PH NG PHÁP 2: S D NG BĐT CAUCHYƯƠ Ử Ụ 1. B t đ ng th c CauChyấ ẳ ứ : a) Cho a+b 0, b 0 2 ≥ ≥ ⇒ ≥a ab . Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ a= b b) Cho 3 a+b+c 0, b 0, c 0 3 ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc . Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ a= b = c c) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đ ng th c x y ra khi và ch khiẳ ứ ả ỉ 1 2 = = = n a a a 2. Ví dụ: 1) Cho 2 s d ng ố ươ a, b . Ch ng minh r ng:ứ ằ a) 2+ ≥ a b b a b) ( ) ( ) 1 4+ + ≥a b ab ab 2) Ch ng minh: ứ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1+ + + ≥ +a b c abc v i ớ a, b, c không âm. 3) Ch ng minh: ứ 3 9 4 2 3 4 9+ + ≥a b c abc 4) Ch ng minh: ứ + + ≥ + + xy yz zx x y z z x y v i x, y, z > 0ớ 5) Ch ng minh:ứ a) 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b v i a, b, c > 0ớ b) 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + a b c a b c b c c a a b 3. Bài t pậ : 1) Cho a, b, c > 0 . Ch nng minh:ứ a) ( ) 1 1 4 + + ≥ a b a b b) ( ) 1 1 1 9 + + + + ≥ a b c a b c c) 2 2 2 + + ≥ + +a b c ab bc ca d) ( ) ( ) 2 2 2 9+ + + + ≥a b c a b c abc e) + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c f) 4 4 4 9 2 2 2 + + ≥ + + + + + + + +a b c a b c a b c a b c g) 1 1 1 + + ≥ + + a b c bc ca ab a b c 2) Cho 1 2 , , , n a a a là các s th c d ng tho ố ự ươ ả 1 2 . 1= n a a a . Ch ng minh: ứ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2+ + + ≥ n n a a a 3) Cho x, y, z > 0. Ch ng minh ứ 2 2 2 2 2 2 + + ≥ + + x y z x y z y z x y z x 4) Ch ng minh: ứ 1 ! ; n N 2 + > ∈ n n n 5) Cho ba s d ng ố ươ x, y, z tho ả x + y + z =1 . Ch ng minh: ứ ( ) ( ) ( ) 8 . 729 x y y z z x xyz+ + + ≤ 6) Cho 1; b 1≥ ≥a Ch ng minh r ng: ứ ằ 1 1− + − ≤a b b a ab 7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 tho a + b + c = 1. Ch ng minh: ả ứ 6+ + + + + ≤a b b c c a 8) Ch ng minh ứ ( ) ( ) ( ) 8+ + + ≥x y y z z x xyz v i x, y, z > 0ớ 9) Cho các s d ng ố ươ x, y, z tho ả xyz=1 và n là 1 s nguyên d ng. Ch ng minh ố ươ ứ 1 1 1 3 2 2 2 + + + + + ≥ n n n x y z 10) Cho x, y, z là 3 s d ng. Ch ng minh ố ươ ứ 3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx 11) Cho a, b, c là 3 s th c b t kỳ tho a+b+c = 0. Ch ng minh ố ự ấ ả ứ 8 8 8 2 2 2+ + ≥ + + a b c a b c 12) Ch ng minh v i m i s th c ứ ớ ọ ố ự a, ta có: 2 4 4 8 3 3 2 − + + ≥ a a 13) Cho , , 0x y z > và th a ỏ 1x y z+ + = . Ch ng minh r ng ứ ằ 18 2 xyz xy yz zx xyz + + > + 14) Cho a, b, c, d > 0 . Ch ng minh ứ 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 + + + ≥ + + + a b c d b c d a a b c d 15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Ch ng minh ứ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 + + ≥ + +x y z x y z 16) Ch ng minh v i ứ ớ x, y là 2 s không âm tuỳ ý, ta luôn có: ố 3 3 2 3 17 18+ ≥x y xy 17) Ch ng minh ứ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 4 3 6 1 4 + + − − ≤ + + + a b c d a b c d v i ớ 5, 4, 3, 6a b c d> − > − > > 18) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh ứ ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2 + + + + ≥ + + + + + a b c a b c a b b c c a 19) Cho x, y, z > 0 Ch ng minh ứ 1 1 1 8 + + + ≥ x y z y z x 20) Ch ng minh ứ 2 2 3 2 2 x x x + ≥ ∀ ∈ + ¡ 21) Ch ng minh ứ 8 6 >1 1 x x x + ≥ ∀ − 22) Cho n s ố 1 2 , , , n a a a không âm tho ả 1 2 1+ + + = n a a a . Ch ng minh ứ 1 2 1 3 1 1 . . . 2 − − + + + ≤ n n n a a a a a a 23) Ch ng minh ứ + 1 1 , 2 n n n n n < + ∀ ∈ ≥¢ 24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Ch ng minh : ứ 1 1 1 1 1 1 64 + + + ≥ x y z 25) Cho 0, 0, 0≥ ≥ ≥x y z và 1 1 1 1 1 1 1x y z + + ≥ + + + . Ch ng minh ứ 1 8 ≤xyz 26) Ch ng minh: ứ 1 1 1 1 1 ; 1 n n n n n + + ≤ + ∀ ∈ + ¥ 27) Ch ng minh ứ ( ) + 1.3.5 2 1 n n n n− < ∀ ∈¢ 28) Cho 2 2 1+ =x y Ch ng minh ứ 2 2− ≤ + ≤x y 29) Cho 3 s th c ố ự x, y, z th a ỏ 3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x . Ch ng minh ứ 2 3 4 2 3 2 2 6 4 6 − + − + − + + ≤ xy z yz x zx y xyz 30) Cho ( ) ( ) ( ) 4 5= + −f x x x v i ớ 4 5 − ≤ ≤ x . Xác đ nh ị x sao cho f(x) đ t GTLNạ 31) Tìm GTNN c a các hàm s sau:ủ ố a) 3 ( ) = +f x x x v i x > 0ớ b) 1 ( ) 1 = + − f x x x v i x > 1ớ 32) Cho 0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x . Tìm GTLN c a ủ ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3= − − +A y x y x 33) Tìm GTLN c a bi u th c:ủ ể ứ 2 3 4− + − + − = ab c bc a ca b F abc v i ớ 3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a 34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN c a ủ 1 1 1 = + + + + + x y z P x y z (ĐHNT-1999) 35) Cho 3 s d ng ố ươ a, b, c th a ỏ a.b.c=1. Tìm GTNN c a bi u th c:ủ ể ứ 2 2 2 2 2 2 = + + + + + bc ca ab P a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000) 36) Ch ng minh các b t đ ng th c sau v i gi thi t ứ ấ ẳ ứ ớ ả ế , , 0a b c > : 1. 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2. 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 3. 4. 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + 5. 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 6. 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + 7. 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + 8. 3 3 3 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ≥ + + + + + + + + 37) Cho , ,x y z là ba s d ng th a mãn ố ươ ỏ 1xyz = . Ch ng minh r ng ứ ằ 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + (ĐH 2005) 38) Cho , ,x y z là các s d ng. Ch ng minh r ng ố ươ ứ ằ 4 4 4 3 3 3 1 ( ) 2 x y z x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + (ĐH 2006) 39) Gi s ả ử ,x y là hai s d ng thay đ i th a mãn đi u ki n ố ươ ổ ỏ ề ệ 5 4 x y+ = . Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ 4 1 4 S x y = + (ĐH 2002) 40) Cho , ,x y z là các s d ng và ố ươ 1x y z+ + ≤ . Ch ng minh r ng: ứ ằ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ (ĐH 2003) 41) Cho , ,x y z là các s d ng th a mãn ố ươ ỏ 1 1 1 4 x y z + + = . Ch ng minh r ng:ứ ằ 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + (ĐH 2005) 42) Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ x ∈ ¡ thì 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x + + ≥ + + (ĐH 2005) 43) Cho , ,x y z là các s d ng th a mãn ố ươ ỏ 1xyz = . Ch ng minh r ng:ứ ằ 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ (ĐH 2005) 44) Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ , 0x y > thì 2 9 (1 ) 1 1 256 y x x y + + + ≥ (ĐH 2005) 45) Cho , ,x y z th a mãn ỏ 0x y z+ + = . Ch ng minh ứ 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ (ĐH 2005) 46) Cho , ,a b c là ba s d ng th a mãn ố ươ ỏ 3 4 a b c+ + = . Ch ng minh r ng:ứ ằ 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ (ĐH 2005) 47) Cho , ,x y z th a mãn ỏ 3 3 3 1 x y z− − − + + = . Ch ng minhứ 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z y x z z x y+ + + + + + + ≥ + + + (ĐH 2006) 48) Tìm GTNN c a hàm s ủ ố 2 11 7 4 1 ( 0) 2 y x x x x = + + + > (ĐH 2006) 49) Cho ,x y là hai s d ng th a mãn đi u ki n ố ươ ỏ ề ệ 4x y+ ≥ . Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ 2 3 2 3 4 2 4 x y A x y + + = + (ĐH 2006) 50) Ba s d ng ố ươ , ,a b c th a mãn ỏ 1 1 1 3 a b c + + = . Ch ng minh r ng: ứ ằ (1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥ (ĐH 2001) 51) Gi s ả ử x và y là hai s d ng và ố ươ 1x y+ = . Tìm GTNN c a ủ 1 1 x y P x y = + − − (ĐH 2001) 52) Cho hai s th c ố ự 0, 0x y≠ ≠ th a mãn ỏ 2 2 ( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm GTLN c a bi u th c ủ ể ứ 3 3 1 1 A x y = + (ĐH 2006) 53) Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế 0 1y x≤ ≤ ≤ thì 1 4 x y y x− ≤ (ĐH 2006) . PH NG PHÁP 2: S D NG BĐT CAUCHY Ơ Ử Ụ 1. B t đ ng th c CauChy ẳ ứ : a) Cho a+b 0, b 0 2 ≥ ≥ ⇒ ≥a ab . Đ ng th c x y ra khi và