Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC Giải toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 Giải: Có 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Lại có: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 4 Vì 43 = 64 (mod 7) 4 1111 1111 (mod 7) 22225555 + 55552222 (mod 7) Vậy 22225555 + 55552222 Ví dụ 2: CMR: n 1 33 n 1 22 với n N Giải: Theo định lý Fermat ta có: 310 (mod 11) 210 (mod 11) Ta tìm dư phép chia 24n+1 34n+1 cho 10 1 Có 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Có 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) Ta có: n 1 33 n 1 10 q 10 k = 32.310q + 23.210k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mà (2, 11) = Vậy n 1 33 n 1 Ví dụ 3: CMR: 2 22 với n N n 1 11 với n N Giải : Ta có: 24 (mod) 24n+1 (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) 22 n1 10 q Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11) 22 n 1 10 q2 4+7 (mod 11) (mod 11) Vậy 24 n 1 11 với n N (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR 2 n2 19 với n N Bài 2: CMR với n ta có 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 38 Bài 3: Cho số p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 42p Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hết cho p HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Làm tương tự VD3 Bài 2: Ta thấy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 Mặt khác 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) Vì 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19) 25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lẻ) Dễ dàng CM A A A Nếu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p Nếu p (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ) A = 7k - - - = 7k - 14 Vậy A mà A p, (p, 7) = A 7p Mà (7, 6) = 1; A A 42p Bài 4: Nếu P = 22 - = Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 (mod p) 2m(p-1) (mod p) (m N) Xét A = 2m(p-1) + m - mp A p m = kq - Như p > p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k N chia hết cho p