Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian39688

Vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhân dân ta có truyền thống hiếu học, có ý chí học tập vươn lên Tinh thần tất tương lai em, sẵn sàng chịu khó, chịu khổ ni học tập nên người, trở thành truyền thống, tập quán dân tộc Tinh thần tạo nên nguồn lực định mà toàn xã hội giải mâu thuẫn quy mô điều kiện phát triển giáo dục Đặc biệt giai đoạn phát triển khoa học cơng nghệ nay, trình độ tri thức người bước cải thiện phát triển rõ rệt Đáp ứng nhu cầu học tập người dân nguồn lực phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học nhân dân Vì dạy học người giáo viên cần tạo cho học sinh phát triển lực trí tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học tập, biết nhận biết vấn đề góc độ khác nhau,tìm tịi cũ mới, cũ để bước hình thành kiến thức Để phát huy tính tực học sinh, người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề tạo cho em thách thức trước vấn đề Việc hướng dẫn học sinh giải tốn khơng phải dừng lại việc cung cấp cho học sinh giải mẫu mà phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt mối quan hệ ràng buộc giả thiết kết luận toán, bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải tốn Từ thực tế giảng dạy, tơi rút số kinh nghiệm việc hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải số tốn hình học khơng gian, giúp em cảm thấy thoải mái tiếp thu chủ động giải tốn hình học khơng gian.Tơi chọn chun đề với mong muốn chia sẻ đồng nghiệp, đồng mơn ; để góp phần cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm biện pháp nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường vùng sâu, vùng xa trường THPT Thanh Bình II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi Khái niệm vectơ không gian đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm công cụ nghiên cứu quan hệ vng góc hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, hai mặt phẳng khoảng cách số đối tượng hình học khơng gian Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc không gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu Mặt khác số kiến thức vectơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ không gian chương trình hình học lớp 12, cơng cụ hữu ích để giải nhiều tốn hình học khơng gian Khó khăn Khơng học sinh chưa nhận thức tầm quan trọng việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình định hướng phương pháp giải toán mà em làm cách máy móc, lập luận thiếu cứ, khơng xác, dơi lúc khơng phân biệt đâu giả thiết, đâu phần cần chứng minh Do kết không mong đợi Đây nội dung khó học sinh lớp 12 Do chưa tìm phương pháp thích hợp để giải tốn nên nhiều vướng mắc, từ thiếu hứng thú học tập.Để giúp em mau chóng tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi nỗ lực tâm cao thầy trò DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Số liệu thống kê Qua thống kê sơ điểm mơn tốn lớp; 12A1 ; 12A10 năm học 2007 - 2008, lớp 12A3 ; 12A8 , năm học 2008 - 2009, cụ thể kết qủa kiểm tra sau : + Bài kiểm tra tiết (2007 - 2008 ), 92 kiểm tra có :  diểm tỷ lệ 5,4 %  14 điểm 6, tỷ lệ 15,2 %  27 điểm tỷ lệ 29,4 %  46 điểm tỷ lệ 50,0 % + Bài kiểm tra tiết (2008 - 2009 ), 90 kiểm tra có :  diểm tỷ lệ 7,8 %  19 điểm 6, tỷ lệ 21,1 %  26 điểm tỷ lệ 28,9 %  38 điểm tỷ lệ 42,2 % Trong lớp nhà trường phân cơng giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết mơn tốn cuối năm học 2006 - 2007 xếp loại trung bình yếu Qua tìm hiểu, tơi cảm nhận số em có học lực yếu có em có kỹ tính tốn tương đối tốt khả vận dụng kiến thức học vào giải tốn cịn qúa hạn chế III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp Réné Descartes cho xuất “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học phương pháp toạ độ đánh dấu bước tiến mạnh mẽ toán học Descartes nhà toán học thiên tài khai sinh phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ đời giúp người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngơn ngữ hình học, giúp người đạt đến đạt đến đỉnh cao khái quát hoá trừu tương hố tốn học nhiều lĩnh vực Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước Polya để giải toán gồm : Bước : Tìm hiểu nội dung tốn Bước : Xây dựng thuật giải Bước : Thực thuật giải Bước : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một nhiệm vụ dạy học mơn tốn chương trình phổ thơng, đặc biệt dạy hình học hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa biết vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức toạ độ điểm, toạ độ vectơ cơng thức có liên quan vào giải toán Để giải toán phương pháp toạ độ ta thực theo bước sau :  Bước : Thực việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, ý đến vị trí gốc O, chuyển tốn cho tốn hình học giải tích  Bước : Giải tốn hình học giải tích nói  Bước : Chuyển kết luận tốn hình học giải tích sang tính chất hình học tương ứng Tuy nhiên qua thực tế , việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải tốn thật khơng đơn giản học sinh, qúa trình trừu tượng hố khái qt hóa việc rèn luyện tư tốn học Do vậy, thơng qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ     DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Các dạng toán thường gặp :  Độ dài đoạn thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng với mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song, vng góc Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâmg cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, nêu định nghĩa số tính chất sau : z Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho : v  x.i  y j  z.k  v  ( x; y; z ) M ( x; y, z ) OM  x.i  y j  z.k  M ( x; y; z ) Với : a  (a1; a2 , a3 ) b  (b1; b2 ; b3 ) , ta có : k  a.b  a b cos(a, b)  a.b  a1b1  a2b2  a3b3 i O j y   a  a12  a22  a32 x M1  a  b  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  Tích có hướng hai vectơ  [ a, b ]  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 )         a, b   a ;  a, b   b  a phương với b  [ a, b ]  O        a, b, c đồng phẳng   a, b  c  Tọa độ cá vectơ đơn vị :  i  1;0;0   j   0;1;0   k   0;0;1 Năm 2008, thực chuyên đề : “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình” nhận nhiều góp ý quý Thầy Hội đồng chuyên môn Sở Lần này, cố gắng tìm hiểu sâu nội dung :” Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học không gian”làm sơ sở ôn tập cho học sinh lớp 12, chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào cuối năm học a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Ta có : Ox, Oy, Oz vng góc đơi Do đó, mơ hình chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ Cụ thể : DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D' z Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0) A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a ) ; C '(a; a; a ) ; D'(0;a;a ) D’ B’ C’ Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho : D A y A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; b;0) ; D(0;b;0) x C B A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD A' B' C ' D' Chọn hệ trục tọa độ cho : z A’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD D’ O’ B’ y C - Trục Oz qua tâm đáy A D O B C x Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z S Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO  h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng  a  a  ;0;0 ; C  ;0;0      y D A Khi : A   a   a  B  0;  ;0  ; D  0; ;0  ; S (0;0; h) 2     O B C x Với hình chóp tam giác S.ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Giả sử cạnh tam giác a S đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  a  a  Khi : A   ;0;0  ; B  ;0;0    2   a   a  C  0; ;0  ; S  0; ; h      y C A I H B x DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA  (ABCD) z ABCD hình chữ nhật AB  a; AD  b chiều cao h S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B  a;0;0  ; C  a; b;0  y D A D  0; b;0  ; S (0;0; h) O B C x Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA  (ABCD) ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h z S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) y D A O B C x Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vuông A z Tam giác ABC vuông A có AB  a; AC  b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B  a;0;0  ; C  0; b;0  S S  0;0; h  y C A x B Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vng B Tam giác ABC vng B có BA  a; BC  b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi : A  a;0;0  ; C  0; b;0  z S y x S  a;0; h  C A B DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông C  ABC vuông C CA  a; CB  b chiều cao h z S H trung điểm AB y x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) H A B Khi : A  a;0;0  ; B  0; b;0  C a b S ( ; ; h) 2 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông A z  ABC vuông A AB  a; AC  b chiều cao h S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) C A y Khi : B  a;0;0  ; C  0; b;0  H x B a S (0; ; h) Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông cân C Tam giác ABC vuông cân C có CA  CB  a đường cao h z H trung điểm AB S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)  a   a  ;0;0  ; A  0; ;0      a   B  0;  ;0  ; S  0;0; h    Khi : C  y A H B C x DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam b Bài tập áp dụng Bài toán Cho tứ diện OABC có tam giác OAB,OBC,OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi  ,  ,  góc hợp mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh : cos   cos   cos   ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B(0; b;0) C (0;0; c) ; C  AB  (a ; b ; 0) y O AC  (a ; ; c) B A C’ x  Tìm vectơ pháp tuyến :  Mặt phẳng (ABC)   Mặt phẳng (OBC)   Mặt phẳng (OCA)  Mặt phẳng (OAB)  n  AB, AC  (bc ; ac ; ab) i  ( 1, 0, 0) : Ox  (OBC ) j  ( 0, 1, 0) : Oy  (OCA) k  ( 0, 0, 1) : Oz  (OAB) Sử dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng:  cos   cos(OBC ), ( ABC )  cos   cos(OBC ), ( ABC )  cos   cos(OBC ), ( ABC )  cos   cos   cos   b.c b c  c a  a 2b  c.a b c  c a  a 2b a.b b c  c a  a 2b b c  c a  a 2b cos   cos   cos   2 1 b c  c a  a 2b Kết luận 2 Bài toán Bằng phương pháp toạ độ giải tốn sau : Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a.Chứng minh đường chéo A' C vng góc với mặt phẳng ( AB' D' ) b.Chứng minh giao điểm đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DA' C ) ( ABB' A' ) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Dựng hình : Hướng dẫn Nguyễn Thanh Lam Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O  A(0;0;0) ; A’ A' (0;0; a ) B(a;0;0) ; B' (a;0; a ) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) B’ G D’ C’ D A y B x a Chứng minh : A' C  ( AB' D' )  A' C  (a; a;a)   Ta có :  AB'  (a;0; a)   AD'  (0; a; a)  A' C AB'  a   a   A' C  AB' Vì    A' C  AD'  A' C AD'   a  a  Nên A' C  mp( AB' D' )  A' C  AB' Nếu   A' C  ( AB' D' )  A' C  AD' b Chứng minh : G trọng tâm tam giác AB' D' Phương trình tham số đường thẳng A' C x  t  A' C :  y  t (t  R) z  a  t  Gọi G  A' C  ( AB ' D ' ) Toạ độ giao điểm G đường thẳng A' C mặt phẳng ( AB' D' ) x  t y  t   nghiệm hệ :  z  a  t  x  y  z   Phương trình tổng quát mặt phẳng ( AB' D' ) a  x   a  y   2a  z    a a 2a  G ; ;  (1) 3 3  x A  xB '  xD ' a    xG  3  y y y a  Mặt khác :  yG  A B ' D '  (2) 3  z A  z B '  z D ' 2a    zG  3  ( AB' D' ) : x  y  z  Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( AB' D' )  C  n1  AB', AD'  (a ;a ; a ) So sánh (1) (2), kết luận Vậy giao điểm G đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c Tính d ( AB' D' ), (C ' BD)  Phương trình tổng quát mặt phẳng (C ' BD) (C ' BD) : x  y  z  a  Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( AB' D' ) : x  y  z  (C ' BD) : x  y  z  a   ( AB' D' ) // (C ' BD)  Ta có : DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian (C ' BD)   Nguyễn Thanh Lam a d ( AB' D' ), (C ' BD)   d B, ( AB' D' )   n2  C ' B, C ' D  (a ; a ;a ) 2 d Tính cos( DA' C ), ( ABB' A' )  Oy  ( ABB' A' )  Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) :   n3  DA', DC  (0; a ;a )  a (0;1;1) 2 Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : n3  (0;1;1)  cos( DA' C ), ( ABB' A' )    ( DA' C ), ( ABB' A' )   45o Bài toán Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Chứng minh hai đường chéo B' D' A' B hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B' D' A' B Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : Bài giải z A’ O  A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B(0; a;0) ; B' (0; a; a ) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) D(a;0;0) ; D' (a;0; a ) D’ B’ C’ y A D B C x Chứng minh B' D' A' B chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ B' D'; A' B, BB' khơng đồng phẳng Cần chứng minh tích hỗn hợp ba vectơ B' D'; A' B, BB' khác Tính d B' D' , A' B  d B' D' , A' B   [ B' D', A' B].BB' Ta có : B' D'  (a;a;0) BB'  (0;0; a)  A' B  (0; a;a) ; B' D', A' B  (a ; a ; a ) B' D', A' B.BB'  a  2  ba vectơ B' D'; A' B, BB' không đồng phẳng hay B' D' A' B chéo d B' D' , A' B   a3 a4  a4  a4  a3 a  a 3 [ B' D', A' B] Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Tính thể tích khối chóp S.ABMN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Dựng hình : Hướng dẫn Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) S M N Ta có : C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; )    SA  2;0;2 ; BM   1;1;  C D 1a.Tính góc SA BM O A x y B Ta có : Gọi  góc SA BM Sử dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng   SA.BM cos   cos SA, BM  SA BM     30o 1b Tính khoảng cách SA BM [ SA, BM ]  (2 ;0;2) ; AB  (2;1;0) Chứng minh SA BM chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo [ SA, BM ] AB   d ( SA, BM )  [ SA, BM ] AB [ SA, AB] Tính thể tích khối chóp S.ABMN Dễ dàng nhận thấy : MN  ( ABM )  ( SCD ) VS ABMN  VS ABM  VS AMN Trong : [ SA, SM ].SB  [ SA, SM ].SN VS ABM  VS AMN 2  84 MN // AB // CD  N trung điểm SD   Toạ độ trung điểm N  0; ;    SA  (2;0;2 ) ; SM (1;0; ) SB  (0;1;2 ) ; SM (1;0; )  [ SA, SM ]  (0;4 ;0) 2 [ SA, SM ].SB   6 2  [ SA, SM ].SN   6 VS ABM  VS AMN Kết luận  Vậy VS ABMN  VS ABM  VS AMN  (đvtt) Bài toán Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 với A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) 10 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Tìm toạ độ đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; Với : A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) z B1 M A1  C1  A (0;3;4)  C1 (0;3;4) A Toạ độ trung điểm M A1B1   M  2; ;4)    O B x C y Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 Ta có : A1 (0;3;4)  mp(Oyz ) C1 (0;3;4)  mp(Oyz ) Vectơ pháp tuyến mp ( BCC1B1 ) Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng n  [ BC , BB1 ]  (12; 16; 0) ( BCC1B1 ) Phương trình tổng quát mp ( BCC1B1 ) : Viết phương trình mp ( BCC1B1 ) Tìm bán kính mặt cầu (S) ( BCC1B1 ) : 3x  y  12  R  d  A, ( BCC1B1 )  Bán kính mặt cầu (S) : R  (S) : x  ( y  3)  z  Phương trình mặt cầu (S) : Phương trình mặt phẳng (P) :  24 576 25 Vectơ pháp tuyến (P) : nP  [ AM , BC1 ]  (6;24;12) Tìm vectơ pháp tuyến (P)  AM  ( P)  nP  [ AM , BC1 ]   BC1 // ( P)   AM   2; ;4  ; BC1  (4;3;4)   Phương trình mặt phẳng (P) : ( P) : x  y  z  12  Bài toán Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z ABC có : AB  AC  BC  25 nên D vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau O  A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; A DeThiMau.vn x B H I C y 11 Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Tính : AH  d  A, ( BCD)  Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) Nguyễn Thanh Lam Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) ( BCD) : Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng x y z     x  y  3z  12  4 d  A, ( BCD )    12 16    12 34  17 34 Bài toán Cho hai nửa đường thẳng Ax By vng góc với nhận AB  a (a  0) đoạn vng góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM  BN  2a Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Dựng Ay ' // By  Ax  Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Axy' z sau : A(0;0;0) ; B(0;0; a ) ; M (2a;0;0) B N A N (0;2a; a) I M Toạ độ trung điểm I MN a  Ia ; a ;  2  y y' x Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên 1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :  Ax  By   Ax  Ay ' 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo   a 2 trung điểm I  a ; a ;  MN tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN  a(2 ; ; 1) Bán kính mặt cầu : R  MN 3a  2 Ta có : AM  (2a;0;0) ; a  BI   a; a;  ; AB  (0;0; a ) 2  [ AM , BI ]  (0; a ;2a ) 12 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học không gian d ( AM , BI )  Nguyễn Thanh Lam [ AM , BI ] AB  [ AM , BI ] 2a 5 Bài tốn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O tâm hình vuông ABCD  SO  ( ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h  ; y A D O B Toạ độ trung điểm P SA P  a  a a  h ; ;  ; E   ; ; h    2 2     a a h a a  M   ; ;  N ; ;0    4   Chứng minh MN AC chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo P M  a  a  A   ;0;0  ; C  ;0;0  D      a   a   0; ;0  ; B  0; ;0   2     Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC S E N C x   3a h   MN   ;0;   ; BD  (0; a 2;0) 2  Vì : MN BD   MN  BD    ah  ;0  Ta có :  MN , AC    0;      a h AM   0;  ;       a h  0 Vì :  MN , AC  AM   MN AC chéo a 2h [ MN , AC ] AM a d MN , AC     a 2h2 [ MN , AC ] Bài toán Cho tứ diện ABCD, có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD  a, AC  b, AB  c 13 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Hướng dẫn Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) z D Khi : B  c;0;0  ; C  0; b;0  D  0;0; a   Ta có : BC   c; b;0   BD   c;0; a     BC , BD    ac; ac; bc    y C A x B a Tính diện tích S tam giác BCD   2 S   BC , BD   a b  a c  b c b 2 Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a 2b  b c  2ab c b c  c a  2abc c a  a 2b  2a 2bc Ta có : abc  a  b  c   a 2bc  b ac  c ab   b2  c2   a  c2   a  b2   a2  b  c          a 2b  a c  b c  S BCD Bài tốn 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  a   a Bài giải z S  M Khi : A  0; ;0  ; B   ;0;0      a   a   a  C  ;0;0  ; S  0; ; h  ; H  0; ;0  6 2       a a h a a h M   ; ;  ; N  ; ;   12   12    a 5a h  AM    ;  ;  12   y N A B I H C x + Pháp vectơ mp (AMN) : 14 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam   a 5a h      ah 5a  AN   ;  ;  n1   AM , AN    0; ;  12  24  4    a a  SB    ;  ; h      a a  SC   ;  ; h  2       AMN    SBC   n1  n2  n1.n2   a h 15a a h 15a  0  24.6 16 242 + Pháp vectơ mp (SBC) :     a2  n2   SB, SC    0; ah;    Diện tích tam giác AMN : S AMN    a h 75a  AM , AN    16  242 2 15a 75a a 10 đvdt    90a  242 242 48 16 Bài tốn 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; SA  a ; SB  a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Gọi H hình chiếu vng góc S AB  SH  (ABCD) S Ta có : SA2  SB  a  3a  AB  SAB vuông S  SM  a a Do : SAM  SH  Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : H (0;0;0) ; S  a 3  a   0;0;  ; A   ;0;0  ; B      a   3a  D   ; 2a;0  ; M  ;0;0  ;     a   3a  N  ; a;0   ;0;0  ; 2      a a 3 SM   ;0;    2   3a a 3 SN   ; a;     A D y K H B x M N C + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN  VSMNB  VSMND 2      SM , SN    a ;  a ; a     2   3        SM , SN  SB  a ;  SM , SN  SD  3a     2     a VSMNB   SM , SN  SB  12    a 3 VSMND   SM , SN  SD  15 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam   3a a 3 SB   ;0;   a3 a3 a3   VS BMDN  VSMNB  VSMND    12   a a 3 SD    ; 2a;      DN   2a; a;0  + Công thức tính góc SM, DN + Tính cosin góc SM, DN a2 cos  SM , DN    2 a 3a 4a  a  4   SM DN cos  SM , DN     SM DN Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : A’ C’ B(0;0;0)  A  0; a;0  ; C  a;0;0  ; B’ 0;0; a  a  M  ;0;0  2    a   AM   ; a;0  ; B ' C  a;0; a 2   AB '  0; a; a   B’  B  M C Chứng minh AM B’C chéo      AM , B ' C    a 2; a ; a      y A x + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B 'C '  AA '.S ABC  a 2 đvtt + Khoảng cách AM B’C    a  Vì :  AM , B ' C  AB '   AM B’C chéo     AM , B ' C  AB '   d  AM , B ' C      AM , B ' C    16 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam a  a  2a  a  a ฀ Bài tốn 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD ฀ ABC  900 AB  BC  a , AD  2a , SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : S A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D N M  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  M  0;0; a  ; N  0; a; a  D A y B C x   MN   0; a;0  ; BC   0; a;0   MB   a;0; a  + Chứng minh BCNM hình chữ nhật    MN  BC  BCNM hình chữ nhật     MN MB  + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a   SM   0;0; a  ; SC   a; a; a    SB   a;0; 2a  ; SN   0; a; a     SM , SC   a ; a ;0     VSMCB VSMCN     SM , SC  SB  a       SM , SC  SN  a   VS BCNM  VSMCB  VSMCN    a   SM , SC  SB  6      a3   SM , SC  SN  6 VS BCNM  VSMCB  VSMCN  a3 đvtt Bài tốn 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD); SA  2a Mặt phẳng   qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : S M N 17 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  Đặt AM  h   h  2a   M  0;0; h  D A Xác định vị trí điểm M B x   BM   a;0; h  ; BC   0; a;0     BM , BC   ah;0; a  a  h;0; a    Pháp vectơ mặt phẳng   :  AC   a; a;0   a 1;1;0  AC   a; a;0   a 1;1;0   u  1;1;0   y C     n   BM , BC   n   h;0; a   Vectơ phương đường thẳng AC :   mặt phẳng   hợp với AC góc 300   n 1.h  1.0  0.a  u  sin 300     n u   h2   a Ta có :  MN     ( SAD)  MN / / BC / / AD   BC / / AD h    h  h2  a 2 h a  h  a  M trung điểm SA BC  ( SAB)  BC  BM 2  MN / / BC  BCNM hình thang vng  BM  BC + ABM vuông cân A  BM  a a MN  AD  2 + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM  3a 2 BM  MN  BC   Bài tốn 15 Cho hình chóp O.ABC có OA  a; OB  b; OC  c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) A  a;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0;c  d  M , (OBC )    xM  C M y O d  M , (OCA)    yM  B H E 18 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học khơng gian d  M , (OAB)    zM  Nguyễn Thanh Lam A x  M 1; 2;3  A  a;0;0   OA  (a;0;0)  B  0; b;0   OB  (0; b;0)  C  0;0; c   OC  (0;0; c) +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC     OA, OB  OC  abc   + Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 a   a  b  c  Giải hệ :   b      c    a b c x y z   1 a b c M  ( ABC )     a b c (ABC) : Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3    33  33 a b c a b c abc  abc  27 a  3  MinVO ABC  27     b  a b c c   1 Bài tốn 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc SB mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O  AC  BD S  SO  ( ABCD) SO  SC  OC  a  a2 a  2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau :  a 2 O(0;0;0) ; S  0;0;  ;    a  a  A   ;0;0  ; C  ;0;0  D      a   a   0;  ; B  0; ; ;0     2     y A D O B C x a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 a a3 a  VS ABCD  SO.S ABCD  3 19 DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Phương trình mặt phẳng (SCD) b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng x y z (SCD)   1 (SCD): Phương trình mặt phẳng (SCD) a a a a 2 2 (SCD): x  y  z  0 a  x yz 0 a a 2   2 a a d  A, ( SCD)     3 ฀ ABC  BAD  900 AB  BC  a Bài tốn 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ฀ , AD  2a , SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : S A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  H  SB  a;0; a  SC  a; a; a  SD  0; 2a; a    SC , SD   a 2; a 2; 2a         a   1;1;  C x  +Chứng minh tam giác SCD vuông   SC   a; a; 2a  ; CD   a; a;0    SC.CD   SC  CD  Tam giác SCD vuông C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H : (t  R ) + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ  n  1;1; làm pháp vectơ   y B + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB Phương trình tham số SB :  x  a  at  SB :  y    z  a 2t D I A   H ( x; y; z )  SB  H a  at ;0; a 2t  AH  (a  at ;0; a 2t )   AH  SB  AH SB   3a 2t  a   t   20 DeThiMau.vn ... sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình? ?? nhận nhiều góp ý q Thầy Hội đồng chun mơn Sở Lần này, tơi cố gắng tìm hiểu sâu nội dung :” Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng... với việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ     DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Các dạng tốn thường gặp :  Độ dài đoạn... thuộc trục tọa độ Cụ thể : DeThiMau.vn Vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian Nguyễn Thanh Lam Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D' z Với hình lập phương