Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN VŨ LƢƠNG Hà Nội – 2014 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………2 Chƣơng Một số kết bản……………………………………………4 1.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM áp dụng…………………4 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM………………………………………… 1.1.2 Một số tốn cực trị có điều kiện dạng thức……………… 1.1.3 Một số toán cực trị có điều kiện dạng phân thức………………12 1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt áp dụng………………………….19 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz………….…………………… 19 1.2.2 Hệ quả…………………………………………………………… 20 1.2.3 Bài tập ứng dụng………………………………………………… 21 1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa căn…………………… 31 Chƣơng Một số kĩ sử dụng số………………………………….35 2.1 Sử dụng số nghiệm phƣơng trình thu đƣợc từ điều kiện toán…………………………………………………………………………35 2.2 Sử dụng số nhƣ tham số toán……………………………59 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….75 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….76 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức vấn đề cổ điển xuất lĩnh vực toán học Bất đẳng thức áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học nhiều ngành khoa học tự nhiên Một phận thường gặp tốn bất đẳng thức tốn tìm cực trị Trong tốn cực trị việc sử dụng số xây dựng lời giải hay, ngắn gọn đơn giản Dưới hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, tác giả hoàn thành luận văn với đề tài: Sử dụng số giải toán cực trị Luận văn chia thành hai chương: Chƣơng Một số kết Trong chương này, tác giả trình bày số tốn tìm cực trị có sử dụng bắt đẳng thức AM – GM bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Chƣơng Một số kĩ sử dụng số Trong chương tác giả trình bày số kĩ sử dụng số để tìm cực trị Những kĩ chia thành hai dạng: Sử dụng số nghiệm phương trình thu từ điều kiện toán Sử dụng số tham số toán Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin, thầy tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2014 Học viên Cấn Thị Thu Thảo CHƢƠNG I MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM áp dụng 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM Giả sử a1 ,a , ,a n n số thực khơng âm, ta có: a1  a   a n n  a1a a n n (1) Đẳng thức xảy  a1  a   a n Chứng minh Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức AM – GM Tuy nhiên, ta chứng minh phương pháp quy nạp Côsi - Với n = 2:  a1  a  a1a   a1  a 2  0 a1  a  a1a (Đúng) Đẳng thức xảy  a1  a   a1  a - Giả sử bất đẳng thức (1) với n = k Ta chứng minh bất đẳng thức (1) với n = 2k Thật vậy, xét 2k số thực a1 ,a , ,a k ,a k1 , ,a2k  Sử dụng giả thiết quy nạp ta có a1  a   a 2k  a1  a   a k a k 1   a 2k      2k 2 k k    k a1 a k  k a k 1 a 2k   k a1 a k k a k 1 a 2k  2k a1a a k a 2k a1  a   a k  Đẳng thức xảy  a k 1  a k    a 2k k k  a1a a k  a k 1a k 2 a 2k  a1  a   a k  a 2k - Giả sử bất đẳng thức với n = p, ta chứng minh bất đẳng thức với n = p – Thật vậy, xét (p – 1) số a1 ,a , ,a p1  Sử dụng giả thiết quy nạp với n = p ta có: a1  a   a p1  p1 a1a a p1 p  p a1a a p1.p1 a1a a p1  p1 a1a a p1  a1  a   a p1  p1 a1a a p1  p.p1 a1a a p1  a1  a   a p1  (p  1).p1 a1a a p1  a1  a   a p1 p 1  p1 a1a a p1 Đẳng thức xảy  a1  a   a p1  p1 a1a a p1 Theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với n  , n  Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Nhận xét Bất đẳng thức AM – GM bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Khi sử dụng bất đẳng thức ta cần ý tới điều kiện xảy dấu “=” a1  a   a n để tách hệ số cho phù hợp Khi giải tốn cực trị có sử dụng bất đẳng thức trung bình AM – GM việc mượn thêm hệ số thích hợp kĩ thuật quen thuộc 1.1.2 Một số tốn cực trị có điều kiện dạng thức Bài (Mexico 2007) Cho a, b, c > a + b + c =1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  bc  b  ca  c  ab Giải Xuất phát từ điều kiện ta có: a  bc  a(a  b  c)  bc  (a  b)(a  c) Tương tự, ta có: b  ca  (b  c)(b  a) c  ab  (c  a)(c  b)  P  a  bc  b  ca  c  ab  (a  b)(a  c)  (b  c)(b  a)  (c  a)(c  b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: P abac bcba ca cb 4(a  b  c)    2 2 2 a  b  a  c b  c  b  a  Dấu xảy   c  a  c  b  a  b  c  Vậy max P   a  b  c  a bc 3 Bài Cho a, b, c > ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức: P a  a2  3b  b2 Giải  c  c2 Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = ta có:  a  ab  bc  ca  a  (a  b)(a  c)  b2  ab  bc  ca  b2  (b  c)(b  a)  c2  ab  bc  ca  c2  (c  a)(c  b) Khi ta có: 3 P  .a  b  c 9(a  b)(a  c) (a  b)(a  c) 9(a  b)(a  c) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  1   1   1  P a   b     c   a  b 9(a  c)   b  c b  a   9(c  a) c  b  P 19 Vậy max P   a  c   35  b  17  35 ab  bc  ca    a  c b  17a  19 Bài Cho a, b, c > ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a  a2  b  b2      1  1    a  b   c2 c  1      1  1    1  1   b  c  c  a    Giải Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = ta có:  a  ab  bc  ca  a  (a  b)(a  c)  b2  ab  bc  ca  b2  (b  c)(b  a)  c2  ab  bc  ca  c2  (c  a)(c  b) Khi đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  a2  b  b2  c  c2 a b c   (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)  a 1  b 1  c 1             2 a  b a  c 2 b  c b  a  2 c  a c  b  Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: (1  a )(1  b )    3 8.8  12 ab  a2  b2 8a 8b (1  b )(1  c )    3 8.8  12 2 bc 1 b 1 c 8b 8c (1  c )(1  a )    3 8.8  12 ca  c2  a2 8c 8a  a b c  27  P  36  15     36  15   2  b2  c2   1 a Vậy P  27 abc Bài Cho a, b, c > ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P b(1  a ) a 1 b  c(1  b ) b 1 c Giải (a  b)(a  c)  a2  Đặt x  a a (b  c)(b  a)  b2 y  b b 10  a(1  c ) c2  a   a  b     2   4m Vậy P   c    8m   2     8m    4m Bài Cho x  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  13 x  x  x  x Giải Với α, β > áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : 2 2 13 13  x  1  x  13    1 x  13 2 13 x  x    x 1  x       2 2 2 9  x  1  x     1 x  2 x  x    x 1  x       2 Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: 13    1  2  1  13  x2  P  13 x  x  x  x     2 2  2 2   4 (1) 2   x   x     1 x  2  1 x  Dấu xảy   2   x   x Để tìm giá trị lớn ta phải tìm α, β > cho:          ;  13    1  2  1 2  0     64 Thay vào (1) ta P  13   16 2 2 Dấu xảy     1 x   Vậy max P  16  x  2 x 1 x  5 Bài Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P  ab  ac  bc Giải Với α, β > áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ab  a b 1 b   a    2  ac  a  c c 1 c bc  b   b    2  Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được:       P  ab  ac  bc    1 a     b  1   c 2   2   2  Để tìm giá trị lớn ta phải tìm ,  cho:   1   1 2 2      1    Thay vào (1) ta được:   P    1 (a  b  c) 2  P 3 3 65 (1) b   a     c  Dấu xảy  b    a  c a  b  c    a  c     b   3  3   a  c   3 33   Vậy max P  b   3  3 Bài Cho x, y  x  y3  Tìm giá trị lớn biểu thức: P x 2 y Giải Với α, β > áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x  5  x              x  6 3 y  5  y              y  6 3 5 6 x y Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được:  56  x  y  5  5   2 x   y    3  2 6 x  y   5  5 x3    Dấu xảy   y3    x  y3   (1)     1 Để tìm giá trị lớn ta cần phải tìm ,  cho: 66     1 25     2          2   Thay vào (1) ta được: x 2 y  2    P  1    1    6 Vậy max P      x       1 25     3 y     1   Bài Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a3  8b3  c3 Giải Với α, β > áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  3  3  32a 8b3  3  3  62 b c3  3  3  32c Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: a  8b3  c3  43  23  3 2a  62 b  3 2c  P   32a  62b  32c    43  23  67 (1) a  c    Dấu xảy  2b   a  b  c    2   3  4    Để tìm giá trị nhỏ P ta cần phải tìm ,  cho:      1     1   1   4       2 3  6  3   2 Thay vào (1) ta được:  P  3  a  b  c   4.2 23  23     P  9   3 P  216  1 Vậy minP  4 216  1  a  c   1  b   1 Bài Cho a > số x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn theo a biểu thức P  xy  yz  zx Giải Với    0;1 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 68 xy  a 16   x  y   2xy z2 z 1    x   1    x   1   xz 2 2 z2 z 1    y   1    y   1    yz 2 Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: x  y2  z2  2xy  1     xz  yz  9    2   xy  1     xz  yz   a 16   (1) Để tìm giá trị lớn P ta cần tìm    0;1 cho: 2  12  17  1       16 32 Thay vào (1) ta được: 2(1  )(xy  yz  zx)  a 4a P 52 x  y  2   x  z Dấu xảy  2   y  z   x  y  z  xy  a  16  4a 49  12 x  y  ;z  a 90  12  90  12   4a 49  12 ;z   a x  y  90  12 90  12  69  52 Vậy max P = 41 a  4a 49  12 x  y  ;z  a 90  12  90  12   4a 49  12 ;z   a x  y  90  12 90  12  Bài Cho a,b,c  a  2b2  3c2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  2a  3b3  4c3 Giải Với α, β, γ ≥ áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  a    3a 3 b  b  3    b  2  c3  c3     c Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: 2a  3b3  4c3  3  3  2  3.a  .2b2  2.3c2      P   3.a  .2b  .3c      3  2      a   b    Dấu xảy   c   a  2b  3c2  (1)    22  3  Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P ta cần tìm α, β, γ cho: 70     407      407     407   3    2    22  3   Thay vào (1) ta được:   P  3  a  2b  3c      3      P 12 407  a  407  12  Vậy P =  b  407 407   c  407  Bài Cho a,b,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  4ab  8bc  6ca Giải Giả sử rằng: P  ma  b  c   nb  c  a   pc  a  b    m  n  ab   n  p  bc   p  m  ca m  n    n  p  p  m   m    n  p    P  a  b  c   3b  c  a   5c  a  b   a 3  a   3b 3  b   5c 3  c  71 2 81  3 3 3     P    a     b     c     2 2      x  a     Đặt  y  b    z  c   Khi đó: P  xyz abc  2 81   x  3y2  5z2  Với α, β, γ > áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x  2  2x 3y2  32  6y 5z  5  10z Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: x  3y2  5z2  2  32  5  2x  6y  10z  x  3y2  5z2   x  3y  5z    2  32  5  P 81   x  3y  5z      32  5  (1) Để tìm giá trị nhỏ P ta cần tìm , ,  cho:   3  5 Thay vào (1) ta được: P 81  2  x  y  z      32  5  P 81  3     32  5  (2) 72 x   y    Dấu xảy  z     x  y z     3  5  Ta có hệ:        45     46  15     46      46  Thay vào (2) ta được: P  432 23    12  a   23  432 27   b  Vậy maxP  23 23   30 c  23  Bài 10 Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  2y2  3z Giải Với , ,   áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x  2  2x 2y2  22  4y 3z  3  z Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: 73 x  2y2  3z  2  22  3  2x  4y  6z  P   x  2y  3z    2  22  3  x    Dấu xảy   y   z    (1)   3 Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P ta cần tìm , ,  cho:   2  3        18    11       11     11 Thay vào (1) ta được: P  2  x  y  z    2  22  3   P  6   2  22  3  P 54 11 18  x   11  54   y  Vậy minP = 11 11   z   11 Bài 11 Bài toán tổng quát Cho a, b, c > ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau theo m, n (với m, n > 0): 74 P  ma  nb2  c2 Giải Xét tham số , ,   cho m  ,n  ,1    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  b  ab  m    a  c2   m    ac  n   b2  1    c2   n  1   bc Cộng tương ứng hai vế bất đẳng thức ta được: P  ma  nb2  c2  ab   m    ac   n  1   bc (1)  a   b  Dấu xảy   m    a  c2  2  n    b  1    c Để tìm giá trị nhỏ P ta cần tìm , ,  cho:    m       n  1     k     (m  )  (n  )(1  )  k   n      1    m      k Ta có: mn     m       n       1     k  m  n  1  2k Đặt f  k   2k  k  m  n  1  mn  f   k   6k   m  n  1 k  k   f  k  tăng  0;   Phương trình f  k   có nghiệm k  Thay vào (1) ta được:  P  2k  ab  bc  ca   2k 75 Vậy minP  2k BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P  9ab  10bc  11ca Bài Cho x, y, z > xy + yz + zx = 13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  21x  21y2  z Bài Xét số thực dương a,b,c thỏa mãn: 21ab  2bc  12ca  12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   a b c Bài Cho x, y > x  y2  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  2y Bài Cho x, y, z > x  y4  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y  2z 76 KẾT LUẬN Các tốn tìm cực trị dạng tốn khó hầu hết học sinh với giáo viên Tuy nhiên kì thi Đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Tốn học quốc tế lại ln có dạng toán Đặc biệt hai bất đẳng thức AM – GM bất đẳng thức Cauchy – Schwarz sử dụng nhiều Vì vậy, tác giả chọn đề tài “Sử dụng số giải toán cực trị” đạt số kết sau: Luận văn trình bày hai bất đẳng thức quan trọng bất đẳng thức AM – GM bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Đồng thời trình bày số tốn tìm cực trị có điều kiện áp dụng hai bất đẳng thức Luận văn trình bày hai kĩ sử dụng số để giải toán cực trị sử dụng số nghiệm phương trình thu từ điều kiện ban đầu sử dụng số tham số toán Luận văn đưa tốn cực trị từ đối xứng đến khơng đối xứng, từ dễ đến khó giúp người đọc tiếp cận dễ dàng Sau phần tác giả có đưa thêm số tập luyện tập Tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Vũ Lương (2007), Các giảng bất đẳng thức Côsi, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Vũ Lương (2009), Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Khải (2012), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, NXB ĐHQG Hà Nội Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam Trần Phương (2012), Những viên kim cương bất đẳng thức, NXB Tri thức Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2007), Bất đẳng thức suy luận khám phá, NXB ĐHQG Hà Nội Exploration creativity (2009) Exploration creativity (2010) 10 Exploration creativity (2011) 11 Jose A.G.O., Radmila B.M, Rogelio V.D (2009), Inequalities A Math – ematical Olympiad Approach, Basel – Boston – Berlin, Germany 12 Website: www.mathscope.org; www.math.vn; www.mathlinks.ro 78