20 bai tap tinh chat phan thuc dai so co dap an

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Phương pháp giải Phân thức đại số  Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức ) biểu thức có dạng A , A, B B đa thức B khác đa thức A gọi tử thức ( hay tử), B gọi mẫu thức ( hay mẫu)  Mỗi đa thức gọi phân thức có mẫu thức  Mỗi số thực a phân thức  Hai phân thức A C gọi A.D  B.C B D A C A.D  B.C  B D Tính chát phân thức  Tính chất - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho: A A.M ( M đa thức khác đa thức 0)  B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho: A A: N ( N nhân tử chung 0)  B B:N  Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho: A A  B B II Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng: x  16 A  x2  2x x Giải Tìm cách giải Để tìm đa thức A, dùng A C khi: A.D  B.C  B D Trình bày lời giải x  16 A Từ  suy x  2x x A x  x  16  x2  x x  x   42  x  x   x   x.2  x    x       x  2x x  x  2 x  x  2   x  2  4x  Ví dụ 2: Cho  x  y x  y  5xy Tính giá trị P  2016 x  2017 y 3x  y Giải Tìm cách giải Quan sát, nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai biến x, y, kết luận phân thức mà tử mẫu đa thức bậc biến x, y Do tìm mối quan hệ x y từ giả thiết để biểu diễn x theo y ngược lại Với suy nghĩ ấy, phân tích đa thức thành nhân tử từ điều kiện thứ hai Trình bày cách giải Từ x  y  xy  x  5xy  y  x  xy  xy  y    x  y  x  y   Ta có y  x   y  x  x  y   x  y   y  x Từ ta có: P  2016 x  2017.2 x  6050 3x  2.2 x Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãn x  y  xy  x  y  13  Tính giá trị biểu thức H  x  xy  52 x y Giải Từ giả thiết suy x  xy  y  y  x  y  13    x  y    x  y    y2  y     x  y  3   y    2 x  y    x     y  2 y   Từ ta có H  25  7.5  2   52  21 5 Ví dụ 4: Cho biểu thức x  x   Tính giá trị x6  3x5  3x  x3  2020 Q x  x  3x  3x  2020 Giải Tìm cách giải Ta khơng thể tìm x để thay vào biểu thức được, kết x số tự nhiên, thay vào Q tính phức tạp Do ta có hai định hướng:  Hướng suy nghĩ thứ nhất, viết tử thức mẫu thức dạng  x  x  1 q(x)  r(x) xem phần phép chia đa thức, từ ta tìm Q  Hướng suy nghĩ thứ hai, quan sát thấy có dạng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để xuất thành tử thức mẫu thức Trình bày lời giải Cách  Ta có: x  3x5  3x  x3  2020   x  x  1 x  x  x  x  1  2021  Ta có: x  x3  3x  3x  2020   x  x  1 x  x  x  x  1  2021 Với x  x   tử số 2011; mẫu số 2021 Vậy Q  2021  2021 Cách  Ta có: x  x    x  x   x   x  1  x  x3  3x  3x   x  x  3x  3x  Suy mẫu số bằng:  2020  2021  Ta có: x2  x 1   x2  x    x2  x    x  3x5  3x  x3  Suy tử số bằng:  2020  2021 Vậy Q  2021  2021 n2  Ví dụ 5: Cho P  với n số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên n khoảng từ n5 đến 2020 cho giá trị P chưa tối giản Giải Ta có: P  n2  29 với n  N  n5 n5 n5 Để phân số P chưa tối giản ƯCLN  29; n  5  d (d  1) Khi n  5Md 29Md  d  29  n  5M29 Hay n   29k  k  N    n  29k  Mà  n  2020   29k   2020  29k  2025  24  k  69  k 1, 2,3 ,69 29 29 Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n  29k  với k  1, 2,3 , 69 Ví dụ Với giá trị x thì: a) Giá trị phân thức A  10 dương; x 9 b) Giá trị phân thức B  10 âm; x  21 c) Giá trị phân thức C  x  21 dương x  10 Giải Tìm cách giải Khi giải dạng tốn chứng ta cần sử dụng kiến thức sau:  Phân thức A có giá trị dương A B dấu B  Phân thức A có giá trị âm A B trái dấu B Trình bày lời giải a) 10   x    x  x 9 b) 10   x  21   x  21 x  21 x  21   x  21 x  10 dấu; mà x  10  x  21 nên x  21  x  10   x  21 x  10 x  10 c) III Bài tập vận dụng 1.1 a) Tìm đa thức A, cho biết A x  3x   x2 x2  b) Tìm đa thức M, cho biết M x  3x   x 1 x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Dùng định nghĩa, ta có: a) A   x  1 b) M  x  x  Nhận xét Bạn dùng tính chất phân thức để giải 1.2 Cho a b số thỏa mãn a  b  a3  a 2b  ab2  6b3  Tính giá trị biểu thức B a  4b4 b  4a Hướng dẫn giải – đáp số Từ a3  a 2b  ab2  6b3   a3  2a 2b  a 2b  2ab2  3ab2  6b3    a  2b   a  ab  3b   Vì a  b   a  ab  3b2  a  2b   a  2b Vậy B  a  4b4 16b4  4b4 12b4 4    4 4 b  4a b  64b 63b 21 1.3 Cho a, b thỏa mãn 10a2  3b2  5ab  9a  b2 Tính giá trị biểu thức P  2a  b 5b  a  3a  b 3a  b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P  P  2a  b  3a  b    5b  a  3a  b   3a  b  3a  b  6a  2ab  3ab  b2  15ab  5b2  ab 3a  6b2  15ab  9a  b2 9a  b2 Từ giả thiết 10a  3b2  5ab   5ab  3b2  10a 3a  6b2  9b2  30a 27a  3b2 Từ suy P    3 9a  b2 9a  b2 1.4 Số lớn hơn: A  2020  2015 20202  20152 B  20202  20152 2020  2015 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có A  2020  2015 20202  20152 2020  20152    2020  2015  2020  20152 20202  20152  A B 1.5 Với giá trị x thì: a ) Giá trị phân thức A  dương; x2 b) Giá trị phân thức B  3 âm; x 3 c) Giá trị phân thức C  x 1 dương x 5 Hướng dẫn giải – đáp số a) A    x    x  x2 b) B  3   x    x  x 3 c) C  x 1   x  x  dấu; mà x 1  x  nên x   x    x  x 5 x  1.6 Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) n3  phân số không tối giản n5  n  b) 6n  phân số tối giản 8n  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có n  n  1  n2  n  1 n5  n  n  n   n  1  n2  n  1  n2  1 n2  n  1   n  1  n2  n  1 n2  n3  1   n2  n  1 với số nguyên dương n n2  n   nên không tối giản b) Đặt ƯCLN  6n  1;8n  1  d với d  N *  6n  1Md  24n  4Md 8n  1Md  24n  3Md   24n     24n  3Md  1Md  d  n3  phân số n5  n   ƯCLN  6n  1;8n  1   Phân số tối giản 1.7 Tìm giá trị lớn phân thức sau: A ; x  2x  B 4x  4x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A   x  1 3  1  Giá trị lớn A x  1 b) Ta có B   x  1 2  Giá trị lớn B x  2 1.8 Cho x  y  11z;3x  y  z Tính giá trị Q  x  3xy x2  y Hướng dẫn giải – đáp số Từ x  y  11z 3x  y  z suy 5x  15z  x  3z Từ x  y  11z x  3z suy y  5z Thay vào biểu thức: Q  x  3xy 18 z  45 z 9   x2  y z  75 z 28 1.9 Cho a, b thỏa mãn 5a2  2b2  11ab a  2b  Tính giá trị biểu thức A  4a  5b2 a  2ab Hướng dẫn giải – đáp số 5a  b  thỏ a mã n  a  2b (loaïi ) Từ giả thiết: 5a  2b  11ab   5a  b  a  2b     Thay 5a  b vào A ta được: A  4a  125a  11 a  10a 1.10 Cho 4a  b2  5ab 2a  b  Tính giá trị P  ab 4a  b 2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: 4a  b2  5ab  4a  b2  5ab   4a  4ab  ab  b   4a  b(loaïi )   4a  b  a  b     a mã n)  a  b(thỏ Suy a  b Thay vào P ta được: P  a2  3a x x  3x3  18x  1.11 Cho x thỏa mãn  Tính giá trị biểu thức P  x  x2  x  x  x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: x  suy x  x   x  x  3x   x  x 1 2 Ta có: x  3x  18 x    x  3x  1 x  1  15 x x3  x  x    x  3x  1  x  1  x  x  3x  1 x  1  15x  15x   3x   ta có P   x  3x  1  x  1  x x Với x 2 1.12 Cho x,y thỏa mãn x  xy  y  x  y   Tính giá trị biểu thức N  3x y  xy Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x  xy  y  x  y    x  xy  y  y  x  y  y     x  y  1   y    2 Dấu xảy x  y   y   hay y  2; x  1  1  2    Từ suy N   1 2  1.13 Cho a, b hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 2a2  a  3b2  b Chứng minh a b phân số tối giản 2a  2b  ( Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 20132014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ 2a  a  3b2  b  2a  2b  a  b  b   a  b  2a  2b  1  b (1) Đặt ƯCLN (a  b;2a  2b 1)  d  a  bMd ;2a  2b  1Md bMd   2a  2b    a  b   Md  4b  1Md mà b Md hay d   a  b 2a  2b  nguyên tố suy a b phân số tối giản 2a  2b 