Phương pháp 7 sử dụng tính đối nghịch ở hai vế

Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình 1... Các ví dụ Ví dụ1: Giải phương trình... + Áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki.

Phương pháp 7 : Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế

+ /.Các ví dụ :

Ví dụ1: Giải phương trình: 3x2  x6  7 + 5x2  10x 14 = 4 – 2x – x2 (1)

Ta có vế trái của (1)

7

6

3x2  x + 5x2  10x 14 = 3 (x 1 )2  4 + 5 (x 1 )  9  4 + 9 = 5

Vế phải của (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2  5

Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = 1 Do đó phương trình (1) có nghiệm là x =

-1

Ví dụ2: Giải phương trình: x 4 + 6 x = x2 -10x + 27 (1)

ĐKXĐ: 4  x  6

Xét vế phải của (1) ta có :

x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2  2 với mọi x và vế trái của (1)

(

2

6

)2 

2

) 4 6 ( ) 1 ( ( x 2   2

=1 hay x 4 + 6 x  2

Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :























(**) 2 6

4

(*) 2 27

10

2

x x

x

x

Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)

Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1)

+ / Bài tập áp dụng :

1 3x2  12x 16 + 2 4 13



 y

2 3x2  x6  12 + 5x2  10x 9 = 3-4x -2x2

3 x2  x3  3 , 5 = ( 2 2 2 )( 2 4 4 )







x

Phương pháp 8 : sử dụng tính đơn điệu của hàm số :

+ / Các ví dụ :

Ví dụ1: Giải phương trình : 3 x 2 + x 1 = 3 (1)

ĐKXĐ: x  1

Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1)

Với x > 3 thì 3 x 2 > 1 , x 1> 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3

Với x< 3 và x  -1  -1  x  3 thì 3 x 2 < 1, x 1 < 2

nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3

Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình :

5 2

28



x + 23 2

23



x + x 1 + x = 2 + 9 (1)

0

0 1

















x x

x

Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)

+ / Nhận xét :

Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác

+ /.Bài tập áp dụng :

1 3 2

26



x + 3 x + x 3 = 8

2 2x2  1 + x2  x3  2 = 2x2  x2  3 + x2  x 1

Phương pháp 9 : sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt

+ / Các ví dụ

Ví dụ1: Giải phương trình

x 2 + y 1995 + z 1996 =

2

1

(x+y+z)

ĐKXĐ : x  2; y  -1995; z  1996

Phương trình (1)  x+y+z = 2 x 2 + 2 y 1995 + 2 z 1996

 ( x 2  1 )2 + 2

) 1 1995

) 1 1996 ( z  = 0



























1 1996

1 1995

1 2

z

y

x





















1997 1994 3

z y

x

( thoã mãn ĐKXĐ )

Là nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x2  x6  7 + 5x2  10x 14 = 4 – 2x –

x2

 3 (x 1 )2  4 + 5 (x 1 )2  9 = 5 – (x+1)2 (*)

Vế trái của (*) 3 (x 1 )2  4 + 5 (x 1 )2  9  2 + 3 = 5

Vế phải của (*) 5 – (x+1)2  5

Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của

phương trình (*) bằng nhau và bằng 5  x+ 1 = 0  x = -1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1

Ví dụ3: Giải phương trình:

1

4 x

x

+

x

x 1

4 

=2 (1) ĐKXĐ:

x>

4

1

áp dụng bất đẳng thức

a

b b

a

  2 với a,b > 0

xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi a =b

Dấu “=” của (1) xảy ra khi x= 4 x 1  x2 - 4x +1 = 0 (do x>

4

1

)

Giải phương trình này ta tìm đợc x= 2  3(thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy x= 2  3là nghiệm của phương trình

+ / Nhận xét :

Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau :

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)  a , g(x)  a

(a là hằng số )

Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời

f(x) =a và g(x) = a

+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x)  m hoặc h (x)  m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

+ Áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki