chuyen de tinh chat chia het cua mot tong dau hieu chia het cho 2 cho 3 cho 5 cho 9

BÀI TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, CHO 3, CHO VÀ CHO Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu quan hệ chia hết, tính chất chia hết tổng, hiệu + Nắm dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho cho  Kĩ + Nhận biết biểu thức có chia hết cho số mà khơng cần tính giá trị biểu thức + Sử dụng kí hiệu chia hết khơng chia hết + Vận dụng thành thạo dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho cho để xác định số cho có chia hết cho 2, cho 3, cho cho hay không Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quan hệ chia hết Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b (khác 0) có số tự nhiên k cho a  b.k - Nếu a chia hết cho b, ta kí hiệu a  b - Nếu a khơng chia hết cho b, ta kí hiệu a  b Tính chất chia hết tổng Tính chất Ví dụ Nếu tất số hạng tổng chia hết 12  24  suy 12  24   cho số tổng chia hết cho số  24  12   a  m, b  m, c  m   a  b  c   m Tính chất 10  , 30   nên 10  30    Nếu có số hạng tổng không chia hết cho số, số hạng lại chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số a  m, b  m, c  m   a  b  c   m Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho cho Ví dụ - Các số có chữ số tận chữ số chẵn chia 32; 240; 144; 12346 chia hết cho hết cho số chia hết cho - Các số có chữ số tận chia 35; 1030 chia hết cho hết cho số chia hết cho - Các số có tổng chữ số chia hết cho chia 2514      12  hết cho số chia hết cho - Các số có tổng chữ số chia hết cho chia 126      hết cho số chia hết cho Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Tính chất chia hết Quan hệ chia hết Tính chất khơng chia hết a  m, b  m   a  b   m a  m, b  m   a  b   m a  m, b  m, c  m a  m, b  m, c  m  a  b  c  m   a  b  c   m Chia hết cho 3: Chia hết cho 2: Tổng chữ số chia Tận 0,2,4,6,8  a  b  m hết cho  a  b   m Dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5: Tận 0,5 Chia hết cho 9: Chia hết cho 5: Tổng chữ số chia Tận hết cho II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính chia hết hay không chia hết Phương pháp giải + Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cho + Sử dụng tính chất chia hết tổng, Ví dụ hiệu a  m, b  m c  m   a  b  c   m a  m, b  m c  m   a  b  c   m  ,  12      12    ,  12      12   Ví dụ mẫu Ví dụ Khơng tính tổng, xét xem: a) 27 + 81 + 63 có chia hết cho không? Trang b) 21 + 49 + 32 có chia hết cho khơng? c) 45 + 99 + 180 có chia hết cho khơng? d) 125 + 350 – 234 có chia hết cho khơng? Hướng dẫn giải a) Vì 27  , 81  63  nên tổng  27  81  63  b) Vì 21  , 49  32  , tổng  21  49  32   c) Vì 45  , 99  180  nên tổng  45  99  180   d) Vì 125  , 350  , 234  nên tổng 125  350  234   Ví dụ Khơng thực phép tính, chứng tỏ: a) 39.2020 chia hết cho 13; b) 2010.2011 chia hết cho 3; c) 1411.2002 chia hết cho 17 Hướng dẫn giải a) Ta có 39.2020 = 13.3.2020 chia hết cho 13 (theo định nghĩa) b) Ta có 2010  (theo dấu hiệu chia hết cho 3) nên tích 2010.2011 chia hết cho c) Ta có: 1411.2002 = 17.83.2002 chia hết cho 17 (theo định nghĩa) Ví dụ Cho số: 115; 234; 560; 228; 117; 630; 738 a) Những số chia hết cho 2? b) Những số chia hết cho 3? c) Những số chia hết cho 5? d) Những số chia hết cho 9? Hướng dẫn giải a) Những số chia hết cho là: 234; 560; 228; 630; 738 (vì có tận chữ số chẵn) b) Những số chia hết cho là: 234; 228; 117; 630; 738 (vì tổng chữ số chúng chia hết cho 3) c) Những số chia hết cho là: 115; 560; 630 (vì có tận 5) d) Những số chia hết cho là: 234; 117; 630; 738 (vì tổng chữ số chúng chia hết cho 9) Ví dụ Một số tự nhiên a chia cho 15, số dư Hỏi số a có chia hết cho cho không? Hướng dẫn giải Số tự nhiên a chia cho 15, dư nên a có dạng a  15k  (với + Viết dạng tổng quát số k   ) tự nhiên a chia cho 15, dư Ta thấy 15k chia hết cho cho Mà chia hết cho 5, + Dùng tính chất chia hết không chia hết cho tổng để xét xem a có chia Do 15k    15k  5  hết cho cho hay không Vậy a chia hết cho không chia hết cho Trang Ví dụ Tìm số dư chia số sau cho cho 3: 145; 1378; 2456; 2789; 3568 Hướng dẫn giải Ta có: + + = 10 Số 10 chia cho cho dư 1, nên 145 Một số có tổng chữ số chia cho cho có số dư chia cho (cho 9) dư m + + + = 19 Số 19 chia cho cho dư 1, nên số chia cho (cho 9) 1378 chia cho cho có số dư dư m + + + = 17 Số 17 chia cho dư 2, chia cho dư Vậy 2456 chia cho dư chia cho dư Tương tự, 2789 chia cho dư chia cho dư 3568 chia cho dư chia cho dư Ví dụ Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3, cho không? a) 10 20  ; b) 10100  Hướng dẫn giải a) Ta có: 1020   100 00      100 02    có tổng chữ số Dựa vào dấu hiệu chia hết nên 10  chia hết cho không chia hết cho xem tổng (hiệu) có tổng 19 ch÷ sè 20 ch÷ sè cho cho 9, ta cần tính 20 100 b) Ta có: 10   100 00      99 99  chia hết cho 100 ch÷ sè chữ số bao nhiêu? 99 ch÷ sè Lưu ý rằng: 10n  100 00    có tổng n ch÷ sè chữ số Tổng quát: 10n   Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Điền dấu “x” vào thích hợp: 2 3 5 9 A  126  48 B  108  468  72 C  75  45  99 D  2.3.4.5  60 Câu Cho số: 234; 560; 789; 990; 1045; 2436 Điền số thích hợp vào chỗ chấm a) Các số chia hết cho là: …………………………………………… b) Các số chia hết cho là: …………………………………………… c) Các số chia hết cho là: …………………………………………… d) Các số chia hết cho là: …………………………………………… Trang Câu Xét xem tổng 66a  39b  63c có chia hết cho hay khơng? Câu Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hiệu) sau chia hết cho 7? a) 49 + 51 – 7; b) 14.24 – 42; c) 35 + 84 + 105; d) 5.7 + 56 – 36 Câu Không thực phép tính, xét xem: a) + 128 có chia hết cho khơng? b) + 24 + 180 + 738 có chia hết cho khơng? c) 24 + 18 – có chia hết cho khơng? d) 33 + 121 + 144 có chia hết cho 11 không? Câu Điền dấu “x” vào ô trống thích hợp giải thích: Câu Đúng Sai a) 36 + 16 – 24 chia hết cho b) 4.12 – 12 + không chia hết cho c) 30 – + 16 chia hết cho d) 45 + 63 – 18 + 27 chia hết cho Câu Một số tự nhiên a chia cho 30, số dư 18 a) Hãy biểu diễn số a b) Hỏi a có chia hết cho 2, cho 3, cho cho không? Câu Một số tự nhiên chia cho 45 dư 20 Hỏi số có chia hết cho cho 15 không? Câu Gọi m số dư a chia cho Điền vào ô trống: a 15 87 100 123 576 m Bài tập nâng cao Câu 10 Tổng (hiệu) sau có chia hết cho cho không? a) 10 2019  ; b) 10 2002  Câu 11 a) Tổng 1015  có chia hết cho cho khơng? b) Tổng 10 2010  có chia hết cho không? c) Tổng 102020  14 có chia hết cho cho khơng? d) Hiệu 102020  có chia hết cho khơng? Đáp án Câu 2 3 A  126  48 x x B  108  468  72 x x C  75  45  99 5 9 x x Trang D  2.3.4.5  60 x x x Câu a) Các số chia hết cho là: 234; 560; 990; 2436 b) Các số chia hết cho là: 234; 789; 990; 2436 c) Các số chia hết cho là: 560; 990; 1045 d) Các số chia hết cho là: 234; 990 Câu Vì 66a  , 39b  63c  nên tổng 66a  39b  63c chia hết cho Câu a) 49 + 51 – khơng chia hết cho có 51  b) Ta có: 14.24  42  nên hiệu 14.24 – 42 chia hết cho c) Tổng 35 + 84 + 105 chia hết cho ba số 35; 84 105 chia hết cho d) Tổng 5.7 + 56 – 36 khơng chia hết cho 5.7  ; 56  36  Câu a) Ta có: + 128 khơng chia hết cho (vì có 128  ) b) Ta có: +24 + 180 + 738 chia hết cho (vì tất số hạng tổng chia hết cho 6) c) Ta có: 24 + 18 – không chia hết cho (vì 24  ,  18  ) d) Ta có: 33 + 121 + 144 khơng chia hết cho 11 (vì 33  11 , 121  11 144  11 ) Câu a) Đúng số hạng tổng chia hết cho b) Sai số hạng tổng chia hết cho 6, nên tổng phải chia hết cho c) Sai 30  ,  16  d) Đúng số hạng tổng chia hết cho Câu a) Số tự nhiên a chia cho 30, dư 18 có dạng là: a  30k  18 (với k   ) b) Vì 30k chia hết cho 2, cho 3, cho cho Mà 18 chia hết cho 2, cho cho 6, khơng chia hết cho Do a chia hết cho 2, cho cho 6, không chia hết cho Câu Số tự nhiên x chia cho 45 dư 20 có dạng là: x  45k  20  k    Vì 45k chia hết cho 15, cịn 20 chia hết cho khơng chia hết cho 15 Do x chia hết cho 5, không chia hết cho 15 Câu a 15 87 100 123 576 Trang m 6 Bài tập nâng cao Câu 10 a) Ta có: 102019   100 00      100 03    có tổng chữ số nên không chia hết cho 2019 ch÷ sè 2018 ch÷ sè b) 102002   100 00      99 99  chia hết cho 2002 ch÷ sè 2001 ch÷ sè Câu 11 a) Ta có 1015   100 00      100 08    chia hết cho (vì có tổng chữ số chữ 15 ch÷ sè 14 ch÷ sè số tận 8) b) Ta có: 102010   100 00      100 08     (vì có tổng chữ số 9) 2010 ch÷ sè 2009 ch÷ sè c) Ta có: 102020  14  100 00     14  100 14    chia hết cho (vì có tổng chữ số 2020 ch÷ sè 2018 ch÷ sè chữ số tận 4) d) Ta có: 102020   100 00      99 96   (vì có tổng chữ số chia hết cho 3) 2020 ch÷ sè 2019 ch÷ sè Dạng 2: Lập số thỏa mãn điều kiện chia hết từ số cho trước Phương pháp giải + Lập số chia hết cho 2, cần chọn chữ số hàng đơn vị số chẵn (0; 2; 4; 8) + Lập số chia hết cho 5, cần chọn chữ số hàng đơn vị + Lập số chia hết cho 3, cần chọn chữ số cho tổng chúng chia hết cho + Lập số chia hết cho 9, cần chọn chữ số cho tổng chúng chia hết cho Ví dụ mẫu Ví dụ Viết số tự nhiên có hai chữ số giống nhau, biết số chia hết cho 2, cịn chia dư Hướng dẫn giải Các số tự nhiên có hai chữ số giống mà chia hết cho 22; 44; 66; 88 Trong bốn số trên, số chia cho dư là: 44 Vậy số cần tìm là: 44 Ví dụ Từ chữ số 0; 1; 3; 4; 5, lập số có ba chữ số khác chia hết cho 5? Hướng dẫn giải + Chọn làm hàng đơn vị, ta có số: 130, 310; 140; 410; 150; 510; 340; 430; 350; 530; 450; 540 + Chọn làm hàng đơn vị, ta có số: 105; 305; 405; 135; 315; 145; 415; 345; 435 Trang Vậy từ số 0; 1; 3; 4; 5, lập 21 số có ba chữ số khác chia hết cho Ví dụ Dùng ba bốn chữ số 0; 1; 3; 8, ghép thành số tự nhiên có ba chữ số, cho số đó: a) Chia hết cho b) Chia hết cho mà không chia hết cho Hướng dẫn giải a) Ba số có tổng chia hết cho là: 0; 1; Từ ba chữ số ta lập số có ba chữ số khác là; 180; 810; 108; 801 b) Ba số có tổng chia hết cho mà không chia hết cho là: 1; 3; Từ ba chữ số ta lập số có ba chữ số khác là: 138; 183; 318; 381; 813; 831 Ví dụ Viết số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số cho số đó: a) Chia hết cho b) Chia hết cho Hướng dẫn giải a) Vì số cần tìm số nhỏ có chữ số nên chọn: + Hàng nghìn là: + Hàng trăm là: + Hàng chục là: Để số chia hết cho hàng đơn vị là: Vậy số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số chia hết cho là: 1002 b) Chọn hàng nghìn, hàng trăm hàng chục giống câu a Để số chia hết cho hàng đơn vị Vậy số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số chia hết cho là: 1008 Bài tập tự luyện dạng Câu Dùng ba bốn chữ số 0; 4; 5; 6, viết số có ba chữ số khác cho số đó: a) Chia hết cho b) Chia hết cho mà không chia hết cho Câu Viết số tự nhiên nhỏ có năm chữ số cho số a) Chia hết cho b) Chia hết cho Câu Dùng ba chữ số 2; 3; 5, ghép thành số tự nhiên có ba chữ số khác nhau: a) Lớn chia hết cho b) Nhỏ chia hết cho Câu Dùng ba bốn chữ số 0; 2; 3; 7, ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho Trang b) Chia hết cho không chia hết cho c) Chia hết cho Câu Có số có ba chữ số: a) Chia hết cho b) Chia hết cho c) Chia hết cho Đáp án Câu a) Ba số có tổng chia hết cho là: 0; 4; Từ ba chữ số ta lập số có ba chữ số khác là: 450; 405; 540; 504 b) Ba số có tổng chia hết cho mà không chia hết cho là: 4; 5; Từ ba chữ số ta lập số có ba chữ số khác là: 456; 465; 546; 564; 645; 654 Câu a) Số tự nhiên nhỏ có năm chữ số chia hết cho là: 10002 b) Số tự nhiên nhỏ có năm chữ số chia hết cho là: 10008 Câu Từ ba chữ số 2; 3; lập số có ba chữ số khác nhau: a) Lớn chia hết cho là: 532 b) Nhỏ chia hết cho là: 235 Câu Dùng ba bốn chữ số 0; 2; 3; lập thành số tự nhiên có ba chữ số khác thỏa mãn: a) Chia hết cho là: 270; 207; 720; 702 b) Chia hết cho 3, mà không chia hết cho là: 237; 273; 327; 372; 723; 732 c) Chia hết cho là: 230; 320; 270; 720; 370; 730 Câu a) Số lớn có ba chữ số chia hết cho là: 998 Số bé có ba chữ số chia hết cho là: 100 Khoảng cách hai số liên tiếp chia hết cho là: đơn vị Vậy số số có ba chữ số chia hết cho là:  998  100  :   450 số b) Số lớn có ba chữ số chia hết cho là: 995 Số bé có ba chữ số chia hết cho là: 100 Khoảng cách hai số liên tiếp chia hết cho là: đơn vị Vậy số số có ba chữ số chia hết cho là:  995  100  :   180 số c) Số chia hết cho có tận Trang 10 Số lớn chia hết cho là: 990 Số bé chia hết cho là: 100 Khoảng cách hai số liên tiếp chia hết cho là: 10 đơn vị Vậy số số có ba chữ số chia hết cho là:  990  100  :10   90 số Dạng 3: Tìm điều kiện để số chia hết cho số Phương pháp giải Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho tính chất chia hết tổng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho A  15  18  24  x , với x   Tìm điều kiện x để: a) A  ; b) A  Hướng dẫn giải Vì 15  , 18  24  nên để A  x  Vì 15  , 18  24  nên để A  x  Ví dụ Điền vào dấu * để 37 * : a) Chia hết cho b) Chia hết cho c) Chia hết cho d) Chia hết cho Hướng dẫn giải Để 37 * chia hết cho *  0; 2; 4; 6;8 Để 37 * chia hết cho   *  10  * chia hết cho 3, suy *  2;5;8 Để 37 * chia hết cho *  0;5 Để 37 * chia hết cho   *  10  * chia hết cho 9, suy *  Ví dụ Tìm a b để 4a6b chia hết cho 2; 3; Hướng dẫn giải Để 4a6b chia hết cho b  Ta có số 4a60 Ta thấy 4a60 chia hết cho chia hết ta cần tìm điều kiện để 4a 60 chia hết cho Suy  a    10  a chia hết cho Do a  Vậy a  8; b  Ví dụ Tìm chữ số a b cho a56b  45 Hướng dẫn giải Để a56b chia hết cho 45 a56b phải chia hết cho a56b   b  b  Trang 11 + Nếu b  ta có: a560  a     a  11 chia hết cho 9, suy a  + Nếu b  ta có a560  a     a  16 chia hết cho 9, suy a  Vậy ta có hai cặp số thỏa mãn a  7, b  a  2, b  Ví dụ Cho A  7a5  8b Biết a  b  A chia hết cho Tìm a b Hướng dẫn giải Nhận thấy, số có tổng chữ số chia hết cho dư m số chia cho dư m Do A    a      b    24  a  b chia hết cho Mà a, b số tự nhiên có chữ số nên  a  b  18 Suy a  b  a  b  12 + Trường hợp 1: Nếu a  b  , kết hợp với a  b  thì: Số lớn là: a     :  dư (loại) + Trường hợp 2: Nếu a  b  12 , kết hợp với a  b  thì: Số lớn là: a  12   :  ; Số bé b    Vậy a  9, b  Ví dụ Điền vào dấu * chữ số: * * * * x 9 * Hướng dẫn giải Ta thấy 920 * chia hết    *  11  * chia hết cho Suy *  Ta tích 9207 Thừa số chưa biết là: 9207 :  1203 Vậy ta có phép nhân: x 9 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho A   12  x  16  28 , với x   Tìm điều kiện x để: a) A chia hết cho b) A không chia hết cho Câu Điền chữ số thích hợp vào dấu * để 182 * : a) Chia hết cho b) Chia hết cho c) Chia hết cho Trang 12 Câu Điền vào dấu * để 34 * : a) Chia hết cho b) Chia hết cho c) Chia hết cho d) Chia hết cho Câu Thay a, b chữ số thích hợp để: a) 54a chia hết cho b) 341ab chia hết cho c) a18b chia hết cho 2; 3; Câu Tìm x, y biết: a) 23 x5 y chia hết cho 2, cho cho b) 144xy chia hết cho cho Câu a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số giống nhau, biết số chia hết cho 2, cịn chia cho dư b) Tìm số tự nhiên có ba chữ số giống nhau, biết số chia hết cho 5, cịn chia cho dư Câu a) Tìm số có hai chữ số giống nhau, biết số chia hết cho 3, cịn chia cho dư b) Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 132  n  178 Bài tập nâng cao Câu Tìm chữ số a b cho b  a  20ab chia hết cho Câu Tìm chữ số a b cho a  b  a785b chia hết cho Câu 10 Điền vào dấu * chữ số thích hợp: * * * * x 1 * Bài tập Câu Ta thấy số hạng: 8; 12; 16 28 chia hết cho 4, đó: a) Để A chia hết cho x  b) Để A khơng chia hết cho x  Câu a) *  0; 2; 4; 6;8 b) *  0;5 c) *  Câu a) *  0; 2; 4; 6;8 b) *  2;5;8 Trang 13 c) *  0;5 d) *  Câu a) 54a chia hết cho   a   a chia hết cho 9, suy a  a  Mà 54a chia hết a  b) 341ab chia hết cho b  b  + Trường hợp 1: b  , ta có: 341a0     a    a chia hết cho Suy a  + Trường hợp 2: b  , ta có: 341a5     a   13  a chia hết cho Suy a  Vậy ta có hai số thỏa mãn là: 34110 34155 c) a18b chia hết cho nên b  Ta có: a180  a     a  chia hết cho Mà a  nên a  Vậy số thỏa mãn đề là: 9180 Câu a) 23x5 y chia hết cho nên y  Ta có: 23x50    x    10  x chia hết cho Suy x  Vậy số thỏa mãn đề là: 23850 144xy chia hết cho suy y  y  + Trường hợp 1: y  Ta có: 144 x0     x    x chia hết cho Suy x  0;3;6;9 + Trường hợp 2: y  Ta có: 144 x5     x   14  x chia hết cho Suy x  1; 4;7 Vậy số thỏa mãn là: 14400; 14430; 14460; 14490; 14415; 14445; 14475 Câu a) 22 b) 555 Câu a) Các số có hai chữ số giống mà chia hết cho là; 33; 66; 99 Trong ba số trên, số chia cho dư là: 66 Vậy số cần tìm 66 b) Số vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho có chữ số tận Trang 14 Tập hợp số tự nhiên chia hết cho thỏa mãn 132  n  178 là: 140;150;160;170 Bài tập nâng cao Câu Ta có 20ab chia hết cho   a  b   a  b chia hết cho Mà a b số tự nhiên có chữ số nên  a  b  18 Suy a  b  a  b  16 + Trường hợp 1: a  b  kết hợp với b  a  Số lớn là: b     :  dư (loại) + Trường hợp 2: a  b  16 kết hợp với b  a  Số lớn là: b  16   :  Số bé là: a    Vậy a  7, b  Câu Vì a785b chia hết a     b  a  b  20 chia hết cho Do  a, b  a  nên  a  b  18 Suy a  b  a  b  16 + Trường hợp 1: a  b  a  b  Số lớn là: a     :  Số bé là: b    Ta có số cần tìm 67851 + Trường hợp 2: a  b  16 a  b  Số lớn a  16   :  21:  10 dư (loại) Câu 10 Nhận thấy 2118* chia hết cho 9, đó:     *  12  * chia hết cho Suy *  Ta thương 21186 Thừa số chưa biết là: 21186 :  2354 Vậy ta có phép nhân: x 1 Dạng Chứng minh tính chất chia hết Phương pháp giải Cần lưu ý: Trang 15 Hai số tự nhiên liên tiếp x x  ( x   ) Ba số tự nhiên liên tiếp x , x  x  ( x   ) Số chẵn 2k ( k   ) Số lẻ 2k  ( k   ) Cấu tạo số ab  10.a  b abc  100.a  10.b  c  a  0; b, c    Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng tỏ tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: x ; x  ; x  ( x   ) Tổng ba số là: x   x  1   x    x    x  1  (theo định nghĩa) Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho Ví dụ Chứng minh rằng: a) Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số không chia hết cho Hướng dẫn giải a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp x x  ( x   ) Ta có hai trường hợp sau: + Nếu x chia hết cho tốn giải + Nếu x chia cho dư x có dạng x  2k   k    Khi x  x  1   2k  1  2k  1  1   2k  1  2k     2k  1  k  1  Vậy tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp l x; x  1; x  2; x   x    Ta có kết tương tự: Ta có: x   x  1   x     x  3  4.x  “Tích n số tự nhiên Vì 4.x   nên x   liên tiếp chia hết cho n” Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số khơng chia hết cho Ví dụ Chứng minh rằng: a) Số có dạng aaa ln chia hết cho 37 b) Hiệu ab  ba (với a  b ) chia hết cho Hướng dẫn giải Ta có: aaa  a.111  a.3.37  37 Trang 16 Vậy số có dạng aaa ln chia hết cho 37 Ta có: ab  ba  10.a  b   10.b  a   9.a  9.b   a  b    Vậy ab  ba  Ví dụ Gọi A  n  n  1,  n    Chứng tỏ rằng: a) A không chia hết cho b) A không chia hết cho Hướng dẫn giải a) Ta có: A  n2  n    n  n    n  n  1  Vì n  n  1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên n  n  1  (theo Ví dụ 2) Do n  n  1  khơng chia hết cho b) Vì n  n  1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên n  n  1 có tận 0; 2; Suy n  n  1  có tận 1; 3; 7, không chia hết cho Vậy A không chia hết cho Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho x  180 y  45 z , với y, z   Chứng minh x chia hết cho cho với y, z Bài tập nâng cao Câu Chứng tỏ rằng: a) Trong hai số tự nhiên liên tiếp, ln có số chia hết cho b) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, ln có số chia hết cho Câu Chứng minh rằng: a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho b) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Câu Chứng tỏ hai số có số dư chia cho 7, hiệu chúng chia hết cho Câu Chứng tỏ rằng: a) Số có dạng aaaaaa ln chia hết cho b) Số có dạng abcabc chia hết cho 11 Câu Chứng tỏ với số tự nhiên n tích  n  3 n   chia hết cho Đáp án Bài tập Câu Ta có: 180 y  45 z  nên x chia hết cho với y, z (tính chất chia hết tổng) Trang 17 Tương tự, ta có x chia hết cho với y, z Bài tập nâng cao Câu a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a a   a    Ta có hai trường hợp sau: Nếu a chia hết cho tốn giải Nếu a chia dư a có dạng x  2k   k    Khi a    2k  1   2k    k  1  Vậy hai số tự nhiên liên tiếp a a  ln có số chia hết cho b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x; x  1; x   x    Ta có ba trường hợp sau: Nếu x  tốn giải Nếu x chia cho 3, dư Khi x có dạng x  3k  (với k   ) x   3k    3k    k  1  Nếu x chia cho 3, dư Khi x có dạng x  3k  (với k   ) x   3k    3k    k  1  Vậy ba số tự nhiên liên tiếp x; x  1; x  ln có số chia hết cho Câu a) Áp dụng kết Câu 2, ta có: ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 2, ln có số chia hết cho Do vậy, tích chúng ln chia hết cho b) Gọi hai số chẵn liên tiếp 2k 2k  Ta có: 2k  2k    2k  k  1  4.k  k  1  Mặt khác, k  k  1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Suy 4.k  k  1  Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Câu Giả sử a b chia cho có số dư m Khi đó: a  x  m b  y  m với x, y   Ta có: a  b   x  m    y  m   x  y   x  y   (đpcm) Vậy hai số có số dư chia cho 7, hiệu chúng chia hết cho Câu a) Ta có: aaaaaa  a.111111  a.7.15873  (theo định nghĩa) Trang 18 b) Ta có: abcabc  abc.1000  abc  abc.1001  abc.11.91 11 (theo định nghĩa) Câu + Nếu n  2k  k    n   2k   + Nếu n  2k   k    n   2k    2k   Vậy  n  3 n    Trang 19 ... 3, mà không chia hết cho là: 23 7; 27 3; 32 7 ; 3 72; 7 23 ; 7 32 c) Chia hết cho là: 23 0; 32 0 ; 27 0; 720 ; 37 0; 730 Câu a) Số lớn có ba chữ số chia hết cho là: 99 8 Số bé có ba chữ số chia hết cho là: 100... ? ?2 ? ?3 A  126  48 x x B  108  468  72 x x C  75  45  99 ? ?5 ? ?9 x x Trang D  2. 3. 4 .5  60 x x x Câu a) Các số chia hết cho là: 23 4; 56 0; 99 0; 24 36 b) Các số chia hết cho là: 23 4; 7 89; 99 0;... ta có số: 130 , 31 0; 140; 410; 150 ; 51 0; 34 0; 430 ; 35 0; 53 0 ; 450 ; 54 0 + Chọn làm hàng đơn vị, ta có số: 1 05; 30 5; 4 05; 1 35 ; 31 5; 1 45; 4 15; 34 5; 4 35 Trang Vậy từ số 0; 1; 3; 4; 5, lập 21 số có ba