PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Phương pháp giải Phân thức đại số Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức ) biểu thức có dạng A , A, B B đa thức B khác đa thức A gọi tử thức ( hay tử), B gọi mẫu thức ( hay mẫu) Mỗi đa thức gọi phân thức có mẫu thức Mỗi số thực a phân thức Hai phân thức A C gọi A.D B.C B D A C A.D B.C B D Tính chát phân thức Tính chất - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho: A A.M ( M đa thức khác đa thức 0) B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho: A A: N ( N nhân tử chung 0) B B:N Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho: A A B B II Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x2 2x x Giải Tìm cách giải Để tìm đa thức A, dùng A C khi: A.D B.C B D Trình bày lời giải x 16 A Từ suy x 2x x A x x 16 x2 x x x 42 x x x x.2 x x x 2x x x 2 x x 2 x 2 4x Ví dụ 2: Cho x y x y 5xy Tính giá trị P 2016 x 2017 y 3x y Giải Tìm cách giải Quan sát, nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai biến x, y, kết luận phân thức mà tử mẫu đa thức bậc biến x, y Do tìm mối quan hệ x y từ giả thiết để biểu diễn x theo y ngược lại Với suy nghĩ ấy, phân tích đa thức thành nhân tử từ điều kiện thứ hai Trình bày cách giải Từ x y xy x 5xy y x xy xy y x y x y Ta có y x y x x y x y y x Từ ta có: P 2016 x 2017.2 x 6050 3x 2.2 x Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãn x y xy x y 13 Tính giá trị biểu thức H x xy 52 x y Giải Từ giả thiết suy x xy y y x y 13 x y x y y2 y x y 3 y 2 x y x y 2 y Từ ta có H 25 7.5 2 52 21 5 Ví dụ 4: Cho biểu thức x x Tính giá trị x6 3x5 3x x3 2020 Q x x 3x 3x 2020 Giải Tìm cách giải Ta khơng thể tìm x để thay vào biểu thức được, kết x số tự nhiên, thay vào Q tính phức tạp Do ta có hai định hướng: Hướng suy nghĩ thứ nhất, viết tử thức mẫu thức dạng x x 1 q(x) r(x) xem phần phép chia đa thức, từ ta tìm Q Hướng suy nghĩ thứ hai, quan sát thấy có dạng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để xuất thành tử thức mẫu thức Trình bày lời giải Cách Ta có: x 3x5 3x x3 2020 x x 1 x x x x 1 2021 Ta có: x x3 3x 3x 2020 x x 1 x x x x 1 2021 Với x x tử số 2011; mẫu số 2021 Vậy Q 2021 2021 Cách Ta có: x x x x x x 1 x x3 3x 3x x x 3x 3x Suy mẫu số bằng: 2020 2021 Ta có: x2 x 1 x2 x x2 x x 3x5 3x x3 Suy tử số bằng: 2020 2021 Vậy Q 2021 2021 n2 Ví dụ 5: Cho P với n số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên n khoảng từ n5 đến 2020 cho giá trị P chưa tối giản Giải Ta có: P n2 29 với n N n5 n5 n5 Để phân số P chưa tối giản ƯCLN 29; n 5 d (d 1) Khi n 5Md 29Md d 29 n 5M29 Hay n 29k k N n 29k Mà n 2020 29k 2020 29k 2025 24 k 69 k 1, 2,3 ,69 29 29 Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n 29k với k 1, 2,3 , 69 Ví dụ Với giá trị x thì: a) Giá trị phân thức A 10 dương; x 9 b) Giá trị phân thức B 10 âm; x 21 c) Giá trị phân thức C x 21 dương x 10 Giải Tìm cách giải Khi giải dạng tốn chứng ta cần sử dụng kiến thức sau: Phân thức A có giá trị dương A B dấu B Phân thức A có giá trị âm A B trái dấu B Trình bày lời giải a) 10 x x x 9 b) 10 x 21 x 21 x 21 x 21 x 21 x 10 dấu; mà x 10 x 21 nên x 21 x 10 x 21 x 10 x 10 c) III Bài tập vận dụng 1.1 a) Tìm đa thức A, cho biết A x 3x x2 x2 b) Tìm đa thức M, cho biết M x 3x x 1 x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Dùng định nghĩa, ta có: a) A x 1 b) M x x Nhận xét Bạn dùng tính chất phân thức để giải 1.2 Cho a b số thỏa mãn a b a3 a 2b ab2 6b3 Tính giá trị biểu thức B a 4b4 b 4a Hướng dẫn giải – đáp số Từ a3 a 2b ab2 6b3 a3 2a 2b a 2b 2ab2 3ab2 6b3 a 2b a ab 3b Vì a b a ab 3b2 a 2b a 2b Vậy B a 4b4 16b4 4b4 12b4 4 4 4 b 4a b 64b 63b 21 1.3 Cho a, b thỏa mãn 10a2 3b2 5ab 9a b2 Tính giá trị biểu thức P 2a b 5b a 3a b 3a b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P P 2a b 3a b 5b a 3a b 3a b 3a b 6a 2ab 3ab b2 15ab 5b2 ab 3a 6b2 15ab 9a b2 9a b2 Từ giả thiết 10a 3b2 5ab 5ab 3b2 10a 3a 6b2 9b2 30a 27a 3b2 Từ suy P 3 9a b2 9a b2 1.4 Số lớn hơn: A 2020 2015 20202 20152 B 20202 20152 2020 2015 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có A 2020 2015 20202 20152 2020 20152 2020 2015 2020 20152 20202 20152 A B 1.5 Với giá trị x thì: a ) Giá trị phân thức A dương; x2 b) Giá trị phân thức B 3 âm; x 3 c) Giá trị phân thức C x 1 dương x 5 Hướng dẫn giải – đáp số a) A x x x2 b) B 3 x x x 3 c) C x 1 x x dấu; mà x 1 x nên x x x x 5 x 1.6 Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) n3 phân số không tối giản n5 n b) 6n phân số tối giản 8n Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có n n 1 n2 n 1 n5 n n n n 1 n2 n 1 n2 1 n2 n 1 n 1 n2 n 1 n2 n3 1 n2 n 1 với số nguyên dương n n2 n nên không tối giản b) Đặt ƯCLN 6n 1;8n 1 d với d N * 6n 1Md 24n 4Md 8n 1Md 24n 3Md 24n 24n 3Md 1Md d n3 phân số n5 n ƯCLN 6n 1;8n 1 Phân số tối giản 1.7 Tìm giá trị lớn phân thức sau: A ; x 2x B 4x 4x Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A x 1 3 1 Giá trị lớn A x 1 b) Ta có B x 1 2 Giá trị lớn B x 2 1.8 Cho x y 11z;3x y z Tính giá trị Q x 3xy x2 y Hướng dẫn giải – đáp số Từ x y 11z 3x y z suy 5x 15z x 3z Từ x y 11z x 3z suy y 5z Thay vào biểu thức: Q x 3xy 18 z 45 z 9 x2 y z 75 z 28 1.9 Cho a, b thỏa mãn 5a2 2b2 11ab a 2b Tính giá trị biểu thức A 4a 5b2 a 2ab Hướng dẫn giải – đáp số 5a b thỏ a mã n a 2b (loaïi ) Từ giả thiết: 5a 2b 11ab 5a b a 2b Thay 5a b vào A ta được: A 4a 125a 11 a 10a 1.10 Cho 4a b2 5ab 2a b Tính giá trị P ab 4a b 2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: 4a b2 5ab 4a b2 5ab 4a 4ab ab b 4a b(loaïi ) 4a b a b a mã n) a b(thỏ Suy a b Thay vào P ta được: P a2 3a x x 3x3 18x 1.11 Cho x thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P x x2 x x x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: x suy x x x x 3x x x 1 2 Ta có: x 3x 18 x x 3x 1 x 1 15 x x3 x x x 3x 1 x 1 x x 3x 1 x 1 15x 15x 3x ta có P x 3x 1 x 1 x x Với x 2 1.12 Cho x,y thỏa mãn x xy y x y Tính giá trị biểu thức N 3x y xy Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x xy y x y x xy y y x y y x y 1 y 2 Dấu xảy x y y hay y 2; x 1 1 2 Từ suy N 1 2 1.13 Cho a, b hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 2a2 a 3b2 b Chứng minh a b phân số tối giản 2a 2b ( Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 20132014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ 2a a 3b2 b 2a 2b a b b a b 2a 2b 1 b (1) Đặt ƯCLN (a b;2a 2b 1) d a bMd ;2a 2b 1Md bMd 2a 2b a b Md 4b 1Md mà b Md hay d a b 2a 2b nguyên tố suy a b phân số tối giản 2a 2b