Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bất phương trình đại số

Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bất phương trình đại số Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bất phương trình đại số Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bất phương trình đại số luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2017 i Mục lục Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.2 Các hệ thức tam giác 1.2.1 Một số dẳng thức tam giác 1.2.2 Một số bất đẳng thức thông dụng tam giác 1.3 Xây dựng các hệ thức lượng giác từ đẳng thức, bất đẳng thức đại số 5 6 10 Phương pháp lượng giác bất đẳng thức trình 2.1 Các toán bất đẳng thức tam giác 2.1.1 Bất đẳng thức lượng giác tam giác 2.1.2 Bất đẳng thức đại số tam giác 2.2 Các toán bất đẳng thức đại số 2.2.1 Bất đẳng thức lượng giác tự 2.2.2 Bất đẳng thức dùng biến đổi lượng giác 2.3 Các toán bất phương trình 13 13 13 23 26 26 29 39 44 44 49 53 56 Một số dạng toán liên quan 3.1 Phương pháp lượng giác chứng minh đẳng thức 3.2 Phương pháp lượng giác giải phương trình 3.3 Phương pháp lượng giác giải hệ phương trình 3.4 Phương pháp lượng giác giải toán cực trị bất phương Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Lượng giác chuyên đề quan trọng chương trình tốn phổ thơng Học sinh học lượng giác thường chưa cặn kẽ tư tưởng phương pháp tiếp cận đặc biệt khâu vận dụng kiến thức vào giải toán đại số, giải tích Trong hoạt động thực tiễn, có nhiều toán cần đến can thiệp lượng giác để tính tốn mơ Vì vậy, chun đề lượng giác có vị trí đặc biệt tốn học, đối tượng cần nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực đại số giải tích hình học Đặc biệt, nhiều tốn đại số, giải tích đươc giải dễ dàng cách sử dụng hàm lượng giác, mà gọi "Phương pháp lượng giác hóa" Đó nhờ tính chất đặc thù hàm lượng giác mà hàm khác khơng thể có, cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, cơng thức nhân đôi, nhân ba, đồng thức, bất đẳng thức quan trọng hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập, luận văn "Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình đại số" nhằm tìm hiểu,thu thập tài liệu phân loại toán phương pháp lượng giác số toán đại số, chứng minh bất đẳng thức, bất phương trình Luận văn chia làm chương Chương Một số kiến thức Nhắc lại số tính chất hàm số lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng, phép lượng giác Chương Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình Trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức bất phương trình có độ khó cao Chương Một số dạng tốn liên quan Trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình số tốn cực trị Để hoàn thành luận văn, em nhận giúp đỡ thầy cô, bạn bè, đặc biệt bảo hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, thầy cô Seminar mơn Tốn trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn em hồn thành khóa học Cao học 2015-2017 Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức Chương có tính bổ trợ, trình bày tính chất hàm lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thông dụng, xây dựng hệ thức lượng giác từ đẳng thức, bất đẳng thức đại số Các kiến thức dùng đến thường xuyên chương sau 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác Trong phần ta xét số tính chất hàm lượng giác trục thực Ta có sin x, cos x € r✁1; 1s; sin2 x   cos2 x ✏ 1, ❅x € R, k € Z sin♣x   k2π q ✏ sin x; cos♣x   k2π q ✏ cos x, ❅x € R, k € Z π tan♣x   kπ q ✏ tan x, ❅x ✘   kπ; cot♣x   kπ q ✏ cot x, ❅x ✘ kπ, k € Z Cơng thức góc nhân đôi cos 2x ✏ cos2 x ✁ sin2 x ✏ cos2 x ✁ ✏ ✁ sin2 x tan x cot2 x ✁ sin 2x ✏ sin x cos x; tan 2x ✏ ; cot 2x ✏ cot x ✁ tan2 x Cơng thức góc nhân ba cos 3x ✏ cos3 x ✁ cos x, sin 3x ✏ sin x ✁ sin3 x, tan 3x ✏ Một số hệ thức thường sử dụng tan x ✁ tan3 x ✁ tan2 x ✁ π✠ ❄ π✠ sin x   cos x ✏ sin x   ✏ cos x ✁ ✠ ❄ ✁ ✠ ❄ ❄ ❄ ✁ ✁ ↕ sin x   π4 ; cos x ✁ π4 ↕ ❄ ✁ π✠ ❄ ✁ π✠ sin x ✁ cos x ✏ sin x ✁ ✏ cos x   ✁ ✠ ✠ ❄ ❄ ❄ ❄ ✁ ✁ ↕ sin x ✁ π4 ; cos x   π4 ↕ ❄ ✁ 1.2 Các hệ thức tam giác 1.2.1 Một số dẳng thức tam giác Trong phần ta giả sử tam giác ABC có • BC ✏ a, CA ✏ b, AB ✏ c • S diện tích tam giác • p nửa chu vi tam giác • ma , mb , mc , , hb , hc độ dài trung tuyến, đường cao tương ứng với cạnh a, b, c Mệnh đề 1.1 Cho A, B, C góc tam giác cho trước Khi ta có công thức sau: cos A   cos B   cos C sin A   sin B   sin C ✏   sin A2 sin B2 sin C2 ✏ cos A2 cos B2 cos C2 sin 2A   sin 2B   sin 2C ✏ sin A sin B sin C sin2 A   sin2 B   sin2 C ✏   cos A cos B cos C tan A   tan B   tan C cot A ✏ tan A tan B tan C   cot B2   cot C2 ✏ cot A2 cot B2 cot C2 Mệnh đề 1.2 Cho A, B, C € ♣0, πq Khi A, B, C góc tam giác tan A B tan 2   tan B2 tan C2   tan A2 tan C2 ✏ Chứng minh Giả sử A, B, C góc tam giác Khi A B  C C π, nghĩa ✏ ✁ π A B Do C tan ✁A   B ✠ A   B✠ ✏ tan ✁ ✏ cot A B A B cot cot ✁ 1 ✁ tan tan 2 ✏ 2A B ✏ A B cot   cot tan   tan 2 2 ✁π ô tan A2 tan B2   tan B2 tan C2   tan A2 tan C2 ✏ ✏ Ngược lại, giả sử A   B   C tan ✏ π thỏa mãn đẳng thức   tan B2 tan C2   tan A2 tan C2 ✏ B A tan 2 (1.1) ✏ Mà tan A → nên tan A2 ✏ ❄1 Suy A ✏ B ✏ C✏ ✏ π hay A, B, C góc tam giác Khơng tính tổng qt ta giả sử A ✘ B Vì ➔ A   B ➔ 2π nên tồn C1 € ♣✁π, π q cho A   B   C1 ✏ π Theo chứng minh ta có ✏B✏C A ✵ 60 , kéo theo A   B   C Nếu A tan2 tan A B tan 2 Ta chứng minh C   tan B2 tan C21   tan A2 tan C21 ✏ (1.2) ✏ C1, suy A   B   C ✏ π, tức A, B, C góc tam giác Thật vậy, trừ hai vế (1.1) cho (1.2) ta có tan C ✏ tan C21 ✞C ✁ C ✞ ✞C ✁ C ✞ C C ✞ ✞ 1✞ 1✞ ✞ ✏ kπ, k ➙ 0, k € Z, mà ✞ ✞↕   Suy ✞ hay C 2 ✏ C1 1.2.2 2 ➔ π2   π2 ✏ π, suy k ✏ Một số bất đẳng thức thông dụng tam giác Ta đưa số bất đẳng thức liên quan đến góc tam giác cho trước, bất đẳng thức vô quan trọng sử dụng chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa Mệnh đề 1.3 Cho A, B, C góc tam giác ABC Khi ta có bất đẳng thức sau: sin A   sin B   sin C sin A sin B sin C ↕ ❄ ❄ 3 ↕   sin B2   sin C2 ↕ 32 sin A sin A B C sin sin 2 ↕ 81 cos A   cos B   cos C cos A cos B cos C ↕ 32 ↕ 81 A cos   cos B2   cos C2 ↕ sin2 A   sin2 B   sin2 C ❄ 3 ↕ 94 cos2 A   cos2 B   cos2 C 10 11 ➙ 34 B C ❄ A tan   tan   tan ➙ 2 ❄ tan A   tan B   tan C ➙ 3 Chứng minh Hàm sin x lõm khoảng ♣0, π q nên theo bất đẳng thức Jensen ta có ✁A   B   C ✠ sin A   sin B   sin C ↕ sin ❄ 3 ô sin A   sin B   sin C ↕ ✏ sin π3 ✏ ❄ 2 Từ sin x → với ❅x € ♣0, π q, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có sin A sin B sin C ↕ ✁ sin A   sin B   sin C ✠3 ↕ ✁ ❄3 ✠3 ✏ ❄ 3 Tương tự chứng minh (1) ta có sin A   sin B2   sin C2 ↕ sin ✁A   B   C ✠ ✁ π✠ hàm sin x lõm khoảng 0, sin A 2 ✏ sin π6 ✏ 21 nên   sin B2   sin C2 ↕ 23 Tương tự chứng minh (2) từ bất đẳng thức AM-GM ta có ❝ A B C sin sin sin 2 A B C ô sin sin sin Từ A   B ↕ sin ↕ A   sin B2   sin C2 ↕ 12 ✏ π ✁ C suy cos C ✏ ✁ cos♣A   B q ✏ ✁ cos A cos B   sin A sin B Do ✁ 2♣cos A   cos B   cos C q ✏3 ✁ 2♣cos A   cos B ✁ cos A cos B   sin A sin B q ✏ sin2 A   sin2 B ✁ sin A sin B     cos2 A   cos2 B ✁ cos A ✁ cos B   cos A cos B ✏♣sin A ✁ sin B q2   ♣1 ✁ cos A ✁ cos B q2 ➙ 0, điều tương đương với cos A   cos B   cos C ↕ 23 Từ cos♣A   B q ✏ ✁ cos C ta có cos A cos B cos C ✏ 12 ♣cos♣A   B q   cos♣A ✁ B qq cos C ✏ 21 ♣cos♣A ✁ B q ✁ cos C q cos C ✏ 12 cos♣A ✁ B q cos C ✁ cos2 C ✁ ✠2 ✏ ✁ cos C ✁ cos♣A ✁ B q   cos ♣A ✁ B q ↕ cos2 ♣A ✁ B q A B C Vì A, B, C € ♣0, π q nên , , 2 ta có cos A   cos B2   cos C2 nghĩa cos A   cos B2   cos C2 ↕ € ↕ 8 ✁ π✠ 0, Do theo bất đẳng thức Jensen ↕ cos A   cos6 B   cos C ❄ 3 ✏ cos π6 ✏ ❄ , Ta có sin2 A   sin2 B   sin2 C ✏   cos A cos B cos C ↕   18 ✏ 94 Ta có A B C✠   sin2   sin2 ➙ 3✁ ✏ 2 4 ✁ π✠ 10 Vì hàm tan x lồi khoảng 0, nên theo bất đẳng thức Jensen ta có cos2 A   cos2 B   cos2 C tan A ✏3✁   tan B2   tan C2 tức tan A   tan B2   tan C2 ➙ ❄ ✁ sin2 ➙ tan A   B6   C ✏ tan π6 ✏ ❄1 3 11 Vì tam giác cho nhọn nên A, B, C ✁ π✠ 0, € , ✁ π✠ 0, Hàm f ♣xq ✏ tan x lồi nên theo bất đẳng thức Jensen ta có tan A   tan B   tan C ❄ ➙ tan A   B3   C ✏ tan π3 ✏ 3 Trong tam giác có bất đẳng thức kép thơng dụng cho mệnh đề sau ... Chương Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình Chương trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức bất phương trình đại số 2.1 Các toán bất đẳng thức tam giác. .. Một số kiến thức Nhắc lại số tính chất hàm số lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng, phép lượng giác Chương Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình Trình... hệ thức lượng giác từ đẳng thức, bất đẳng thức đại số 5 6 10 Phương pháp lượng giác bất đẳng thức trình 2.1 Các toán bất đẳng thức tam giác 2.1.1 Bất đẳng thức lượng