N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 3 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 3 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ S O A h r l[.]
3 SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ S h Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA O l r A Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón: Sxq = πrl Cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón: S = Sxq + Sday = πrl + πr2 = πr(l + r) Cơng thức tính thể tích khối nón: Vnon = πr2 h ‘ = Áp dụng Pitago hệ thức lượng giác tam giác vuông SOA: l2 = h2 + r2 ; cos ASO h r r ‘ = ; tan ASO ‘ = ; sin ASO l l h Định lý hàm số sin tam giác: b c a = = = 2R (R: bán kính đường trịn ngoại tiếp sin A sin B sin C tam giác) Định lý Talet tam giác: M N k BC, M ∈ AB, N ∈ AC ⇒ MN AM AN = = BC AB AC BÀI TẬP MẪU Ví dụ Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r A 4πrl B 2πrl C πrl D πrl Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn nhắc lại cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r HƯỚNG GIẢI: Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón LỜI GIẢI CHI TIẾT h Geogebra Pro Trang 29 SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r Sxq = πrl Chọn phương án C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l = cm bán kính r = cm A 8π (cm2 ) B 15 (cm2 ) C 4π (cm2 ) D 15π (cm2 ) Lời giải Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l = bán kính r = Sxq = πrl = π · · = 15π(cm2 ) Chọn phương án D Từ suy độ dài đường sinh l = Sxq 40π = = 8(cm) πr π·5 Chọn phương án B Câu Một hình nón có diện tích xung quanh 60 cm2 độ dài đường sinh l = cm có bán kính đáy gần với số sau đây: A (cm) B 3,7 (cm) C 3,9 (cm) D 3,8 (cm) Lời giải Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r Sxq = πrl Từ suy bán kính đáy r = Sxq 60 = = 3,8197(cm) πl π·5 Chọn phương án D Câu Một khối nón trịn xoay có độ dài đường sinh l = cm bán kính đáy r = cm Tính thể tích V khối nón A 20π cm3 B 100 cm3 C 16π cm3 D 90π cm3 Lời giải √ √ Chiều cao khối nón h = l2 − r2 = 52 − 42 = 1 Vậy thể tích khối nón V = πr2 h = π · 42 · = 16π cm3 3 Chọn phương án C Câu Một khối nón trịn xoay có độ dài đường sinh l = cm chiều cao h = cm Tính thể tích V khối nón A V = 56π cm3 B V = 48π cm3 C V = 64π cm3 D V = 90π cm3 Lời giải h Geogebra Pro Trang 30 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Một hình nón có diện tích xung quanh 40π cm2 bán kính đáy r = cm có độ dài đường sinh A 8π (cm) B (cm) C 4π (cm) D (cm) Lời giải Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r Sxq = πrl 3 SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ √ Bán kính đáy khối nón r = l2 − h2 = 82 − 62 = 28 1 Vậy thể tích khối nón V = πr2 h = π · 28 · = 56π cm3 3 Chọn phương án A Câu Một khối nón trịn xoay tích V 50π chiều cao h = Tính diện tích tồn phần hình nón √ √ √ √ A 5π( 61 − 5) B 5π( 61 + 5) C π( 61 + 25) D π( 61 + 5) Lời giải Từ công thức tính thể tích khối nón ta có r2 = √ √ 3V 3.50π = = 25 ⇒ r = πh π.6 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Độ dài đường sinh l = r2 + h2 = 61 √ Vậy diện tích tồn phần hình nón S = Sxq + Sđáy = πrl + πr2 = πr(l + r) = 5π( 61 + 5) Chọn phương án B Câu Một khối nón trịn xoay tích V 100πcm3 bán kính đáy r = 5cm Tính diện tích xung quanh hình nón A 144π(cm2 ) B 90π(cm2 ) C 64π(cm2 ) D 65π(cm2 ) Lời giải Từ cơng thức tính thể tích khối nón ta có: h = √ 3V 3.100π = = 12 πr π.52 Độ dài đường sinh l = r2 + h2 = 13 Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = 65π Chọn phương án D Câu Cho khối nón có độ dài đường sinh diện tích xung quanh 30π Thể tích khối √ nón √ √ √ 11 25 11 11 11 A π B π C π D π 3 Lời giải Từ công thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có: r = √ √ l2 − r2 = 11 √ 25π 11 Vậy thể tích khối nón V = πr2 h = · 3 Chiều cao nón là: h = Sxq = πl Chọn phương án B Câu Một khối nón trịn xoay tích V 12π cm3 diện tích xung quanh 15π cm2 Biết bán kính đáy số ngun Tính diện tích đáy nón A 10π(cm2 ) B 9π(cm2 ) C 45π(cm2 ) D 25π(cm2 ) Lời giải Gọi đường sinh, bán kính đáy, đường cao nón l, r, h √ 1 Ta có:V = πr2 h = π r2 l2 − r2 Sxq = πrl 3 p ( p πr2 l2 − r2 = 12π r2 l2 − r2 = 36 (1) ⇔ Từ giả thiết ta hệ phương trình πrl = 15π rl = 15 (2) Từ (2) ta l = h Geogebra Pro 15 · Thế vào (1) ta có r6 − 225r2 + 1296 = r Trang 31 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Đặt r2 = t (t > 0; t ∈ Z) ta t3 − 225t + 1296 = ⇒ t = Suy r = Vậy diện tích đáy nón Sđáy = πr2 = 9π Chọn phương án B ’ = 30◦ có cạnh AB = a Quay tam giác AOB Câu 10 Cho tam giác AOB vuông O, OAB xung quanh cạnh OA ta hình nón trịn xoay Tính diện tích tồn phần hình nón √ A πa2 B πa2 C 3πa2 D πa2 Lời giải Quay tam giác AOB xung quanh cạnh OA ta hình nón trịn xoay có đường sinh AB = a a Bán kính đáy r = OB = AB · cos 60◦ = · A S = Sxq + Sđáy = πr(l + r) = 3πa2 · O B Chọn phương án C Câu 11 Cho tam giác AOB vuông O, OA = 4a, OB = 3a Quay tam giác AOB xung quanh cạnh AB ta khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay A 9,6πa3 B 10πa3 C 8,4πa3 D 4πa3 Lời giải Kẻ đường cao OH tam giác vuông AOB O Khi quay tam giác vuông AOB xung quanh cạnh AB ta khối trịn xoay coi khối nón đỉnh A B , chung đường trịn đáy bán kính r = OH , hai chiều cao tương ứng h1 = AH , H A B h2 = BH Thể tích khối trịn xoay tạo thành tổng thể tích khối nón 1 Vậy ta có: V = V1 + V2 = πr2 h1 + πr2 h2 = πr2 (h1 + h2 ) = π · OH · AB 3 3 Áp dụng hệ thức lượng tam gác vuông AOB ta có: 1 25 12a = + = ⇒ OH = 2 2 OH √OA OB 144a AB = OA2 + OB = 5a 12a Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm V = π · 2 · 5a = 9,6πa3 Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 32 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Vậy diện tích tồn phần hình nón SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ’ = 75◦ , ACB ’= Câu 12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R có BAC 60◦ Kẻ BH ⊥ AC Quay 4ABC quanh AC 4BHC tạo thành hình nón trịn xoay có diện tích xung quanh √ √ πR2 + = 2√ √ πR2 3( + 1) = A Sxq C Sxq B Sxq = πR2 (3 + 3) D Đáp án khác Lời giải A 75◦ H Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 60◦ B C Áp dụng định lý sin 4ABC ta có: BC ◦ = 2R ⇒ BC = 2R sin 75 = R ’ sin BAC √ 6+ √ Trong tam giác vng BHC ta có: √ √ √ R 6+ BH = BC · sin 60 = ◦ Khi quay 4ABC quanh AC 4BHC tạo thành hình nón trịn xoay có bán kính đáy BH , đường sinh BC Vậy diện tích xung quanh hình nón √ Sxq = πr` = π · BH · BC = πR 3+2 Chọn phương án A Câu 13 Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a Biết B , C thuộc đường √ trịn đáy Thể tích khối √ nón √ A a3 π B 3πa3 C a3 π 24 D 3a3 π Lời giải Thiết diện khối nón với mặt phẳng qua trục √ tạo thành tam giác ABC có cạnh a a a nên bán kính đáy r = chiều cao h = 2 √ πa3 Vậy thể tích khối nón V = πr · h = 24 Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 33 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 14 Cho khối nón có đỉnh S , cắt khối nón mặt phẳng qua đỉnh khối nón tạo thành thiết diện tam giác SAB Biết khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến thiết diện 2,√AB = 12, bán kính đường √ trịn đáy 10 Chiều √ cao h khối nón A 15 15 B 15 15 C 15 15 D √ Lời giải √ Gọi I trung điểm AB OI ⊥ AB Ta có OI = OA2 − IA2 = Kẻ OH ⊥ SI OH ⊥ (SAB), suy OH = d(O, (SAB)) = Trong tam giác vng SOI có: 15 = OI 64 15 S 1 1 = + ⇒ = − 2 2 OH SO OI SO OH √ 15 Vậy chiều cao nón h = OH = 15 H O Chọn phương án A Câu 15 Cho hình nón có đỉnh O, tâm đáy H , bán kính đáy a, góc tạo đường sinh OM đáy 60◦ Tìm kết luận sai: √ 3 πa A ` = 2a B Sxq = 2πa2 C Stp = 4πa2 DV = Lời giải Vì góc tạo đường sinh đáy 60◦ nên thiết diện qua trục hình nón tam giác OM N Bán kính đáy r = HM = a Vậy đường sinh ` = OM = 2a ⇒ A Diện tích xung quanh Sxq = πr` = πa · 2a = 2πa2 ⇒ B Diện tích tồn phần Sxq = Stq + Sđáy = 2πa2 + πa2 = 3πa2 ⇒ C sai √ √ πa3 ⇒ D Dễ thấy đường cao OH = a ⇒ V = πr h = 3 O 60◦ N H M Chọn phương án C Câu 16 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a; Một hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD Diện tích xung quanh hình nón √ √ √ √ A πa2 B πa2 C πa2 D πa2 Lời giải h Geogebra Pro Trang 34 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B I A SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN A0 D0 O B 0 C0 A D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA O B C √ a Hình nón có chiều cao h = OO = a, bán kính đáy r = OA = √ √ a Từ đường sinh l = OA = OO2 + OA2 = √ √ πa2 Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = Chọn phương án C Câu 17 Cho hình chóp tam giac S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Một hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp √ 4ABC Tìm kết luận đúng: √ A R = a B h= a 33 C Sxq = πa2 DV = Lời giải Bán kính đáy nón bán √ kính đường trịn ngoại tiếp 4ABC cạnh a, nên R = πa3 S a Chiều cao nón chiều cao chóp S.ABC nên ta có: √ Å ã2 √ a a 33 2 h = SH = SA − R = (2a) − √ = 3 √ 2πa2 Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πRl = √ πa3 33 Thể tích khối nón V = πr2 · h = 27 A B H C Chọn phương án B Câu 18 h Geogebra Pro Trang 35 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Cho hình nón có đáy đường trịn có bán kính 10 Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn hình vẽ Thể tích khối nón có chiều cao bằng 200π A 32π B 24π C D 96π M P 15 O 10 10 15 Vậy thể tích khối nón V = πr12 h = 32π Chọn phương án A Câu 19 Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ hình trịn bán kính OA, OB , ghép bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng √ √ 81π 8√ 81π C A B 9π 15 S A O B A O D Đáp án khác B Lời giải Khi ghép OA vào OB ta hình nón có chu vi đáy chu vi đáy đường tròn lúc đầu, tức CV1 = 2πR = 9π Gọi bán kính đáy hình nón r1 , ta có CV1 = 2πr1 = 9π ⇒ r1 = Hình nón tạo thành … sẽcóđường√sinh l = OA = Suy đường cao nón p h = l2 − r12 = 62 − = 2 √ 81π Vậy thể tích khối nón tương ứng V = πr1 h = Chọn phương án A Câu 20 h Geogebra Pro Trang 36 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Gọi bán kính đáy nón có chiều cao r1 r Theo định lý Talet ta có: = ⇒ r1 = 3 SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón có đỉnh tâm đáy vàđáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết < x < h? 2h h C x= A x= O h 2√ h Dx= B x= H h r x O0 R Lời giải Gọi bán kính đáy hình nón đỉnh O O R r Ta có R khơng đổi r thay đổi r OH h−x R(h − x) = = ⇒r= R OO h h Å ã2 πR2 π R(h − x) Thể tích khối nón đỉnh O V = πr · HO = ·x= (h − x)2 x 3 h 3h Vì R, h khơng đổi nên thể tích đạt giá trị lớn (h − x)2 x đạt giá trị lớn Xét hàm số f (x) = (h − x)2 x = x3 − 2hx2 + h2 x với x ∈ (0; h) Ta có f (x) = 3x2− 4hx + h2 x=h Xét f (x) = ⇔ h x= Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA theo x Theo Talet ta có: Ta có bảng biến thiên: x h f (x) + h − + f (x) Dựa vào bảng biến thiên ta có max f (x) = x∈(0;h) 4h3 h xảy x = 27 Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 37 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN D 11 A B 12 A D 13 C C 14 A A 15 C B 16 C D 17 B B 18 A B 19 A 10 C 20 C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN h Geogebra Pro Trang 38 ... 3 SỬ DỤNG CÁC CƠNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón có đỉnh tâm đáy vàđáy thi? ??t diện song song với đáy hình nón cho Chiều... 6+ √ Trong tam giác vng BHC ta có: √ √ √ R 6+ BH = BC · sin 60 = ◦ Khi quay 4ABC quanh AC 4BHC tạo thành hình nón trịn xoay có bán kính đáy BH , đường sinh BC Vậy diện tích xung quanh hình... LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NĨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r Sxq = πrl Chọn phương án C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Diện tích xung quanh