Phương pháp 7 sử dụng đồng dư thức

Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC Giải toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222  Giải: Có 2222  - (mod 7)  22225555 + 55552222  (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Lại có: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222  = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 4  Vì 43 = 64  (mod 7)  4  1111 1111   (mod 7)  22225555 + 55552222  (mod 7) Vậy 22225555 + 55552222  Ví dụ 2: CMR: n 1  33 n 1   22 với  n  N Giải: Theo định lý Fermat ta có: 310  (mod 11) 210  (mod 11) Ta tìm dư phép chia 24n+1 34n+1 cho 10  1 Có 24n+1 = 2.16n  (mod 10)  24n+1 = 10q + (q  N) Có 34n+1 = 3.81n  (mod 10)  34n+1 = 10k + (k  N) Ta có: n 1  33 n 1   10 q   10 k  = 32.310q + 23.210k +  1+0+1 (mod 2)  (mod 2) mà (2, 11) = Vậy n 1  33 n 1 Ví dụ 3: CMR: 2   22 với  n  N n 1   11 với n  N Giải : Ta có: 24  (mod)  24n+1  (mod 10)  24n+1 = 10q + (q  N)  22 n1  10 q  Theo định lý Fermat ta có: 210  (mod 11)  210q  (mod 11) 22 n 1   10 q2   4+7 (mod 11)  (mod 11) Vậy 24 n 1   11 với n  N (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR 2 n2   19 với n  N Bài 2: CMR với  n  ta có 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1  38 Bài 3: Cho số p > 3, p  (P) CMR 3p - 2p -  42p Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n  N) chia hết cho p HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Làm tương tự VD3 Bài 2: Ta thấy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1  Mặt khác 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) Vì 25  (mod 19)  5n-1  6n-1 (mod 19)  25n-1.10 + 6n-1  6n-1.19 (mod 19)  (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lẻ) Dễ dàng CM A  A   A  Nếu p =  A = 37 - 27 -  49  A  7p Nếu p   (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2)  p Đặt p = 3q + r (q  N; r = 1, 2)  A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k  N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)  A = 7k - - - = 7k - 14 Vậy A  mà A  p, (p, 7) =  A  7p Mà (7, 6) = 1; A   A  42p Bài 4: Nếu P =  22 - =  Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1  (mod p)  2m(p-1)  (mod p) (m  N) Xét A = 2m(p-1) + m - mp A  p  m = kq - Như p >  p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k  N chia hết cho p