành ( ) 643

S =

+∞

6

∞

+∞

-10

0 3

0 +∞

1

f t( ) f' t( )

(141)

Mặt khác ( ) ( ) ( )

3

4 16

4 64 4 64 16 256

3 a a 3

a

S = = S ⇒S = = − ⇒ −a =

Có: ( ) ( )

3

3 16

128

2 16 1024

3

b a

b

S = S = = − ⇒ −b = ( ) ( )

3

3 16

3 64 16 2304

3

c a

c

S = S = = − ⇒ −c =

Như vậy: (16 ) (3 16 ) (3 16 )3 3584

a b c

(142)

DANG SỰTƯƠNG GIAO BẰNG SỐNGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẬC BA

Câu 1: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Biết hai đồ thị hàm số

3 2

y x= +x − y= − +x2 x cắt tại ba điểm phân biệtA B C, , Khi đó, diện tích tam giác ABC

A B C D

Xét phương trình hồnh độgiao điểm:

3 2

x x+ − = − +x x

3 2 2 0

x x x

⇔ + − − =

( 1)( 1)( 2) 0x x x

⇔ − + + = 1 x x x =   ⇔ = −  = − 

( ) (1;0 ; 1; ;) ( 2; 6)

A B C

⇒ − − − −

⇒ Phương trình đường thẳng AB là: x y− − =1

Khoảng cách từ C tới đường thẳng AB là: ( ; ) | 1|

1

d C AB = − + − =

+

( 2; 2) 2 .2 2

ABC

AB= − − ⇒AB= ⇒S = =



Vậy diện tích tam giác ABC

Câu 2: Biết đồ thị hàm số y P x= ( )=x3−2x2−5x+2 cắt trục hoành ba điểm phân biệt lần

lượt có hồnh độ x x x1, ,2 Khi giá trị biểu thức

2 2

1 3

1 1

4 4

T

x x x x x x

= + +

− + − + − +

A ' 1( )( ) ' 3( )( )

2

P P

T

P P

 

= − + 

  B

( )

( ) ( )( )

' '

2

P P T P P   = − −   

C ' 1( )( ) ' 3( )( )

2

P P

T

P P

 

=  − 

  D

( )

( ) ( )( )

' '

2

P P T P P   =  +   

Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2 3

1 1

1 3

T

x x x x x x

= + +

− − − − − −

1 3

1 1 1 1

2 x x x x x x

   

+ + − + +

 − − −   − − − 

   

  ( )( )

1 1

1 3

x− x− = x− − x−

(143)

Suy P x'( ) (= x x x x− 1)( − 2) (+ −x x x x2)( − 3) (+ −x x x x3)( − 1) ( )

( ) ( 1)( ( 2) (1)( 23) ()( 3)3)( 1) ( )

' 1 *

P x x x x x x x x x x x

P x x x x x x x x x x x x x

− − + − + − −

⇒ = = + +

− − − − − −

Thay x=1,x=3vào biểu thức (*), ta ( )

( ) ( )( )

' '

1 .

2

P x P

T

P P

 

=  − 

 

Câu 3: Biết đồ thị hàm số f x( )=a x bx cx d3+ 2+ + cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lần

lượt x x x1, , Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( )

1

1 1

' ' '

T

f x f x f x

= + +

A

3

T = B T =3 C T =1 D T =0

Vì x x x1, ,2 3 ba nghiệm phương trình f x( )= ⇒0 f x( ) (=a x x x x x x− 1)( − 2)( − 3)

Ta có f x'( )=a x x x x x x( − 1)( − 2)( − 3) (+a x x x x− 2)( − 3) (+a x x x x− 3)( − 1)

Khi ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

1

2

3 3

1 3 3

1 2 3

2 3

1

' ' '

1 1

0

f x a x x x x

T

a x x x x a x x x x a x x x x

x x x x x x a x x x x x x

= − −   = − −   = − −  ⇒ = + + − − − − − − = − + − − − − − − − − + + − = = − − −

Câu 4: Cho hàm số f x( )=x3−3x2+2 cóđồ thịlà đường cong hình bên.

Hỏi phương trình(x3−3x2+2) (3−3 x3−3x2+2)2+ =2 0 cóbao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A 6. B 5. C 7. D 9.

Xét phương trình (x3−3x2+2) (3−3 x3−3x2+2)2+ =2 0 ( )1

O x

y

2

−

1+ 1−

(144)

Đặt t x= 3−3x2+2 (*) ( )1 trở thành t3−3t2+ =2 0 ( )2

Theo đồ thịta có ( )2 có ba nghiệm phân biệt

1

t t t

=  

= −   = + 

Từđồ thị hàm sốta có

+ t= ∈ −1 ( 2;2) (*) có ba nghiệm phân biệt

+ t= −1 3∈ −( 2;2) nên (*) có ba nghiệm phân biệt (khác ba nghiệm t=1)

+ t= +1 2> nên (*) có nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt

Nhận xét: Với giá trị t, học sinh sửdụng máy tính bỏtúi để thử nghiệm Câu 5: Cho hàm số y x= 3−2009x có đồ thị ( )C

1

M điểm ( )C có hồnh độ x1=1 Tiếp tuyến

của ( )C M1 cắt ( )C điểm M2 khác M1, tiếp tuyến ( )C M2 cắt ( )C điểmM3

khác M2, …, tiếp tuyến ( )C Mn−1 cắt ( )C Mn khác Mn−1 (n=4;5; ), gọi (x yn; n)

là tọa độđiểm Mn Tìm n để: 2009xn+yn+22013 =0

A n=685 B n=679 C n=672 D n=675

Phương trình hồnh độgiao điểm ( )C tiếp tuyến

( )( )

3

1 1

2009 2009 2009

x − x= x − x x− +x − x ( )1

Phương trình ( )1 có nghiệm kép x1 =1 nghiệm x2

Ta có: ( )1 ⇔ x3−3x+ =2 0

Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có:

1 2

1

2

x x

x x x

x x

+ =



 + = −



 = −



2

x x

⇔ = −

Vậy hồnh độgiao điểm cịn lại có đặc điểm: hoành độ tiếp tiếp trước nhân với ( )−2 , thoảđiều

kiện cấp số nhân với công bội q− −2

Suy ra: x1 =1, x2 = −2, x3 =4, …, ( )2 n

n

x = − −

Ta có: 2009 22013 0

n n

x +y + = 2009 2009 22013 0

n n n

x x x

⇔ + − + = ⇔ −( )2 3n− = −22013

3 2013n

⇔ − = ⇔ =n 672

Câu 6: Cho hàm số f x( )=x3−6x2 +9x Đặt f xk( )= f f( k−1( )x ) với k sốnguyên lớn 1 Hỏi

phương trình f x5( )=0 có tất cảbao nhiêu nghiệm phân biệt ?

(145)

Cách 1: Nhận xét:

+ Đồ thị hàm số f x( )=x3−6x2+9x như sau:

( ) 3 12 9 0

f x′ = x − x+ = ( )

( )

1

3

x f

= ⇒ =

 ⇔ 

= ⇒ =

 Lại có

( ) ( )

0

4

f f

= 



=



- Đồ thị hàm số f x( )=x3−6x2+9x luôn qua gốc tọa độ

- Đồ thị hàm số f x( )=x3−6x2+9x tiếp xúc với trục Ox tại điểm ( )3;0

+ Xét hàm số g x( )= f x( )−3 có g x′( )= f x′( ) nên g x( ) đồng biến (0;+∞) g( )0 = −3 nên

bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x( )=x3−6x2+9x xuống dưới 3 đơn vịta đồ thị hàm số y g x= ( ) Suy phương trình g x( )=0 có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4

+ Tổng quát: xét hàm số h x( )= f x a( )− , với 0< <a

Lập luận tương tựnhư trên:

- h( )0 = − <a h( )1 0> ; h( )4 <4

- Tịnh tiến đồ thị hàm số f x( )=x3−6x2+9x xuống dưới a đơn vịta đồ thị hàm số y h x= ( )

Suy phương trình h x( )=0 ln có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4

Khi đó,

x y

3 4

1 O

x y

O

h x( ) = x3 6∙x2 + 9∙x 3

(146)

+ Ta có f x( )=x3−6x2+9x=0 x x =  ⇔  = 

+ f x2( )= f f x( ( ))=0 ( )

( ) f x f x =  ⇔  =

 Theo trên, phương trình f x( )=3 có có ba nghiệm dương phân

biệt thuộc khoảng ( )0;4 Nên phương trình f x2( )=0 có 3 2+ nghiệm phân biệt + f x3( )=0 ( )

( ) 2 f x f x  = ⇔  =  ( ) 0

f x = có 2+ nghiệm

( ) ( ( ))

2 3

f x = f f x = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4 Mỗi phương trình f x( )=a

, với a∈( )0;4 lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4 Do phương trình

( )

2 3

f x = có tất nghiệm phân biệt

Suy phương trình f x3( )=0 có 3 22+ + nghiệm phân biệt

+ f x4( )=0 ( )

( ) 3 f x f x  = ⇔  =  ( ) 0

f x = có 2+ + nghiệm

( ) ( ( ))

3 3

f x = f f x = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4 Mỗi phương trình

( )

2

f x =b, với b∈( )0;4 lại có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4 Do phương

trình f x3( )=3 có tất cả 9.3 nghiệm phân biệt

+ f x5( )=0 ( )

( ) 4 f x f x  = ⇔  =  ( ) 0

f x = có 3 23+ + + nghiệm

( ) ( ( ))

4 3

f x = f f x = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4 Mỗi phương trình

( )

3

f x =c, với c∈( )0;4 lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0;4 Do phương

trình f x4( )=3 có tất cả 27.3 nghiệm phân biệt

Vậy f x5( ) có 3 3 1224+ + + + =3 nghiệm. Cách 2:

*) Gọi ak số nghiệm phương trình f xk( )=0; Gọi bk số nghiệm phương trình f xk( )=3; *) f x( )=0

3 x x =  ⇔  =

 ⇒ =a1 ( )

(147)

*) Với k >1, ta có: f xk( )= f f( k−1( )x )=0 ( ) ( ) 1 k k f x f x − −  = ⇔  = 

Suy ra: ak =ak−1+bk

( ) ( 1( )) 3

k k

f x = f f − x =

( ) ( ) ( ) 1 k k k

f x m

− − −  =  ⇔ =  = 

với m m m1, ,2 3∈( ) { }0;4 \ 1;3

Mỗi phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ) { }0;4 \ 1;3

Do đó: bk =3bk−1⇒( )bk cấp sốnhân có cơng bội q=3, số hạng đầu b1=3

1 3.3k k

b −

⇒ = =3k

Suy ra: ak =ak−1+bk−1

2

k k k

a − b− b−

= + +

=

1 k

a b b b−

= + + + +

2

2 3 3k−

= + + + +

1

3

2 3 k− −

= + − k+ =

Vậy a5 =122

Câu 7: Cho hàm số f x( )=x3−6x2+9x Đặt f xk( )= f f( k−1( )x ) với k số nguyên lớn 1 Hỏi

phương trình f x6( )=0 có tất cảbao nhiêu nghiệm phân biệt.

A 1092. B 363 C 365 D 1094.

Cách

Giả sử: ak số nghiệm phương trình f xk( )=0 k

b số nghiệm phương trình f xk( )=3

Với c∈( )0;4 , ta có: f x( )=c có nghiệm thuộc ( )0;4 1 3n

k k n

b b− b

⇒ = ⇒ = (b1=3)

Ta có: ( ) ( ) ( )

( ) 1 0 0 3 k k k f x x

f x f x

x f x

− −  = =  = ⇔ = ⇒ = ⇔  =  

1 1 12

k

k k k k

a a − b− a b b b−

+

⇒ = + = + + + + =

Khi đó: phương trình f x6( )=0 có số nghiệm

6 3652

a = + =

(148)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 3 3 f x f x f x f x f x

f x f x

f x f x f x f x      =     = ⇔     = ⇔  =   = ⇔  = ⇔ =     = ⇔    =      =     = 

Số nghiệm phương trình f x6( )=0 bằng tổng số nghiệm của phương trình

( ) 0, ( ) 3, 2( ) 3, , 6( ) 3

f x = f x = f x = f x =

Mặt khác số nghiệm phương trình f xk( )=3 gấp 3 lần số nghiệm của fk−1( )x =3

Vậy số nghiệm phương trình f x6( )=0 2 3 3 365+ + + + + =2

Câu 8: Cho hàm số cóđồ thị (C), với m tham số Giả sửđồ thị (C) cắt trục hoành

tại ba điểm phân biệt cóhồnh độ thỏa mãn

Khẳng định sau đúng?

A B

C D

Lời giải

Khảo sát vẽđồ thị hàm số Dựa vào đồ thị ta tìm thìđồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt

Ta có

Chọn B

Câu 9: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số 3 9 ( ) m

y x= − x − x m C+ cắt trục

hoành điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng

A m=11 B m=10. C m=9 D m=8

Pt hoành độgiao điểm: x3−3x2−9x m+ =0 *( )

Giả sử ( )Cm cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x x x1, ,2 3( 1< 2 <x3) x x x1, ,2 3 nghiệm

của pt(*)

Khi đó: ( )( )( )

1

3 =

x − x − x m+ x x x x x x− − −

( ) ( )

( )

3

1 2 3 1

1 3

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x

− + + + + + −

⇒ + + =

Ta có:

1, ,2

x x x lập thành cấp số cộng x x1+ =2 x2 ( )2 6 9

y x= − x + x m+

1 3.

x x< < x

1

1< <x x < <3 x <4 0< < <x1 x2 < <3 x3<4

1 3

x < < <x < <x < 1< < <x1 x2< <4 x3

3 6 9

y= − +x x − x − < <4 m

3 6 9

y x= − x + x m+

( ) ( )0 0; ( ) ( )1 0; ( ) ( )3

(149)

Thế(2) vào (1) ta x2 =1, thay vào pt (*) ta được: m=11 Với m=11: *( )⇔x3−3x2−9 11 0x+ = ⇔(x−1)(x2−2 11 0x− )=

1

2

3

1

1 x

x x x x

x  = −  ⇔ = ⇒ + =  = + 

Vậy m=11 thỏa ycbt

Câu 10: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho đồ thị hàm số

3

2

y= x + mx − −m (m tham số) cắt trục hoành điểm giá trị m A m=0 B − < <6 m C 0≤ <m D − < ≤6 m

Xét phương trình hoành độgiao điểm đồ thị hàm số y=2x3+3mx2− −m 6 với trục hoành:

( )

3 2

2x +3mx − − = ⇔m m 3− x =2x −6 Nhận thấy

x = nghiệm phương trình

với m nên ( 2) 3

2

1

x

m x x m

x

−

− = − ⇔ =

−

Xét hàm số ( ) 32

3 x f x x − = − +

Ta có: ( )

( ) ( )( ) ( ) 2 2

6 2

6 36

1 3

x x x x

x x x

f x x x − + − + − + − ′ = = − −

( ) 0 x f x x =  ′ = ⇔  = − 

Ta có bảng biến thiên hàm số ( ) 32

3 x f x x − = − + :

Dựa vào bảng biến thiên hàm sốsuy ra: − < <6 m

Câu 11: Đường thẳng d y x: = +4 cắt đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+(m+3)x+4 tại điểm phân biệt

( )0;4 ,

A B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M( )1;3 Tìm tất cảcác giá trị

(150)

C m=3 D m= −2 m= −3 Lời giải

Chọn C

Phương trình hồnh độgiao điểm d đồ thị ( )C : x3+2mx2 +(m+3)x+ =4 4

( ) ( ) ( )

3

2

x

x mx m x

x x mx m

ϕ

= 

⇔ + + + = ⇔ 

= + + + =



Với x=0, ta có giao điểm A( )0;4

d cắt ( )C điểm phân biệt chỉkhi phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác

( )

2

0

(*)

m m m ϕ

 = + ≠

 ⇔ 

′

∆ = − − >



Ta gọi giao điểm d ( )C A B x x, ( B; B +2 ,) (C x xC; C+2) với ,x xB C nghiệm

phương trình (1)

Theo định lí Viet, ta có:

B C B C

x x m

x x m

+ = − 

 = +



Ta có diện tích tam giác MBC ( , )

2

S = ⋅BC d M BC⋅ =

Phương trình d viết lại là: d y x: = + ⇔ − + =4 x y

Mà ( ) ( )

( )2

1

, ,

1

d M BC =d M d = − + =

+ −

Do đó: ( ) 32

,

BC BC

d M BC

= = ⇔ =

Ta lại có: ( ) (2 )2 2( )2 32

C B C B C B

BC = x −x + y −y = x −x =

( )2 4 16 ( 2 )2 4( 2 16)

B C B C

x x x x m m

⇔ + − = ⇔ − − + =

2

4m 4m 24 m 3;m

⇔ − − = ⇔ = = −

Đối chiếu với điều kiện, loại giá trị m= −2

Câu 12: Cho hàm số y x= 3−3x2 + −x 1 có đồ thị ( )C . Có giá trị của tham số m đểđường

thẳng y=(m−2)x+3 tạo với đồ thị ( )C có hai phần diện tích khép kín nhau?

A 0 B 1. C 2 D 3

Đồ thị hàm bậc ba y x= 3−3x2+ −x 1 có tâm đối xứng I(1; 2− ) (trong hồnh độđiểm I nghiệm của

(151)

Để tốn thỏa mãn trước hết đường thẳng d y: =(m−2)x+3 phải qua I(1; 2− ) nên

( )

2 m m

− = − + ←→ = −

Thử lại Với m= −3 d y: = − +5x

Phương trình hồnh độgiao điểm d ( )C là: x3−3x2+ − = − +x 1 5x 3

( )( ) ( )

2

1

2 *

x

x x x

x x =  ←→ − − + = ←→  − + = 

Phương trình ( )* vô nghiệm nên d cắt ( )C điểm nên tạo với đồ thị ( )C

hai phần diện tích khép kín

Câu 13: Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + (m tham số) có đồ thị (Cm), đường thẳng d có phương

trình y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt

A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích

A 37

2

m= ± B 137

2

m= ± C

2

m= ± D 142

2

m= ±

Xét phương trình hồnh độgiao điểm (C) d:

x3 + 2mx2 + (m + 3)x + = x + ⇔ x(x2 + 2mx + m + 2) = 0

( )

2

2 *

x

x mx m

= 

⇔  + + + =



d cắt (C) điểm phân biệt ⇔PT (*) có nghiệm phân biệt khác

( ) ( ) ( )

' 2 0

; 2; 2;

2 m m

m m

∆ = − − >

⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ − − ∪ +∞

+ ≠ 

Khi B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) với x1, x2 hai nghiệm (*)

Theo Vi-ét ta có

1

2

x x m

+ = − 

 = +



( )2 ( )2 ( )

1 2

2 2

BC x x x x x x m m

⇒ = − = + − = − −

Ta có khoảng cách từ K đến d h = Do diện tích ∆KBC là:

( )

1 . 2.2 2 2 2 2

2

S = h BC = m m− − = m m− −

2 137

8 2 ( )

2

S = ⇔ m m− − = ⇔ =m ± TM

Câu 14: Đường thẳng d y x: = +4 cắt đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+(m+3)x+4 tại điểm phân biệt

( )0;4 ,

A B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M( )1;3 Tìm tất cảcác giá trị

A m=2 m=3 B m= −2 m=3

(152)

Phương trình hồnh độgiao điểm d đồ thị ( )C : x3+2mx2+(m+3)x+ =4 4

( ) ( ) ( )

3

2

x

x mx m x

x x mx m

ϕ =  ⇔ + + + = ⇔  = + + + = 

Với x=0, ta có giao điểm A( )0;4

d cắt ( )C điểm phân biệt chỉkhi phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác

( )

2

0

(*) m m m ϕ  = + ≠  ⇔  ′

∆ = − − >



Ta gọi giao điểm d ( )C A B x x, ( B; B +2 ,) (C x xC; C+2) với ,x xB C nghiệm

phương trình (1)

Theo định lí Viet, ta có:

B C B C

x x m

x x m

+ = − 

 = +



Ta có diện tích tam giác MBC ( , )

2

S = ⋅BC d M BC⋅ =

Phương trình d viết lại là: d y x: = + ⇔ − + =4 x y

Mà ( ) ( )

( )2

1

, ,

1

d M BC =d M d = − + =

+ −

Do đó: ( ) 32

,

BC BC

d M BC

= = ⇔ =

Ta lại có: ( ) (2 )2 2( )2 32

C B C B C B

BC = x −x + y −y = x −x =

( )2 ( )2 ( )

4 16 16

B C B C

x x x x m m

⇔ + − = ⇔ − − + =

2

4m 4m 24 m m

⇔ − − = ⇔ = ∨ = −

Đối chiếu với điều kiện, loại giá trị m= −2

Câu 15: Tìm tất cảcác giá trị thực m cho đồ thị hàm số 2 ( )

3 m

y= x mx− − + +x m C cắt

trục hoành điểm phân biệt x x x1; ;2 3 thỏa mãn điều kiện 2

1 15

x +x +x > A m 41

m < −   >  B 1 m m < −   >  C m m < −   >

 D

0 m m <   > 

(153)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

2

1 2 0 3 3 3 2 0

3

1 3

1

1 3 2

x mx x m x mx x m

x x m x m

x

x m x m

− − + + = ⇔ − − + + =   ⇔ −  + − − − = =  ⇔  + − − − = 

( )Cm cắt trục Ox ba điểm phân biệt pt (1) có ba nghiệm phân biệt chỉkhi (2) có hai nghiệm

phân biệt khác

( ) ( )

2 2

1 3 0, 0 3

0

1

m m m m m m

m

g m

∆ = − + + >  + + > ∀

 ⇔ ⇔ ≠

 

≠

= − ≠ 



Giả sử x3 =1, ,x x1 2 nghiệm (2)

Ta có: x x1+ 2 =3m−1;x x1 2 = −3m−2 Khi đó:

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

1 2

2 2

15 15

1

3 14

1

x x x x x x x

m

m m m

m

+ + > ⇔ + − + >

< −  ⇔ − + + − > ⇔ − > ⇔ 

> 

Từ(3) (4) ta có giá trị cần tìm là:

1 m m < −   > 

Câu 16: (Ba Đình Lần2)Cho hàm số y x= 3+3mx m2− có đồ thị ( ) m

C đường thẳng d y m x: = +2m3

Biết m m m m1, 2( 1> 2) hai giá trị thực m đểđường thẳng d cắt đồ thị ( )Cm

điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn 4

1 83

x +x +x = Phát biểu sau

đúng vềquan hệ hai giá trị m m1, 2 ?

A m m1+ =0 B m12+2m2 >4 C m22 +2m1 >4 D m m1− =0 Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độgiao điểm d ( )Cm

3 3 2

x + mx m m x m− = +

3 3 2 3 0

x mx m x m

⇔ + − − = ⇔(x m x3− ) (+ 3mx2−3m3)=0 ( 2) ( 2) ( )( 2)

3

x m

x x m m x m x m x m x m

x m = −   ⇔ − + − = ⇔ + − = ⇔ =  = − 

Đểđường thẳng d cắt đồ thị ( )Cm điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, ,2 3 ⇔ ≠m

Khi đó, 4 4 ( ) (4 )4

1 83 83

x +x +x = ⇔m + −m + − m =

4

83m 83 m

⇔ = ⇔ = ±

(154)

Câu 17: Cho hàm số có đồ thị Giá trị cắt trục hồnh

tại điểm phân biệt cho

A B C D

Phương trình hồnh độgiao điểm (C) trục hoành

(C) trục hoành cắt điểm phân biệt:

Câu 18: Cho hàm số y x= 3−3mx2+(3m−1)x+6m có đồ thị là( )C Tìm tất cảcác giá trị thực của tham

số m để ( )C cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn điều kiện

2 2

1 3 20

x +x +x +x x x =

A 5

3

m= ± B 22

3

m= ± C

3

m= ± D 33

3

m= ± Lời giải

Chọn B

PT hoành độ:x3−3mx2+(3m−1)x+6m= ⇔0 ( 1)[x+ x2−(3m+1)x+6 ] 0m =

3

1

(3 1) (*)

x x

x m x m

= − = 

⇔ 

− + + =



(*) có nghiệm phân biệt khác −1 18

9

m m

m

 − + > ⇔ 

+ ≠ 

3 2; 2

3 m m m  − + < >  ⇔   ≠ − 

Gt 2 2

1 2 19 ( 2) 19 (3 1) 18 19

x x x x x x x x m m

⇒ + − = ⇔ + − = ⇒ + − =

2 22

9 12 18

3

m m m ±

⇔ − − = ⇔ =

Câu 19: Cho số thực a b c, , thỏa mãn

8

a b c

− + − + > 

 + + + <

 Số giao điểm đồ thị hàm số

3

y x ax bx c= + + + trục Ox

A 0 B C 2 D 3

( )

3 2 1

y x= − x + −m x m+ ( )C m ( )C

1, ,2

x x x 2

1

x +x +x <

1

m< − < <  ≠  1 m m

− < <1

4 m < < 1 m

( )

3 2 1 0

x − x + −m x m+ = 2

0 x

x x m

=  ⇔  − − =  m m ≠   ⇔  > −



( )2

2 2

1 2 4

(155)

Ta có hàm số y x ax bx c= 3+ 2+ + xác định liên tục  Mà lim

x→+∞y= +∞ nên tồn số M >2 cho y M( )>0; xlim→−∞y= −∞ nên tồn số m< −2 cho

( )

y m < ; y( )− = − +2 4a−2b c+ >0 y( )2 4= + a+2b c+ <0

Do y m y( ) ( ) − <2 suy phương trình y=0 có nghiệm thuộc khoảng (m; 2− )

( ) ( )2

y − y < suy phương trình y=0 có nghiệm thuộc khoảng (−2;2)

( ) ( )2

y y M < suy phương trình y=0 có nghiệm thuộc khoảng (2;M)

Vậy đồ thị hàm số y x ax bx c= 3+ 2+ + và trục Oxcó điểm chung

Câu 20: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)Tất cảgiá trị tham số m đểđồ

thị hàm số ( )C y: = −2x3+3x2+2m−1 cắt trục hoành ba điểm phân biệt

A 0

2

m

≤ ≤ B 0

2

m

< < C 1

4≤ <m D

1

2 m

− < < Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình hồnh độgiao điểm ( )C trục hoành là:

( )

3

2x 3x 2m 2x 3x 2m 1

− + + − = ⇔ − = −

Sốgiao điểm ( )C trục hồnh số nghiệm phương trình ( )1

Mặt khác số nghiệm ( )1 số giao điểm đồ thị ( )C′ của hàm số y=2x3−3x2 với đường thẳng d ym: =2m−1

Xét hàm số y=2x3−3x2 Ta có 6 6 0 x

y x x

x

=  ′ = − = ⇔ 

= 

Khi u cầu tốn ⇔ ( )C′ cắt dm điểm phân biệt 0

2

m m

⇔ − < − < ⇔ < <

Câu 21: Biết đường thẳng y=(3m−1)x+6m+3 cắt đồ thị hàm số y x= 3−3x2+1 tại ba điểm phân biệt

sao cho giao điểm cách hai giao điểm lại Khi mthuộc khoảng đây?

A ( 1;0)− B (0;1) C (1; )3

2 D

3 ( ;2)

2 Lời giải

Chọn A

Yêu cầu tốn tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

( ) ( )

3 3 1 3 1 6 3 3 3 1 6 2 0

(156)

Giả sửphương trình x3−3x2−(3m−1)x−6m− =2 0có ba nghiệm

1, ,2

x x x thỏa mãn x x2 (1)

x = +

Mặt khác theo viet ta có x x x1+ +2 3 =3 (2) Từ (1) (2)suy x2 =1 Tức x =1là nghiệm

phương trình Thay x =1vào phương trình ta

3

m= − Thử lại

3

m= − thỏa mãn đề

Câu 22: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho hàm số f x( )=x3+3x2+mx+1. Gọi S tổng tất cảgiá trị của tham số m đểđồ thị hàm số y f x= ( ) cắt đường thẳng y=1 ba điểm phân biệt A( )0;1 , B,

C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x= ( ) B, C vng góc với Gía trị

S

A 9 2 B 9 5 C 9 4 D 11.5

Lời giải

Chọn C

Phương trình hồn độgiao điểm y x= 3+3x2+mx+1 y=1 là:

( ) ( )

3 2

2

3 1

6 *

x

x x mx x x x m

x x m

= 

+ + + = ⇔ + + = ⇔ 

+ + =



Đểđồ thị hàm số y f x= ( ) cắt đồ thị hàm số y=1 ba điểm phân biệt A( )0;1 , B x y( 1; 1), C x y( 2; 2)

thì phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt khác

0

9

4 m m m m ≠  ≠   ⇒ ⇔

∆ = − > <

 

Theo hệ thức Viète ta có

1

3

x x

x x m

+ = − 

 =



Để tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x= ( ) B, C vng góc với

( ) ( ) ( ) ( )

1

f x f x′ ′ = − ⇔ x + x m+ x + x +m = −

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 2 2

9x x 18x x x x 3m x x 6m x x 36x x m

⇔ + + + + + + + + + =

2

9 65

9 65 65

8

4

8

9 65

m

m m S

m  = +  + −  ⇔ − + = ⇔ ⇒ = + =  = − 

Câu 23: (Đặng Thành Nam Đề 9)Có số thực m đểđường thẳng y= − +x m cắt đồ thị hàm số

3

1 (2 ) 3(2 3)

3

= + − + − +

y x m x m x m ba điểm phân biệt A m(0; ), B,C cho đường thẳng

OA phân giác góc BOC ?

(157)

Phương trình hồnh độgiao điểm đường thẳng y= − +x m đồ thị hàm số

3

1 (2 ) 3(2 3)

3

= + − + − +

y x m x m x m là:

3

1 (2 ) 3(2 3)

3

x m x m x m x m

− + = + − + − + 1 20

(2 ) 0(*)

x

x m x m

=   ⇔  + − + − = 

Đểđường thẳng cắt đồ thị ba điểm phân biệt phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0,

hay

2

2 12 44

(2 ) (6 8) 3

(1)

3 4

6

3

m m

 − + >

 − − − > 

 ⇔

 

 − ≠  ≠

 

Gọi tọa độcác giao điểm lại là: B x x m C x( 1,− +1 ) (, 2,− +x m2 )

Theo định lí Vi-ét, ta có:

1 2

3( 2) 3(6 8)

x x m

+ = −



 = −



Vì OA Oy≡ nên có véctơ chỉphương j(0;1)

Vậy đểđường thẳng OA phân giác góc BOCthì:

( ) ( )

2 2

1 2

cos , cos ,

( ) ( )

m x m x

j OB j OC

x m x x m x

− −

= ⇔ =

+ − + −

   

( )

2 2

2( 1)

x m x x m x

⇔ − = −

1

1 2

0

7 33

( ) ( 2) 6(6 8)

7 33

m

mx mx m

m

m x x x x m m m

m =  = =    ⇔ ⇔ ⇔ = + + =  − = −   = − 

Đối chiếu điều kiện (1) A O≠ nên nhận m= ±7 33

Vậy có giá trị m thỏa mãn

Câu 24: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f x( )=x3−3 1x+ Tìm số nghiệm của phương trình

( )

f f x =

A 5 B 9 C 4 D 7

(158)

Xét phương trình f x( )= ⇔0 x3−3 0x+ = dùng máy tính cầm tay ta ước lượng phương trình có ba nghiệm

1

1,879 1,532 0,347 x

x x

≈ −   ≈   ≈ 

Xét hàm số f x( )=x3−3 1x+ , ta có bảng biến thiên của f x( ) như sau:

Xét phương trình f f x( ( ))=0 1( ) ta ước lượng

( ) ( ) ( )

1,879 1,532

0,347 f x

f x f x

 ≈ −



≈ 

 ≈



Dựa vào bảng biến thiên hàm số f x( ) ta có:

+ Với f x( )≈ −1,879 phương trình ( )1 có nghiệm + Với f x( )≈1,532 phương trình ( )1 có nghiệm + Với f x( )≈0,347phương trình ( )1 có nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm

Câu 25: (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f x( )=x3−3x2−6x+1 Phương trình ( ( ) 1) ( )

f f x + + = f x + có số nghiệm thực

A B C D

Đặt t f x= ( ) 1+ ⇒ f t( ) 1+ = +t 1, đk t≥ −1

2 2

( ) 2

f t t t t t t t t

⇒ + = + + ⇔ − − + = + +

3

5.4

( ) 4,4

4 0.12

( ) 0.12 1.56( )

t

f x

t t t t

f x

t KTM

≈ 

= 



⇔ − − + = ⇔ ≈ ⇒ 

= − 

≈ − 

2

( ) 6; ( )

1

x

f x x x f x

x

 = −

′ = − − ′ = ⇔ 

= +



(159)

Dựa vào BBT ⇒ f x( ) 4,4= có nghiệm⇒ f x( )= −0.12 có nghiệm

Vậy có tất nghiệm

Câu 26: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI)Cho hàm số 2 ( 3) 4( ) m y x= + mx + m+ x+ C

Giá trị tham số m để đường thẳng ( )d y x: = +4 cắt ( )Cm ba điểm phân biệt

( )0;4 , ,

A B C cho tam giác KBC có diện tích với điểm K( )1;3 là:

A 137

2

m= + B 137

2

m= ± + C 137

2

m= ± D 137

2

m= −

Phương trình hồnh độgiao điểm ( )Cm ( )d là: x3+2mx2+(m+3)x+ = +4 x 1( )

Ta có ( )1 ⇔x3+2mx2+(m+2)x= ⇔0 x x +2mx m+ +2=0

 

( ) ( )

0

2 2

x

g x x mx m

= 

⇔  = + + + =



Để ( )d cắt ( )Cm ba điểm phân biệt A( )0;4 , ,B C (1) phải có ba nghiệm phân biệt xA =0, ,x xB C

⇔ (2) phải có hai nghiệm phân biệt ,x xB C khác

( ) ( )

2 2

0 *

1

2

0 2 2

g

m m

m m m m

m

g m m

>  >   ′∆ >  − − >

  

⇔ ⇔ + ≠ ⇔ < − ⇔ < − 

≠ 

 

  ≠ −  ≠ −

Khi B x x( B; B+4 ,) (C x xC; C+4)

Theo định lí Vi-ét ta có

2 B C B C

x x m

x x m

+ = − 

 = +



Suy ( ) (2 )2 4 ( 2 )2 4( 2) 4( 2)

B C B C B C

x −x = x +x − x x = − m − m+ = m − −m

Do ( )2 ( 4) ( 4) 2( )2 2 2( 2)

B C B C B C

BC= x −x + x + − x +  = x −x = m m− −

Ta lại có ( )d x y: − + =4 nên khoảng cách từ K( )1;3 đến đường thẳng ( )d là:

( )

( )2

1

,

1

d K d = − + =

+ −

Diện tích tam giác KBC là: . ( , ) 12 2( 2 2) 2

2

KBC

S = BC d K d = m m− − = m m− −

Để SKBC =8 m2 m m2 m 34 m 2137

±

− − = ⇔ − − = ⇔ =

Kết hợp điều kiện (*) ta 137

2

(160)

Câu 27: (Cụm trường chuyên lần1) Tính tổng Stất giá trị tham sốmđể đồ thị hàm số

3 2

( ) 3

f x x= − mx + mx m+ − m tiếp xúc với trục hoành

A S =0 B S=1 C

3

S= D

3

S= Lời giải

Chọn C

Ta có: y′ =3x2 −6mx m+3 ; y′′ =6 6x m−

Cách 1:

TH1: y′ có nghiệm kép tâm đối xứng của đồ thị hàm số thuộc trục hoành

( )

2

3

0

0 1

1

4

m

m m m

m m y m m m  =  − =   =   = ⇔ ⇔ ⇔ = =     − + = 

TH2: Đồ thị hàm số y f x= ( )có cực trị vày yCÐ CT =0(với phương trình đường thẳng qua điểm cực

trị y=2(m m− 2)(x m+ ))

( )( ) ( )( )

2

2 2

0

2 2

m m

m m m m m m m m m m

 − >  ⇔  − − − − + − =  2 2 m m m

m m m

 − >  ⇔ − = ⇔ = −  − = −  

Vậy ;1; m∈ − 

 , nên

1

3

S = + − =

Cách

Đồ thị hàm số y f x= ( )tiếp xúc trục hoành⇔ ( )

( )

3 2

2

3

x mx mx m m

x mx m

 − + + − =

 

− + =

 có nghiệm

( )2 2 x m x ⇔ = −

Thếvào ( )1 :

( ) ( )

4

3

2

3 0

2 2

x x x x

x

x x x x

− + + − =

− − − −

( )

3

1

2

6 14 10 1

3

x x

x

x x x x

x   =  ≠   ⇔ ⇔ =  − + − + =    = 

Thay vào( )1 , ta ;1;

3 m∈ − 

(161)

Câu 28: (Đặng Thành Nam Đề 15)Có số thực m đểđường thẳng y=(m−6)x−4 cắt đồ thị

hàm số y x= 3+x2−3 1x− tại ba điểm phân biệt có tung độ

y , y2, y3 thỏa mãn

1

1 1

4 4

y + + y + + y + =

A 2 B 0 C 3 D 1

Ta có phương trình hoành độgiao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho

( )

3 3 1 6 4

x +x − x− = m− x− ⇔ x3+x2+ −(3 m x) + =3 0( )1 Giả sử x1, x2, x3 ba nghiệm phân biệt phương trình ( )1

Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có:

1

1 2 3 1

1 3

x x x

x x x x x x m

x x x

+ + = −   + + = −   = − 

Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trìnhy=(m−6)x−4 nên ta có

( )

1

y + = m− x, y2+ =4 (m−6)x2 y3+ =4 (m−6)x3

Khi

1

1 1

4 4

y + + y + + y + = ⇔ ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3

1 1

6 6

m− x + m− x + m− x =

⇔ 2 3

1

1 .

6

x x x x x x

m x x x

+ + =

− ⇔

1 3.

6 3

m m

− =

− − ⇔ m=9

Thử lại với m=9 suy phương trình hồnh độgiao điểm x x3+ −2 6 0x+ = có ba nghiệm phân biệt thỏa

mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra)

Vậy có số thực m thỏa mãn

Câu 29: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019)Cho hai hàm số y x= 2+ −x 1 y x= 3+2x2+mx−3

Giá trị tham số m đểđồ thị hai hàm sốcó giao điểm phân biệt giao điểm

nằm đường trịn bán kính thuộc vào khoảng đây?

A (−∞ −; 4) B (− −4; 2) C (0;+ ∞) D (−2;0) Lời giải

Chọn B

Giả sử m số thực thỏa mãn tốn

Phương trình hồnh độgiao điểm hai đồ thị

( ) ( )

2 1 2 3 1 2

x + − =x x + x mx+ − ⇔x +x + m− x− =

Gọi M x y( 0; 0) giao điểm Ta có

( )

( ) ( )

2

0 0 0

0 0

3

0 0 0

2 2

1

1 2

y x x x x

y x x

x x m x x x m x

  = + − = + − − +  ⇒   + + − − = + + − − =    

Từ ( )2 ( )3 suy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

0 0 1 1

y = x + x +x + m− x − + − −m x − m− x + = − −m x − m− x +

Hay 2 ( ) ( ) ( )

0 0 0 1

(162)

Rút gọn ta 2 ( )

0 0

x +y − +x my m+ − = Đây phương trình đường trịn

( )

2

1 3 *

2

m m

−  +  − + >

   

   

Với điều kiện ( )* M x y( 0; 0) thuộc đường trịn có bán kính

2

1 3

2

m

R= −  +   − +m

   

Theo đề 3 3 9 4 23 0 3

4 2 3

m m

R m m m

m

 = + +

= ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ 

= −



Thử lại

Với m= +2 3 phương trình ( )1 có nghiệm Do đó, m= +2 3 không thỏa mãn

Với m= −2 3 phương trình ( )1 có nghiệm thỏa mãn ( )*

Vậy giá trị m cần tìm m= −2 3∈ − −( 4; 2)

Câu 30: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho đồ thị ( )C hàm số

( )

3 2 2 2

y x= − mx + m + −m x m+ parabol ( )P y x: = 2− −x 1 cắt tại ba điểm phân biệt

, ,

D E F Tổng giá trị m để đường tròn qua ba điểm D E F, , qua điểm

0;

G − 

 

A 4

3 B −1 C

4

− D 1

Phương trình hoành độgiao điểm ( )C ( )P

( ) ( ) ( )

3 2 1 2 1 1

x − m+ x + m m+ − x m+ + =

Vì ba điểm D E F, , thuộc ( )P y x: = − −x 1nên hoành độba điểm D E F, , thỏa mãn (1) thỏa mãn

( )2 ( ) ( ) ( )

2 1 2x3 2x 1 2 1 2 1 1 2 1

y = x − −x =x − −x + + =x − m+ x + m m+ − + +m  x+ m− (3m m2 1) (x2 2m m3 2m x) (2m m2 2)

+ − − − + − − + −

(3m m x y2 )( 1) x2 (2m m3 2m x) (2m m2 2)

= − + + − − + − − + −

Suy phương trình đường tròn qua ba điểm D E F, , (nếu có) là:

( ) 2 ( ) ( ) ( )

1 : 2 2

C x +y − m − m m x− − m m y m− − + m− =

Vậy ( )

1 12 14 23

G∈ C ⇔ m + m− = ⇔ =m − ±

Thử lại: Khi thay

3

m= − ± vào phương trình (1) ta thấy phương trình có ba nghiệm thực phân biệt,

đồng thời giá trị

3

(163)

Vậy tổng giá trị m thỏa mãn

3

−

Câu 31: (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2019 LẦN 3)Có tất cảbao nhiêu giá trịnguyên tham số

m thuộc khoảng (−3 ;3π π) đểđồ thị hàm số y=2 x3−3(m+1)x2+6m x m+ 2−3

cắt trục

hoành điểm phân biệt

A 8 B 9 C 6 D 7

+ Xét hàm số f x( ) 2= x3−3(m+1)x2+6mx m+ 2−3,a= >2 0 Vì y=2 x3−3(m+1)x2+6m x m+ 2−3

hàm chẵn nên để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt f x( ) 0= có nghiệm phân biệt nghiệm dương, nghiệm âm có

2 nghiệm phân biệt hai nghiệm dương

+ Ta có f x′( ) 6= x2−6(m+1)x+6m

( ) x

f x

x m

= 

′ = ⇔ 

= 

Ta có f(1)=m2 +3m−4; f m( )= −m3+4m2−3; (0)f =m2−3 + Nếu m=1 thì f x( ) 0= có nghiệm nên loại

+ Nếu m≠1 thì f x( ) có2 điểm cực trịtrong có1 điểm cực trịln dương

* f x( ) 0= có nghiệm phân biệt nghiệm dương, nghiệm âm ( )( )

2

3 21

3 4

( ) (1)

2

(0) 3 0

4

m m m m

f m f m

f m

m

 +

 + − − + − <

< >

  

⇔ ⇔ ⇔

>

  − > − < < −



* f x( ) 0= có nghiệm phân biệt hai nghiệm dương ( )( )

2 0

( ) (1) 4 1( )

(0) 3 0

m m

f m f m m m m m l

f m

 > >

 

 

⇔ = ⇔ + − − + − = ⇔ =

 < 

  − <

Vậy có giá trị thỏa mãn

Câu 32: Cho hàm số y f x ax bx cx d= ( )= 3+ 2+ + có bảng biến thiên sau:

(164)

x x< <x < <x A 0<m≤1 B 1

2≤ <m C

1 1

2 < <m D 0<m<1 Lời giải

Chọn C

Ta có

( ) ( )

0 2

1

0

1

f a

f b

c f

d f

=

  =

 

= = −

 ⇔

 ′  =

=

 

 ′ =  = 

, suy y f x= ( ) 2= x3−3x2+1

NX: ( ) 01

2

x f x

x

=   = ⇔

 = − 

Bảng biến thiên hàm số y= f x( ) sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình | ( ) |f x =m có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4

2

x x< <x < <x

khi 1 2< <m HÀM BẬC BỐN

Câu 33: Gọi (Cm) độthì hàm số y x= −2x m2− +2017 Tìm m để (Cm) có điểm chung phân

biệt với trục hồnh, ta có kết quả:

A m=2017 B 2016< <m 2017 C m≥2017 D m≤2017 Lời giải

Chọn A

- Phương pháp: Tìm m đểphương trình ẩn x tham sốm có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng K

+ Cơ lập m, đưa phương trình vềdạng m = f(x) + Vẽđồ thị(hoặc bảng biến thiên) y=f(x) K

+ Biện luận đểđường thẳng y = m cắt đồ thị hàm sốy =f(x) n điểm phân biệt K

- Cách giải: ( )Cm cắt Ox điểm phân biệt Phương trình

4 2 2017 0 2 2017

x − x − +m = ⇔m x= − x + có nghiệm phân biệt

Xét hàm số y x= 4−2x2+2017 trên R

(165)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm sốy =f(x) điểm phân biệt m =2017

Câu 34: (Chuyên Hưng Yên Lần 3)Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x= 4−2x2 tại bốn điểm phân

biệt cóhồnh độ 0, 1, m n Tính S m n= 2+ 2

A S =0 B S=1 C S =2 D S =3

Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x= 4−2x2 tại điểm cóhoành độ 0 nên phương trình đường thẳng

códạng y ax=

Phương trình hoành độgiao điểm đường thẳng y ax= với đồ thị hàm số y x= 4−2x2 là:

4 2

x − x =a x ⇔x4−2x2 −a x=0 ⇔x x( 3−2x a− )=0

Do phương trình có bốn nghiệm 0, 1, m, n nên ta có:

( 2 ) ( 1)( )( )

x x − x a− =x x− x m x n− − ⇒ −x3 2x a− =(x2−mx x m x n− + )( − )

3 2 2

x x a x nx mx mnx x nx mx mn

⇔ − − = − − + − + + −

( ) ( )

3 2 1

x x a x n m x m n mn x mn

⇔ − − = + − − − + + + −

( )2 2

1

2

1 m n

m n

m n mn S m n m n mn

mn mn a − − − =  + = −   ⇔ + + = − ⇔ ⇒ = + = + − = = −  − = − 

Câu 35: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019)Tìm m đểđồ thị hàm số y x= 4−2mx2+m2−1 cắt trục hoành điểm phân biệt

A m>1 B − ≤1 m≤1 C m≤ −1 D

1 m m ≤ −   ≥ 

Xét phương trình hồnh độgiao điểm y x= −2mx2+m2−1 Ox:

( )

4 2 2 1 *

x − mx +m − =

Đặt x2 =t t 0( ≥ ) Khi phương trình (*) trở thành t2−2mt m+ 2− =1 **( )

Đểđồ thị hàm số y x= 4−2mx2+m2 −1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

⇔ phương trình (*) có nghiệm phân biệt⇔ phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔

0 0 S P ′ ∆ >   >   >  2 m m  >  ⇔ >

 − >  1 m m m >   ⇔ >

  < − 

1

m ⇔ >

Câu 36: Cho hàm số y x mx= 4− 2+m (m tham số) có đồ thị ( )C Biết đồ thị ( )C cắt trục hồnh

tại điểm phân biệt có hồnh độ x x x x1, , ,2 3 4 thỏa mãn 14 34 44

2 30

x +x +x +x = m m= 0 Hỏi

(166)

A 4<m0 ≤7 B 0<m0 <4 C m0 >7 D m0≤ −2 Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độgiao điểm ( )C Oxlà x mx m4− 2+ =0 *( )

Đặt t x= ≥0 khi ( )* ⇔ f t( )= −t2 mt m+ =0

Để(*) có nghiệm phân biệt ⇔ f t( )=0 có nghiệm dương phân biệt ⇔ >m

Khi đó, gọi t t t t1 2, (1< 2) hai nghiệm phân biệt f t( )=0

Suy x1= − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 4 4

1

x x x x

⇒ + + + ( 2)

1 2 t t

= + =30

Mà 2

t t m

+ =   =  ( ) 2

1 2 21

t t t t t t

⇒ + = + − =m2−2m suy

2 15 m m m >   − =

 ⇔ =m

Câu 37: Cho hàm số y x mx= 4− 2+m (m tham số) có đồ thị ( )C Biết đồ thị ( )C cắt trục hoành

tại điểm phân biệt có hồnh độ x x x x1, , ,2 3 4 thỏa mãn 14 34 44

2 30

x +x +x +x = m m= 0 Hỏi

mệnh đềnào sau đúng?

A 4<m0 ≤7 B 0<m0 <4 C m0 >7 D m0≤ −2 Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độgiao điểm ( )C Oxlà x mx m4− 2+ =0 *( )

Đặt t x= ≥0 khi ( )* ⇔ f t( )= −t2 mt m+ =0

Để(*) có nghiệm phân biệt ⇔ f t( )=0 có nghiệm dương phân biệt ⇔ >m

Khi đó, gọi t t t t1 2, (1< 2) hai nghiệm phân biệt f t( )=0

Suy x1= − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 4 4

1

x x x x

⇒ + + + ( 2)

1 2 t t

= + =30

Mà 2

t t m

+ =   =  ( ) 2

1 2 21

t t t t t t

⇒ + = + − =m2−2m suy

2 15 m m m >   − =

 ⇔ =m

điểm A B, thỏa mãn tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) Kết luận sau

đúng?

A 9;

m∈ 

  B

1 3;

m∈ 

  C

3 5; 4

m∈ 

  D

5 7; 4

m∈ 

 

PT hoành độgiao điểm 4 2 2 ( )

1 t x 3

m+ =x − x − = → − − − =t t m

(167)

Khi 1

3 21 21

2

A B

m

t x t

m x t

t  + + =   =  ⇒   − + = −  =  

Suy tọa độhai điểm A B, ( ) ( ) ( )

( )

1

;

; , ;

;

OA t m

A t m B t m

OB t m

 = +  + − + ⇒  = − +   

Tam giác OABvuông O 1 ( 1)2 21 ( 1)2

m

OAOB t m + + m

⇒ = ⇔ − + + = ⇔ − + + =

Giải PT kết hợp với điều kiện ( )2 5; 4

m m  

⇒ = ⇒ ∈ 

Câu 39: (THTT lần5)Cho hàm sốy x= 4−2x2có đồ thị ( )C , có đường thẳng d có

điểm chung với đồ thị ( )C điểm chung có hồnh độx x x1, ,2 3thỏa mãnx13+x23+x33 = −1

A 0 B 1 C 2 D 3

Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ( )C điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số

góc dạng y ax b= +

Phương trình hồnh độgiao điểm d ( )C là: x4−2x2 =ax b+

Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt sẽcó

nghiệm kép gọi x1, hai nghiệm lại x x2, 3

Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị ( )C , khơng tính tổng qt giả sửđường thẳng dtiếp

xúc với đồ thị hàm số ( )C x1

Gọi dlà tiếp tuyến ( )C điểm có hồnh độ x1, d cắt ( )C điểm phân biệt có hồnh độ 2, (3 1)

x x ≠x thỏa mãn x13+x23+x33 = −1

Ta có: d y: =(4x13−4 )(x x x1 − 1)+x14−2x12

Phương trình hồnh độgiao điểm d ( )C là:

4

1 1 1

2 (4 4 )( ) 2 (1)

x − x = x − x x x− +x − x

Yêu cầu tốn ⇔(1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13+x23+x33= −1

1

2 2

1 1 2

1

(1) ( ) ( 2 3 2) 0

( ) 2 3 2 0

x x x x x x x x

f x x x x x

=  ⇔ − + + − = ⇔ 

= + + − = 

Đểphương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13+x23+x33= −1thì phương trình f x( ) 0= phải

có nghiệm phân biệt x x2, 3 khác x1và thỏa mãn định lí Vi – ét:

2

x x x

x x x

+ = −

 

= −

(168)

Ta có:

2

1

2 2

1 1

3

1 3

'

2

( ) ( )

x x

x x x

x x x x x x x

∆ = − + >



+ + − ≠



 + + − + = −



⇔ 1

3

1 1

1

3

( ) 3(3 2).( )

x x

x x x x

− < < 

 − ≠



 + − − − − = −



1 1122165

x − +

⇔ = Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 40: Gọi (Cm) độthì hàm số y x= −2x m2− +2017 Tìm m để (Cm) có điểm chung phân

biệt với trục hoành, ta có kết quả:

A m=2017 B 2016< <m 2017 C m≥2017 D m≤2017 Lời giải

Chọn A

- Phương pháp: Tìm m đểphương trình ẩn x tham sốm có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng K

+ Cơ lập m, đưa phương trình vềdạng m = f(x) + Vẽđồ thị(hoặc bảng biến thiên) y=f(x) K

+ Biện luận đểđường thẳng y = m cắt đồ thị hàm sốy =f(x) n điểm phân biệt K

- Cách giải: ( )Cm cắt Ox điểm phân biệt Phương trình

4 2 2017 0 2 2017

x − x − +m = ⇔m x= − x + có nghiệm phân biệt

Xét hàm số y x= 4−2x2+2017 trên R

Có y' 4= x3−4x= ⇔ =0 x 0 hoặc x= ±1

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm sốy =f(x) điểm phân biệt

chỉ m =2017

điểm A B, thỏa mãn tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) Kết luận sau

đúng?

A 9;

m∈ 

  B

1 3;

m∈ 

  C

3 5; 4

m∈ 

  D

5 7; 4

m∈ 

 

PT hoành độgiao điểm 4 2 2 ( )

1 t x 3

m+ =x − x − = → − − − =t t m

Hai đồ thịcó giao điểm ⇔ ( )1 có nghiệm trái dấu ⇔t t1 2 < ⇔ − − < ⇔ > −0 m m 2( )

Khi 1

1

3 21 21

2

A B

m

t x t

m x t

t  = + +   =  ⇒   − + = −  =  

Suy tọa độhai điểm A B, ( ) ( ) ( )

( )

1

;

; , ;

;

OA t m

A t m B t m

OB t m

(169)

Tam giác OABvuông O 1 ( 1)2 21 ( 1)2

m

OAOB t m + + m

⇒ = ⇔ − + + = ⇔ − + + =

Giải PT kết hợp với điều kiện ( )2 5; 4

m m  

⇒ = ⇒ ∈ 

 

Câu 42: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019)Gọi m số thực dương cho đường

thẳng y m= +1 cắt đồ thị hàm số y x= −3x2−2 tại hai điểm phân biệt M N, thỏa mãn tam

giác OMN vuông O (O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?

A 11 15; 4

m∈ 

  B

1 3;

m∈ 

  C

7 9; 4

m∈ 

  D

3 5; 4

m∈ 

 

Ta có y m= +1 ( )d y x= 4−3x2−2 ( )C

Xét phương trình tương giao: x4−3x2− = +2 m 1 ⇔x4−3x2−(m+ =3 0) ( )1

Đặt t x= ≥0, phương trình ( )1 trở thành: t2− −3t m( + =3 0) ( )2

Phương trình ( )2 có tích a c = − − <m m số thực dương

Suy phương trình ( )2 ln có hai nghiệm trái dấu t1< <0 t2

Từđó suy phương trình ( )1 có hai nghiệm đối x1= − t x2, 2 = t2 đồng thời ( )d ( )C cắt

nhau hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy M(− t m2; +1 ,) (N t m2, +1 ) Mặt khác tam giác OMN vuông O OM ON  =0 ⇔ =t2 (m+1)2

Thay ( )2

2

t = m+ vào phương trình ( )2 ta được:

( )4 ( ) (2 )

1 3

m+ − m+ − m+ = ⇔(m+1)4−3(m+1) (2− m+ − =1 0)

Đặt a m= + >1 ta phương trình

4 3 2 0

a − a a− − = ⇔(a−2)(a3+2a2 + + =a 1 0) ⇔ =a 2 (do a>1 nên a3+2a a2 + + >1 0)

Từđó ta m+ =1 2⇔ =m (thỏa mãn m>0)

Vậy m=1

Câu 43: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2)Cho phương trình (x2−3x m+ )2+x2−8x+2m=0 Có giá

trịnguyên tham số m thuộc đoạn [−20;20] đểphương trình cho có nghiệm phân biệt?

A 19 B 18 C 17 D 20

Ta có (x2−3x m+ )2+x2−8x+2m=0

( 2 )2 2 ( 2 )

3

x x m x x x m

 

⇔ − + − + − + =

 

(x2 4x m x)( 2x m) (2 x2 4x m) 0

⇔ − + − + + − + =

(x2 4x m x)( 2x m 2) 0

⇔ − + − + + =

( ) ( )

2

4

2 2

x x m

 − + =

⇔ 

− + + =

(170)

YCBT⇔ phương trình ( )1 ( )2 có nghiệm phân biệt khơng trùng

Phương trình ( )1 ( )2 có nghiệm phân biệt

1

0 4

1

0

m m

m

m m

′

∆ > − > <

  

⇔ ⇔  ⇔  ⇔ < −

′

∆ >  − − >  < −



Giả sửphương trình ( )1 ( )2 có nghiệm x0 trùng

⇒ Hệsau có nghiệm ( )

( )

2

4

2 2

x x m

 − + =  ⇔  − + + =  ( ) 2

0 0 2

x x m x x m

⇒ − + − − + + =

0

x

⇔ = −

Với x0 = −1 thay vào ( )1 ta m= −5

⇒ Với m≠ −5 phương trình ( )1 ( )2 khơng có nghiệm trùng

Kết hợp m sốnguyên thuộc đoạn [−20;20] ⇒ m∈ −[ 20; \ 5− ) { }−

Vậy có 18 sốnguyên m thoảmãn yêu cầu toán

HÀM PHÂN THỨC

Câu 44: Tìm tất cảcác giá trị thực tham sốm cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y H x + =

:

d y x m x m= + + giao hai điểm phân biệt A, B cho AB=

A m=4 B m=3 C m=0 D  = −mm=102



Phương trình hồnh độgiao điểm:

( ) ( )

2

2x mx m+ + + =2 0, x≠ −1 ,

(d) cắt (H) điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác -1 16 2( )

1

m m

x

 − − >

 ⇔ 

≠ − 

Gọi A x y( 1; 1) B x y( 2; 2) giao điểm d (H) Ta có x x1, 2 nghiệm phương trình (1)

( 2) ( )

2

1 1 2 5 5 8 16 5

2 2

10

8 20

2

AB m m

m m m m = + ∆ = ∆ = − − = =  ⇔ − − = ⇔  = − 

(171)

Câu 45: Tìm tất cảcác giá trị thực đểđường thẳng cắt đồ thị hàm số

hai điểm phân biệt cho

A B C D

Hoành độgiao điểm nghiệm PT:

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt chỉkhi phương trình

có hai nghiệm phân biệt khác , hay

Khi đó, gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình , ta có (Viète)

Giả sử

Theo giả thiết

Kết hợp với điều kiện ta

Câu 46: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hàm số

1 x y x + =

+ có đồ thị (C) Gọi

S tập tất cảcác giá trị tham số m đểđường thẳng d y x m: = + −1 cắt đồ thị (C) hai

điểm phân biệt A, B cho AB=2 Tính tổng bình phương phần tử S

A 38 B 52 C 28 D 14

Phương trình hồnh độgiao điểm (C) d

2

2 1

1 ( 2) (*)

x

x x m

x x m x m

≠ −  +

= + − ⇔ 

+  + − + − =

d cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1 (*)

2

( 1) (m 2) m

∆ >  ⇔  − − − + − ≠ 

( 2) 4( 2)

1

m m

 − − − > ⇔ 

≠ 

2 8 12 0 (**).

6 m m m m <  ⇔ − + > ⇔ 

> 

Khi đó, A x x m( ;1 1+ −1) B x x m( ;2 2+ −1), với x1 x2 hai nghiệm phương trình (*)

Hơn nữa, 2

2 1 2

2 12 2( ) 12 ( )

AB= ⇔ AB = ⇔ x x− = ⇔ x x+ − x x = , với x x1+ 2 = −2 m

1 2

x x = −m (Viète) Từđó, ta có 8 6 0 10 10 m m m m  = + − + = ⇔  = − 

m y x m= + −1

1 x y x + = + ,

A B AB=2

4 10

m= ± m= ±4 m= ±2 m= ±2 10

( ) ( 2) 2 0

2 1

1

f x x m x m

x x m

x x

 = + − + − =

+ = + − ⇔ 

+  ≠ −

1

y x m= + − f x( )=0

1

−

( ) ( )

2

0 12 *

1

m

m m

f m

∆ >

  − + >  <

 ⇔ ⇔

 − ≠  ≠  >

  



( )

f x =

1 2

2

x x m

+ = − 

 = −

 ( 1; 1 ,) ( 2; 1) 2

A x x m+ − B x x m+ − ⇒ AB= x x−

( )2 2

2 1 2

2 2

AB= ⇔ x x− = ⇔ x x+ − x x = ⇔m − m+ =

4 10

m

⇔ = ±

(172)

So điều kiện (**), ta nhận hai giá trị m Do đó, S ={4− 10;4+ 10}

Vậy, tổng bình phương phần tử S (4− 10) (2+ 4+ 10)2 =52

Câu 47: Tìm tất cảcác giá trị thực tham sốm cho đồ thị hàm số 1( )

1

x

y H

x

+ =

:

d y x m x m= + + giao hai điểm phân biệt A, B thuộc nhánh khác Xác định m

đểđoạn AB có độdài ngắn

A m=5 B m= −3 C m=0 D m= −1

Đểđường thẳng d ln cắt (H) hai điểm phân biệt phương trình hồnh độgiao điểm

x x m

x

+ = +

−

có hai nghiệm phân biệt với m x1< <1 x2

( )( )

1

x x x m

x

+ = − +

 ⇔ 

≠

 có hai nghiệm phân biệt x1< <1 x2

( ) ( )

2

2 *

1

x m x m

x

 + − − − =

 ⇔ 

≠

 có hai nghiệm phân biệt x1< <1 x2

( ) ( ( ) ) ( )

2

0 16 0,

1 1 2 3 1 2 0

m m

f f m m

 ∆ >

 + + > ∀

 

⇔ ⇔

< = + − − − = − <

 

Vậy với giá trịm đường thẳng d ln cắt (H) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác

nhau

Gọi A x x m B x x m( 1;2 1+ ) (, 2;2 2+ ) giao điểm d (H)

(x x1, nghiệm phương trình (*))

Ta có:

( )2 ( ( ))2 ( )2 (( )2 )

2 2 5

AB= x x− + x x− = x x− = x x+ − x x

Theo viet ta có: ( 1)2 16

2

AB=  m+ +  ≥

min

AB = ⇔ = −m

Vậy m= −1 giá trị cần tìm

Nhận xét: Vậy ta tính theo cơng thức tính nhanh trên:

( 2) (( )2 )

1 1 2 5 5 1 16 min

2 2

AB= + ∆ = ∆ = m+ + →

Khi ∆ →min m= −1

Câu 48: (Chuyên Bắc Giang)Tìm giá trị thực tham số m đểđường thẳng d y x m: = − +2 cắt đồ thị

hàm số ( )

1

x

y C

x

=

− hai điểm phân biệt A B cho độdài AB ngắn

(173)

Tập xác định hàm số D=\ 1{ }

Hoành độgiao điểm d ( )C nghiệm phương trình 2

1

x x m

x− = − +

( )( )

1

2

x

x x x m

− ≠ 

⇔  = − − +



1

2 2

x

x x mx x x m

≠  ⇔ 

= − + − + −

 ( ) ( )

1

x

x m x m

≠ 

⇔  − + + − =



d cắt ( )C hai điểm phân biệt ( )1 có hai nghiệm phân biệt khác

⇔ ( ) ( )

( )

2

1

1 1

m m

 + − − > 



− + + − ≠



2 2 9 0

2

m m

 − + > ⇔ 

− ≠

 ( )

2

1

m

⇔ − + > , với ∀ ∈m 

Nghiệm x1, x2 ( )1 lần lượt hoành độđiểm A, B

Gọi A x x m( 1; 1− +2) B x x m( 2; 2− +2) Theo hệ thức Vi-ét ta có: 2

1

x x m

+ = + 

 = −



( ) (2 )2

2

2 2

AB = x x− + x m− + − + −x m =2(x x2− 1)2 =2(x2+x1)2−8x x2 1=2(m+1)2−8(m−2)

2m 4m 18

= − + 2( 1)2 16

m

= − + ≥16,∀m

Dấu xảy m=1

Vậy AB ngắn m=1

Câu 49: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số ( )

2 m m x y H x − =

+ đường

thẳng d x: +2y− =1 giao hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có

diện tích

S=

A m=3 B

2

m= C m=2 D m=1

Hoành độ giao điểm A, B d ( )Hm nghiệm phương trình:

( ) ( )

2

1 2 2 1 0, 2, 1

2

x m x x x m x

x

− + = − + ⇔ + + − = ≠ −

+

Phương trình (1) có nghiệm x x1, 2 phân biệt khác -2:

( )2 ( )

17 17 16

16

2 2 2

m m



∆ = − >

 <   ⇔ ⇔ − − + − ≠     ≠ − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

2 1

2

2 17 16

2

AB x x y y x x

x x x x m

= − + − = −

= + − = −

Khoảng cách từ gốc tọa độđến d

2

(174)

Suy 1 17 16

2 2 2

OAB

S = h AB= − m = ⇔ =m (thỏa mãn)

Câu 50: Tìm tất cảcác giá trị thực tham sốm cho đồ thị hàm số ( )

2

x

y H

x

=

:

d y x m= + giao hai điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thịsao cho khoảng cách hai điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ

A m=4 30 B

m= 31 C m=0 32 D m= −1 33 Lời giải

Chọn C

Phương trình hồnh độgiao điểm:

( ) ( )

2

2 4 2 0, 1

2

x x m x m x m

x− = + ⇔ + − − =

Để d cắt (H) điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

( )

2

16,

m m

∆ = +

⇔ ∀

− ≠ 

Giả sử A x y B x y( 1; 1) (, 2; 2) hai giao điểm x x1, nghiệm phương trình (1)

Thei viet ta có: ( )

1

x x m

+ = − 

 = − 

1 , 2 y = +x m y =x m+

Để A, B thuộc nhánh khác đồ thịthì A B nằm khác phía đường thẳng x− =2 A B nằm khác phía đường thẳng x− =2 (x1−2)(x2−2 0)< hay

( ) ( )

1 2 0, x x − x x+ + <

Tahy (3) vào (4) ta − <4 (5) Mặt khác ta lại có

( ) (2 )2 ( )2 ( )

1 2 2

AB= x x− + y y− = x x+ − x x

Tahy (3) vào (6) ta được: AB= 2m2+32≥ 32 vậy AB= 32 nhỏ nhất m=0 7( )

Từ (1), (5), (7) ta có m=0 AB= 32 thỏa mãn

Nhận xét:Đối với khoảng cách 2, có cách tính khoảng cách AB nhanh khơng?

Chúng ta khẳng định có

Thật vậy, ta có tổng quát: Cho hàm số y ax b

cx d

+ =

+ đường thẳng y mx n m= + ,( ≠0)

Gọi A, B hai điểm mà đường thẳng cắt hàm số Giả sử A x y B x y( 1; 1) (, 2; 2) giao điểm, x x1,

(175)

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) (( ) ) ( )

2

2 2 2

1 2 2

2 2

1 2

1

AB x x y y x x m x x m x x

m x x x x m

m

= − + − = − + − = + −

= + + − = + ∆

Với ∆ tính từphương trình (1)

+Nếu AB nhỏ ∆ nhỏ

Ta xét tập sau đây:

Câu 51: Tìm tất giá trị thực a b cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y C x − =

+ đường thẳng

:

d y ax b= + giao hai điểm phân biệt, đối xứng qua đường thẳng ∆:x−2y+ =3

A a 12 b = −   = −  B 2 a b = −   = −  C a b = −   = −  D a b = −   = − 

Phương trình ∆ viết lại dạng

2

y= x+

Đểgiao điểm đối xứng qua ∆ 1

2

d a a

∆ ⊥ ⇔ = − ⇔ = −

Suy đường thẳng d y: = − +2x b

Phương trình hồnh độgiao điểm d (C):

( ) ( ) ( )

2

1 2 2 3 1 1

1

x x b x b x b

x

− = − + ⇔ − − − + =

+

Đểd (C) cắt hai điểm phân biệt A, B chỉkhi (1) có hai nghiệm phân biệt

2

0 b 17 0b b

⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇒ ∀ ∈

Goi I trung điểm AB, ta có:

3 2 A B I A B I

x x b

x

y y b

y + −  = =   + +  = = 

Vì A, B đối xứng qua ∆ nên trung điểm I thuộc vào đường thẳng ∆, ta có:

( )

3

2 3

4

I I b

x − y + = ⇔ − − + + = ⇔ = −b b

Vậy

1 a b = −   = −

 thỏa ycbt

Câu 52: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số 1( )

1 x y C x + =

:

d y mx= + giao hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (O

gốc tọa độ)

(176)

Chọn A

Pt hoành độgia điểm: 3,( 1) ( 1) 4 0, 1( )

1

x mx x mx m x

x

+ = + ≠ ⇔ − − − =

−

(d) cắt đồ thị hàm số (C) A, B chỉkhi pt (1) có nghiệm phân biệt khác 1, nên:

( ) ( ) ( )

( )

2

2 3, 1 1 4 0, 1

1

.1 1

x mx x mx m x

x m m +  = + ≠ ⇔ − − − =  −   − − − ≠  ( ) 0

0

1 7 3

m m m g m ≠   ≠   

∆ > ⇔ < − −

 



 ≠  > − + 

 

( )( )

( )( ) ( ) ( )

3

0,

A B A B

OA OB OAOB x x mx mx

m x x m x x

⊥ ⇔ = ⇔ + + + =

⇔ + + + + =

   

Theo Viet ta có: ( )

1 , A B A B m x x m x x m −  + =    = − 

Thay (3) vào (2) ta được: m2−6m+ = ⇔ = ±4 0 m 3 5

Vậy với m= ±3 thỏa mãn ycbt

Câu 53: Cho hàm số

1 x y x − =

+ có đồ thị (C) điểm P( )2;5 Tìm giá trị tham số m đểđường

thẳng d y: = − +x m cắt đồ thị ( )C hai điểm phân biệt A B cho tam giác PAB

Phương trình hoành độgiao điểm đường thẳng d đồ thị ( )C là:

A m=1, m= −5 B m=1,m=4 C m=6, m= −5 D m=1, m= −8 Lời giải

Chọn C

1

x x m

x

− = − + ⇔

+ ( )

2 ( 3) 1 1

x − m− x m− − = , với x≠ −1

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt chỉkhi phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt khác −1

2 2 13 0

0

m m

m

 − + > ⇔ 

− ≠

 (đúng ∀m)

Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình (1), ta có: 2

3

x x m

+ = −



 = − − 

Giả sử A x( 1;− +x m1 ), B x( 2;−x m2+ )

(177)

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

1 2

PA= x − + − + −x m = x − + x − ,

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 2 2

PB= x − + − + −x m = x − + x −

Suy ∆PAB cân P

Do ∆PABđều ⇔PA2 = AB2

( ) (2 )2 ( )2 ( )2 ( )

1 2 2 2

x x x x x x x x x x

⇔ − + − = − ⇔ + + + − − =

2 4 5 0

5 m m m m =  ⇔ + − = ⇔  = −

 Vậy giá trị cần tìm m=1,m= −5

Câu 54: Cho hàm số có đồ thi điểm Tìm đểđường thẳng cắt

đồ thị hai điểm phân biệt cho tứ giác hình bình hành ( gốc

toạđộ)

A B C D

Do điểm thuộc đường thẳng nên để hình bình hànhthì

Hồnh độ nghiệm pt:

Vì ,nên ln có hai nghiệm phân biệt, cắt hai điểm phân

biệt

Giả sử nghiệm ta có:

Gọi

+ thẳng hàng nên khơng thỗ mãn

+ thỗ mãn

Câu 55: Cho hàm số

1 x m y mx − =

+ với m tham số Xác định m đểđường thẳng d cắt trục Ox Oy,

lần lượt C D, cho diện tích ∆OAB lần diện tích ∆OCD

A

3

m= ± B m= ±3 C

3

m= ± D

3

m= ±

Phương trình hoành độgiao điểm dvà đồ thị: 3mx2 3m x m2 0,x

m − − − = ≠ x y x − =

+  C A( 5;5)− m y = − +x m

 C M N OAMN O

0

m m0;m2 m2 m 2

O A ∆:y= −x OAMN

5 MN OA= =

M N (3 ) ( 4) ( 1) (1)

1

x x m x m x m x

x

− = − + ⇔ + − − + = ≠ − +

2 2 25 0,

m m m

∆ = − + > ∀  1  d  C

1,

x x  1

1

3 ( 4)

x x m

+ = −



 = − +



2 2

1 2 2

( ; ), ( ; ) 2( ) ( ) 4 50

M x x m N x− + − +x m ⇒MN = x x− =  x x+ − x x = m − m+

2

5 2 50 50

0 m

MN m m

m =  = ⇒ − + = ⇔  = 

m  O A M N, , ,

(178)

Vì m≠0 nên phương trình ⇔3x2−3mx− =1 0 (*) Ta có ∆ =9m2+12 0,> ∀ ≠m 0

1 3 0, 0

f m

m m

−

  = + ≠ ∀ ≠

 

  (ởđây f x( ) vếtrái (*)) nên dluôn cắt đồ thị điểm A B, phân

biệt ∀ ≠m

Ta có A x x( 1;3 1−3 ,m B x x) ( 2;3 2−3m) với x x1, 2 nghiệm (*) Kẻđường cao OH ∆OAB ta

có ( )0;

10 m

OH d= d = − ( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 2

3 10

40

10 40 10

3

AB x x x x x x

x x x x m

= − + − = −

= + − = +

(Định lý Viet (*))

Mặt khác ta có C m( ;0 ,) (D 0; 3− m)(để ý m≠0 C D O, , phân biệt) Ta tìm m để S∆OAB =2S∆OCD hay

2 40

10

3 10

m

m + − = m m ⇔ = ±m Câu 56: Cho hàm số 2x 1( )

1

y C

x

+ =

+ Tìm k để đường thẳng d y k: = x 2+ k+1 cắt (C) hai điểm phân

biệt A B, cho khoảng cách từ A B đến trục hoành

A 12 B −4 C −3 D

Lời giải

Phương triình hoành độgiao điểm (C) d:

( )( ) ( )

2x x 1 2x 1 1 2 ; 1

1 k k x kx k x

x

+ = + + ⇔ + = + + + ≠ −

+

( ) ( ) ( )

2

x ;

k k x k x

⇔ + − + = ≠ −

d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt chỉkhi (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1

( ) ( )( )

2

0

3 2 2

1 1

k

k k

k k k

 ≠

≠

 

 

⇔ ∆ = − + > ⇔

< − ∨ > + 

 − + − − + ≠



Khi đó: A x k( 1; x ,1+ k+ ) (B x k2; x 12+ k+ ) với x x1, nghiệm (1)

Theo định lý Viet tao có

1 k x x k x x − +  + =    = 

Ta có d A Ox( ; )=d B Ox( ; )⇔ kx 11+ k+ = kx 12+ k+

( )

1

2 x

4

2 x

x x

kx k k k

k x x k

kx k k k

=  + + = + +  ⇔ ⇔  + + + = + + = − − −  

Do hai điểm A, B phân biệt nên ta loại nghiệm x1 =x2 Do k x x( 1+ 2)+4k+ = ⇔ = −2 k

(179)

Câu 57: Tìm tất cảcác giá trị thực m cho đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+3(m−1)x+2( )C

đường thẳng ∆:y= − +x điểm phân biệt A( )0;2 ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M( )3;1

A

3 m m =   =  B m m =   =  C m m =   =

 D

2 m m =   = 

Pt hoành độgiao điểm đồ thị với ∆

( )

3

2

2 2

0

2

x mx m x

x y

x mx m

+ + − + = − +

= ⇒ = 

⇔  + + − =



Đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt A( )0;2 , B, C pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0, khi:

( )

2

' 3 2 0 1

0 2

3 m

m m m

g m

m

 >  ∆ >

  − + > <

 ⇔ ⇔  ≠   − ≠     ≠ 

Gọi B x y( 1; 1) C x y( 2; 2), x x1, nghiệm (1);

1

y = − +x y2 = − +x2

Ta có: ( ;( )) 2 2.2

2

MBC S

h d M BC

h

+ −

= ∆ = ⇒ = = =

Mà ( ) (2 )2 ( )2

2 2

BC = x x− + y −y =  x x+ − x x  ( )

8 m 3m

= − +

Suy 8( 3 2 16)

3 m m m m =  − + = ⇔  = 

Vậy

3 m m =   =

 thỏa ycbt

Câu 58: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Giá trị k thỏa mãn đường thẳng d y kx k: = + cắt đồ thị ( ):

2 x H y x − =

− hai điểm phân biệt A B, cách đường

thẳng y =0 Khi k thuộc khoảng khoảng sau đây?

A (− −2; 1) B ( )1;2 C (−1;0) D ( )0;1

Xét phương trình hồnh độcác giao điểm:

2 x kx k x − + =

(180)

( )

2

2kx x 2k

⇒ − − + =

Đường thẳng d cắt đồ thị ( )H hai điểm phân biệt A B, chỉkhi phương trình ( )1 có hai

nghiệm phân biệt khác 2

0

0 4 15

0

2 4

16 32

1 4.2 (4 ) 4 5

4 k k k k k k k k k k k ≠   ≠   ≠  +

  >

⇔ − − + ≠ ⇔ ⇔

− + > 

 − − >  −

  <

  

Gọi x x1, nghiệm phương trình ( )1 , ta có: A x kx k B x kx k( 1; 1+ ) (, 2; 2+ ) Do A B, cách

đường thẳng y=0 nên kx k1+ = kx k2+ ⇔kx k1+ = −kx k2− (vì A B, hai điểm phân biệt)

1 2 21

x x

k

⇔ + = − ⇒ = − (áp dụng Viet)

4

k

⇔ = − (thỏa mãn điều kiện)

Câu 59: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2)Cho hàm số

2 x y x + =

+ (1) Đường thẳng d y ax b: = +

là tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A, B

sao cho tam giác OAB cân O Khi a b+

A −1 B 0 C 2 D −3

TXĐ: \

2

D= − 

 



( )2 y x − ′ = +

Do tiếp tuyến tạo với trục tọa độ tam giác vuông cân O nên tiếp tuyến vng góc với đường

phân giác góc phần tư suy a= ±1

Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình y a′ = (*) nên:

TH1: Nếu a=1, phương trình (*)

( )2

1 1

2x

− =

+ vô nghiệm

TH2: Nếu a= −1, phương trình (*)

( ) ( )

2

1

1 1 2 3 1

2 x x x x = −  − = − ⇒ + = ⇒  = − + 

Khi x= −1, y=1, phương trình tiếp tuyến y= −1(x+ + ⇔ =1 1) y x (loại) tiếp tuyến qua gốc

tọa độnên không tạo tam giác vuông cân

Khi x= −2, y=0, phương trình tiếp tuyến y= −1(x+ + ⇔ = − −2 0) y x (thỏa mãn)

Từđó suy a= −1 b= −2 Vậy a b+ = −3

Câu 60: (THPT Nghèn Lần1)Cho hàm số

2 x x y x + =

− có đồ thị ( )C đường thẳng d y: = −2x Biết d

cắt ( )C hai điểm phân biệt A, B Tích hệ sốgóc tiếp tuyến ( )C A B

(181)

A 0 B 4 C

− D 5

2 Lời giải

Chọn D

+ Phương trình hồnh độgiao điểm d ( )C là:

( )

2 0

2 ,

1

x

x x x x

x x

=  +

= − ≠ ⇔  =

− 

+ Khi đó, khơng giảm tổng qt, giả sửhồnh độ A B

Tiếp tuyến ( )C điểm có hồnh độ x x0,( ≠2) có hệ sốgóc là: ( ) ( )

2

0

4

2

x x

y x

x

− −

′ =

−

Do đó, tích hệ sốgóc tiếp tuyến ( )C A Bbằng:

( ) ( )0 1 5( )

2

y′ y′ = − − =

Câu 61: (SGD-Nam-Định-2019)Cho hàm số điểm Tìm đểđường thẳng

cắt hai điểm phân biệt cho đạt giá trị nhỏ

A B C D

Phương trình hồnh độgiao điểm là: (đk: )

Để cắt hai điểm phân biệt (*) phải có nghiệm phân biệt khác

Giả sử Theo hệ thức viét:

(182)

Ta có:

(Áp dụng BĐT Côsi)

Suy ra: đạt giá trị nhỏ

Vậy (vì )

Câu 62: (Quỳnh Lưu Lần 1)Cho hàm số

2 x y x − + =

− (C), y x m d= + ( ) Với m đường thẳng ( )d

luôn cắt đồ thị (C) hai hai điểm phân biệt A

B Gọi k1, k2 lần lượt hệ số góc tiếp tuyến với (C) A

B Giá trị nhỏ 2020 2020

1

T k= +k

A 1 B 2 C 1

2 D

2 Lời giải

Chọn B

+ Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

1

2

x mx m

x x m

x x

 + − − =

− + 

= + ⇔ 

−  ≠ (*)

+ Phương trình (*) có: ∆ =' m2+2(m+ >1) 0,∀m nên (d) cắt (C) tại điểm phân biệt A,

B Gọi a b, hoành độ giao điểm

2

a b

 ≠ ≠ 

 

  Khi ta có:

2

a b m

m ab + = −    + = − 

+ Khi đó:

[ ] [ ]

2020 2020

1 4040 4040 2020

2020 2020

1

(2 1) (2 1) [(2 1)(2 1)]

2 2

4 2( ) 2( 1)

T k k

a b a b

ab a b m m

= + = + ≥

− − − −

= = =

− + + − + + +

+ Nhận xét: Giá trị nhỏ khi:

2020 2020

(2 1) (2 1)

1

a b

a b m m

a b  − = −  ⇔ + = = − ⇔ = −  ≠ ≠ 

Câu 63: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019)Cho hàm số

1 x y

x

=

− ( )C đường

thẳng d y: = − +x m Gọi S tập hợp số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị ( )C tạihai

điểm phân biệt A B, cho tam giác OAB (O gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp

bằng 2 Tổng phần tử S

(183)

Phương trình hồnh độgiao điểm đường thẳng d đồ thị ( )C

2

0 (*)

1

x mx m

x x m

x x

 − + =

= − + ⇔ 

−  ≠

Đểđường thẳng d cắt đồ thị ( )C hai điểm phân biệt A B, phương trình ( )* phải có hai nghiệm

phân biệt khác 1nên ta có

2 4 0 4

0 m m m m > ∆ = − > 

⇔

  <

≠ 



Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình ( )* , ta có x x1+ 2 =m

Do A x x m( 1;− +1 )⇔A x x( 1; 2), B x( 2;− +x m2 )⇔B x x( 2; 1)

+ 2 ( )2

1 2 2

OA OB= = x +x = x x+ − x x = m − m

+ ( , )

2 O

m h =d O d =

Ta có

2

OAB O OAOB AB O

S AB h R h OAOB

R

= = ⇔ =

2 2 4

2 m

m m m

m =  ⇔ − = ⇔  = − 

Vậy tổng phần tử tập S

HÀM SỐ KHÁC

Câu 64: Cho hàm số y f x= ( )=22018 3x +3.22018 2x −2018 có đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt

có hồnh độ x1, x2, x3 Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( )

1

1 1

P

f x f x f x

= + +

′ ′ ′

A P=22018. B P=0. C P= −2018. D P=3.22018−1. Lời giải

Chọn B

Ta có f x′( )=3.22018(x2+2x)

Do đồ thị hàm số y f x= ( )=22018 3x +3.22018 2x −2018 cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ

1

x , x2, x3 nên theo định lý vi-et ta có: 11 2 2 33 3 1

1 2018

0 2018

2

x x x

x x x x x x x x x

  + + = −  + + =    =  (1)

Ta có ( ) ( ) ( 2018)2 ( )2 ( )

1 3.2 2 2

f x f x′ ′ =  x x + x x x x+ + x x 

( ) ( ) ( 2018)2 ( )2 ( )

2 3.2 2 3

f x f x′ ′ =  x x + x x x x+ + x x 

( ) ( ) ( 2018)2 ( )2 ( )

1 3.2 3

(184)

( ) ( )1 ( ) ( )2 ( ) ( )3 f x f x′ ′ f x f x′ ′ f x f x′ ′

⇒ + +

( 2018)2 ( )2 ( )

1 2 3 2 3

3.2  x x x x x x x x x x x x 

=  + + + + +  (2)

Thay (1) vào (2) ta có f x f x′( ) ( )1 ′ + f x f x′( ) ( )2 ′ + f x f x′( ) ( )3 ′ =0 (3)

Mặt khác

( )1 ( )2 ( )3

1 1

P

f x f x f x

= + +

′ ′ ′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2

f x f x f x f x f x f x

f x f x f x

′ ′ + ′ ′ + ′ ′

=

′ ′ ′ (4)

Thay (3) vào (4) ta có P=0

Câu 65: (Chuyên Thái Nguyên) Tính tổng giá trị nguyên tham số m∈ −[ 50;50] cho bất

phương trình mx4−4x m+ ≥0 nghiệm với mọi x∈

A 1272 B 1275 C D 0

Ta có: mx4−4x m+ ≥0, ∀ ∈x  ⇔m x( 4+ ≥1 , ) x ∀ ∈x 

4 , x m x x ⇔ ≥ ∀ ∈

+  (1)

Đặt ( ) 44

1 x f x

x

=

+ Tập xác định: D=

( ) ( ) 4 12 ' x f x x − + =

+ Khi đó, ( )

4

3

' 12

1

x

f x x

x  =   = ⇔ − + = ⇔  = − 

Theo bảng biến thiên, ta có: ( )

4

max 27

3 f x = f =

 



(1) ⇔m≥max f x( )⇔m≥4 27 2,28

 

Kết hợp với điều kiện [ ] {3;4;5; ;50}

50;50 50

m m m m m ∈   ∈  ⇒ ⇒ ∈  ∈ −  ≤ ≤     

Khi đó, tổng 50 48(3 50 1272)

2

+ + + + = + =

Câu 66: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho số thực a b Tìm giá trị nhỏ a b2 + đểđồ thị

hàm số y f x= ( ) 3= x4 +ax3 +bx2 +ax+3 có điểm chung với trục Ox

A 95 B 15 C 365 D 45

(185)

Gọi ( )C đồ thị hàm cho Phương trình hồnh độgiao điểm ( )C trục Ox:

4

3x ax bx ax+ + + + =3 0 ( ) ( )

3 x a x x bx

⇔ + + + + =

2

1

3 x a x b

x x

   

⇔  + +  + + =

    (vì x=0 khơng phải nghiệm phương trình)

Đặt t x

x

= + , t ≥2

Phương trình trở thành 3(t2 −2)+at b+ =0

( )

3 t at b

⇔ − = − − ⇒9(t2 −2)2 =(at b+ )2

Theo BĐT Cauchy- Schwarz ( )2 ( 2 2)( 2 )

1

at b+ ≤ a +b t +

Nên ( 2 )2 ( 2 2)( 2 )

9 t −2 ≤ a +b t +1 ( )

2 2 2 t a b t − ⇔ + ≥ +

Xét hàm số ( ) ( )

2 2 t f t t − =

+ với t ≥2

Đặt u t= với u≥4 hàm sốtrên trở thành ( ) ( ) u f u u − =

+ với u≥4

Ta có ( ) ( )

( )

2

9

' u u f u u + − = + ( )

'

f u = ⇔ = − ∨ =u u BBT

+∞

( ) '

f u +

( )

f u 36+∞

Vậy GTNN a b2 + 36

5

Câu 67: (Sở Hà Nam)Cho hàm số y f x= ( )=x2−4x+3 có giá trịnguyên của tham số m để

phương trình: f x2( )−(m−6) f x( )− + =m 5 0 có nghiệm thực phân biệt

A 2 B 4 C 1 D 3

(186)

+) Ta có đồ thị hàm số: y f x= ( )=x2−4x+3như hình vẽ:

+) Đồ thị hàm số y f x= ( )= x2−4 x +3như sau:

+) Ta có:

( ) ( ) ( )

2 6 5 (1)

f x − m− f x − + =m

( )

( ) ( )

2

2 (2)

5 (2) x

f x

x

f x m

 = −

 = − 



⇔ ⇔ =

= −

 

 = −



Phương trình (1)có nghiệm thực phân biệt phương trình (2) có nghiệm thực phân biệtx≠ ±2

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: − < − < ⇔ < <1 m m

Vậy có giá trịnguyên tham số m

Câu 68: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho hàm sốđa thức bậc ba

( )

y f x= có đồ thịđi qua điểm A( )2;4 , B( )3;9 , C(4;16) Các đường thẳng AB, AC,

BC lại cắt đồ thị tại điểm D, E, F (D khác A B, E khác A C, F

khác B C) Biết tổng hồnh độ D, E, F 24 Tính f ( )0

A −2 B 0 C 24

5 D 2

(187)

Giả sử f x( ) (=a x−2)(x−3)(x− +4) x2 (a≠0)

Ta có AB qua A( )2;4 nhận AB=( )1;5 VTCP

( ) ( )

:5

AB x y

⇒ − − − = ⇔ =y 5x−6

Tương tự AC y: =6x−8 BC y: =7 12x−

Hoành độ điểm D nghiệm phương trình

( 2)( 3)( 4) 5 6

a x− x− x− +x = x− ⇔a x( −2)(x−3)(x−4)= − −(x 2)(x−3) ( 4) 1

a x x

a

⇒ − = − ⇒ = − +

Tương tự, hoành độ điểm E F x

a

= − + x

a

= − +

Bài ta có 24

a a a

− +  + − +  + − + =             a ⇔ = −

Do ( )0 0( ) ( ) ( ) 24

5

f =a − − − + =

Câu 69: (Quỳnh Lưu Nghệ An)Tìm tất giá trị tham số m∈ cho phương trình

2 2 1

x mx+ + = x+ có hai nghiệm thực

A

12

m> B

2

m≥ − C

2

m≥ D

2

m≥ Lời giải

Chọn D Cách

Ta có: x mx2+ + =2 1x+ (1)

( )2

2

x

x mx x

+ ≥ 

⇔ 

+ + = +

 ( ) ( )

1

3

x

x m x

 ≥ −  ⇔   − − − = 

Đểphương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

1

2 x x

− ≤ <

1

1 0

2 2 x x x x  ∆ >     ⇔ +  + ≥    

 + > − 

( )2

4 12

2

4

m m m

 − + >



⇔ − ≥

 − > − 

9

m

⇔ ≥

Vậy

2

m≥ Cách

2 2 2 1 (1)

x +mx+ = x+ 02 2

2 (2 1) x

x mx x

+ ≥ 

⇔ 

+ + = +

 (2)

1

3

x

x x mx

 ≥ −  ⇔ 

 + − =

(188)

Vì x=0 khơng phải nghiệm phương trình nên phương trình cho tương đương với phương trình

sau:

1 ,

3

x x

x x m

x

 ≥ − ≠



 + −

 =



Xét hàm số f x( ) 3x2 1x x

+ −

= với ,

2

x≥ − x≠

Ta có f x( ) 3x22 0, x

x

+

′ = > ∀ ≠

( )

0 lim

x→ + f x = −∞, xlim→0− f x( )= +∞, xlim→+∞ f x( )= +∞,

1

2

f −  =

 

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm thực

2

m≥

Câu 70: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề2 năm 2017-2018) Tập hợp tất cảcác giá trị tham số m đểđồ

thị hàm số y x= 2+m 4−x2 + −m 7 có điểm chung với trục hoành [ ]a b; (với a b; ∈)

Tính giá trị S =2a b+

A 19

S = B S=7 C S=5 D 23

3

S = Lời giải

Chọn B

Tập xác định hàm số: D= −[ 2;2]

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y x= 2+m 4−x2 + −m 7 và trục hoành là

2 4 7 0

x m+ −x + − =m ⇔m( 4−x2 + = −1 7) x2 ( )

7 1

4

x m

x

− ⇔ =

− +

Đặt t= 4−x2 , t∈[ ]0;2 , phương trình ( )1 trở thành 2( )

1

t m

t

+ =

+

Đồ thị hàm sốđã cho có điểm chung với trục hồnh chỉkhi phương trình ( )2 có nghiệm t∈[ ]0;2 Xét hàm số ( )

1

t f t

t

+ =

+ [ ]0;2

(189)

Ta có ( ) ( ) 2 t t f t t + − ′ =

+ , f t′( )=0

( ) ( ) 0;2 0;2 t t = ∈  ⇔  = − ∉ 

( )0

f = , f ( )1 2= , ( )2

f =

Do

[ ]0;2 ( )

min f t =2

[ ]0;2 ( ) max f t =3

Bởi vậy, phương trình ( )2 có nghiệm t∈[ ]0;2

[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )

min f t ≤ ≤m max f t ⇔ ≤ ≤2 m

Từđó suy a=2, b=3, nên S =2a b+ =2.2 7+ =

Câu 71: Cho hàm số với tham số thực Gọi tổng tất

giá trịnguyên tham số đểđồ thị hàm sốđãcho cắt trục hoành hai điểm

phân biệt Tính

A B

C D

Đặt

Khi ;

Theo đềbài, đểđồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm phân biệt phương trình cần có nghiệm

dương thỏa mãn

TH1: có nghiệm kép (loại)

TH2: có nghiệm trái dấu

có nghiệm dương khoảng nên ta xét GTLN với

Xét hàm , , ta có

Lập BBT ta có

Câu 72: (Sở Quảng NamT)Có giá trịnguyên tham số m thuộc khoảng ( 1;7)− đểphương

trình: (m−1)x+(m+2) x x( +1)= x2 +1 có nghiệm?

( )

2 2018 1 2021

y x= +m −x + − m S

m S

960 986

984 990

2

2018−x =t;0≤ ≤t 2018

 

2 2018 1 2021

y x m x     t2 m t  1 3   t2 mt m 3 *   * 0≤ <t 2018

( )* ∆ =m2−4m+12 0=

( )* −(m− < ⇔ >3 0) m 3( )1

( )* 0≤ <t 2018 m 0≤ <t 2018

)

2

0 0; 2018

1 t

y t mt m m t

t +  = ⇔ − + + − = ⇔ = ∀ ∈  + 3 x y x + =

+ ∀ ∈ x 0; 2018) ( )

2

2 3 0

1 x x y x + − ′ = = + x x = −  ⇔  =  2021 44,009 2018 m

(190)

A B 7 C 1 D 5

Xét phương trình: (m−1)x+(m+2) x x( +1) = x2 +1 (1) Điều kiện cua phương trình là: x≥0

Nếu x=0 phương trình trở thành: = (Vơ lý)

Vậy x≠0khơng phải nghiệm phương trình, đồng thời ta thấy nên với x>0 phương trình cho

tương đương với: x2 (m 2) x2 m

x x

+ − + + − + =

Đặt u x2

x

+

= phương trình trở thành: u2 −(m+2)u m− + =1 0 (2)

Xét hàm số f x( ) x2

x

+

= khoảng (0;+∞)

Ta có

2

1

'( )

1 ( )

2

x x

f x

x L

x x x

 = − = = ⇔  = −  +

Ta có bảng biến thiên:

Vậy u≥

Phương trình (1) có nghiệm chỉkhi phương trình (2) có nghiệm  2;+∞)

Trên  2;+∞) (2) 2

1 u u m u − + ⇔ = +

Xét hàm số ( ) 2 1 u u f y u − + =

+  2;+∞)

Ta có

( ) ) ( )

2

'( ) 0, 2; ( ) ( 2)

1

u u

f u y f u f

u

+ − 

= > ∀ ∈ +∞ ⇒ ≥ = −

+ ⇒ YCBT ( )

3

2

m

⇔ ≥ −

Mà m∈, 1− <m< ⇒ ∈7 m {1;2;3;4;5;6}

Câu 73: (Sở Hưng Yên Lần1) Có giá trị âm tham số m để phương trình

2

2019m+ 2019m x+ =x có hai nghiệm thực phân biệt

A B 0 C Vô số D 2

Cách 1:

Đặt ( )

( )

2

2019

0

t m x t

a x a

 = + ≥

 

= ≥



Ta hệ 2019

2019

m t a m a t

 + =

 

+ =

 ⇒ 2019m t+ − 2019m a a t+ = − (*)

Trường hợp 1: a t≠

x

y f(x)

1

0 - +

0

(191)

Khi (*)

2019 2019

t a a t

m t m a

−

⇔ = −

+ + +

1 1

2019m t 2019m a

⇔ = −

+ + + phương trình vơ nghiệm

Trường hợp 2: a t=

Thay vào (*) thỏa mãn Vậy (*) có nghiệm a t=

Với a t= ta có a= 2019m a+ ⇔a2 =2019m a+ ⇔a a2− −2019m=0

Phương trình 2019m+ 2019m x+ =x2 có hai nghiệm thực phân biệt

2 2019 0

a a m

⇔ − − = có nghiệm a a1, 2 thỏa mãn

1 0 a a a a = > 

 < <

 ( )

0

1 2019

S m  ∆ =   > ⇔ 

 − <  4.2019 m m  = −  ⇔  > 

Do m âm nên có giá trị

4.2019

m= − thỏa mãn

Cách 2:

Ta có 2019m+ 2019m x+ =x2 ⇔2019m+ 2019m x+ =x4

(2019m x2) 2019m x2 x4 x2

⇔ + + + = + , ( )1

Xét hàm số f t( )= +t2 t; '( ) 2 0, f t = + > ∀ > −t t

Ta có hàm số f t( )= +t2 t đồng biến khoảng ;

2

− +∞

 

 

và 2019 1;

2

m x+ ∈ − +∞

 ,

2 ;

2

x ∈ − +∞

 

Do ( )1 ⇔ f ( 2019m x+ 2)= f x( )2 ⇔ 2019m x+ =x2

2 4

2019m x x 2019m x x

⇔ + = ⇔ = −

Ta có BBT hàm số g x( )=x4−x2

Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt 2019 14

0 m m  = −  ⇔  > 

Do m âm nên có giá trị

4.2019

m= − thỏa mãn

Câu 74: (THPT LƯƠNG THẾVINH 2019LẦN 3)Cho hàm số f x( )=x5+3x3−4m Có giá

trịnguyên tham số m đểphương trình f (3 f x m( )+ )=x m3− có nghiệm thuộc đoạn [ ]1;2

?

A 15 B 16 C 17 D 18

(192)

Chọn B

Đặt t=3 f x m( )+ ⇔ =t3 f x m( )+ ⇔ f x( )= −t m3 ( )1

Ta có f (3 f x m( )+ )=x m3− , suy f t( )=x m3− ( )2

Từ ( )1 ( )2 ta có f x( )− f t( )= −t3 x3 ⇔ f x x( )+ 3= f t t( )+ ⇔3 x5+4x3 = +t5 4t3 ( )3 Xét hàm số g u( )=u5+4u3⇒g u′( )=5u4+12u2 ≥ ∀ ∈ ⇒0 u  g u( ) đồng biến



Do ( )3 ⇔g x( )=g t( )⇔ =x t Thay vào ( )1 ta f x( )=x m3− ⇒x5+2x3 =3m ( )4

Xét hàm số h x( )=x5+2x3 trên đoạn [ ]1;2

Ta có h x′( )=5x4+6x2≥ ∀ ∈0 x [ ]1;2 ⇒h x( ) đồng biến đoạn [ ]1;2

Vậy ta có [ ] ( ) ( )

1;2

minh x =h 3=

[ ]1;2 ( ) ( ) maxh x =h =48

Phương trình cho có nghiệm thuộc [ ]1;2 ⇔ Phương trình ( )4 có nghiệm [ ]1;2

[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )

minh x 3m maxh x 3m 48 m 16

⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Vậy có 16 giá trịnguyên m

Câu 75: Cho hàm số ( ) 3

f x =x − x x+ + Phương trình (( )( ))

2

f f x

f x − = có nghiệm thực phân

biệt ?

A 4 nghiệm B 9 nghiệm C 6 nghiệm D 5 nghiệm Lời giải

Chọn D Cách 1:

Xét hàm số ( ) 3 f x =x − x + +x

Ta có f x′( )=3x2−6 1x+

( ) ( )

( )

1

2

3

3 18

0

3

3 18

x f x

f x x x

x f x

 = − ⇒ = +

 

′ = ⇔ − + = ⇔

 + −

= ⇒ =

 

Xét phương trình ( ( ))

( )

2

(193)

Đặt t f x= ( ) Khi phương trình trở thành

( ) 1 ( ) 2 1 3 2 1 3 0 *( )

2 2

f t

f t t t t t t t t t

t− = ⇔ = − ⇔ − + + = − ⇔ − − + =

Nhận xét: phương trình (*) có tối đa nghiệm

Xét hàm số ( ) 3

g t = −t t t− + liên tục 

+ Ta có ( ) ( )3 29

2

g g = −  <

  nên phương trình ( )* có nghiệm t t= ∈1 ( )3;4

Khi dựa vào bảng biến thiên phương trình f x( )=t1 với t1 f x( )1 618

+

> > = có

nghiệm

+ Ta có ( )1 1 11

2

g g    = −  <

    nên phương trình ( )* có nghiệm t t2 ;12

 

= ∈ 

Khi dựa vào bảng biến thiên phương trình f x( )=t2 với

( )2 118 2 ( )1 618

f x = − < < < <t f x = + có ba nghiệm phân biệt

+ Ta có ( )1 217

5 250

g−  g − = − <

    nên phương trình ( )* có nghiệm

4 1;

5

t t= ∈ − − 

 

Khi dựa vào bảng biến thiên ởtrên phương trình f x( )=t3 với t3 45 f x( )2 618

−

< − < = có

nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm thực

Cách 2:

Đặt t f x= ( ) Khi phương trình trở thành

( ) 1 ( ) 2 1 3 2 1 3 0 *( )

2 2

f t

f t t t t t t t t t

t− = ⇔ = − ⇔ − + + = − ⇔ − − + =

1

3,05979197 0,8745059057

0,9342978758

t t t

≈  

⇔ ≈

 ≈ − 

+ Xét phương trình

1

3 3.05979197

2

x − x x+ + = ≈t Bấm máy tính ta nghiệm

2

3 0,8745059057

2

x − x x+ + = ≈t Bấm máy tính ta nghiệm

3

3 0,9342978758

2

x − x + + = ≈ −x t Bấm máy tính ta nghiệm

Định dạng
Số trang	193
Dung lượng	4,66 MB