N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀMPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM 1[.]
11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN DẠNG 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f (x) xác định k Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) k F (x) = f (x), ∀x ∈ k Tính chất nguyên hàm Z f (x) dx = f (x) + C Z Z Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA kf (x) dx = k f (x) dx với k 6= Z Z [f (x) ± g(x)] dx = Z f (x) dx ± g(x) dx Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Z • Nguyên hàm bảnZ dx = C • · dx = Nguyên hàm mở rộng x + C xα+1 • xα dx = + C, (α 6= −1) α+1 Z dx = ln |x| + C • Zx Z ex dx = ex + C • Z • ax dx = ax + C(0 < a 6= 1) ln a Z • cos x dx = sin x + C Z • sin x dx = − cos x + C Z dx = tan x + C Z cos x • dx = − cot x + C sin2 x • h Geogebra Pro Z • (ax + b)α dx = (ax + b)α+1 + C a α+1 Z 1 dx = ln |ax + b| + C a Z ax + b 1 • dx = − · + C a ax + b Z (ax + b) • eax+b dx = eax+b + C, (a 6= 0) a Z • cos(ax + b) dx = sin(ax + b) + C(a 6= 0) a Z • sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C a Z 1 • dx = tan(ax + b) + C a Z cos (ax + b) 1 • dx = − cot(ax + xb) + C a sin (ax + b) • Trang 115 11 TÍNH NGUN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN BÀI TẬP MẪU Ví dụ (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = cos x + 6x A sin x + 3x2 + C B − sin x + 3x2 + C C sin x + 6x2 + C D − sin x + C Lời giải Phân tích hướng dẫn giải Z Ta có: Z LỜI GIẢI ZCHI TIẾT Z (cos x + 6x) dx = cos x dx + 6x dx = Z cos x dx + x dx = sin x + 3x2 + C Chọn phương án A BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = sin x − 2x + A − cos x − x2 + x B − cos x − x2 + x + C C cos x − x2 + x + C D − cos x − x2 + x + C Lời giải Z Z Z Z Z Z Z Ta có (sin x − 2x + 1) dx = sin x dx − 2x dx + dx = sin x dx − x dx + dx = − cos x − x2 + x + C Chọn phương án B Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = ex + A ex + C B ex + x C ex + x + C Lời giải Z Z Z x x dx = ex + x + C Ta có (e + 1) dx = e dx + D −ex + x + C Chọn phương án C 3x3 − 2x2 + x B x3 − x2 + ln x + C D x3 − x2 + ln |x| + C Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = A x3 − x2 + ln x + C C x3 − x2 + ln |x| Lời giải h Geogebra Pro Trang 116 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn sử dụng tính chất để tính nguyên hàm hàm số HƯỚNG GIẢI: Z B1: Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = cos x + 6x (cos x + 6x) dx Z B2: Tính: (cos x + 6x) dx 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN 3x3 − 2x2 + dx = Ta có x ln |x| + C Z Z 3x − 2x + x Z Z x dx − dx = Z x dx + dx = x3 − x2 + x Chọn phương án D + 2x x 2x 2x B ln x + + C C − + + C ln x ln Câu Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A ln x2 + 2x · ln + C Lời giải Z x2 + 2x D + 2x · ln + C x 2x dx = − + + C x ln Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án C Câu hàm hàm số f (x) = x − sinZ 6x Z Tìm họ nguyên x cos 6x x2 sin 6x A f (x) dx = B − + C f (x) dx = − + C 6 Z Z x2 cos 6x x2 sin 6x C f (x) dx = + + C D f (x) dx = + + C 6 Lời giải Z Z f (x) dx = Z (x − sin 6x) dx = x dx − Z sin 6x dx = x2 cos 6x + + C Chọn phương án C x Câu Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = + tan2 2Z Z x x A f (x) dx = tan + C B f (x) dx = tan + C 2 Z Z x x f (x) dx = tan + C C D f (x) dx = −2 tan + C 2 Lời giải f (x) = + tan2 x = x nên cos2 Z Z f (x) dx = Z d x x dx = cos2 x = tan + C x cos2 2 Chọn phương án A Z Câu Tính (3 cos x − 3x ) dx A −3 sin x − 3x + C ln B −3 sin x + 3x + C ln C sin x + 3x + C ln D sin x − 3x + C ln Lời giải Z Z Z 3x x + C Ta có: (3 cos x − ) dx = cos x dx − 3x dx = sin x − ln Chọn phương án D Z Câu Nếu f (x) dx = ex + sin 2x + C f (x) h Geogebra Pro Trang 117 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN A ex + cos 2x B ex − cos 2x C ex + cos 2x D ex + cos 2x Lời giải ïZ Ta có f (x) = ò f (x) dx = (ex + sin 2x + C) = ex + cos 2x Chọn phương án C Z Câu Tìm nguyên hàm F (x) = (x + sin x) dx biết F (0) = 19 A F (x) = x2 + cos x + 20 B F (x) = x2 − cos x + 20 2 C F (x) = x2 − cos x + 20 D F (x) = x2 + cos x + 20 Lời giải Z Ta có: F (x) = (x + sin x) dx = x2 − cos x + C x2 − cos x + 20 Chọn phương án C Câu 10 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) = 3−5 cos x f (0) = Mệnh đề đúng? A f (x) = 3x + sin x + B f (x) = 3x − sin x − C f (x) = 3x − sin x + D f (x) = 3x + sin x + Lời giải Z Z Ta có f (x) = f (x) dx = (3 − cos x) dx = 3x − sin x + C Lại có: f (0) = ⇒ · − sin + C = ⇔ C = Vậy f (x) = 3x − sin x + Chọn phương án C 1 B F (x) = cos 4x + cos 2x + 4 1 D F (x) = − cos 4x − cos 2x + Câu 11 Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = sin 3x cos x, biết F (0) = C F (x) = − cos 4x − 13 cos 2x + A F (x) = − cos 4x + cos 2x + Lời giải Ta có Z F (x) = Z f (x) dx = sin 3x cos x dx = Z (sin 4x + sin 2x) dx = Z sin 4xd4x + Z sin 2xd2x 1 = − cos 4x − cos 2x + C 1 ⇒ − − + C = ⇒ C = ⇔ C = 8 1 Vậy F (x) = − cos 4x − cos 2x + F (0) = Chọn phương án D 3x − 3e−5x Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = e Z Z 3x −2x 3x −5x A e − 3e dx = e + e + C B e3x − 3e−5x dx = e3x − e−2x + C h Geogebra Pro Trang 118 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Mà F (0) = 19 ⇔ −1 + C = 19 ⇔ C = 20 ⇒ F (x) = 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN Z C e 3x −5x − 3e Lời giải Ta có: Z Z f (x) dx = e 3x dx = e −5x 3x − 3e −2x − 3e Z Z dx = D + C 3x e Z e3x − 3e−5x dx = 3e3x + 6e−2x + C −2x dx − e dx = Z e d3x + 3x Z e−2x d(−2x) = 3x −2x e + e + C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án A Câu 13 Cho F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = ex x3 − 4x Hàm số F (x) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Z Ta có: F (x) = f (x) dx ⇔ F (x) = f (x) ⇔ F (x) = ex x3 − 4x ñ x=0 Vậy: F (x) = ⇔ ex x3 − 4x = ⇔ x = ±1 Ta thấy phương trình F (x) = có nghiệm phân biệt nên F (x) đổi dấu qua nghiệm Vậy hàm số F (x) có điểm cực trị Chọn phương án C 3 2x + Câu 14 Cho hàm số f (x) = xác định ; +∞ ; F (x) nguyên hàm hàm số 2x − 2x + f (x) = thỏa mãn F (2) = Tìm F (x)? 2x − A F (x) = x + ln(2x − 3) + C F (x) = x + ln(2x − 3) + Lời giải Ta có Z F (x) = Z f (x) dx = 2x + dx = 2x − Z 1+ 2x − B F (x) = x + ln(2x − 3) + D F (x) = x + ln(2x − 3) + C Z dx = Z dx + d(2x − 3) = x + ln |2x − 3| + C 2x − = x + ln(2x − 3) + C Vì F (2) = ⇒ C = Vậy F (x) = x + ln(2x − 3) + Chọn phương án C Câu 15 Cho hàm số f (x) xác định R \ {1} thỏa mãn f (x) = Tính S = f (3) − f (−1) A ln + 4039 Lời giải Ta có h Geogebra Pro B 4039 C −1 f (0) = 2019; f (2) = 2020 x−1 D Trang 119 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN Z f (x) = Z f (x) dx = dx = x−1 Z d(x − 1) = ln |x − 1| + C = x−1 ® ln(x − 1) + C1 , x > ln(1 − x) + C2 , x < f (0) = 2019 ⇒ C2 = 2019 f (2) = 2020 ⇒ C1 = 2020 Khi đó: S = f (3) − f (−1) = ln + C1 − ln − C2 = C1 − C2 = 2019 − 2020 = −1 Chọn phương án C 2x2 − 7x + dx x−3 Z Câu 16 Tính nguyên hàm I = A I = x2 − x + ln |x − 3| + C C I = x2 − x + ln |x − 3| Lời giải Z Z 2x − + x−3 Z dx = Z Z x dx − dx + d(x − 3) = x2 − x + x−3 Chọn phương án A Z Câu 17 Tính nguyên hàm I = x2 2x − dx − 3x + A ln |x − 1| + ln |x − 2| + C C ln(x − 1) + ln(x − 2) + C Lời giải Ta có:Z Z I= 2x − dx = x − 3x + B ln |x − 1| + ln |x − 2| D = ln |x − 1| − ln |x − 2| + C 2x − dx = (x − 1)(x − 2) Z 1 + x−1 x−2 Z dx = d(x − 1) + x−1 Z d(x − 2) x−2 = ln |x − 1| + ln |x − 2| + C Chọn phương án A x2 + a 1 Câu 18 Cho biết F (x) = x3 + 2x − nguyên hàm f (x) = x x2 Z Tính I = sin2 ax dx? x − sin 2x + C x C I = + sin 2x + C x − sin 2x + C 2 x D I = − sin 2x AI= Lời giải Ta có: 2 Z x +a x2 2 x4 + 2ax2 + a2 dx = dx = x2 x3 = − a2 + 2ax + C x Z BI= a2 x + + 2a x Z Å Z ã dx = x2 + a 1 Do F (x) = x3 + 2x − nguyên hàm f (x) = x x2 x dx + a Z x −2 Z dx + 2a dx 2 nên a = Chú ý: Với ta làm theo cách khác sau đây: h Geogebra Pro Trang 120 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2x2 − 7x + dx = Ta có: I = x−3 ln |x − 3| + C B I = x2 + x + ln |x − 3| + C D I = x2 − x + ln(x − 3) + C 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN 2 x2 + a 1 1 = Do F (x) = x3 +2x− nguyên hàm f (x) = nên F (x) = f (x) ⇔ x3 + 2x − x x x 2 x2 + a + + = x2 + 2a + a ⇒ a = ⇔ x x2 Z x2Z x2 Z Z Z 1 x 1 − cos 2x 2 dx = dx − cos 2xd2x = − sin 2x + C Khi đó: sin ax dx = sin x dx = 2 4 Chọn phương án A Câu 19 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a, b, c ∈ R, a 6= 0) có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm, đồ thị hàm Z số f (x) cho hình vẽ bên Tính I = −1 O x xf (x) dx x5 − x3 + x2 + C x5 − x3 + x2 CI= x4 x2 − + 2x + C x5 − 3x3 + x2 + C DI= AI= Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA y −3 BI= Lời giải Giả sử f (x) = a1 x2 + b1 x + c1 Từ đồ thị hàm số f (x) ta thấy f (x) qua điểm A(−1; 0), B(1; 0), C(0; −3) nên: a − b + c = 1 a1 = a1 + b + c = ⇔ Z ⇒ f (x) = Z b1 = ⇒ f (x) = 3x2 − c1 = −3 c1 = −3 3x2 − dx = x3 − 3x + C f (x) dx = Giả sử (C) tiếp y = điểm có hồnh độ x0 âm nên x0 nghiệm hệ ® xúc với đường ® thẳng f (x) = phương trình ⇔ x − 3x + C = f (x) = (4) 3x2 − = Phương trình 3x2 − = ⇔ x = ±1 Do x0 âmZnên x0 = −1 Z⇒ C = ⇒ f (x) = x3 −Z3x + Vậy: I = xf (x) dx = x x3 − 3x + dx = x4 − 3x2 + 2x dx = x5 − x3 + x2 + C Chọn phương án A Câu 20 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) · f (x) = x4 + x2 biết f (0) = Tính f (2)? A f (2) = 315 15 B f (2) = 332 15 C f (2) = 324 15 D f (2) = 323 15 Lời giải Ta có Z Z x4 + x2 dx (f (x) · f (x)) dx = Z ⇔ h Geogebra Pro Z f (x)d (f (x)) = x dx + Z f (x) x x3 x dx ⇔ = + + C Trang 121 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN Mà f (0) = ⇒ C = ⇒ f (2) =2 32 332 + +2 = 15 Chọn phương án B Câu 21 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = 2x[f (x)]2 biết f (2) = − , f (x) 6= Tính f (1)? A f (1) = − B f (1) = −2 3 C f (1) = D f (1) = Lời giải Ta có f (x) = 2x[f (x)]2 ⇒ Z ⇒ f (x) = 2x f (x) f (x) dx = f (x) Z Z 2x dx ⇔ f (x) = Z (x)d (f (x)) = x dx ⇔ − = x2 + C(∗) f (x) 1 =4+C ⇔C = f (2) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Thay x = vào (∗) ta được: − f −2 −2 ⇒ f (1) = − 2x + Chọn phương án B h Geogebra Pro Trang 122 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÁT CỦATRIỂN NGUYÊN ĐỀ MINH HÀM HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN C 12 A D 13 C C 14 C C 15 C A 16 A D 17 A C 18 A C 19 A 10 C 20 B Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B 11 D 21 B h Geogebra Pro Trang 123