phuong phap giai ve ve hinh phu de giai cac bai toan hinh hoc co loi giai

VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TỐN A Phương pháp giải Trong số toán chuyên đề trước, phải vẽ thêm hình phụ giải Trong chuyên đề này, hệ thống vài kỹ thuật hình phụ để giải tốn Mục đích việc vẽ thêm hình phụ Khi vẽ thêm đường phụ, thường nhằm mục đích sau đây: - Đem điều kiện cho tốn hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở hình mới) làm cho chúng có liên quan đến - Tạo nên đoạn thẳng thứ ba (hoặc góc thứ ba) làm cho hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) cần chứng trở lên có mối quan hệ với - Tạo nên đoạn thẳng (hay góc) tổng, hiệu gấp đơi hay đoạn thẳng (hay góc) cho trước để đạt chứng minh tập hình học - Tạo nên đại lượng (đoạn thẳng hay góc) nhau, thêm vào đại lượng mà đề cho để giúp cho việc chứng minh - Tạo nên hình mới, để áp dụng định lý - Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho tốn trở lên dễ chứng minh Các loại đường phụ thường vẽ - Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý cắt đường thẳng khác - Nối hai điểm cho trước cố định - Từ điểm cho trước dựng đuờng thẳng song song với đường thẳng cho trước - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước * Chú ý: Khi vẽ đường phụ phải có mục đích khơng vẽ tùy tiện B Một số ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A 100 Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC AD BD Giải Trang * Tìm cách giải Đây tốn khó nhiên bạn biết lưu tâm đến giả thiết tốn phương pháp kẻ đường phụ tồn trở nên đơn giản Phân tích kết luận, có hai hướng vẽ đường phụ cho tốn - Vì A, D, B khơng thẳng hàng, mà kết luận AD BD BC , vẽ thêm hình phụ cho AD BD đoạn thẳng Sau chứng minh đoạn thẳng BC - Phân tích kết luận, nghĩ tới việc tách BC thành tổng hai đoạn thẳng mà có đoạn thẳng BD (hoặc AD) chứng minh đoạn thẳng lại AD (hoặc BD) Trong hai hướng suy nghĩ trên, lưu ý đến giả thiết tam giác cân biết số đo góc để tính tất góc * Trình bày lời giải - Cách vẽ Trên tia đối tia DB lấy điểm K cho DA DK Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE BA ABC cân A có A Ta có: BED EBD (c.g.c) ABD BAD 100 nên B D1 100 D2 C DE , AD D3 40 60 Mà BD tia phân giác góc B nên B1 Mặt khác: BDC 120 EDC (c.g.c) KDC KCB 80 Vậy BC BD D4 B2 20 60 Từ ta có: DKC DEC BKC cân B BC 180 —100 BK BD MBD (c.g.c) ABD Do BMD 100 Mặt khác BDN BD AD DNM 80 AD DM * , A BA , lấy điểm N cho BN BMD BD 100 (1) BDN cân B nên BND 80 Từ (1) (2) ta có: nên DM DK AD - Cách vẽ Trên tia BC lấy điểm M cho BM Ta có: 80 MDN cân D DN (**) Ta có: NDC NCD 40 Trang DNC cân N, nên NC Từ (*)(**)(***) AD ND (***) NC BC BN NC BC BD AD - Cách vẽ Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF BD, cạnh AB lấy điểm K cho AK AD Ta chứng minh tam giác BKD cân K nên KB KD , mà KB nên KD DC BC BF Vậy BC FC BD AKD BD DC FDC g.c.g AD FC AD AD Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D E thuộc BC cho DAE (D nằm B E) Chứng minh BD2 CE2 45 DE Giải * Tìm cách giải Từ kết luận, để nhận thấy BD, CE, DE thỏa mãn định lý Py-ta-go Do ta tạo tam giác vuông có ba cạnh BD, CE, DE DE độ dài cạnh huyền Do BD, CE, DE nằm đường thẳng Do cần kẻ thêm đường phụ Từ C kẻ CK BD (K A phía BC) Chỉ cần chứng minh KE lấy CK BC DE * Trình bày lời giải Từ C kẻ CK BC lấy CK BD (K A phía BC) Ta có C2 90 —C1 90 —45 CK BD (theo cách dựng) AC AB (giả thiết) Do ACK suy AK EAK Xét A4 ABD c g c , AD, A4 Ta lại có A2 B, A1 45 (giả thiết) nên A1 A3 EAK 45 A3 45 suy ra: EAD EAD có AD AK , AE cạnh Trang chung, EAK EAD EAK 45 EAD DE Từ đây, hiển nhiên ta có (c.g.c), suy KE điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, C 15 Trên tia BA lấy điểm O cho BO AC Chứng minh OBC cân Giải * Tìm cách giải Trong tốn trên, phát thấy 15 suy B C 75 , mà 75 60 số đo 15 góc tam giác Điều gợi ý cho vẽ tam giác BCM hình vẽ Nhờ cạnh tam giác nhau, góc tam giác 60 , chứng minh HMB ABC c.g.c ; MOB MOC c.g.c dẫn tới OBC cân O Do nên nghĩ tới việc vận dụng vẽ thêm tam giác vào giải tốn * Trình bày lời giải Ta có: ABC; A 90 ; C 15 gt B 75 Vẽ tam giác BCM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) Ta có: OBM ABC MBC 75 Gọi H trung điểm OB 60 15 HO HB OB từ ta có AC Mặt khác BO AC (gt) nên AC Xét HMB MB BC (cạnh Do HMB MBH ABC có: BH OB AC (cmt) HBM ACB BH 15 ; BMC) ABC (c.g.c) MOH có MHB H MHO A 90 90 , BH MH OB HO , MH chung Trang MBH BMO MOH 180 2.15 OBM Vậy MOB OBM BOM 15 150 Từ MB = MC, CMO Do BOM 150 , OM cạnh chung BMO MOC c g c OB OC OBC cân O (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD Trên tia BA lấy điểm E cho BE = 2CD Chứng minh EDB 90 Giải * Tìm cách giải Từ giả thiết BE = 2CD, gợi ý cho vẽ trung điểm F BE Muốn chứng minh EDB 90 mà FB = FE, nên cần chứng minh BF = FD = FE * Trình bày lời giải - Cách Gọi F trung điểm BE FB = CD (cùng BE ) Mà AB = AC (tam giác ABC cân A) nên AF = AD Suy tam giác AFD cân A Từ AFD ABC (cùng BAC 180 ) Suy DF // BC (hai góc đồng vị nhau), nên FBD FDB (cùng DBC ) Điều dẫn đến tam giác FBD cân F, hay FD BE FB Tam giác BDE có F trung điểm cạnh BE DF BE nên tam giác BDE vuông D hay EDB 90 (điều phải chứng minh) - Cách Từ D kẻ DF / / BC F AB Suy FDB CBD (so le trong) FDB FBD Mặt khác, FBD cân F AFD BF FD ABC cân A, suy AF = AD, AB = AC Trang BF = CD Từ suy BF = FD = FE tam giác BDE vuông D hay EDB 90 (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho tam giác ABC (AB < AC), kẻ AH vng góc với BC H Gọi M trung điểm BC Biết AH AM chia góc A thành góc Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC vuông b) Tam giác ABM tam giác Giải * Tìm cách giải Muốn chứng minh tam giác ABC vuông A ta cần kẻ thêm đường thẳng vng góc với AC chứng minh đường thẳng song song với AB, từ suy AB AC suy A 90 * Trình bày lời giải a) Vẽ MI vng góc với AC AHM MAI AIM có AHM MAH(c.h g.n) AHM HAM HAB BH MH Vậy BAC 90 , AM cạnh chung, HAM AIM MI MH AHB có AHM AHB AHM AHB g.c.g BM MI 60 : 90 b) Ta có C 30 B IAM 90 , AH cạnh chung, MC BH C MH 30 ; HAC 60 Tam giác ABC vuông A 60 ; AM BM BC tam giác ABM cân có góc 60 tam giác ABM * Nhận xét: Trong toán có yếu tố tưởng chừng khó giải, nhiên, đường vẽ thêm ( MI AC ) tốn lại trở nên dễ dàng, qua thấy rõ vai trò việc vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học Trang Ví dụ Cho tam giác ABC với BAC 40 ABC 60 Gọi D E theo thứ tự điểm nằm cạnh AB AC cho DCB 70 EBC 40 ; F giao điểm DC EB Chứng minh AF vng góc với BC Giải Trên AC lấy điểm N cho ABN nên 40 Ta có ABN ABN cân BNC BAN N, 40 suy 80 (tính chất góc ngồi tam giác) Do BNC suy BCN BCN cân B 80 BN BC (1) BFC có FBC 40 , FCB BFC 70 Vậy BFC cân B 70 nên BF (2) BC Từ (1) (2) suy BN = BF (3) Kéo dài BC lấy điểm M cho BM = BA ABM Xét ABN ABN đều), FB MBF có AB = MB, BN = BF (do (3)), ABN MBF (c.g.c) Mà FM Mặt khác, ABF ABN cân N, suy AMF c.c.c , suy BAF FBM 40 , MBF cân F Từ AB = AM (do ABM MAF ABM nên AF vng góc với BC * Nhận xét: - Bài tốn tương đối khó phải vẽ thêm nhiều đường phụ - Ngồi cách giải đây, dựng thêm tam giác BCK tam giác AFH, đến kết luận toán C Bài tập vận dụng 12.1 Cho ABC (AB = AC), cạnh AB lấy điểm D, phần kéo dài cạnh AC lấy điểm E Cho BD = CE Gọi F giao điểm DE BC Chứng minh DF = FE 12.2 Cho ABC có B 45 ; A 15 Trên tia đối tia CB lấy D cho CD = 2.CB Tính ADB Trang 12.3 Ở góc nhọn xOy vẽ Oz cho xOz yOz Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc Ox cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD = OA Chứng minh tam giác AOD cân 12.4 Cho ABC có ABC lấy điểm N cho MBN 50 ; BAC 70 Tia phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC 40 Chứng minh rằng: BN MC 12.5 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia CB, lấy điểm D cho CAD 15 Đường vng góc với BC C cắt AD E Tia phân giác góc B cắt AD K Chứng minh AK = ED 12.6 Cho tam giác ABC với trung điểm M BC Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB kẻ đoạn thẳng AE vng góc với AB cho AB = AE Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF = AC AF vuông góc với AC Chứng minh EF AM EF AM 12.7 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi E trung điểm cạnh AC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BE cắt BC D Chứng minh AD = 2ED 12.8 Về phía ngồi tam giác ABC, dựng tam giác XBC cân X có góc BXC 120 tam giác YCA, ZAB Chứng minh XA vuông góc với YZ 12.9 Cho tam giác ABC vng A ABC 54 Gọi M trung điểm BC Đường thẳng AM đường phân giác CD tam giác cắt E Chứng minh CE = AB 12.10 Cho ABC vuông A, AB < AC Vẽ AH vng góc với BC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AB Gọi I trung điểm BD Chứng minh BIH ACB Trang HƯỚNG DẪN GIẢI 12.1 Cách Từ D kẻ DH / / AC H BC suy DHB ABC ACB DH DHB DHB cân D ABC DH ACB , mà DB CE DHF Suy ECF có DHF DHE ECF, DH ECF g.c.g DF CE, HDF CEF FE - Cách Từ E kẻ EK / / AB K BC ABC CKE , mà ABC ACB CKE ECK ECK cân E BDF BDF ACB CKE CE KEF có DBF KE BD EKF, BD KE KE , KEF Suy BDF KEF g.c.g - Cách Hạ DH BDH DF BC, EK CEK có BHD FE BC H, K BC 90 , CKE BD = CE, DBH KCE Suy ECK (cạnh huyền, góc nhọn) DBH DH = EK HDF KEF có DHF EKF DH = KE, DFH KFE Suy EKF g.c.g DHF 90 , DF FE Tóm lại: Chứng minh DF = EF dựa vào cặp tam giác nhau, cần tạo cặp tam giác 12.2 Tìm cách giải Dễ thấy DCA 60 mà CD = 2.BC nên ta nghĩ tới tam giác vng có góc nhọn 60 Ta hạ DE Dễ thấy AC CD BED 2.CE CE CB BEA cân E EAD cân E Từ tính được: Trang ADE 45 , EDB ADB 30 12.3 Đặt xOz yOz 75 Lấy điểm E Bz cho OE = OA 180 AEB AEB AEO cân O 2 ; ABE 90 AEB ABE AED ABO;OB AOB OBH 90 ED; AE ADE c.g.c AB AO AD 70 C AOD cân 12.4 ABC có A 50 ; B 60 CM tia phân giác C nên MCA Ta có: NBC B Ta có: MNB MCB MBN 50 —40 NBC MCB 30 10 30 10 40 (góc ngồi NBC ) MNB cân M Từ M vẽ MH BC ta có MH Từ M vẽ MK BN Xét MKB MBK BMH MH MKB 40 BKM 90 , BM cạnh chung, BHM (cạnh huyền, góc nhọn) KB (3) 12.5 Kẻ BH BDK có AKB BN MC (điều phải chứng minh) AD; CI AD KBD KDB 30 45 75 ABK có BAK BH BN (2) KN BHM có BHM Từ (1), (2) (3) AKB BK MC (1) AKB 75 , AK nên AH = KH Trang 10 BH tia phân giác ABK nên ABK ABH 15 CDE có ECD Kẻ CI CDE vng cân C ED suy EI = ID = CI suy ED = 2.CI AHB nên 45 nên 90 ; CDE CIA có AHB CIA 90 ; AB AC; ABH CAI 15 CIA (cạnh huyền - góc nhọn) suy AH = CI Từ suy AK = ED AHB 12.6 Trường hợp BAC 90 , kết hiển nhiên Ta chứng minh cho trường hợp BAC 90 Trường hợp BAC 90 , cách chứng minh hoàn toàn tương tự Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD Nối B với D Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt AD G Xét hai tam giác AMC DMB có AM = MD; AMC DMB; BM Nên DMB (c.g.c), suy CAM AMC Ta có AE MC AB; BG BDM (1) BD = AC AB nên BG // AE suy EAM Mà BGA GBD BDM EAM EAC Nên từ (1) (2), (3) suy EAC Ta có AE = AB; EAF ABD 180 CAM BGA (so le trong) (2) (3) GBD BAC ; BD = AF (=AC) Do ABD (c.g.c) EAF Suy EF = AD, Mà AD = 2.AM (cách vẽ) nên EF = 2AM Do EAF ABD nên AEF BAD Mà BAD DAE 90 nên AEF DAE 90 Suy AM EF (điều phải chứng minh) Trang 11 12.7 Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AC cắt tia AD F Do AB = AC, ABE CAF (cùng phụ với góc AEB); BAE 90 nên ACF BAE ACF g.c.g CE AE CF CF Suy CED CFD c.g.c Trên tia DE lấy điểm G cho EG = ED, AEG AEG CED có AE = CE, ED suy CED, EG AEG CED c.g.c CDE AG // DC, DAG AGE FDC (đồng vị) suy DAG DGA DAG cân D, hay DA = DG = 2DE (điều phải chứng minh) Vậy 12.8 Gọi E giao điểm XA với YZ Trên nửa mặt phẳng bờ XC không chứa A lấy điểm K cho Ta có XK = XA KXC AXK BXC XCK XBA AXB suy 120 Do XAK 30 Mặt khác, ta có CK = BA = AZ (vì XBA XCK ACK C ACB 30 BCX 240 360 suy CAK CAK XCK B 30 ABZ đều) ; CA = AY (vì 60 YAC C XBA 30 180 ZAB YAZ YCA đều); A YAZ ; AYZ (c.g.c) AYZ EYA Ta có: EAY CAK 180 EAY có EAY EYA YAC XAK 90 , suy AEY 180 60 30 90 Vậy XA 90 YZ Trang 12 12.9 * Trên tia đối tia MA lấy A’ cho MA’ = MA Khi MBA (c.g.c), MCA suy CA' = AB (1); MCA MBA Do ACA Từ ABC 54 ACB BCA CA A c.g.c 36 54 90 AA BC; MC MA BC, MAC MCA 36 Mặt khác, CD phân giác ACB nên ECA 18 , A EC góc ngồi tam giác AEC nên A EC EAC ECA 36 18 54 EA C , suy tam giác ECA’ cân C, nên CE = CA’(2) Từ (1) (2) suy CE = AB 12.10 Kẻ DE BC E, DF AH F Xét tam giác vng ABD EBD Có IB = ID nên AI Ta có ABH nhọn) AH HED BD EI DAF (cạnh huyền, góc DF (1) DFH (cạnh huyền, góc nhọn) Từ (1) (2), suy ra: AH = HE Từ IHA Mà IBH IHE 90 : 45 Ta có BIH FDI (so le trong) BIH HE IHA IBH DF (2) IHE (c.c.c) IHE 45 ADF Lại có ADF ACB (đồng vị), suy BIH ACB (điều phải chứng minh) Trang 13 ... minh BD2 CE2 45 DE Giải * Tìm cách giải Từ kết luận, để nhận thấy BD, CE, DE thỏa mãn định lý Py-ta-go Do ta tạo tam giác vuông có ba cạnh BD, CE, DE DE độ dài cạnh huyền Do BD, CE, DE nằm đường... AH = KH Trang 10 BH tia phân giác ABK nên ABK ABH 15 CDE có ECD Kẻ CI CDE vng cân C ED suy EI = ID = CI suy ED = 2.CI AHB nên 45 nên 90 ; CDE CIA có AHB CIA 90 ; AB AC; ABH CAI 15 CIA (cạnh huyền... CFD c.g.c Trên tia DE lấy điểm G cho EG = ED, AEG AEG CED có AE = CE, ED suy CED, EG AEG CED c.g.c CDE AG // DC, DAG AGE FDC (đồng vị) suy DAG DGA DAG cân D, hay DA = DG = 2DE (điều phải chứng