Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và các bài toán cực trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Một số đẳng thức dùng phương pháp lượng giác hóa 1.1 Các hàm lượng giác dùng đặt ẩn phụ 1.2 Một số đồng thức lượng giác tam giác 1.3 Các hệ thức lượng giác để giải phương trình bậc hai bậc ba Phương pháp lượng giác hóa ước lượng nghiệm phương trình bất phương trình 10 2.1 Phương pháp lượng giác hóa ước lượng nghiệm phương trình 10 2.2 Xây dựng phương trình đại số dựa vào hệ thức lượng giác 15 2.3 Sử dụng lượng giác để khảo sát bất phương trình 24 Bất đẳng thức đại số toán cực trị giải biến đổi lượng giác 28 3.1 Bất đẳng thức đại số giải biến đổi lượng giác 29 3.2 Sử dụng lượng giác hóa tốn cực trị 42 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 i Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trong chương trình Tốn học phổ thơng, chun đề lượng giác đóng vai trị công cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số hình học Trong thực tiễn, lượng giác đặc trưng lượng giác chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc Trung học phổ thông, đồng thời ứng dụng ln hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên Mục tiêu luận văn “Phương pháp lượng giác bất đẳng thức tốn cực trị” nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức toán cực trị nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương trình bày mối liên hệ số đẳng thức đại số lượng giác để sử dụng lượng giác hoá phần sau Chương trình bày số phương trình bất phương trình đại số giải phương pháp lượng giác Chương trình bày số ứng dụng lượng giác bất đẳng thức tốn cực trị đại số Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học, khoa sau đại học - Đại học Thái Nguyên, thầy, giảng dạy lớp cao học khố (2011-2013) trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập Tôi xin cảm ơn gia đình đồng nghiệp ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Xin chân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thu Phương Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số đẳng thức dùng phương pháp lượng giác hóa 1.1 Các hàm lượng giác dùng đặt ẩn phụ Khi giải số dạng toán đại số, nhiều ta gặp phải tốn khó giải kĩ thuật biến đổi phức tạp Trong số có nhiều lớp tốn chuyển dạng toán lượng giác cho cách giải đơn giản dễ dàng Việc chuyển từ toán đại số hệ thức, hay phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác thường gọi phương pháp “lượng giác hoá” Nhằm lượng giác hoá toán đại số sơ cấp, ta sử dụng nhận xét sau: Nếu −1 ≤ x ≤ tồn số α β với − π π ≤ α ≤ , ≤ β ≤ π cho 2 sin α = x cos β = x Nếu ≤ x ≤ tồn số α β với ≤ α ≤ π π ,0 ≤ β ≤ cho 2 sin α = x cos β = x π π cho tan α = x Nếu số thực x y thoả mãn hệ thức x2 + y = tồn số α với Với số thực x tồn số α với − < α < ≤ α ≤ 2π cho x = cos α y = sin α b−a b+a cos t + với ≤ t ≤ π 2 b−a b+a π π π x= sin t + với − ≤ t ≤ x = (b − a) cos2 t + a với ≤ t ≤ 2 2 x = tan t với arctan a ≤ t ≤ arctan b Nếu x ∈ [a; b] ta đặt : x = Ngồi cịn có số dấu hiệu nhận biết tốn giải Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ phương pháp lượng giác hố • Nếu biến x tham gia toán thoả mãn điều kiện |x| ≤ a (a > 0), π π ta lượng giác hoá cách đặt x = a sin α với α ∈ − ; đặt 2 x = a cos α với α ∈ [0; π] • Nếu hai biến x, y tham gia tốn có ràng buộc a2 x2 + b2 y = c2 với c sin α c cos α a, b, c > 0; ta lượng giác hố cách đặt x = ;y = a b với α ∈ [0; 2π] • Trong số tốn, có xuất biểu thức tương tự với cơng thức lượng giác đó, ta sử dụng công thức lượng giác tương ứng để đặt ẩn phụ Chẳng hạn : +) Biểu thức √ x2 + x2 + tương tự công thức + tan2 t = π π 2 cos2 t với t ∈ − ; +) Biểu thức 4x3 − 3x tương tự công thức cos3 t − cos t = cos 3t +) Biểu thức 2x2 − tương tự công thức cos2 t − = cos 2t 2x tan t tương tự với công thức tan 2t = − x2 − tan2 t x+y tan α + tan β +) Biểu thức tương tự công thức tan(α + β) = − xy − tan α tan β +) Biểu thức 1.2 Một số đồng thức lượng giác tam giác Tiếp theo, ta nhắc lại số đẳng thức lượng giác quen biết tam giác chương trình tốn phổ thơng để áp dụng chứng minh số dạng bất đẳng thức đại số toán cực trị Chương Tính chất 1.1 Với tam giác ABC ta có cos A + cos B + cos C = + sin A B C sin sin 2 (1.1) Tính chất 1.2 Với tam giác ABC ta có sin2 A + sin2 B + sin2 C = + cos A cos B cos C Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.2) Tính chất 1.3 Với tam giác ABC ta có tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 (1.3) Tính chất 1.4 Với tam giác ABC , ta có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C (1.4) Tính chất 1.5 Với tam giác ABC , ta có cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = (1.5) Tính chất 1.6 Với tam giác ABC ta có cot 1.3 A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 (1.6) Các hệ thức lượng giác để giải phương trình bậc hai bậc ba Nhờ cách biểu diễn hàm lượng giác qua số phức (chỉ dùng để biến đổi hình thức) ta áp dụng để giải số dạng tốn Đặt a = et , ta có e3t + e−3t = a + 2 a e3t − e−3t i sin 3it = i sin i(3t) = = a − 2 a Lại có cos(3it) = cos it − cos it; sin(3it) = sin it − 4sin3 it, cos 3it = cos i(3t) = nên i sin(3it) = 3i sin it − 4isin3 it = 3i sin it + 4(i sin it)3 Từ suy đẳng thức a + a với p = a − a = 4p3 − 3p, = 4q + 3q, 1 1 a+ ;q= a− a a Tiếp theo, ta viết phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a = Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1) dạng 2y − = m để sử dụng hệ thức cos 2t = cos2 t − để giải biện luận phương trình bậc hai Tương tự, phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = b ta thu phương trình dạng y + py + q = 3a p Khi p > ta đặt ẩn phụ y = t, ta thu phương trình 4t3 + 3t = m p Khi p < ta đặt ẩn phụ y = − t, ta thu phương trình 4t3 − 3t = m cách đặt x = y − Các phương trình giải đẳng thức đại số lượng giác tương ứng Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau với nghiệm thực a) 4x3 − 3x = m với |m| ≤ 1, b) 4x3 − 3x = m với |m| > Bài giải a) Vì |m| ≤ 1, nên ta đặt m = cos α = cos(α ± 2π) với α ∈ [0; π] Do cos α = cos3 α α α α − cos nên 4x3 − 3x = cos3 − cos 3 3 Vậy phương trình cho có ba nghiệm là: α α + 2π α − 2π x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos 3 b) Vì |m| > 1, nên ta đặt m = a + a √ với a3 = m ± m2 − Khi 4x3 − 3x = a + a Theo công thức (1) ta suy phương trình cho có nghiệm thực x0 = 1 a+ a = m2 − + m+ m− m2 − Ta chứng minh x0 nghiệm thực phương trình Thật vậy, x0 nghiệm phương trình 4x3 − 3x = m, nên ta có 4x30 − 3x0 = m Suy 4x3 − 3x = 4x30 − 3x0 ⇔ x3 − x30 = 3(x − x0 ) Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ⇔ (x − x0 )(4x2 − 4xx0 + 4x20 − 3) = Vì 4x2 − 4xx0 + 4x20 − = có ∆ = 12 − 12x20 < (do |x0 | > 1) nên phương trình khơng có nghiệm thực Vậy phương trình 4x3 − 3x = m có nghiệm thực x0 = m2 − + m+ m2 − m− Ví dụ 1.2 Giải biện luận phương trình sau theo m: 4x3 + 3x = m Bài giải Đặt m = a − a √ với a3 = m ± m2 + Suy 4x3 + 3x = a − a Theo cơng thức (1) suy phương trình có nghiệm x0 = 1 a− a = m2 + + m+ m− m2 + Ta chứng minh x0 nghiệm phương trình Thật vậy, xét hàm số y = 4x3 + 3x Ta có y = 12x2 + > 0, ∀x ∈ R Vì y hàm số đồng biến nên x0 nghiệm phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 3.4 (Xem [5]) Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: abc + a + b = c Tìm giá trị lớn biểu thức: Q= 2(1 + ab) c + 2 (1 + a )(1 + b ) + c2 Nhận xét 3.9 Tương tự cách biến đổi ví dụ 3.3, ta có lời giải Bài giải Từ điều kiện ta có 1 a.b + b + a = c c (32) Đặt: a = tan A B C , b = tan , = tan ; A, B, C ∈ (0; π) 2 c Từ giả thiết (32) (1.3), ta có A + B + C = π Với cách đặt + a2 + b c 1 c + = + + 2 2 (1 + a )(1 + b ) + c 1+a 1+b + c2 C √ tan 1 3 = + + = + (cos A + cos B + sin C) ≤ + A B C 2 + tan + tan + tan 2 Q≤ Suy √  3 max Q = + ,   π A=B= → 2π C= a = b√= − c= √ Ví dụ 3.5 (Xem [5]) Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: ab = + bc + ca Tìm giá trị lớn biểu thức Q= a2 b2 c + + 2 a +1 b +1 c +1 45 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Nhận xét 3.10 * Khi thay đổi giả thiết ví dụ 3.3,3.4 giả thiết khác ta tốn mà cách giải khơng thay đổi * Ta thực phép biến đổi giả thiết 1 1 ab = + bc + ca ⇔ + c + c = a b b a * Ta có cách giải toán sau Bài giải Từ điều kiện ta có 1 1 + c + c = a b b a (33) Đặt A B C = tan , = tan , c = tan ; A, B, C ∈ (0; π) a b 2 Từ giả thiết (33) (1.3), ta có A + B + C = π Với cách đặt ta có Q= 1 + tan2 A + tan 1 + tan2 B + C + tan2 C = cos2 A B + cos2 + sin C 2 (cos A + cos B + sin C) + 2√ 3 ≤ +1 = Suy √  3 max Q = + 1,   π A=B= → 2π C= a =√ b=2+ c= √ Ví dụ 3.6 (Xem [5]) Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: ab = + bc + ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ b 3.c P = + − a +1 b +1 c +1 Bài giải 46 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Từ điều kiện ta có 1 1 + c + c = a b b a (34) Đặt A B C = tan , = tan , c = tan ; A, B, C ∈ (0; π) a b 2 Từ giả thiết (34) (1.3), ta có A + B + C = π Ta có √ √ A B C tan tan + 2 = √3sin2 A + sin B − P = − A B C 2 + tan2 + tan2 + tan2 2 √ √ √ 3 = (1 − cos A) + sin B − sin C = − (cos A + sin C) + 2 √2 ≥ − 3tan2 √ sin C √ sin B + 2 Suy π A=B= → 2π C= √  3−5 minP = ,   a =√ b=2+ c= √ Ví dụ 3.7 (Xem [5]) Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: ab = + bc + ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ 3 P = + − a +1 b +1 c +1 Bài giải Từ điều kiện ta có 1 a.b = a + b + c c Đặt a = tan A, b = tan B, π = tan C ; A, B, C ∈ 0; c Từ giả thiết (35) (1.4), ta có A + B + C = π 47 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (35) Ta có √ √ √ √ 3tan2 C 2 P = + − = cos A + 3cos B − 3sin2 C 2 + tan A + tan √ B + tan C√ √ 3 1 = (1 + cos 2A) + (1 + cos 2B) − (1 − cos 2C) = + (cos 2A + (cos 2B + cos 2C)) 2 2 ≥ − =− 4 Suy √    a=   A= π P = − ,  5π →  B=C=  12 √ b = + √3 c=2− Ví dụ 3.8 (Xem [5]) Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca + abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ P = ab + bc + ca + √ ab + bc + √ ca Nhận xét 3.11 Ta biến đổi giả thiết dạng: bc ca ab + + +2 4 bc ca ab = Và a, b, c số thực dương nên suy bc, ca, ab ∈ (0; 4) Bài giải Đặt √ √ √ π bc = cos A, ca = cos B, ab = cos C; A, B, C ∈ 0; Từ điều kiện tốn, ta có cos2 A + cos2 B + cos2 C + cos A cos B cos C = Từ giả thiết (36) (1.2), ta có A + B + C = π 48 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (36) Ta có P = cos2 A + cos2 B + cos2 C + (cos A + cos B + cos C) = (1 − cos A cos B cos C) + + sin = + sin A B C sin sin 2 A B C sin sin − cos A cos B cos C 2 Vậy P = A = B = C = ≥ π ↔ a = b = c = Ví dụ 3.9 (Xem [5]) Cho ba số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a + b + c + = 4abc Tìm giá trị lớn biểu thức: √ Q= 4bc − + bc √ 4ca − 1 + ca ab Nhận xét * Nhìn vào giả thiết tốn ta khó hình dung tốn có mối quan hệ với đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác * Nhưng sử dụng phép biến đổi: a + b + c + = 4abc ⇔ 1 1 + + +2 = 4bc 4ca 4ab 8abc Và nhận thấy a, b, c ba số thực dương, suy 1 , , ∈ (0; 1) 4bc 4ca 4ab Từ ta có cách đặt để đưa Q dạng lượng giác mà việc tìm giá trị lớn Q đơn giản dùng công thức biến đổi lượng giác Ta có lời giải sau Bài giải Từ điều kiện ta có 1 1 + + +2 = 4bc 4ca 4ab 8abc Do a, b, c ba số thực dương, suy 1 , , ∈ (0; 1) 4bc 4ca 4ab 49 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Đặt 1 π √ = cos A, √ = cos B, √ = cos C; A, B, C ∈ 0; ca bc ab Từ điều kiện tốn, ta có cos2 A + cos2 B + cos2 C + cos A cos B cos C = (37) Từ giả thiết (37) (1.2), ta có A + B + C = π Với cách đặt ta có √ √ 4bc − 4ca − 1 Q= + + = 4cos2 A − + 4cos2 B bc ca ab cos2 A = sin 2A + sin 2B − 4sin2 C + (38) − + 4cos2 C cos2 B Mặt khác sin 2A + sin 2B − 2sin C ≤ sin C − 2sin C = −2 sin C − 2 2 + 1 ≤ 2 (39) Từ (38) (39) suy Q ≤ + = nên   A = B = 5π 12 ⇔ max Q =  C=π √ a=b= √ c=2 3+3 Ví dụ 3.10 (Đề thi Tuyển sinh ĐH, CĐ - 2008B) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x2 + 6xy) · + 2xy + 2y Bài giải Vì x2 + y = nên đặt x = sin t, y = cos t, t ∈ [0, 2π) Khi sin2 t + sin t cos t − cos 2t + sin 2t P = = · + sin t cos t + cos t cos 2t + sin 2t + Gọi y0 giá trị tùy ý P Điều có nghĩa phương trình sau (ẩn t) có nghiệm − cos 2t + sin 2t = y0 cos 2t + sin 2t + ⇔ (6 − y0 ) sin 2t − (y0 + 1) cos 2t = 2y0 − 50 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (40) Vì (40) có nghiệm nên ta phải có: (6 − y0 )2 + (y0 + 1)2 ≥ (2y0 − 1)2 ⇔ y02 + 3y0 − 18 ≥ ⇔ −6 ≤ y0 ≤ Vậy: max P = P = −6 Ví dụ 3.11 (Xem [6]) Cho x2 + y = Tìm giá trị lớn biểu thức A=x √ + y + y + x Bài giải Vì x2 + y = nên đặt x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π) Khi ta có √ √ A = cos t + sin t + sin t + cos t Suy √ √ A2 = cos t + sin t + sin t + cos t ≤ cos2 t + sin2 t (1 + sin t + + cos t) √ π ⇔ A2 ≤ + sin t + cos t = + sin t + ⇒A≤ √ √ + sin t + cos t  √ = π cos t sin t Ta có: A = + ⇔ ⇔t= π sin t + =1 (vì ≤ t < 2π ), √ √ 2 tức sin t = cos t = hay x = y = · √ √ Vậy: max A = + ⇔ x = y = · 2+ √ Ví dụ 3.12 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 2 − + · +1 b +1 c +1 Bài giải Ta có abc + a + c = b ⇔ a + c = b(1 − ac) Nếu ac = a + c = ⇔ a = −c nên a2 = −1 (vơ lý) Vậy, ac = 51 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ a+c − ac π Đặt a = tan α, c = tan β nên b = tan(α + β), với α, β > α + β < · Khi ta có b = Khi 2 − + tan2 α + tan2 (α + β) + tan2 β + = cos2 α − cos2 (α + β) + cos2 β P = = cos 2α + − cos[2(α + β)] − + cos2 β = sin β sin(2α + β) + 3(1 − sin2 β) = 10 − sin β − sin (2α + β) 3 − 10 cos2 (2α + β) ≤ · 3 2α + β = π sin β = sin(2α + β) Dấu "=" xảy ⇔ ⇒  sin β = cos(2α + β) = √ √ √ 2 2 Vì sin β = nên cos β = nên tan β = c = · 3 4 √ √ π tan α Lại có tan 2α = tan − β = cot β = 2 nên =2 2 − tan α √ √ √ 2 π ⇒ tan α = ⇒a= ; b = tan(α + β) = tan − α = cot α = 2 2 √ √ √ 10 2 Vậy max P = a = , b = 2, c = ·  Ví dụ 3.13 Trong nghiệm (x, y) bất phương trình logx2 +y2 (x + y) ≥ (41) Hãy tìm nghiệm cho (x + y) đạt giá trị lớn Bài giải Ta xét hai trường hợp • Nếu x2 + y > ta có (41) ⇔ x + y ≥ x2 + y ⇔ x− 2 + y− 2 ≤ · 52 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (42) y− = phương trình đường trịn tâm √ 2 , bán kính R = · Vì tập hợp điểm M (x; y) nghiệm 1 phương trình x + y ≥ x2 + y hình trịn tâm I , , bán kính 2 x− Mặt khác I 1 , 2 bất √ · 2 x − Đặt y − 2 + R= = r cos ϕ với r ≥ ≤ ϕ ≤ 2π , = r sin ϕ √ Khi (42) trở thành: r ≤ · ≤ ϕ ≤ 2π, đồng thời √ π x + y = + r(cos ϕ + sin ϕ) = + r sin ϕ + suy x+y ≤1+ √ √ = 2 Ta có x+y =2⇔  r sin ϕ + π ⇔  r ϕ =√ ⇔ π = x y =√ =1 =1 =1 • Nếu < x2 + y < (41) ⇔ < x + y ≤ x2 + y Rõ ràng với cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện ta có x + y ≤ x2 + y ≤ Vậy max(x + y) = x = 1, y = Ví dụ 3.14 (Xem [6]) Trong tất nghiệm hệ  x2 + y = 16 z + t2 xt + yz  =9 ≥ 12 (∗) 53 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ tìm nghiệm (x, y, z, t) cho (x + z) đạt giá trị lớn Bài giải Theo ta có  x     y 4 z t +    xt + yz x y4 + =1 =1 ≥ 12 z  = cos β , với ≤ β ≤ 2π  t = sin β = sin α Khi (*) trở thành cos α sin β + sin α cos β ≥ ⇔ sin(α + β) ≥ π suy sin(α + β) = ⇔ α + β = · Đặt = cos α , với ≤ α ≤ 2π Ta có |x + z| = |4 cos α + cos β| = |4 cos α + sin α| = |5 sin(ϕ + α)| ≤ 5, 5 π π Từ z + x = sin(ϕ + α) = ⇒ ϕ + α = ⇔ α = − ϕ 2 với sin ϕ = , cos ϕ = · ⇒ x = cos α = sin ϕ = 16 12 , y = sin α = cos ϕ = , 5 12 z = cos β = cos ϕ = , t = sin β = sin ϕ = · 5 16 12 12 Vậy max(x + z) = x = , y = , z = , t = · 5 5 Ví dụ 3.15 Cho |x| ≤ Tìm giá trị lớn hàm số y = (1 − x)n +(1 + x)n , với n ∈ N∗ Bài giải Vì |x| ≤ nên ta đặt x = cos 2t, có y = (1 − cos 2t)n + (1 + cos 2t)n = 2n sin2n t + 2n cos2n t = 2n sin2n t + cos2n t ≤ 2n sin2 t + cos2 t = 2n Như y ≤ 2n Dấu = xảy sint.cost = hay x = −1 x = Vậy giá trị lớn hàm số 2n 54 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 3.16 Cho x2 + y = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 20x3 − 15x + 36y − 48y Bài giải Vì x2 + y = nên đặt x = sin t y = cos t Khi P = 20sin3 t − 15 sin t + 36 cos t − 48cos3 t = −5 sin t − 4sin3 t − 12 4cos3 t − cos t 52 + 122 = 13 = |5 sin 3t + 12 cos 3t| ≤ hay P ≤ 13 Dấu = xảy sin 3t cos 3t = ⇔ tan 3t = 12 12 Vậy max P = 13 Ví dụ 3.17 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: u= (x + y) (1 − xy) (1 + x2 ) (1 + y ) Bài giải Hàm số cho có nghĩa với x, y π π Hàm số cho trở thành 2 Đặt x = tan α; y = tan β với α, β ∈ − ; sin (α + β) cos (α + β) (tan α + tan β) (1 − tan α tan β) cos α cos β cos α cos β u= = 1 + tan2 α + tan2 β 2 cos α cos β = sin [2 (α + β)] 1 2 π Ta có u = sin [2 (α + β)] = 1, chẳng hạn α + β = Vì −1 ≤ sin [2 (α + β)] ≤ nên − ≤ u ≤ tan (α + β) = ⇔ tan α + tan β =1 − tan α tan β hay x+y = ⇔ x + y + xy = 1 − xy Suy max u = 55 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lại có u = − sin [2 (α + β)] = −1, chẳng hạn α + β = − π tan (α + β) = −1 ⇔ tan α + tan β = −1 − tan α tan β hay x+y = −1 ⇔ xy − x − y = 1 − xy 1 Vậy u = − , max u = 2 Ví dụ 3.18 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = 4xy − 4y x2 + y Bài giải Hàm số cho xác định với x, y không đồng thời Xét hai trường hợp sau a, Với y = 0, x = ta có P = x −4 y b, Với y = chia tử số mẫu số cho y ta P = x +1 y2 x π π Đặt = tan t với t ∈ − ; , ta có y 2 sin t −4 tan t − cos t P = = tan2 t + cos2 t = sin t cos t − cos t √ π = (sin 2t − cos 2t) − = 2 sin 2t − − √ √ π ≤ nên −2 − ≤ P ≤ 2 − √ π π Ta có P = −2 − sin 2t − = −1, chẳng hạn t = − tức x π = tan − y √ π 3π Và P = 2 − sin 2t − = 1, chẳng hạn t = tức x 3π = tan y √ √ Vậy max P = 2 − 2; P = −2 − Vì −1 ≤ sin 2t − 56 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Bài tập tương tự Bài tập 3.1 (Xem [6]) Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c thoả mãn điều kiện : − x2 ax2 + bx + c ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh rằng: 1, |a| ≤ 2, ax2 + bx + c ≤ 3, ∀x ∈ [−1; 1] Bài tập 3.2 (Xem [6]) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2006ac + ab + bc = 2006 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 2 − + · + b + 2006 c +1 Bài tập 3.3 Giả sử x, y số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0; x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =√ x y +√ 1−y 1−x Bài tập 3.4 Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện xy+yz +zx = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x − y2 − z2 + y − z2 − x2 + z − x2 − y2 Bài tập 3.5 (Xem [6]) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số √ u = 2x + 3y + với 4x2 + 9y = 16 Bài tập 3.6 (Xem [6]) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2abc = Tính giá trị nhỏ biểu thức T = 1 + + − (a2 + b2 + c2 )· 2 1−a 1−b − c2 57 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Luận văn “Phương pháp lượng giác bất đẳng thức tốn cực trị” trình bày vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số dạng toán liên hệ lượng giác số đẳng thức đại số Tiếp theo, xét số lớp tốn phương trình, bất phương trình giải phương pháp lượng giác Cuối cùng, luận văn trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đại số 58 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo Dục [5] Trương Ngọc Đắc, Một số ứng dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác, Kỷ yếu Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi khu vực Duyên hải, Nam Trung Bộ Tây Nguyên, Quy Nhơn, 20-21/4/2013 (Nguyễn Văn Mậu, Trần Đức Minh chủ biên), trang 24-42 [6] Lại Thị Quỳnh Nguyên, Một số ứng dụng lượng giác Đại số Giải tích Kỷ yếu Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi , Trường Phổ thông vùng cao Việt Bắc, Thái Nguyên, 0203/11/2012, trang 66-91 [7] Các thi Olympic Tốn trung học phổ thơng Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo Dục 59 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... viên Mục tiêu luận văn ? ?Phương pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị? ?? nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức toán cực trị nhằm tạo đề tài phù... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người... Phương pháp lượng giác hóa ước lượng nghiệm phương trình bất phương trình 10 2.1 Phương pháp lượng giác hóa ước lượng nghiệm phương trình 10 2.2 Xây dựng phương trình đại số dựa vào hệ thức lượng