T×m híng gi¶i: DiÖn tÝch tø gi¸c ABCD b»ng tæng diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC vµ ADC.. §· biÕt AC, cÇn biÕt thªm chiÒu cao t¬ng øng víi AC.[r]
(1)Bài tập
"Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông" Môn Toán - Lớp 9
I Mục tiêu:
- Củng cố, khắc sâu hệ thức cạnh góc tam giác vuông
- Rốn k nng vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông để giải tam giác vuông, giải toán thực tế nh xác định chiều cao khoảng cách - Hạn chế sai lầm vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông II Tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9; Nâng cao phát triển tốn 9; Ơn kiến thức, luyện kĩ hình học
III Néi dung:
LÝ thuyÕt:
Chúng ta biết tam giác vuông biết hai yếu tố độ dài tam giác vuông tính đợc độ dài yếu tố cịn lại theo định lí Pi ta go Bây nhờ có khái niệm tỉ số lợng giác góc nhọn ta có thêm hệ thức liên hệ cạnh góc tam giác vng
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề (1)
b) Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang gúc k (2)
cạnh góc vuông cạnh góc vuông Tõ (1) suy ra: c¹nh hun = =
sin góc đối cơsin góc kề
Các hệ thức cạnh góc tam giác vng đợc vận dụng nhiều tập: - Biết độ dài cạnh biết số đo góc, tính độ dài cạnh cịn lại
- Giải tam giác vng tức tam giác vuông biết độ dài hai cạnh độ dài cạnh số đo góc, tính độ dài cạnh cịn lại số đo góc cịn lại
- Giải toán thực tế nh xác định chiều cao khoảng cách 2 Bài tập:
VÝ dô 1: Cho h×nh thang ABCD cã
A D 90 , C 50 BiÕt AB = 2, AD = 1,2 TÝnh diƯn tÝch
h×nh thang ABCD
Gi¶i: VÏ BH CD ta cã ABHD hình chữ nhật
b = a sin B = a cos C c = a sin C = a cos B b = c tan B = c cotC c = b tanC = b cot B
c a
b C
B
A
1,2
2
D C
B
H A
(2)nªn BH = AD = 1,2, DH = AB = XÐt tam gi¸c vu«ng HBC, H 90
, ta cã:
HC = HB cotC = 1,2 cot 500 1,0.
CD = CH + HD + =
Diện tích hình thang ABCD là: S AB CD AD 2 1, 2
2
(®vdt)
Chú ý: Việc kẻ BH CD để tạo tam giác vuông biết độ dài cạnh biết số đo
một góc, từ tính đợc độ dài CH CD, tính đợc diện tích hình thang
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, biết BC = a B Hãy tính AH, BH CH theo a v
Giải:
Tam giác ABC vuông A (GT) nên AB = a cos , AC = a sin Tam giác ABH vuông t¹i H ta cã
AH = AB sinB = a cos sin
BH = AB Cos B = a cos cos = a cos
CH = AC cosC = AC sinB = a sin sin = a sin2
VÝ dơ 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4, AC = 3,5 TÝnh diÖn tÝch tam giác ABC hai trờng hợp:
a) A = 400;
b) A = 1400.
Gi¶i:
a) Vẽ đờng cao CH, ta có A = 400 (
Anhọn) H B nằm phía đối vi A
Xét tam giác HAC vuông H, ta cã CH = AC sinHAC = 3,5 sin 400 2,2
Diện tích tam giác ABC là:
1
S AB.CH 4.2, 4,
2
(®vdt)
b) Trêng hỵp A = 1400
Vẽ đờng cao CH, ta có A = 1400 (
Atù) H B nằm khác phía A
XÐt tam giác HAC vuông H, ta có CH = AC sinHAC = 3,5 sin 400 2,2
DiÖn tích tam giác ABC là: S 1AB.CH 1.4.2, 4,
2
(®vdt)
Lu ý:Một cách tổng quát, ta chứng minh đợc rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đờng thẳng chứa hai cạnh đó.
1 1 1
S ab.sin C bc.sin A ac.sin B
2 2 2
Bµi tËp 1: Cho tam giác ABC cân A,
B 65 , đờng cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC
C
B H
A
a
A
4 3,5
C
B H
40
4 A
3,5
C
B H
(3)Giải: Tam giác ABC cân A nên C B 65 , A 180 1300 500
XÐt tam giác vuông HBC vuông H có:
0
CH 3,
BC 4,0
sin B sin 65
Vẽ AD BC DB = DC = 2,0
XÐt tam gi¸c ABD vuông D, có AB = BD 0 4,
cos B cos 65 Do AC 4,7
Chú ý: Việc vẽ thêm đờng cao AD để tạo tam giác vuông biết cạnh góc vng và góc nhọn, từ tính đợc cạnh huyền AB, AC.
Bài tập 2: Vì kèo mái nhà có dạng tam giác cân (hình vẽ) Biết đáy BC = 4,2 m, chiều cao AH = 1,7 m Hãy tớnh:
a) Độ dốc mái nhà
b) Độ dài đỡ HD, HE Giải:
a) AH đờng cao ứng với cạnh đáy tam giác cân ABC nên:
HB = HC = 4,2 : = 2,1 (m)
XÐt tam gi¸c ABH vuông H có tan = AH BH =
1,7
0,8095
2,1 400 b) Xét tam giác DBH vuông H có HD = HB Sin B 2,1 0,643 1,3 (m) Suy HE 1,3 (m)
Bài tập 3: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt O Biết AOD = 700; AC = 5,3 cm; BD
= 4,0 cm TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD
Tìm hớng giải: Diện tích tứ giác ABCD tổng diện tích tam giác ABC ADC Đã biết AC, cần biết thêm chiều cao tơng ứng với AC Do cần vẽ DKAC, DKAC
Gi¶i: VÏ BH AC, DK AC
XÐt tam gi¸c HOB vuông H ta có BH = OB sinO2
Xét tam giác KOD vuông K ta có DK = OD sin O1
Mà O 1 O 2 (đối đỉnh)
SABCD = SABC + SADC =
2AC (BH + DK) =
2AC(OB + OD) sin O1 =
2AC.BD sin O1 =
2.5,3 sin 70
0
2 5,3 0,9397 10,0 (cm
2).
Nhận xét: Nếu tứ giác có độ dài hai đờng chéo m n, góc nhọn xen hai đờng chéo
diện tích tứ giác : S =
2.m.n sin
Bài tập 4: Cho tam giác nhọn ABC, B C , đờng cao AH đờng trung tuyến AM.
a) Chøng minh r»ng HC - HB = HM
H
A
C
B D
E
H
A
C B
D
K H A
C B
D
1
(4)b) Gọi góc tạo đờng cao trung tuyến Chứng minh rằng: tan cot C cot B
Gi¶i:
a) Ta cã HC – HB = (HM + MC) – (MB – HM) = 2HM c) XÐt tam giác AHC vuông H, ta có HC = AH.cotC Xét tam giác AHB vuông H, ta có HB = AH.cotB
HC – HB = AH(cot C – cotB)
hay 2HM = AH(cot C cotB) (1)
Xét tam giác vuông AHM vuông H ta có: HM = AH tan 2HM = 2AH tan (2)
Tõ (1) vµ (2) AH(cot C – cotB) = 2AH tan hay tan = cot C cot B
2 IV Híng dÉn HS tù häc ë nhµ:
- Häc thuộc hệ thức cạnh góc tam giác vuông, nắm phơng pháp giải tam giác
- Xem kĩ tập buổi học, tham khảo ví dụ tài liệu nâng cao - Bài tập nhà: Cho tam giác nhọn ABC,
A 75 , AB = 30 mm, BC = 35 mm, hÃy
giải tam giác ABC
M H
A