Sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình và bất phương trình (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN XUÂN GIANG MÃ HỌC VIÊN: C00441 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG HÀ NỘI - NĂM 2016 LỜI CẢM ƠN Qua trình học tập nghiên cứu, luận văn thực hoàn thành trường Đại học Thăng long hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Sĩ Đức Quang Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy khoa tốn, phòng sau đại học phòng ban liên quan trường đại học thăng long trường THPT Lục Ngạn số tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ cho tác giả trình học tập nghiên cứu Đặc biệt tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Sĩ Đức Quang tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả tồn q trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể gia đình, người thân bạn lớp cao học toán K3 trường Đại học Thăng long động viên, giúp đỡ tác giả toàn trình học tập nghiên cứu Vì điều kiện công tác thời gian không nhiều, với khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu xót Tác giả kính mong q thầy bạn đọc tiếp tục góp ý giúp đỡ, để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Trang MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Lời cảm ơn …………………………………………………… Mục lục………………………………………………………… Mở đầu ………………………………………………………… Chương Cơ sở lý thuyết thực tiễn…………………………………… $1 Một số khái niệm tính chất ………………………… $2 Một số khó khăn nghiên cứu phương trình bất phương trình phương pháp giải khác………………………… Chương Phương pháp sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu 20 phương trình ẩn ………………………………………… 2.1 Phương pháp sử dụng tính chất tương giao hai đồ thị Bài toán 2.1.1: Giải biện luận phương trình f(x) = g(m) ……… Bài tốn 2.1.2: Tìm tham số m để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm thuộc khoảng (a; b)…………………………………… 2.2 16 20 20 23 Phương pháp sử dụng tính chất hàm số liên tục Bài tốn 2.2: Chứng minh phương trình f(x) = có k nghiệm 31 thuộc (a; b) …………………………………………………… Phương pháp sử dụng tính chất đạo hàm ………………… 31 2.3.1 Phương pháp sử dụng định lý Rolle …………………………… 36 2.3 Bài tốn 2.3.1.1: Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm thuộc ( a; b ) …………………………………………………… 36 Bài tốn 2.3.1.2: Giải phương trình: f(x) = ………………… 36 2.3.2 Sử dụng định lý Lagrange ……………………………………… 40 Bài tốn 2.3.2.1: Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) 43 Trang 2.4 2.5 Bài tốn 2.3.2.2: Giải phương trình f(x) = …… 49 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số 53 Bài tốn 2.4.1: Giải phương trình f(x) = k …………………… 53 Bài tốn 2.4.2: Giải phương trình f(x) = g(x) …………………… 56 Bài tốn 2.4.3: Giải phương trình f[u(x)] = f[v(x)] …………… 61 Phương pháp sử dụng giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số …………………….………………………………………… Bài tốn 2.5.1: Giải phương trình f(x) = a …………………… Bài tốn 2.5.2: Tìm m để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm thuộc (a; b) ……………………………………………………… Chương Phương pháp sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu bất phương trìnhmột ẩn ………………………………… 3.1 78 Bài tốn 3.1.1: Giải bất phương trình f(x) > k f(x) < k …… 78 Bài toán 3.1.2: Giải bất phương trình f[u(x)] > f[v(x)] ………… 81 Phương pháp sử dụng giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số ……………………………………………………………… Bài tốn 3.2.1: Tìm tham số m để bất phương trình f(x) < g(m) f(x) > g(m) có nghiệm …………………………………… Bài tốn 3.2.2: Chứng minh bất phương trình f(x) > g(m ) f(x) < g(m) nghiệm với x …………………………… Phương pháp sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình hàm …………………………………………………… 4.1 72 78 k nghiệm với x ……………………………………… Chương 66 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số ………… Bài tốn 3.1.3: Chứng minh bất phương trình f(x) > k f(x) < 3.2 66 Phương pháp sủ dụng tính chất đơn ánh, tồn ánh, song ánh, tính chẵn lẻ hàm số ………………………………………… 84 88 88 92 98 98 Trang 4.2 Phương pháp sử dụng tính chất hàm số liên tục ………… 101 4.3 Phương pháp chuyển qua gới hạn hàm số……………………… 104 4.4 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số…………… 108 4.5 Phương pháp khai thác điểm bất động hàm số……………… 112 4.6 Phương pháp sử dụng đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ……… 115 4.7 Phương pháp dùng hàm tuần hoàn 118 Kết luận khuyến nghị 121 $1 Một số kết đạt …………………………………… 121 $2 Hướng phát triển đề tài……………………………………… 122 Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………… 123 Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Vị trí vai trò vấn đề hàm số Trong kiến nghị Hội nghị Quốc tế Giáo dục Quốc dân họp Giơnevơ (tháng năm 1956 ) gửi Bộ trưởng Bộ Giáo dục nước nêu nên xây dựng chương trình cho việc dạy mơn tốn dựa sở hàm số Ở Việt Nam, chương trình mơn tốn Trung học Phổ thơng xem việc nghiên cứu hàm số nhiệm vụ xuyên suốt Phần lớn chương trình Đại số Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số cơng cụ khảo sát chúng Những điều cho thấy Hàm số chủ đề quan trọng chương trình tốn phổ thơng 1.2 Vị trí vai trị vấn đề phương trình bất phương trình Chủ đề phương trình - bất phương trình có vị trí vai trị quan trọng chương trình mơn tốn trường THPT Kiến thức kỹ chủ đề có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp đóng vai trị chìa khóa để giải nhiều tốn Đại số, Giải tích Hình học 1.3 Mối liên hệ hàm số với phương trình bất phương trình Hàm số với phương trình bất phương trình có mối liên hệ khoa học mật thiết Phương trình bất phương trình định nghĩa thơng qua việc tìm cực trị, khơng điểm miền giá trị hàm số Tuy nhiên nay, việc vận dụng tính chất hàm số vào nghiên cứu nghiệm phương trình bất phương trình chưa quan tâm khai thác chương trình sách giáo khoa, lại nằm phạm vi kiến thức đề thi mơn Tốn trường THPT Vì lý chọn đề tài luận văn là: Sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu phương trình bất phương trình Trang Mục tiêu luận văn: Mục tiêu luận văn cung cấp hệ thống lý thuyết, thiết lập mối liên hệ vấn đề hàm số phương trình – bất phương trình, trang bị phương pháp, hệ thống dạng tốn sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu phương trình bất phương trình việc giảng dạy học tập mơn tốn trường THPT mà phương pháp thơng thường khó giải Chúng hi vọng, luận văn góp phần giúp người đọc phát triển tư logic, tư hàm kỹ giải phương trình - bất phương trình, khả nắm bắt, khai thác vận dụng kiến thức vào thực tế Điều giúp nâng cao hiệu công tác giảng dạy giáo viên học tập mơn tốn học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trường THPT Phương pháp nghiên cứu: +) Phân tích lý thuyết, phân dạng loại tập +) Đưa ví minh họa dụ phù hợp với nội dung ứng dụng +) Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô đồng nghiệp +) Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo kiến thức mở rộng có liên quan đến đề tài Cấu trúc luận văn: Phần I: Mở đầu Phần II: Sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu phương trình bất phương trình Chương : Cơ sở lý thuyết thực tiễn Chương 2: Sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu phương trình ẩn Chương 3: Áp dụng vào nghiên cứu bất phương trình ẩn Chương 4: Áp dụng vào giải phương trình hàm Phần III: Kết luận khuyến nghị $1 Một số kết đạt $2 Hướng phát triển đề tài Trang PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỀ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ THỰC TIỄN Nội dung chương nghiên cứu từ nguồn sách khoa mơn tốn trường trung học phổ thơng tham khảo từ tài liệu [3], [4] với trân trọng biết ơn $1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Ánh xạ: 1.1.1 Định nghĩa ánh xạ: Cho hai tập X Y khác rỗng, quy tắc f đặt tương ứng với phần tử x tập X với phần tử y tập Y gọi ánh xạ từ X đến Y f : X  Y x X ! yY , y  f  x  Khi đó: y gọi ảnh x qua ánh xạ f x gọi tạo ảnh y qua ánh xạ f Tập X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích 1.1.2 Định nghĩa đơn ánh: Ánh xạ f từ X đến Y gọi đơn ánh hai phần tử khác tập X có ảnh qua ánh xạ f hai phần tử khác tập Y Tính chất: Nếu f : R  R đơn ánh từ f  x   f  y   x  y 1.1.3 Định nghĩa toàn ánh: Trang Ánh xạ f từ X đến Y gọi toàn ánh phần tử thuộc Y có tạo ảnh thuộc X Tính chất: Nếu f :  tồn ánh với y   x  cho: f  x  y 1.1.4 Song ánh: Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi song ánh vừa đơn ánh, vừa tồn ánh Tính chất: Nếu f :  song ánh ta có:   f  x  f  y  x  y    y  R  x  R : y  f  x  1.2 Hàm số: 1.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập hợp số X Y, quy tắc đặt tương ứng với phần tử x thuộc tập X với phần tử y thuộc tập Y gọi hàm số xác định X nhận giá trị Y Kí hiệu: f : X  Y f : x  f  x  y  f  x  Trong đó: x biến đọc lập hay gọi đối số y giá trị phụ thuộc vào x gọi giá trị hàm số hay hàm số f(x) gọi giá trị hàm số x Tập X gọi tập xác định Tập Y gọi tập giá trị hàm số * Chú ý: Hàm số ánh xạ có tập nguồn tập đích tập số 1.2.2 Đồ thị hàm số: Trang Là hình vẽ trực quan thể quy tắc tương ứng f hàm số hệ tọa độ * Với hàm số y = f(x) đồ thị tập hợp điểm có tọa độ ( x ; f(x) ) mặt mặt phẳng tọa độ Oxy * Tính chất( tương giao đồ thị hai hàm số): Số giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) số nghiệm phương trình f(x) = g(x) 1.2.3 Hàm tuần hoàn: Cho hàm số f(x) xác định D Nếu tồn số T > cho: x  T  D  x  T  D  f x T  f x T  f x        Thì ta nói hàm số f(x) tuần hoàn số T > nhỏ gọi chu kỳ tuần hoàn hàm số * Chú ý: Trên chu kỳ tuần hồn tính chất hàm số không thay đổi lặp lại chu kỳ 1.2.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ: 1.2.4.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D x  D   x  D  f   x   f  x  +) Hàm f(x) gọi hàm số chẵn   x  D   x  D +) Hàm f(x) gọi hàm số lẻ    f   x    f  x  1.2.4.2 Nhận xét: +) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng +) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 1.2.5 Điểm bất động hàm số: Trang +) Ta cố định x, cho y thay đổi y nên có tập giá trị vế phải (1) hàm bậc theo suy vế trái có tập giá trị Suy có số a  R cho f  a   0, ta đặt f    b +) Thay x = vào (1) ta được: f  f  y    y   f    hay f  f  x   x  b , x  (2) +) Thay x = y = a vào (1) ta thu được: f  f  a   a   f  0  b  a  b (3) +) Lại thay x = y = a vào (1) ta được: f  a2  f  a    a   f  a    f  a   a Suy theo (2) ta có: f a  f  f  a   a 2  b2  a  b   a  b  Vậy ta suy f    từ (2) trở thành: f  f  x    x, x  (4) +) Thay y = vào (1) ta được: f  x    f  x   , x  Từ suy với x  f  x   f  x    x  ( f đơn ánh ) +) Bây ta áp dụng (4) với x  0, y  f  x  y  f  f  x   y  f  f  f  y   x  ta có:   f  y    f  x    f  x  f  y  +) Giả sử x  y  x  y   f  x  y   Vì f cộng tính nên ta có: Trang 109 f  x  f  x  y   y   f  x  y   f  y   f  y  Vậy f tăng nghiêm ngặt +) Vì f cộng tính đơn điệu nên ta có f  x   ax Mặt khác ta có f 1  nên suy f  x   x, x  +) Thử lại thấy f  x   x, x  thỏa mãn yêu cầu  Ví dụ 4.9( Ytalia – 2000 ): Tìm tất hàm đơn điệu ngặt f : thỏa mãn: f  x  f  y    f  x   y , x; y  (1) Lời giải: Vì f hàm số đơn điệu ngặt nên suy f đơn ánh +) Ta thay x = y = vào ( 1) ta : f  f  0  f 0 Do f đơn ánh nên ta có : f    Từ suy ra: f  f  x    x, x  +) Khí với z  R ta thay y  f z vào quan hệ (1) ta được: f  x  z   f  x   f  z  , x; z  +) Từ ta có f cộng tính đơn điệu ngặt nên suy f  x   ax Ta thay vào quan hệ (1) f  x   x f  x    x hai hàm thỏa mãn điều kiện đề Ví dụ 4.10( IMO – 2002 ): Tìm tất hàm f : (1) sau đây:  thỏa mãn hệ thức  f  x   f  z    f  y   f  t    f  xy  zt   f  xt  yz  * Lời giải: +) Thay x = y = z = vào (1) ta có: f  0  f  0  f t   f  0 (2) Trong (2) ta cho t = ta có: Trang 110  f  0   f  0 2  f  0    f  0    +) Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Với f    Từ (2) ta có f  t   , ta làm sau: 1  f  x   , x  2 hàm số thứ thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: Với f    0, ta làm sau: Thay z = t = vào (1) ta được: f  xy   f  x  f  y  , x; y  (3) Lại thay x = y = vào (3) ta được:  f 1  f 1   f 1     f 1  f  x   0, x  f 1  từ (3) ta +) Với , hàm số thứ hai thỏa mãn yêu cầu toán +) Với f 1  thay x = y = t = vào (1) ta được: f  z   f   z   f  z   f   z   f  z  , z  Suy f hàm số chẵn ta cần xét x  đủ Do f    f 1  nên từ (3) phép quy nạp ta có được:  n   n , n   f  x   x , x  f Lại thay t = x z = y vào (1) ta được: f  x2  y    f  x   f  y    f  x   f  x  f  y   f  f  y  2   f  x   f  x  f  x   f  x2  Trang 111 Suy hàm f không giảm  0;   Với x   0;   ta chọn hai dãy số hữu tỉ  u n    cho u n  x  vn  x  u n  khơng giảm cịn   khơng tăng Do f đơn điệu nên với n ta có: f  un   f  x   f   Hay x  f  x   x  f  x   x , x  Thử lại thấy f  x   x , x  thỏa mãn hàm số thứ ba cần tìm +) Kết luận: Các hàm số cần tìm thỏa mãn là: f  x  , x  f  x   0, x  f  x  x , x  4.5 Phương pháp khai thác điểm bất động hàm số Ví dụ 4.11( IMO – 1994 ): Giả sử S tập hợp số thực lớn – Hãy tìm tất hàm số f : X  X thỏa mãn hai điều kiện sau: f  x  f  y   xf  y   y  f  x   yf  x  f  x x hàm tăng thực với – 1< x < x > (1) (2) Bài giải: +) Từ điều kiện (2) ta thấy phương trình điểm bất đơng f(x) = x có nhiều nghiệm, nghiệm thuộc khoảng ( - ; ), nghiệm nghiệm nằm khoảng  0;   +) Giả sử c   1;  điểm bất động f Trang 112 - Trong điều kiện (1) cho x = y = c ta được: f  2c  c   2c  c - Vì 2c  c   1;  2c  c điểm bất động hàm số thuộc khoảng ( - 1; ) nên ta có: c  2c  c  c  c  c     1;0  vô lý c  1 Vậy khơng có điểm bất động nằm khoảng ( - ; ) +) Tương tự ta có khoảng  0;   hàm số khơng có điểm bất động Suy điểm bất động hàm số +) Thay x = y vào (1) ta được: f  x  f  x   xf  x    x  f  x   xf  x  , x  X Vậy với x  X  x  1  x  f  x  điểm bất động hàm số Suy ta có: x  1  x  f  x    f  x    x x , x  X Vậy f  x    x 1 x 1 Ví dụ 4.12( IMO – 1996 ): Tìm tất hàm số f :  kiện: f  m  f  n    f  f  m    f  n  , m, n  thỏa mãn điều (1) Bài giải: +) Giả sử hàm số f  n  thỏa mãn điều kiện (1) Cho m = n = ta được: f  f     f  f     f    f 0  Cho m = ta được: f  f  n    f  n  , n  Suy f  n  điểm bất động hàm số f , f  f  m    f  m  , m  N (1) có dạng: f  m  f  n   f  m   f  n  (2) Trang 113 +) Kí hiệu E  f  tập điểm bất động hàm số f Ta chứng minh w  E  f  với k  , kw  Thật vậy: - Khẳng định hiển nhiên với k = 0; k = - Giả sử kw  E  f  ta có: f   k  1 w   f  kw  w   f  kw   f  w   kw  w   k  1 w =>  k  1 w  E  f  Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có k  N : kw  E  f  +) Theo kết trên,  E  f  Nếu điểm bất động f f  Hàm số hiển nhiên thỏa mãn (1) +) Giả sử f điểm bất động w > điểm bất động dương nhỏ Ta chứng minh E  f   kw / k  N  : A Thật vậy: Theo kết A  E  f  Giả sử x  E  f  tồn r ,  r  w cho w  kw  r ta có: x  kw  r  f  kw  r   f  r  f  kw    f  r   f  kw   f  r   kw => f  r   r Nhưng w điểm bất động dương nhỏ nên r = suy x = kw E  f   A Suy ta có: A  E  f  +) Theo kết trên, f  n   E  f  nên f  n   cn w với n Bây ta xác định cn: - Với n = ta có c0 = hiển nhiên Trang 114 - Với n  * n với w  * n cho trước ta ln có n  kw  r , k    phần nguyên , w w r   0; w  phần dư phép chia n w Để f thỏa mãn phương trình hàm cho ta phải có: f  n   f  r  kw   f  r  f  kw    f  r   f  kw    n   cr w  kw   cr  k  w   cr     w w  Như ta lấy số w > 0, c1 , c2 , ….cw-1 thuộc N, tùy ý xác định hàm số f(n) cách với n = kw + r đặt f(n) = (cr + k )w Ta chứng minh hàm số xác định thỏa mãn điều kiện (1) Thật vậy: Với m, n  , giả sử m  kw  r , n  lw  s với r ; s   0; w  ta có: f  m  f  n    f  r  kw   cs  l  w    cr  k  cs  l  w Mặt khác ta có: f  m  f  n    f  m    cs  l  w   cr  k  w   cs  l  w   cr  k  cs  l  w Chứng tỏ hàm số xác định thỏa mãn điều kiện (1) +) Vậy f  f(n) xác định hàm cần tìm 4.6 Phương pháp sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân hàm số: a Phương pháp: Trang 115 - Thường sư dụng trường hợp số trường hợp mà giả thiết phương trình hàm số khả vi Khi ta thường thực bước sau: +) Bước 1: Khéo léo biến đổi phương trình dạng thích hợp +) Bước 2: Lấy đạo hàm tích phân theo biến cận thích hợp +) Bước 3: Sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân để suy hàm số cần tìm b Áp dụng: Ví dụ 4.13: Tìm tất hàm số f :  khả vi vô hạn thỏa mãn điều kiện: f  x  y   f  x   f  y   xy , x; y  (1) Lời giải: Cách 1: +) Ta thay x = y = vào (1) suy ra: f(0) = 2f(0) suy ra: f(0) = +) Từ điều kiện (1) ta lấy đạo hàm theo biến x biến y ta được: f x '  x  y   f '  x   y (2) f y '  x  y   f '  y   x (3) Từ (2) (3) ta có: f '  x   y  f '  y   x  f '  x   x  f '  y   y, x; y  Suy ra: f '  x   x  C  f '  x   x  C , x; c  Trang 116 Suy f  x     x  C  dx  x  Cx  d , C; d  +) Vì f(0) = suy d=0 +) Vậy ta f  x   x  Cx, C  Cách 2: +) Ta thay x = y = vào (1) suy ra: f(0) = 2f(0) suy ra: f(0) = +) Từ điều kiện (1) ta có: f  x  y   f  x   f  y   xy  f  x  y   f  x   f  y   xy Suy ra: f  x  y  f  x f  y   x y y Nên ta có : f '  x   lim y 0 f  x  y  f  x  f  y   lim   x   f '    x y o y  y  Do f     f '    C ( C số ) suy f '  x   x  C +) Mặt khác ta có: x x 0 f  x   f  x   f     f '  x dx    x  C dx  x  Cx +) Thử lại thấy nên ta có kết là: f  x   x  Cx, C  Ví dụ 4.14( TH-TT số 230 ): Tìm tất hàm số f :  kiện: f  x   f  q    x  q  , x  ; q  thỏa mãn điều (1) Trang 117 Bài giải: +) Với x , x0 thuộc ta chọn số q nằm x x0 ta có: f  x   f  x0   f  x   f  q   f  q   f  x0   f  x   f  q   f  q   f  x0    x  q    q  x0    x  x0    x  x0   10  x  x0  2 Suy f  x   f  x0   10  x  x0  2 (2) f  x   f  x0    lim f  x   f  x0  suy hàm số +) Từ (2) ta có: xlim x xx 0 f(x) lien tục điểm x0 thuộc +) Mặt khác từ (2) ta có: Suy ta có: xlim x f  x   f  x0   10 x  x0 x  x0 f  x   f  x0   x  x0 Hay f '  x0   , x0   f '  x   0, x  +) Do f(x) hàm số liên tục nên ta suy f(x) = C với C số +) Thử lại thấy nên ta kết là: f(x) = C với C số 3.7 Phương pháp dùng tính chất hàm tuần hồn: Để chứng minh hàm số f(x) xác định D hàm tuần hoàn ta c chứng minh tồn số T > cho: x  T  D  x  T  D  f x T  f x T  f x        Khi ta nói hàm số f(x) tuần hoàn số T > nhỏ gọi chu kỳ tuần hoàn hàm số Ví dụ 4.15: Cho hàm số f xác định thỏa mãn điều kiện: Trang 118 f  x  1  f  x  1  f  x  , x  (1) Chứng minh f hàm tuần hoàn Lời giải: +) Trong (1) thay x = x + ta được: f  x  2  f  x   f  x  1 (2) +) Từ (1) ta có : f  x  1  f  x   f  x  1 thay vào (2) ta được: f  x  2  f  x     f  x   f  x 1 Suy f  x  2  f  x    f  x  1 (3) +) Ta thay x = x + vào (3) ta được: f  x  3  f  x  1   f  x  (4) +) Từ (1) (4) ta có: f  x  3  f  x  1   f  x  3   f  x  1 Từ suy ra: f  x    f  x    f  x   , x  +) Vậy f hàm tuần hồn ( điều phải chứng minh ) Ví dụ 4.16: Cho hai hàm số f(x) g(x) xác định thỏa mãn ba điều kiện: Tồn a > cho: (1) f  x  a  f  x  g  x (2)   g  x  , n  2k , k  g  x  na     g x , n  k      (3) f  x   x  a Chứng minh g  x    f  x   Lời giải: +) Ta có: f  x  2a   f  x  a   a   f  x  a   f  x  a  Trang 119 +) Từ điều kiện (1) ta có: f  x  a   f  x   g  x  +) Từ điều kiện (2) ta có: g  x  a    g  x  Suy f  x  2a   f  x  , x  suy f hàm tuần hoàn Vậy ta cần xét chu kỳ là:  x  2a +) Với:  x  a f(x) = thỏa mãn yêu cầu +) Với a < x  2a ta có: f  x  f  x  a  a   f  x  a   g  x  a   1 g  x  a  Và g  x   nên suy  f  x   ( điều phải chứng minh ) KẾT LUẬN CHƯƠNG Qua phương pháp sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình hàm, lần cho ta thấy mối liên hệ mật thiết hàm số phương trình bất phương trình Điểm đóng vai trị then chốt phương pháp : Phải nhận biết phương trình hàm cho đặt lớp hàm số Từ tác động sử dụng tính chất lớp hàm số để giải yêu cầu đặt Trang 120 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ $1 NHỮNG KẾT QUẢ ĐÃ ĐẠT ĐƯỢC Luận văn trình bày hướng nghiên cứu phương trình bất phương trình phương pháp sử dụng tính chất hàm số chương trình mơn tốn trường THPT mà sách giáo khoa đề cập đến lại nằm phạm vi kiến thức đề thi * Các phương pháp chính: 1.1 Sử dụng tính chất hàm số vào nghiên cứu phương trình bất phương trình ẩn gồm phương pháp là: - Phương pháp sử dụng tính chất tương giao đồ thị hai hàm số - Phương pháp sử dụng tính chất hàm số liên tục - Phương pháp sử dụng tính chất đạo hàm - Phương pháp sử dụng tính chất hàm số đơn điệu - Phương pháp sử dụng giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số 1.2 Sử dụng tính chất hàm số vào nghiên cứu phương trình hàm gồm phương pháp là: - Phương pháp sử dụng tính chất đơn ánh, song ánh, tồn ánh, tính chẵn lẻ tính đơn điệu hàm số - Phương pháp chuyển qua giới hạn hàm số - Phương pháp sử dụng tính chất hàm số liên tục - Phương pháp dùng đạo hàm, nguyên hàm, tích phân - Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số - Phương pháp khai thác điểm bất động hàm số - Phương pháp dùng hàm tuần hoàn Trang 121 $ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI - Hướng nghiên cứu luận văn tiếp tục nghiên cứu , thiết lập mối liên hệ phần kiến thức chương trình mơn tốn trường THPT Đồng thời tiếp tục nghiên cứu phương pháp sử dụng tính chất hàm số vào nghiên cứu bất đẳng thức, hệ phương trình, hệ bất phương trình số tốn hình học … Trang 122 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Ban tổ chức kỳ thi ( 2014), Tuyển tập 20 năm đề thi Olimpic 30 tháng 4, [1] NXB ĐHQG Hà nội Bộ Giáo dục Đào tạo, Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm [2] Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (1995), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến ( 2010), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục Nguyễn Trọng Tuấn ( 2005), Bài tốn hàm số qua kì thi Olimpic, NXB [5] Giáo dục Trần Phương (2010), Các giảng trọng tâm ơn luyện thi mơn tốn, Tập [6] 1,2,3, NXB ĐHQG Hà Nội Trang 123