he thong bai tap ve gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua mot bieu thuc dai so co loi giai

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A Phương pháp giải Cho hàm số f x xác định tập hợp D : m mà m số f x a) Nếu f x f x m , đạt x Ta viết f x m x D giá trị nhỏ x0 x0 x0 n mà n số f x b) Nếu f x m x f x n , đạt x n x D giá trị lớn x0 x Ta viết max f x n x x0 B Một số ví dụ Dạng đưa biểu thức dạng f x m f x n Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A x 19x b) B x 3x 15x c) C x 30 4x d) D x x 2018 1890 ; 10 ; 1975 ; x 2020 2019 2019  Tìm cách giải: Tìm giá trị nhỏ f x ta tìm số m tập xác định D f x mà f x a) 19x m Sau tìm x x0 D để f x m bình phương biểu thức nên giá trị ln khơng âm x Do tìm 19x 1890 ? Dấu “=” xảy nào? x ? b), c) Điều kiện để biểu thức có nghĩa? Lưu ý: Căn bậc hai không âm a kí hiệu a a Khi viết a phải có d) Nhận xét bậc lũy thừa x giá trị biểu thức Giải a) Do 19x A x 1890 0, x nên 19x 19x 5 x Vậy minA x Ta có: B x 3x 15x 10 10 x c) Điều kiện để 30 Ta có: C x 30 4x Vậy C x d) Ta có x 2018 10 x 1975 1975 x Vậy D x 7,5 30 4x nên 1975 7,5 ; dấu “=” xảy 1975 x x 0, x nên x 2018 20192019 x ; dấu “=” xảy 20192019 x 7,5 7,5 x 2020 2019 20192019 Do D x nên x 4x có nghĩa: 30 4x 1975 với x 0;x 2020 15x 1975 Lại có C 7,5 Do C x 19 x 0 ; dấu “=” xảy 10 với x Vậy B x có D 19 19 1890 x b) Điều kiện để 15x có nghĩa: x C x 1890 1890, x 1890, x ; dấu “=” xảy Ta có A x B x x 0 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2019 20192019 , x Lại a) E y 1945 ; 2y 2016 b) F y y  Tìm cách giải: Tìm giá trị lớn f(y) ta tìm số n tập xác định D f(y) mà f y n Sau tìm y y0 D để f y0 n a) 2y bình phương biểu thức nên giá trị ln khơng âm y Do 1945 Lưu ý 2y 2y 2y y 4,5 y 2016 b) Trước hết xét F y Ta có: y nào? Dấu “=” xảy nào? 9 x y 9 (theo tính chất lấy nghịch đảo: Cho hai số dương a b, a 2016 suy y 2016 b a ) Từ b 224 Giải a) E y 1945 Ta có 2y xảy Do E y 2y 0, y nên 1945 2y 1945, y Mặt khác, E y 4,5 1945, y 1945 nên E y 1945, y ; dấu “=” 4,5 Vậy max E(y) 1945 y 2016 b) F y y 4,5 , y , ta có: y y 9 y 9 2016 Từ suy ra: y Nên F y 2016 Mặt khác, F 9 224 y ; dấu “=” xảy Vậy max F y 224 y 2016 5 2016 224 y Dạng mà biến số có giá trị nguyên (hoặc tự nhiên) Ví dụ 3: Tìm số ngun x để: a) Biểu thức A đạt giá trị lớn với A 2015 ; 2019 x b) Biểu thức B đạt giá trị nhỏ với B 1930 x  Tìm cách giải: Với x Z A B phân số Với phân số dương có tử số dương khơng đổi phân số có giá trị lớn mẫu số dương nhỏ Với phân số âm có tử số dương khơng đổi phân số có giá trị nhỏ đối phân số có giá trị lớn Giải a) Điều kiện x 2019 Ta xét hai trường hợp sau: * Nếu x 2019 2019 x , mà 2015 nên A * Nếu x 2019 2019 x , mà 2015 nên A Do muốn A max phải chọn x cho A Khi A max 2019 2019 Vậy A x mà x Z nên 2019 x x , tức chọn x 2019 2015 số dương Ta có 2019 2015 đạt giá trị lớn 2015 2019 x x x hay x 2018 2018 b) Điều kiện x Ta xét hai trường hợp sau: * Nếu x x , mà 1930 nên B * Nếu x x , mà 1930 nên B Do muốn Bmin phải chọn x cho B Khi Bmin số đối Bmax hay , tức chọn x 1930 x x 1930 số max dương Ta có x mà x Z nên Vậy B 1930 đạt giá trị nhỏ x x hay x x 1930 x 4 Ví dụ 4: Tìm số nguyên y để: 58 3y ; 19 y a) Biểu thức C đạt giá trị lớn với C 59 2y y 25 b) Biểu thức D đạt giá trị nhỏ với D  Tìm cách giải: Với y Z C D phân số Ta biến đổi C D 57 3y 19 y 19 y 19 y 9 50 2y y 25 y 25 y 25 19 y y 25 E F lý luận tương tự ví dụ Giải a) Điều kiện y C 57 3y 19 y 19 ta có: 19 y 19 y * Nếu y 19 19 y 19 y mà nên E E với E 19 y * Nếu y 19 19 Ta có Cmax Khi Emax Ta có 19 19 y 0 tức chọn y 19 (do số dương) 0; y Z nên 19 y y y b) Điều kiện y mà nên E Emax Muốn E max phải chọn y cho E Ta có max C D y 19 y y 18 18 25 , ta có: 50 2y y 25 y 25 y 25 y 25 F Ta xét hai trường hợp sau: * Nếu y 25 y 25 mà nên F * Nếu y 25 y 25 mà nên F Do muốn Fmin phải chọn y cho F Khi Fmin số đối Fmax hay , tức chọn y 25 y 25 y 25 số max dương Ta có 25 Vậy D y mà y Z nên 25 y 25 59 2y đạt giá trị nhỏ y 25 11 y y hay y 24 24 Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa nhiều biến Ví dụ 5: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x, y,z x y 2 z b) Tìm giá trị lớn biểu thức 4; 2016 P x, y x 2018 y ; 2019 c) Tìm giá trị lớn Q x, y 224 xy biết x y 5xy 180  Tìm cách giải: a) Biểu thức có ba biến, xác định với giá trị x,y z Lưu ý: x z 0, x R; y 2 0, y R z R b) Lưu ý tính chất nghịch đảo số dương Với a b hai số dương: Nếu a b c) Từ x y a b 180 tìm hệ thức Q x, y nhỏ số 5xy Giải a) M x, y,z Do x Nên x x y 0, x R; y M 1; 2;3 y 1 Do M x, y,z 2 2 2 z 2 z 0, y R; z 0, z R 4, x R, y R, z R 3 4 4, x R, y R, z R dấu “=” xảy Vậy M x, y,z x b) x R, y R ta có x 1; y 2018 2;z y 2019 2016 P x, y x Mặt khác 2018 y 2019 224 224 2016 224 224 x 1; y 2;z P 2016 2018;2019 2018 2016 224 Ta có P x, y Dấu “=” xảy c) Do x y xy Vậy maxQ x, y 2018 2019 2019 2016 224 224 9 x R, y R 2019 x 2018; y 5xy 180 nên Q x, y Do x R, y R ta có Và Q x, y x y y y x y x 36 x y 36 y y Ví dụ 6: Cho a,b số tự nhiên khác Biết Tìm giá trị lớn biểu thức A x 36 nên Q x, y 36 x 36 x xy a b 10 2020 a b  Tìm cách giải: A phân số dương có tử số 2020 khơng đổi Vì muốn A đạt giá trị lớn a b phải đạt giá trị nhỏ Để tìm a b ta phải tìm giá trị có a b tìm giá trị nhỏ a b Ta thấy 1 từ a;b Chú ý tính chất nghịch đảo hai số tự nhiên m,n a b 1 khác 0: m n m n Giải Do a Do a b a a;b không tổng quát giả sử a 1 Ta có b a N a nên a b a hay a 10 (1) a a b Với a ta có 10 b Từ (1) (2), ta có: a 2020 Vậy max A b b b (2) 3;4 404 C Bài tập vận dụng Dạng đưa biểu thức dạng f x m f x 18.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) f x 1,5x b) g x 2x c) h x 64 d) p x x2 4,5 3x 12 ; 2x 16 ; 23 ; x4 x6 x 98 x100 2015 22015 18.2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A y 15 30 2y ; 2015 b) B y 5y 2 c) C y 10y ; 2018 198 200 17 19 ; 100 d) D y 2y 18.3 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S 5x 4x 10 ; x4 n 2x b) Tìm giá trị lớn biểu thức: T c) Cho a số a M 8y8 2a y 4y8 a 2 4x ; x4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2a Dạng mà biến số có giá trị nguyên (hoặc tự nhiên) 18.4 Tìm số nguyên x để: a) Biểu thức A đạt giá trị lớn với A 16 ; x b) Biểu thức B đạt giá trị nhỏ với B 1945 x 1930 18.5 Tìm số nguyên y để: a) Biểu thức C đạt giá trị lớn với C 36 3y ; 11 y b) Biểu thức D đạt giá trị nhỏ với D 21 y ; y 18.6 Tìm giá trị số tự nhiên n để phân số P 11n 47 có giá trị lớn 2n Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa nhiều biến 18.7 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) f x, y x b) g x, y x y 2y y 25 ; 4; c) h x, y d) k x, y,z 2x x y y 2z x x ; y y 18.8 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A x, y 2017 b) B x, y 16 y x 2 x 100 ; 2 y2 ; x2 24 c) C x, y d) D x, y 11y 2x x y x 2 y y 2 100 2 ; 18.9 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x, y,z x 2 y 2 2z 4; b) Tìm giá trị lớn biểu thức 15 N x, y,z 2x y c) Tìm giá trị lớn P x, y 10 4z b 2xy biết x 18.10 Cho a, b, c số nguyên Biết a tổng a 2016 5b;b ; y 5c c 0,1xy 10 25 Tìm giá trị lớn c 18.11 Tìm giá trị lớn tỷ số số có ba chữ số với tổng chữ số HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 18.1 a) f x 12 x b) Điều kiện để thức có nghĩa: x Ta có: g x 2x 3x Dấu “=” xảy 16 20 x Vậy g x x 20 c) Điều kiện để thức có nghĩa: 64 với x 32 64 Dấu “=” xảy x 64 32 Vậy h x 0;x x2 x4 x6 Dấu “=” xảy x 22016 x Vậy p x 2x 0;x 0; ;x 98 x 98 x100 2x x 0;x100 0; 22015 23 22015 15 y b) y ta có 5y 15 5y 2018 2015 Từ suy B y 5y Dấu “=” xảy y Vậy max B y 2015 2018 c) Ta có 2 2018 2015 2018 2018 0,8 y 198 0,8 200 23 32 18.2 a) max A y 32 23 2015 x Ta có h x 2x x d) Ta có x x nên p x 3x 200 100 : 10100 22015 22016 17 19 max C y 1 19 10 : 2 100 10100 0,5 ; y d) Điều kiện để 100 có nghĩa 2y 2y y Ta có với y Do 2y 2y Vậy max D Dấu “=” xảy y y 18.3 a) S 5x Dấu “=” xảy Vậy minS b) T x4 4x 10 x4 2x x x x4 x4 Vậy maxT x Ta có a 2a y 4y8 a 4y a 2 Dấu “=” xảy y Vậy M y 18.4 4x x4 x c) M x4 Dấu “=” xảy 8y8 4x 4x x4 4x 2 2a 4y8 4x 2 x4 a2 2a y 4y8 a2 2a y 0; y nên 4y8 a 2 2 2a y 4y8 a 2 y M y a) Điều kiện x Nếu x x , mà 16 nên A Nếu x x , mà 16 nên A Do muốn A max phải chọn x để A Khi A max x mà x Z nên x x hay x Vậy max A 16 b) Điều kiện x x 1930 Nếu x 1930 x 1930 B Nếu x 1930 x 2019 B Do muốn Bmin phải chọn x cho B , tức chọn x 1930 Khi Bmin số đối Bmax hay 1945 1930 x 1930 x 1930 x hay x x 1929 1929 max Ta có B đạt giá trị nhỏ 1945 18.5 a) Với y Z; y C 11 C phân số 11 y 11 y 36 3y 11 y Đáp số: max C b) Điều kiện y , ta có: D Đáp số: D y 20 3 11 y 10 y 19 21 y y y y 2 19 y 18.6 P 11n 47 2n Đáp số: max P 11 2n 2n 22n 94 2n n 18.7 a) f x, y x Dấu “=” xảy 2 2y x 2y 25 x y 25 0,5 11 2n Vậy f x, y b) g x, y x y 25 x y y x Dấu “=” xảy Vậy f x, y 0,5 y 3 y x y 2x y x y Ta có: x; y 2x x y 2 x 2x y x 2x y x 1 x y d) x; y;z k x, y,z x Vậy h x, y Dấu “=” xảy Vậy k x, y,z y y 2z x y y 2z 0 x y 2,5 y x y 2,5 z x z x x y Dấu “=” xảy 2 1 Do đó: c) h x, y 18.8 y 5 a) A x, y 2017 11y Dấu “=” xảy 11x Vậy max A x, y Dấu “=” xảy Ta tìm x y 16 x 100 y 11 x y x y y2 Do max B x, y x y x y 2 2017 x 11 y y2 2x 2x 3 y 0 x 15 y Do max C x, y x y x d) D x, y x y x y x 17 x 15 y y 16 y x2 100 24 Ta tìm x y 16 c) x; y C x, y Dấu “=” xảy x 100 x 100 2017 b) x; y B x, y 2 2 17 96 96 2 x y 2 Do x; y ta có x y 2 96 nên x 96 Và x y x y Dấu “=” xảy y 2 50 2 2 Vậy max D x, y x y 50 18.9 a) M x, y,z b) max N x, y c) Do x y x x 0,1xy 1; y 2; y Và P x, y 200 20 x 2xy Vậy max P x, y 3;z 1,5 504 10 nên P x, y Do x R, y R ta có 20 x Nên P x, y 2;z y y 2 2xy x 18.10 Ta có c Z , mà c y 10 x y 10 x 25 nên max c a 5b mà max b 119 nên a 594 119 595 a 24 max b Z Ta có A abc a b c 119 max a 594 737 18.11 Gọi số có ba chữ số abc với a,b,c N; a Ta phải tìm max A với A 10 y 24 24 nên b 120 b Z c 10 y 5c mà max c b y 200 b Vậy max a 20 x 200 x 200 200 9; b,c abc a b c 100a 10b c a b c a b c a 99a b c 9b 96 48 99a 9b a b c Mặt khác, ta lại có: 90a a b 99a 9b a b 99a 9b a b 90a a (1) 10a a Vậy max A 100 a 90a a 1;2;3; ;8;9 ;b a b 9a b a b (2) Từ (1) (2), ta suy ra: A Dấu “=” xảy a b 1;2;3; ;8;9 ;b 10 100 90 c c 0 90a a b