10 bai tap bien doi cac bieu thuc huu ti gia tri cua phan thuc thuong gap co loi giai

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC A Lý thuyết Biểu thức hữu tỉ Một phân thức biểu thị dãy phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia phân thức gọi biểu thức hữu tỉ Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Nhờ quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức ta biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Giá trị phân thức Khi làm toán liên quan đến giá trị phân thức trước hết phải tìm điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác Đó điều kiện để giá trị phân thức xác định B Các dạng tập: Dạng 1: Biến đổi biểu thức thành phân thức đại số Phương pháp: Áp dụng phép tốn Cộng, trừ, nhân, chia phân thức ta biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Bài 1: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức đại số x a) x x 1 x 4 c) b) 1 4x x2  y y2  x y x3 1  x x2  x x2 d) 12 2  x x 1 Giải 2 x   x   :  x     x 1 :  x 1 a) Ta có:         x  x  x   x  x x x  1 b) Ta có: x2  x x2   x x 1 x 1 x3   1    1   : 1    1 x x  x   1   x x  x3    x  x   x3  x2   :   x2 x3 x  x   x      x  1  x  x  1 x  x  x  1 4 c) Ta có:  y2 x 1 x 4x x2  y y2  4x x2     4   :   y y2   x y    x y  y  xy  x  y2  2 y  x    2y  x  :    xy  2 y  x x xy  2y  x y  x x  1    :    12  d) Ta có:    12  x x2   x x2  2   x x 1  x  x    x  x  12  x  x  x2  :     x2 x2 x2 x  5x  12     x2  5x  x2  x  4x    x  x  12 x  x  3x  12  x  x  1   x  1  x  1 x    x  1  x  x     x    x   x  3  x  3  Bài 2: Thực phép tính sau  x y 2 x  y  x  y a)   2   x  xy x  y  x  y 3x x  x3  10 x b)   :   3x 3x    x  x Giải a) Ta có:  x y 2 x  y   2  x  xy x  y  2x  y  2  x y  x y  2x  y 2x  y      2  x  x  y   x  y  x  y   x  y   x  y  x  y   x   x  y   x  y    2 x  y x  y      x y  x  xy  xy  y  x  xy   x  y     2 x  y x  y      x y   2 x  2y x2  y 2  x  y  x  y  x  y  x2  y   x  2y  x  2y x y b) Ta có: x  x3  10 x  3x   :   3x 3x    x  x  3x  3x  1  x 1  3x   x  3x     : 1  3x  3x  1   2.3x   3x 2   x  3x  x  x    1  3x  3x  1  x  3x  5  :  1  3x  1  3x  1  3x  3x  x   1  3x  3x  1 x  3x  5 x  3x  1 Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức xác định Phương pháp: Bước 1: Biểu thức xác định giá trị tương ứng mẫu thức khác Do điều kiện để biểu thức xác định "mẫu thức khác 0" Bước 2: Giải phương trình "mẫu thức khác 0" ta tìm giá trị để biểu thức xác định Bài 1: Tìm điều kiện biến để giá trị phân thức xác định a) x2 b) c) 2x  1 x  x  2x  x  d) 2 1  x  x  1  x  9x x  3 Giải a) Ta có mẫu thức  với x  điều kiện để phân thức xác định với x b) Để phân thức xác định mẫu thức khác khơng 1  x   x  1  1  x  x  1     x 1  x  Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  1 c) Để phân thức xác định mẫu thức khác không  x  12   x2  x    x  1       x  1 x   x 1   x     Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  1 d) Để phân thức xác định mẫu thức khác khơng x  x  x   x3  x   x  x         x  3 x   x  Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  3 x  Bài 2: Tìm điều kiện biểu thức: a) x2 x2 x x  4x  b)  x 2x  x  x  x3  c) x x2 x2   x  2x  2x  d)  x 3x     x2  x 4  Giải a) Để phân thức xác định mẫu thức khác  x  x  x      x  2  x    x  4x    Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  0; x  2 b) Để phân thức xác định mẫu thức khác  x  x     x   x   x   Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  c) Để phân thức xác định mẫu thức khác  2 x   2 x  x     2 x   2 x  4   x  2 Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  ; x  2 d) Để phân thức xác định mẫu thức khác x   x   x     x   x       x    x  2 Vậy điều kiện để phân thức xác định là: x  2 Dạng 3: Giải phương trình Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định Bước 2: Quy đồng mẫu thức (sau quy đồng ta bỏ mẫu thức) Bước 3: Giải phương trình tìm giá trị cần tìm Bước 4: Đối chiếu điều kiện, suy nghiệm phương trình Bài 1: Giải phương trình: a) x  2 x  11  x   0 x3 x x  3x b)  x  1 x  5  x  x  6  3x  Giải a) Điều kiện: x2  3x   x  3; x  Ta có: x  2 x  11  x x  2 x  11  x   0   0 x3 x x3 x x  x  3 x  3x   x   x   x  1 x  3  11  x    x  x   x  x  x  3  11  x   x2  x  x2  5x   11  x2   x2  x     x  1 x  8   x  1 thỏa mãn điều kiện tốn  x  Vậy phương trình có nghiệm x  1 x  b) Ta có:  x  1 x  5  x  x  6  3x   x2  x   x2  x  3x     x  12   x  12 Vậy phương trình có nghiệm x  12 Bài 2: Giải phương trình: a) x2 3   1 x 1 x  x  x  b)  x  8 x  6 x    72 Giải a) Điều kiện: x  1; x  Ta có: x2 3 x2 3   1    1 x 1 x  x  x  x  x   x  1 x     x  2 x     x  1    x  1 x    x   3x    x  x   x  x thỏa mãn điều kiện toán Vậy phương trình có nghiệm x  b) Đặt t  x  Khi ta có   x  8 x   x    72   t  1 t  1 t  72   t  1 t  72  t  t  72   t  8t  9t  72    t  8 t     t   (Do t   ) t  3  x   3  x  10    t  x    x  4 Vậy phương trình có nghiệm x  10 x  4 Bài 3: Giải phương trình: 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Giải  x  4  x   x     x  x  20   x  5   Điều kiện:  x  11x  30    x  5 x       x  13x  42    x  6   x   x     x  7 Khi ta có: 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18     x   x  5  x  5 x    x   x    18   x  5   x    x     x  5  x     x       x   x  5  x  5 x    x   x   18  1 1 1        x    x  5  x  5  x    x    x   18  1    18  x    18  x     x   x     x    x   18  18.7  18.4   x2  11x  28   x2  11x  26    x  13 x  2   x  13   x  13   Thỏa mãn điều kiện x   x  Vậy phương trình có hai nghiệm x  13 x  Bài 4: Cho biểu thức A  x3  12 x  x  4x2  x  a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức c) Chứng minh với giá trị x nguyên P nguyên Giải a) Để biểu thức A xác định mẫu thức khác  x  x     x  1   x    x  2 b) Ta có: A  x3  12 x  x  4x2  x   2x   x   3.2 x.12  13  x  1  x  1   x  1  2x  Vậy A  x  c) Theo câu b ta rút gọn A  x  Ta thấy x nhận giá trị nguyên biểu thức A nhận giá trị nguyên  đpcm ...  t  8 t     t   (Do t   ) t  3  x   3  x  ? ?10    t  x    x  4 Vậy phương trình có nghiệm x  ? ?10 x  4 Bài 3: Giải phương trình: 1 1    x  x  20 x  11x...  2y x2  y 2  x  y  x  y  x  y  x2  y   x  2y  x  2y x y b) Ta có: x  x3  10 x  3x   :   3x 3x    x  x  3x  3x  1  x 1  3x   x  3x     : 1  3x... Bài 2: Thực phép tính sau  x y 2 x  y  x  y a)   2   x  xy x  y  x  y 3x x  x3  10 x b)   :   3x 3x    x  x Giải a) Ta có:  x y 2 x  y   2  x  xy x  y  2x 