Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt1 cos.. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm
Trang 1CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x, tức là u u x= ( ) *Trường hợp đặc biệt u ax b a= + , ≠0
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
dx x C= +
k dx k x C= +
∫ , k là hằng số ∫k du k u C = +
1 1
x
x dxα α C
α
+
+
α
+
+
1
ax b
a
α α
α
+ +
+
∫
1dx ln x C
(ax b)dx=a ax b C+ + +
∫
2dx x C
x = − +
u dx= − +C
∫
1
2
a
+
∫
*Nguyên hàm của hàm số mũ
C
e dx e= +
a
∫
C
e− dx= −e− +
, 0 1
ln C a
x
a
x
a dx
a+ < ≠
=
a du
a+
=
m
mx n a
mx n
∫
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
cos x dx=sinx+C
cos(ax b dx) sin(ax b) C
a
∫ sin x dx= −cosx C+
∫ ∫sin u du= −cosu+C sin(ax b dx) 1cos(ax b) C
a
∫
2
cos x dx= x C+
cos u du= u C+
cos (ax b)dx=a ax b+ +C
+
∫
2
sin x dx= − x C+
2 sin u du= − u C+
2 sin (ax b)dx= −a g ax b+ +C
+
∫
Trang 2Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
1 cos sin
k
kx dx= kx C+
2
1 cos 2 x dx= sin 2x C+ k=
∫ 1
sin cos
k
kx dx= − kx C+
1
C k
1
1 ( )
1
ax b
a
α α
α
+ +
+
∫
2 1
.(
1 (2 1) (2x 1) dx x + C = 2x 1) C
+
+
∫
ln (ax b)dx=a ax b C+ +
+
3x 1dx= x− +C
−
∫
.2
a
+
3x 5du= x+ +C= x+ +C +
∫ 1
a
1
m
mx n a
mx n
2
2 1 1
2 1
ln 5
x
∫ 1
cos(ax b dx) sin(ax b) C
a
∫ ∫cos(2x+1)dx=21sin(2x+ +1) C
1 sin(ax b dx) cos(ax b) C
a
∫ ∫sin(3x−1)dx= −31cos(3x− +1) C
2
cos (ax b)dx=a ax b+ +C
+
cos (2x 1)dx= x+ +C
+
∫
cot( ) 2
sin (ax b)dx= −a ax b+ +C
+
sin (3x 1)dx= − x+ +C
+
∫
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax b= + ⇒du=.?.dx⇒dx=.?.du
cos(ax b dx) sin(ax b) C a
∫
Giải: Đặt ( b dx a dx) ' dx 1.du
a
cos(ax b dx) cos u du cos u du sinu C sin(ax b) C
I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
Trang 3A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất
10
9
) ( ) 2 - kq: ( )=
x
2 3
) ( ) 3 1 kq: ( )
ln 3 2
x
2
) ( ) +3 kq: ( ) 2ln 3
) ( ) 2sin kq: ( ) 2cos
cos
) ( )
3
x
x
e f x
3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số
a f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS F(x) = 3 3 2 ln
x − x + +C
b f(x) = 2 4 3
2
x
x
+ ĐS F(x) = C
x
x −3+ 3
2 3
c f(x) = x 21
x
−
ĐS F(x) = ln x 1
x+C
+
d f(x) = (x2 21)2
x
− ĐS F(x) = 3 1
2 3
x
− + +
e f(x) = x+3x+4x ĐS F(x) =
4
3
C
f f(x) = 1x 32
x
− ĐS F(x) = 2 x−33 2x +C
g f(x) = ( x 1)2
x
− ĐS F(x) = x−4 x+ln x +C
h f(x) = x3 1
x
−
ĐS F(x) = 53 23
x −x +C
2
6
) ( ) 3 4 : ( ) 4
6
) ( ) 5 2 1 : ( )
) ( ) 3 3 2
3
x
x
= − + + − : ( ) 2 7 1 6 3 2
) ( ) (2 3 )( ) 3 : ( )
2
x
* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a b+ )2=a2+2ab b+ 2
Bài 3 : Tìm
Trang 41 3 2 ) ( 2)( 4) kq: ( ) 8
3
) ( 3)( 1) kq: ( ) 3
2
) 3( 3)
∫
∫
−
∫ kq: ( ) 3 9 2 27
) kq: ( ) 5
2
)
x
x
∫
∫
1 4
2
2 3 5 2
) 2 kq: ( ) 5
2
2
( 4)
)
2
x
x x
x
x
x
x
+
∫
∫
+
∫ kq: ( ) 8ln x 16
x
Bài 4 Tìm
4
) ( 5) kq: ( ) 2 5
7
) ( 2 4 1) kq: ( ) 2 2
2 ) ( 2 )( 1)
x x
−
∫
∫
− + kq: ( ) 3 2 1
3
) (2 1)(1 ) kq: ( ) ln
x
x
x
∫
∫
Bài 5: Tìm
2.3 4 ) (2.3 4 ) kq: ( )
ln 3 ln 4
2 5 ) (2 5 ) kq: ( )
ln ln 5 1
) (3 5sin )
a
a x
x
∫
∫
∫ kq: ( ) 3 5cos ln
) (2 2 ) kq: ( ) 2 tan
os
) 2 3 kq:
x
x e
x x
−
∫
ln 3 90 2
) 2 3 5 kq: ( )
ln 90 ) (2 ) kq: 2
)
2
x
x
x
e
∫
−
∫
∫ kq:
(1 ln 2)2
x
x +
−
Trang 5Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số
1 2
) sin kq: ( ) ( sin )
2
) (2 sin )
2
1 2
) cos kq: ( ) ( sin )
) (2 cos )
2
1 os2 2
: sin ; os
2
x
x
x
x
∫
+
∫
∫
+
∫
−
2 2
) (1 tan ) kq: ( ) tan
2
) (1 cot ) kq: ( ) cot
2
) tan kq:
x
+
=
∫
∫
2
) cot kq: ( ) cot
2 ) (tan cot ) kq: ( ) tan cot 4
) (2 tan cot
= − +
= − − +
∫
+
∫
2 ) kq: ( ) 4 tan cot
1
) 2 2 kq: ( ) tan cot
sin os
os2
) 2 2 k
sin os
x c x
x c x
∫
∫
q: ( ) tan cot
: sin os 1; os2 os sin
∫
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng
2 ) '( ) 2 1; (1) 5 kq: f ( ) 3
3 7
2 ) '( ) 2 ; (2) kq: f ( ) 2 1
1 ) '( ) 2 2; (1) 2 kq: f ( )
x
x
x
2
) '( ) 4 ; (4) 0 kq: f ( )
) '( ) 4 3 2; ( 1) 3 kq: f ( ) 2 3
3 3
) '( ) 1; (1) 2 kq:
x x
x x x
+ + −
3 3
f ( )
3 ) '( ) ( 1)( 1) 1; (0) 1 kq: f ( ) 1
3
) '( ) 3( 2) ; (0) 8 kq: f ( ) ( 2)
x
x
Trang 6Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng
2 1 5 ) '( ) 2; ( 1) 2, (1) 4 kq: f ( )
3
) '( ) ; (1) 4, (4) 9 kq: f ( )
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒dt =u'(x)dx
I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫(5x−1)dx 2 ∫(3−2x)5
dx
3 ∫ 5−2x dx 4 ∫ 2x dx−1
5 ∫(2x2 +1)7xdx 6 ∫(x3 +5)4x2dx 7 x2 1.xdx
∫ + 8 ∫ + dx
x
x
5
2
9 ∫ + dx
x
x
3
2
2
5
3
10 ∫ x(1+ x)2
dx
11 dx
x
x
∫ln3 12 ∫x e x2 + 1dx
13 ∫sin4 x cos xdx
14 ∫ dx
x
x
5
cos
sin
15 ∫cotgxdx 16 ∫costgxdx2 x
17 ∫sindx x 18 ∫cosdx x 19 ∫tgxdx 20 ∫ dx
x
e x
21 ∫ x −3
x
e
dx
e
22 ∫ dx
x
e tgx
2
cos 23 ∫ 1−x 2 dx 24 ∫ 4 x− 2
dx
25 ∫x2 1−x2.dx 26 ∫1 x+ 2
dx
27 ∫ − 2
2
1 x
dx x
28 ∫x2 +x+1
dx
29 ∫cos3xsin2 xdx 30 ∫x x−1.dx 31 ∫e x +1
dx
32 x3 x2 1.dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx
Hay
∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫x sin xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 +5)sinxdx
4∫(x2 +2x+3)cosxdx
5 ∫xsin2xdx 6 ∫xcos2xdx 7 ∫x.e x dx 8 ∫lnxdx
Trang 79 ∫x ln xdx 10 ∫ln2 x dx 11 ∫lnxdx x 12 ∫e x dx
13 ∫ dx
x
x
2
cos 14 ∫xtg2xdx
15 ∫sin x dx 16 ∫ln(x2 +1)dx
17 ∫e x.cosxdx 18 ∫x3e x2dx
19 ∫xln(1+x2)dx
20 ∫2x xdx
21 ∫x lg xdx 22 ∫2xln(1+x)dx 23 ∫ + dx
x
x
2
) 1 ln(
24 ∫x2cos2xdx