Phương pháp : Sử dụng tính đối nghịch hai vế + /.Các ví dụ : Ví dụ1: 3x x + Giải phương trình: x 10 x 14 = – 2x – x (1) Ta có vế trái (1) 3x x + x 10 x 14 = 3( x 1) + 5( x 1) + =5 Vế phải (1) : -2x –x2 = – (x + 1)2 Vậy hai vế x = -1 Do phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ2: Giải phương trình: x4 + x = x -10x + 27 (1) ĐKXĐ: x Xét vế phải (1) ta có : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + với x vế trái (1) ( ( ( x 1) ( ) x4 6x ) =1 hay 2 Vì phương trình (1) có nghiệm : x 10 x 27 2(*) x x 2(**) x4 + 6 x Giải phương trình (*) ta dợc x = giá trị thoả mãn (**) Vậy x =5 nghiệm phương trình (1) + / Bài tập áp dụng : x 12 x 16 + y y 13 = 3x x 12 + x 10 x = 3-4x -2x2 x 3x 3,5 = ( x x 2)( x x 4) Phương pháp : sử dụng tính đơn điệu hàm số : + / Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phương trình : x2 + x = (1) ĐKXĐ: x Ta thấy x =3 nghiệm với phương trình (1) Với x > x2 > , x > nên vế trái (1) lớn Với x< x -1 -1 x x < 1, nên vế trái (1) nhỏ Vậy x= nghiệm phương trình (1) x 1 < Ví dụ 2: Giải phương trình : x 28 + x 23 + x 1 + x = + (1) x x 1 x ĐKXĐ: Ta thấy x =2 nghiệm (1) + / Nhận xét : Khi giải phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm chúng Rồi tìm cách chứng minh nghiệm không nghiệm khác + /.Bài tập áp dụng : x 26 + x + 2 x + x3 = x 3x = x 2x + x2 x 1 Phương pháp : sử dụng điều kiện xảy dấu “ =” bất đẳng thức không chặt + / Các ví dụ Ví dụ1: Giải phương trình x2 + y 1995 + z 1996 = (x+y+z) ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996 Phương trình (1) x+y+z = x + y 1995 + z 1996 ( x 1) + ( y 1995 1) + ( z 1996 1) = x2 1 y 1995 z 1996 x y 1994 z 1997 ( thoã mãn ĐKXĐ ) Là nghiệm phương trình (1) Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x x + x 10 x 14 = – 2x – x2 3( x 1) + 5( x 1) = – (x+1) (*) Vế trái (*) 3( x 1) + Vế phải (*) – (x+1)2 5( x 1) + = Vì phương trình (*) có nghiệm hai vế phương trình (*) x+ = x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x =-1 Ví dụ3: x> Giải phương trình: x 4x + 4x =2 (1) x ĐKXĐ: áp dụng bất đẳng thức a b với a,b > b a xảy dấu “=” a =b Dấu “=” (1) xảy x= x x2 - 4x +1 = (do x> ) Giải phương trình ta tìm đợc x= (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy x= nghiệm phương trình + / Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần ý bước sau : + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a (a số ) Nghiệm phương trình giá trị x thoả mãn đồng thời f(x) =a g(x) = a + Biến đổi phương trình dạng h(x) = m (m số ) mà ta có h(x) m h (x) m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + Áp dụng bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki