3 HƯỚNG GIẢI: Phân tích nhân tử mẫu số và đưa f x về thành hiệu hai phân thức.. Áp dụng công thức trong bảng nguyên hàm..[r]
(1)24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN DẠNG PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ Z Z xα dx = xα+1 + C với α 6= α+1 dx = ln |ax + b| + C với a 6= ax + b a BÀI TẬP MẪU x+2 trên khoảng (1; +∞) là x−1 B x − ln(x − 1) + C D x+ + C (x − 1)2 Ví dụ Họ tất các nguyên hàm hàm số f (x) = C x− + C (x − 1)2 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải 1) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm nguyên hàm 2) HƯỚNG GIẢI: Phân tích f (x) = x+2 =1+ x−1 x−1 Z Áp dụng công thức bảng nguyên hàm: f (x) dx = Z 1+ ln |x − 1| + C Z Vì x ∈ (1; +∞) nên f (x) dx = x + ln(x − 1) + C LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có Z Z Vì x ∈ Z (1; +∞) nên |x − 1| = x − Do đó f (x) dx = x + ln(x − 1) + C Chọn phương án A Z x+2 (x − 1) + f (x) dx = dx = dx x−1 x−1 Z 1+ dx = x + ln |x − 1| + C = x−1 x−1 dx = x + 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN A x + ln(x − 1) + C (2) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN trên khoảng (3; +∞) là − 4x + x−3 + C B ln x−1 D ln x2 − 4x + + C Câu Họ tất các nguyên hàm hàm số f (x) = x−3 + C x−1 C ln x2 − 4x + + C A ln x2 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải: 1) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính nguyên hàm 2) KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1 = (x − a)(x − b) a−b x−a − x−b với a 6= b Z dx = ln |ax + b| + C với a 6= ax + b a a ln a − ln b = ln với a, b > b Z x−a dx = ln với a 6= b (x − a)(x − b) a−b x−b 3) HƯỚNG GIẢI: Phân tích nhân tử mẫu số và đưa f (x) thành hiệu hai phân thức Áp dụng công thức bảng nguyên hàm Chú ý điều kiện x ∈ (3; +∞) để khử dấu giá trị tuyệt đối Ta có lời giải cụ thể sau: Ta có: Z Z Z dx f (x) dx = = dx x2 − 4x + (x − 1)(x − 3) Z 1 1 = − dx = (ln |x − 3| − ln |x − 1|) + C x−3 x−1 x−3 = ln + C x−1 Vì x ∈ Z (3; +∞) nên |x − 1| = x − 1; |x − 3| = x − Do đó f (x) dx = x−3 ln + C x−1 Chọn phương án B (3) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Cho F (x) là nguyên hàm f (x) = Tìm F (x) A F (x) = ln(x − 1) + C F (x) = ln(x − 1) Lời giải Z trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e+1) = x−1 B F (x) = ln(x − 1) + D F (x) = ln(x − 1) − dx + C = ln |x − 1| + C x−1 Vì x ∈ (1; +∞) nên F (x) = ln(x − 1) + C Lại có F (e +Z1) = Suy + C = hay C = Vậy F (x) = dx + C = ln |x − 1| + x−1 Ta có: F (x) = Chọn phương án B A F (1) = ln − 2 B F (1) = ln + Lời giải Z Ta có F (x) = 1 dx = ln |2x + 1| + C 2x + Lại có: F (0) = ⇔ Vậy F (x) = ln |2 · + 1| + C = ⇔ C = 2 1 ln |2x + 1| + ⇒ F (1) = ln + 2 Chọn phương án D Câu Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {1} thỏa mãn f (x) = với x 6= Biết x−1 f (0) = 2017 và f (2) = 2018 Tính S = f (3) − f (−1) A S = ln 4035 B S = C S = ln D S = Lời giải Z Trên khoảng (1; +∞) ta có f (x) = Z f (x) dx = Mà f (2) = 2018, suy C1 = 2018 Z Z Trên khoảng (−∞; 1) ta có f (x) = f (x) dx = dx = ln(x − 1) + C1 x−1 dx = ln(1 − x) + C2 x−1 Mà f (0) = 2017 ® , suy C2 = 2017 ln(x − 1) + 2018 x > Vậy f (x) = ln(1 − x) + 2017 x < Suy f (3) = ln + 2018 và f (−1) = ln + 2017 Vậy S = f (3) − f (−1) = Chọn phương án D 2x + thỏa mãn F (2) = Tìm F (x) 2x − B F (x) = x + ln(2x − 3) + Câu Cho F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = A F (x) = x + ln |2x − 3| + 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Biết F (0) = 2, hãy tính F (1) 2x + 1 C F (1) = ln − D F (1) = ln + 2 Câu Cho F (x) là nguyên hàm hàm f (x) = (4) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN C F (x) = x + ln |2x − 3| + Lời giải Z Z 2x + dx = 1+ Ta có F (x) = D F (x) = x + ln |2x − 3| − dx = x + ln |2x − 3| + C 2x − 2x − Lại có F (2) = ⇔ + ln |1| + C = ⇔ C = Vậy nguyên hàm cần tìm là F (x) = x + ln |2x − 3| + Chọn phương án C Z b 4x + dx = ax − ln(2x + 3) + C với x ∈ − ; +∞ (a, b là các tham số thực) Câu Cho biết 2x + Mệnh đề nào sau đây? A 2a − b = −1 Lời giải Z Z B 2a − b = −3 C 2a − b = D 2a − b = 4x + dx = 2x − ln |2x + 3| + C dx = 2− +3 2x + 2x Vì x ∈ − ; +∞ nên |2x + 3| = 2x + Z 4x + Do đó dx = 2x − ln(2x + 3) + C Vậy a = 2, b = 5, suy 2a − b = −1 2x + Ta có: Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án A 2x2 + a trên khoảng (0; +∞) (a là tham Câu Biết F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = x số thực) Biết F (1) = F (e) = Tìm a A a = −1 B a = − e2 C T = + e2 D a = Lời giải Ta có Z F (x) = = 2x2 + a dx x Z f (x) dx = Z a 2x + x dx = x2 + a ln |x| + C Vì x ∈ (0; +∞) nên |x| = x Suy F (x) = x2 + a ln x + C Theo giả thiết: ® ® F (1) = F (e) = ⇔ 1+C =2 ⇒ a = − e2 e +a+C =2 Vậy a = − e2 Chọn phương án B Câu Họ tất các nguyên hàm hàm số f (x) = x2 + ln(x + 3) + C x2 C + ln(x + 3) + C A Lời giải x2 + 3x + trên khoảng (−3; +∞) là x+3 B x + ln(x + 3) + C D x2 − ln(x + 3) + C (5) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ta có Z Z f (x) dx = PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x2 + 3x + dx = x+3 Z x+ x+3 dx = x2 + ln |x + 3| + C Vì x ∈ Z (−3; +∞) nên |x + 3| = x + Do đó f (x) dx = x2 + ln(x + 3) + C Chọn phương án A Z Câu Biết x + 4x + x+1 a a + C với là phân số tối giản Mệnh đề nào sau đây ln b x+3 b B a + b = dx = x + 4x + Z D a − b = C 2a + b = 3 dx = (x + 1)(x + 3) Z 1 − dx x+1 x+3 3 x+1 (ln |x + 1| − ln |x + 3|) = ln = + C 2 x+3 Vậy a = 3, b = 2, suy 2a + b = Chọn phương án C Z 2x − 13 Câu 10 Biết dx = a ln |x + 1| + b ln |x − 2| + C Mệnh đề nào sau đây đúng? (x + 1)(x − 2) A a + 2b = B a + b = C 2a − b = D a − b = Lời giải Ta có Z 2x − 13 dx = (x + 1)(x − 2) Z − dx x+1 x−2 Z Z 1 = dx − dx x+1 x−1 = ln |x + 1| − ln |x − 2| + C Suy a = và b = −3 Do đó, a − b = Chọn phương án D Z1 Câu 11 Biết I = (x − 1)2 dx = a ln b + c với a, b, c là các số nguyên Tính tổng T = a + b + c x2 + A T = Lời giải B T = C T = D T = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN đúng? A a + 2b = Lời giải Ta có: Z dx = (6) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có Z1 I = (x − 1)2 dx = x2 + = Z1 1− 2x x +1 dx x − ln x2 + = − ln Suy a = −1, b = 2, c = Vậy a + b + c = Chọn phương án D √ Câu 12 Biết hàm số F (x) = (ax + b) 4x + (a, b là các tham số thực) là nguyên hàm 12x Tính a + b 4x + A a + b = B a + b = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA hàm số f (x) = √ Lời giải Ta có C a + b = D a + b = √ 2x 6ax + a + 2b F (x) = a 4x + + (ax + b) · √ = √ 4x + 4x + Vì F (x) là nguyên hàm f (x) nên 6ax + a + 2b 12x √ =√ , ∀x > − ⇔ 4x + 4x + ® 6a = 12 a + 2b = ® ⇔ a=2 b = −1 Do đó a + b = Chọn phương án B Câu 13 Biết F (x) = ax2 + bx + c √ 2x − (a, b, c là các số nguyên) là nguyên hàm hàm 3 − 30x + 11 √ số f (x) = ; +∞ Tính T = a + b + c trên khoảng 2x − A T = B T = C T = D T = 20x2 Lời giải Ta có √ F (x) = (2ax + b) 2x − + ax2 + bx + c · √ 2x − (2ax + b)(2x − 3) + ax + bx + c √ = 2x − 5ax + (3b − 6a)x − 3b + c √ = 2x − Vì F (x) là nguyên hàm f (x) nên 5ax2 + (3b − 6a)x − 3b + c 20x2 − 30x + 11 √ √ = , ∀x > − 2x − 2x − ⇔ 5a = 20 a = 3b − 6a = −30 ⇔ − 3b + c = 11 b = −2 c = (7) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Suy T = Chọn phương án D + m − thỏa mãn F (0) = và x+1 Câu 14 Biết F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = √ F (3) = (m là tham số thực) Tính m A m = −2 B m = C m = −3 Lời giải Z Å Ta có F (x) = ã √ +m−1 x+1 dx = √ D m = x + + (m − 1)x + C Theo giả thiết, ta có ® F (0) = ® ⇔ F (3) = C +1=0 ® ⇔ C + 3m = C = −1 m = √ √ trên khoảng (−1; +∞) x+3− x+1 Câu 15 Họ tất các nguyên hàm hàm số f (x) = √ là √ √ A (x + 3) x + − (x + 1) x + + C √ √ 1 C (x + 3) x + + (x + 1) x + + C Lời giải Ta có: Z √ √ 3 (x + 3) x + + (x + 1) x + + C √ √ 1 D (x + 3) x + + (x + 1) x + + C B √ x+3+ x+1 f (x) dx = dx Z h h 1i 3i 1 = (x + 3) + (x + 1) + C (x + 3) + (x + 1) dx = √ √ 1 = (x + 3) x + + (x + 1) x + + C Z dx √ √ = x+3− x+1 Z √ Chọn phương án C Câu π 16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = sin 2x + cos x với x ∈ R Biết f (π) = Tính f π π π π Af = B f = C f = Df = 2 Lời giải Ta có: Z Z (sin 2x + cos x) dx = − cos 2x + sin x + C 1 Từ giả thiết f (π) = 0, ta có − + C = hay C = 2 1 Do đó, f (x) = − cos 2x + sin x + π Vậy f = + + = 2 f (x) = f (x) dx = 2 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Vậy F (x) = x + + 2x − Chọn phương án B (8) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án C Câu 17 Biết F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = 3e2x + Biết F (0) = Tìm F (x) 3 2x C F (x) = e + 2x A F (x) = e2x + 2x − B F (x) = 3e2x + 2x − 3 D F (x) = − e2x + 2x + Lời giải Ta có: Z F (x) = Z f (x) dx = 3e2x + dx = e2x + 2x + C 3 Từ giả thiết F (0) = 0, suy e0 + C = hay C = − 3 Vậy F (x) = e2x + 2x − Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án A Câu 18 Biết F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = + a · ex (a là tham số thực) Biết F (0) = 2, F (1) = Tính T = (1 − e) · a A T = −1 B T = −2 C T = e D T = Lời giải Z Z Ta có F (x) = f (x) dx = (2 + a · ex ) dx = 2x + aex + C Theo giả thiết: ® F (0) = ® ⇔ F (1) = Vậy T = (1 − e) · a+C =2 a·e+C =0 ⇒a= 1−e = 1−e Chọn phương án D f (x) + ex Câu 19 Hàm số f (x) có nguyên hàm là F (x) = e2x Tìm nguyên hàm hàm số Z Z f (x) + f (x) + x −x dx = e − e + C dx = 2ex − e−x + C A B x x e e Z Z f (x) + 1 x f (x) + x −x C dx = 2e + e + C D dx = e − e−x + C x x e e Lời giải Vì hàm số y = f (x) có nguyên hàm là F (x) = e2x nên ta có f (x) = F (x) = 2e2x Do đó: Z Z Z f (x) + 2e2x + x −x x −x ex dx = ex dx = 2e + e dx = 2e − e + C Chọn phương án B Câu 20 Cho F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = S phương trình 3F (x) + ln (ex + 3) = A S = {2} B S = {−2; 2} Lời giải 1 Biết F (0) = − ln Tìm tập nghiệm ex + 3 C S = {1; 2} D S = {−2; 1} (9) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ta có: Z F (x) = dx = x e +3 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ex 1− x e +3 Z Å Do đó, 3F (x) + ln (ex + 3) = ⇔ x = Vì F (0) = − ln nên C = Vậy F (x) = ã dx = (x − ln (ex + 3)) + C (x − ln (ex + 3)) Chọn phương án A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN (10) 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B 11 D B 12 B D 13 D D 14 B C 15 C A 16 C B 17 A A 18 D C 19 B 10 D 20 A (11)