Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC Giải bài toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 2222 5555 + 5555 2222 7 Giải: Có 2222 - 4 (mod 7) 2222 5555 + 5555 2222 (- 4) 5555 + 4 5555 (mod 7) Lại có: (- 4) 5555 + 4 2222 = - 4 5555 + 4 2222 = - 4 2222 (4 3333 - 1) = 144 - 1111 32222 Vì 4 3 = 64 (mod 7) 014 1111 3 (mod 7) 2222 5555 + 5555 2222 0 (mod 7) Vậy 2222 5555 + 5555 2222 7 Ví dụ 2: CMR: 22533 1414 32 nn với n N Giải: Theo định lý Fermat ta có: 3 10 1 (mod 11) 2 10 1 (mod 11) Ta tìm dư trong phép chia là 2 4n+1 và 3 4n+1 cho 10 Có 2 4n+1 = 2.16 n 2 (mod 10) 2 4n+1 = 10q + 2 (q N) Có 3 4n+1 = 3.81 n 3 (mod 10) 3 4n+1 = 10k + 3 (k N) Ta có: 31021032 23533 1414 kq nn = 3 2 .3 10q + 2 3 .2 10k + 5 1+0+1 (mod 2) 0 (mod 2) mà (2, 11) = 1 Vậy 22533 1414 32 nn với n N Ví dụ 3: CMR: 1172 14 2 n với n N Giải : Ta có: 2 4 6 (mod) 2 4n+1 2 (mod 10) 2 4n+1 = 10q + 2 (q N) 2102 2 2 14 q n Theo định lý Fermat ta có: 2 10 1 (mod 11) 2 10q 1 (mod 11) 7272 2102 14 q n 4+7 (mod 11) 0 (mod 11) Vậy 1172 14 2 n với n N (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR 1932 26 2 n với n N Bài 2: CMR với n 1 ta có 5 2n-1 . 2 2n-1 5 n+1 + 3 n+1 .2 2n-1 38 Bài 3: Cho số p > 3, p (P). CMR 3 p - 2 p - 1 42p Bài 4: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng 2 n - n (n N) chia hết cho p. HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Làm tương tự như VD3 Bài 2: Ta thấy 5 2n-1 . 2 2n-1 5 n+1 + 3 n+1 .2 2n-1 2 Mặt khác 5 2n-1 . 2 2n-1 5 n+1 + 3 n+1 .2 2n-1 = 2 n (5 2n-1 .10 + 9. 6 n-1 ) Vì 25 6 (mod 19) 5 n-1 6 n-1 (mod 19) 25 n-1 .10 + 9. 6 n-1 6 n-1 .19 (mod 19) 0 (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3 p - 2 p - 1 (p lẻ) Dễ dàng CM A 2 và A 3 A 6 Nếu p = 7 A = 3 7 - 2 7 - 1 49 A 7p Nếu p 7 (p, 7) = 1 Theo định lý Fermat ta có: A = (3 p - 3) - (2 p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (3 3q+1 - 3) - (2 3q+r - 2) = 3 r .27 q - 2 r .8 q - 1 = 7k + 3 r (-1) q - 2 r - 1 (k N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ) A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14 Vậy A 7 mà A p, (p, 7) = 1 A 7p Mà (7, 6) = 1; A 6 A 42p. Bài 4: Nếu P = 2 2 2 - 2 = 2 2 Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có: 2 p-1 1 (mod p) 2 m(p-1) 1 (mod p) (m N) Xét A = 2 m(p-1) + m - mp A p m = kq - 1 Như vậy nếu p > 2 p có dạng 2 n - n trong đó N = (kp - 1)(p - 1), k N đều chia hết cho p . Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC Giải bài toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat Ví dụ 1: CMR:. nn với n N Giải: Theo định lý Fermat ta có: 3 10 1 (mod 11) 2 10 1 (mod 11) Ta tìm dư trong phép chia là 2 4n+1 và 3 4n+1 cho 10 Có 2 4n+1 = 2.16 n 2 (mod 10) 2 4n+1 =