Phương pháp 2 sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n CMR: Gọi n số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; … m + n với m  Z, n  N* Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1} * Nếu tồn số dư 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n m+in * Nếu không tồn số dư  số nguyên dãy chia hết cho n  phải có số dư trùng  m  i  nqi  r Giả sử:   m  j  qjn  r  i; j  n  i - j = n(qi - qj)  n  i - j  n mà i - j< n  i - j =  i = j m+i=m+j Vậy n số có số số chia hết cho n… Ví dụ 1: CMR: a Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn  Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích số nguyên liên tiếp chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho  Tích số chia hết cho mà (1; 3) = Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số nguyên liên tiếp là: n - , n , n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  (CM Ví dụ 1)  3(n - 1)n (n + 1)  9 ( n  1)  mà  18 n   A  (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n4 Giải: Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k  nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  Mà (k - 2) (k - 1)k  ; (3,8)=1  (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  24  16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16,24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1)  b n5 - 5n3 + 4n  120 Với  n  N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 Với  n  Z Bài 3: CMR: Với  n lẻ a n2 + 4n +  b n3 + 3n2 - n -  48 c n12 - n8 - n4 +  512 Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR : p2 -  24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2)  120 Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)  24 Bài 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3)  b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k  N) = 8k(k + 1) (k +2)  48 c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Với n = 2k +  n2 + n4 + số chẵn  (n2 + 1)2  ; n4 +   n12 - n8 - n4 +  (24.22 22 21) Vậy n12 - n8 - n4 +  512 Bài 4: Có p2 - = (p - 1) (p + 1) p số nguyên tố p >  p  ta có: (p - 1) (p + 1)  p = 3k + p = 3k + (k  N)  (p - 1) (p + 1)  Vậy p2 -  24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Có tổng chữ số là: s; s + … ; s + 26 Có số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899  n + 999 + 899 < n + 1989  Các số (2) nằm dãy (1)