Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN TÀI TUỆ MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU 5 6 7 9 15 21 31 33 33 36 41 43 45 45 45 50 53 55 56 56 59 60 62 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Đa thức đối xứng ba biến 1.2 Tính chất bất đẳng thức 1.3 Bất đẳng thức thường dùng 1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.3.3 Bất đẳng thức Karamata Bất đẳng thức với tổng không đổi 2.1 Bất đẳng thức có tổng khơng đổi với hàm phân 2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2.1.3 Sử dụng tính chất hàm số 2.1.4 Bài toán liên quan 2.2 Bất đẳng thức có tổng khơng đổi với hàm vơ tỉ 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2.2.3 Sử dụng tính chất hàm số 2.2.4 Bài toán liên quan thức hữu tỉ Bất đẳng thức có tích khơng đổi 3.1 Bất đẳng thức có tích khơng đổi với hàm phân thức hữu tỉ 3.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3.1.3 Sử dụng tính chất hàm số 3.1.4 Bài toán liên quan 3.2 Bất đẳng thức có tích khơng đổi với hàm vô tỉ 3.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 3.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3.2.3 Sử dụng tính chất hàm số 3.2.4 Bài toán liên quan MỤC LỤC Một số lớp toán cực trị với đa thức đối 4.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 4.3 Sử dụng tính chất hàm số 4.4 Bài toán liên quan xứng ba biến 63 63 68 73 77 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức nội dung cổ điển quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng mơn khoa học khác thực tế Ngày nay, bất đẳng thức ln chiếm vai trị quan trọng thường xuất kì thi quốc gia, quốc tế, Olympic Là giáo viên THPT, muốn nghiên cứu sâu bất đẳng thức nhằm nâng cao chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, nên chọn bất đẳng thức làm luận văn thạc sĩ Bất đẳng thức vơ rộng lớn, thời gian ngắn, tơi nghiên cứu lĩnh vực nhỏ Dưới hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả hoàn thành luận văn với để tài "Một số lớp bất đẳng thức toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến." Luận văn chia làm bốn chương: • Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ • Chương 2: Bất đẳng thức với tổng khơng đổi • Chương 3: Bất đẳng thức có tích khơng đổi • Chương 4: Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu MỞ ĐẦU tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn- Cơ - Tin, thầy tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2014 Tác giả Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Đa thức đối xứng ba biến 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Một đơn thức ϕ(x, y, z) biến x, y, z hiểu hàm số có dạng ϕ(x, y, z) = aklm xk y l z m , k, l, m ∈ N gọi bậc biến x, y, z , số aklm ∈ R∗ = R\{0} gọi hệ số đơn thức, số k + l + m gọi bậc đơn thức ϕ(x, y, z) Định nghĩa 1.2 Một hàm số P (x, y, z) biến x, y, z gọi đa thức biểu diễn dạng tổng hữu hạn đơn thức aklm xk y l z m , P (x, y, z) = n ∈ N k,l,m∈N k+l+m=n Bậc lớn đơn thức đa thức gọi bậc đa thức Định nghĩa 1.3 Đa thức P (x, y, z) gọi đối xứng, khơng thay đổi với hoán vị x, y, z , nghĩa P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y) Định nghĩa 1.4 Đa thức f (x, y, z) gọi bậc m, f (tx, ty, tz) = tm f (x, y, z), t=0 Định nghĩa 1.5 Các đa thức σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz, gọi đa thức đối xứng sở biến x, y, z 1.1.2 Tổng lũy thừa Chương Một số kiến thức bổ trợ Định nghĩa 1.6 Các đa thức sk = xk + y k + z k , (k = 0, 1, ), gọi tổng lũy thừa bậc k biến x, y, z Định lý 1.1 ( Công thức Newton) Với k ∈ Z, ta có hệ thức sk = σ1 sk−1 − σ2 sk−2 + σ3 sk−3 Định lý 1.2 Một tổng lũy thừa sk = xk + y k + z k biểu diễn dạng đa thức bậc n theo biến σ1 , σ2 , σ3 Định lý 1.3 (Công thức Waring) Tổng lũy thừa sk biểu diễn qua cá đa thức đối xứng cở sở theo công thức sk = k 1.2 0≤l,m,n l+2m+3n=k (−1)k−l−m−n (l + m + n − 1)! l m n σ1 σ2 σ3 l!m!n! Tính chất bất đẳng thức a > b ⇔ a + c > b + c a > b, b > c a > c a > b ca > cb c > ca < cb c < a > b, c > d a + c > b + d a > b > 0, c > d > ac > bd Với n nguyên dương, ta có a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1 < a < b ⇒ a2n < b2n 1.3 1.3.1 Bất đẳng thức thường dùng Bất đẳng thức AM-GM Định lý 1.4 Giả sử a1 , a2 , , an số thực không âm, ta ln có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Chương Một số kiến thức bổ trợ Hệ 1.1 Với số thực dương a1 , a2 , , an ta có 1 + + ··· + a1 a2 an (a1 + a2 + · · · + an ) ≥ n2 Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Hệ 1.2 Với số thực a, b, c, ta ln có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 3 (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(a + b + c) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Định lý 1.5 Nếu a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn số thực tùy ý (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n Đẳng thức xảy b21 + b22 + · · · + b2n ( ) a2 an a1 = = ··· = ( ta sử dụng quy ước b1 b2 bn mẫu tử 0) x yi Nhận xét 1.1 Theo bất đẳng thức ( ), chọn = √ i bi = √ yi với xi , yi ∈ R, yi > Ta thu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ( hay gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel) Hệ 1.3 Nếu x1 , x2 , , xn số thực y1 , y2 , , yn số thực dương x21 x22 x2 (x1 + x2 + xn )2 + + ··· + n ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + · · · + yn x x x Đẳng thức xảy = = · · · = n y1 y2 yn 1.3.3 Bất đẳng thức Karamata Định lý 1.6 Cho hai dãy số {xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n}, thỏa mãn điều kiện x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn Chương Một số kiến thức bổ trợ  x1 ≥ y1      x1 + x2 ≥ y + y   x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1    x + x2 + · · · + xn = y + y + · · · + y n Khi đó, ứng với hàm số lồi f (x)(f (x) ≥ 0) I(a, b), ta có f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ) Đẳng thức xảy xi = yi , i = 1, 2, n Ta phát biểu tương tự hàm số lõm cách đổi chiều dấu bất đẳng thức Bổ đề 1.1 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm cấp I(a; b) a Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I(a; b) f (x) ≥ f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ), ∀x0 ∈ I(a; b) b Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ I(a; b) f (x) ≤ f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ), ∀x0 ∈ I(a; b) Đẳng thức hai bất đẳng thức xảy x = x0 Chương Bất đẳng thức với tổng không đổi 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức có tổng khơng đổi với hàm phân thức hữu tỉ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Đối với bất đẳng thức P (x, y, z) ≥ (≤ 0), Trong P (x, y, z) đa thức phân thức hữu tỉ có tổng x + y + z khơng đổi, sử dụng kĩ thuật bất đẳng thức AM − GM dự đoán dấu xảy ra, AM − GM ngược dấu, đặt ẩn phụ, tỏ hiệu Bài toán 2.1 Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ b+2 c+2 a+2 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a2 b+2 2a + ≥ b+2 b2 c+2 2b + ≥ c+2 c2 a+2 2c + ≥ a+2 Cộng bất đẳng thức chiều ta a2 b2 c2 + + ≥ (a + b + c) − = b+2 c+2 a+2 Đẳng thức xảy a = b = c = Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2(a + b)2 + 2ab = (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 + + + + 2ab 2 2 ≥5 ab(a + b)8 ab(a + b)3 √ ab(2 ab) ≥5(a + b) √ =5(a + b) ab =5(a + b) Tương tự, ta có √ 2(b + c)2 + 2bc ≥ 5(b + c) bc √ 2(c + a)2 + 2ac ≥ 5(c + a) ca Cộng bất đẳng thức chiều, ta có √ √ √ (a + b) ab + (b + c) bc + (c + a) ca ≤ 4(a2 + b2 + c2 ) + 6(ab + bc + ca) √ √ √ ⇔2(ab + bc + ca) + (a + b) ab + (b + c) bc + (c + a) ca ≤ 4(a2 + b2 + c2 ) + 8(ab + bc + ca) = 4(a + b + c)2 = Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị lớn P Bài toán 4.4 Với số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biêu thức P = a2 + b b + c c + a + + b+c c+a a+b Chứng minh Ta có a2 + b b2 + c c2 + a +a+ +b+ +c b+c c+a a+b a(a + b + c) + b b(a + b + c) + c c(a + b + c) + a = + + b+c c+a a+b a+b b+c c+a = + + b+c c+a a+b P +1= 65 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a+b b+c c+a + + b+c c+a a+b a + b b + c c + a ≥ = b+c c+a a+b P +1= Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Bài toán 4.5 Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab bc ca + + a + b + ab b + c + bc c + a + ca Chứng minh Với giả thiết a, b, c > abc = 1, ta có bc ca ab + + a + b + ab b + c + bc c + a + ca 1 = + + 1 1 1 + +1 + +1 + +1 a b b c c a P = Với số dương x, y , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có x3 + x3 + y ≥ 3 x6 y = 3x2 y y + y + x3 ≥ 3 y x3 = 3y x Do x3 + y ≥ xy(x + y) dấu ”=” xảy x = y Áp dụng bất đẳng thức ta có 1 + +1≥ a b 1 √ +√ +1 3 a b √ 1 = 3c √ +√ +1 3 a b √ √ √ cb + ca + ab √ = ab ab 66 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Tương tự, ta có √ √ ca + ab √ bc √ √ √ 3 cb + ca + ab 1 √ + +1≥ c a ac 1 + +1≥ b c Do √ cb + √ √ √ 3 ab bc ca √ √ √ √ √ T ≤ √ + + √ √ √ 3 3 3 3 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca = Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị lớn P Bài toán 4.6 Với x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) √ + √ √ + √ P = √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Chứng minh Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có √ √ x2 (y + z) ≥ 2x2 yz = 2x x √ √ y (z + x) ≥ 2y zx = 2y y √ √ z (x + y) ≥ 2z xy = 2z z Do √ √ √ 2y y 2x x 2z z √ + √ √ + √ P ≥ √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y √ √ √ Đặt x x = a, y y = b, z z = c, suy a b c + + b + 2c c + 2a a + 2b a b c =2 + + b + 2c c + 2a a + 2b P ≥2 Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz AM-GM, ta có (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) ≥ ab + bc + ca = P ≥2 67 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P Bài toán 4.7 Với a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a3 + b b3 + c c + a3 + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Chứng minh Ta có P = (a + b)(a2 − ab + b2 ) (b + c)(b2 − bc2c ) (c + a)(c2 − ca + a2 ) + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Ta chứng minh với x, y dương, ta có x2 − xy + y ≥ 2 x + xy + y Thật x2 − xy + y ≥ x2 + xy + y 2 ⇔3(x − xy + y ) ≥ x2 + xy + y ⇔2(x − y)2 ≥ ( đúng) Áp dụng kết trên, ta có 1 P ≥ (a + b) + (b + c) + (c + a) 3 = (a + b + c) Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có √ 2.3 abc P ≥ (a + b + c) ≥ = 3 Dấu "= " xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ A 4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bài toán 4.8 Với số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 √ √ √ + + (1 + ab)2 (1 + bc)2 (1 + ca) 68 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Chứng minh Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có 3P =3 ≥ (1 + √ ab)2 + (1 + √ bc)2 + √ (1 + ca) 1 √ + √ + √ + ab + bc + ca (1 + + 1)2 √ √ ≥ √ + ab + + bc + + ca 81 √ √ = √ (3 + ab + bc + ca)2 2 Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM, ta có √ a+b √ b+c bc ≤ √ c+a ca ≤ Do ab ≤ √ √ √ ab + bc + ca ≤ a + b + c Nên 81 (3 + a + b + c)2 = 3P ≥ hay P ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P = Bài toán 4.9 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + 2y + 3z Chứng minh 69 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có x4 + 2y + 3z x2 + 1 1+ √ +√ 3 √ √ 3 2y + 3z ≥ x2 + 1 +√ 1+ √ 3 √ 2y + √ 3z 2 ≥ (x + y + z)2 = Do P = x4 + 2y + 3z 81 ≥ 1 +√ 1+ √ 3 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P  √  336   √ √ x= √  3  + +  √  3 √ √ 3  + +  √     √ √ z = √ 6+ 33+ 32 81 1 1+ √ +√ 3 y= √ Bài toán 4.10 Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= 1 1 + + + a2 + b + c a2 b c Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 1 1 + 2+ ≥ + + a b c ab bc ca Do A≥ a2 1 1 + + + 2 +b +c ab bc ca 70 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có 32 + a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) 92 = + a + b2 + c2 9(ab + bc + ca) (1 + 9)2 ≥ a + b2 + c2 + 9(ab + bc + ca) 102 = (a + b + c)2 + 7(ab + bc + ca) A≥ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 7(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = 21 Do A≥ 102 10 = + 21 Đẳng thức xảy a = b = c = 10 Vậy giá trị nhỏ A Bài toán 4.11 Với số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức √ √ √ a2 + + b + + c + F = a+b+c Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có √ a2 + + 2a ≤ Tương tự (1 + 1)(a2 + + 2a) = √ 2(a + 1) √ √ 2b ≤ 2(b + 1) √ √ c2 + + 2c ≤ 2(c + 1) b2 + + Cộng bất đẳng thức chiều ta có ⇔ a2 + + b2 + + a2 + + b2 + + √ √ √ √ √ 2( a + b + c) ≤ 2(a + b + c + 3) √ √ √ √ √ c2 + ≤ 2(a + b + c + 3) − 2( a + b + c) c2 + + 71 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM, ta có √ √ √ √ a+ b+ c≥3 abc = √ √ √ √ √ ⇔ − 2( a + b + c) ≤ −3 Do a2 + + b2 + + c2 + ≤ = √ √ √ 2(a + b + c + 3) − 2(a + b + c) √ Suy F ≤ dấu "=" xảy a = b = c = √ Vậy giá trị lớn F Bài toán 4.12 Với số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy x2 + y + 2z + yz y + z + 2x2 + zx z + x2 + 2y Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwarz, ta có xy P = 1 + + (x2 + y + 2z ) 9 zx + yz + 1 + + (y + z + 2x2 ) 9 1 + + (z + x2 + 2y ) 9 xy yz + + x y 2z y z 2x + + + + 3 3 3 2xy 2yz + + (x + z) + (y + z) (y + x) + (z + x) 2xy 2xy 2yz 2yz + + + x+z y+z y+x z+x 1 (2x + 2y + 2z) = ≤ = ≤ = Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy giá trị lớn P 72 zx z x 2y + + 3 2zx (z + y) + (x + y) 2zx 2zx + + z+y x+y Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Bài toán 4.13 Với số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = √ 1 +√ +√ 3 c + 3a a + 3b b + 3c Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 + + c + 3a + + a + 3b + + b + 3c + + 3 3 3 = + + a + 3b + b + 3c + c + 3a + P ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 3 + + a + 3b + b + 3c + c + 3a + ≥3 4(a + b + c) + = P ≥ Dấu"=" xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P 4.3 Sử dụng tính chất hàm số Bài tốn 4.14 Với số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + a2 + b + c Chứng minh Vì a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = − 2(ab + bc + ca) Và theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) ≥ (ab + bc + ca)2 Do P ≥ (ab + bc + ca)2 + 3(ab + bc + ca) + Đặt ab + bc + ca = t 73 − 2(ab + bc + ca) Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Có ≤ t = ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = 3 Khi √ P ≥ t2 + 3t + − 2t, t ∈ 0; √ Xét hàm số f (t) = t2 + 3t + − 2t, f (t) = 2t + − √ f (t) = − t ∈ 0; , − 2t (1 − 2t)3 ≤ 0, ∀t ∈ 0; √ 11 − Suy f (t) ≥ f ( ) = > ⇒ f (t) ≥ f (0) = 2, ∀t ∈ 0; 3 Do P ≥ Đẳng thức xảy  ab + bc + ca =  ab = bc = ca a+b+c=1 ⇔ a = 1; b = c = hoán vị Vậy giá trị nhỏ P Bài toán 4.15 Với số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = a + b b + c c − 4abc a Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM- GM, ta có a b c P = √ + √ + √ − 4abc ca ab bc 2a 2b 2c ≥ + + − 4abc a+b b+c c+a a b c =2 + + − 4abc a+b b+c c+a 74 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a b c + + − 4abc a+b b+c c+a √ √ √ ( a + b + c)2 ≥2 − 4abc 2(a + b + c) √ √ √ ( a + b + c)2 − 4abc = √ ≥ abc − 4abc P ≥2 Đặt √ abc = t với < t = √ abc ≤ Xét hàm f (t) = 3t − 4t3 , t ∈ (0; 1], a+b+c = f (t) = − 12t2 ∈ (0; 1] ⇒f (t) = ⇔  −1 t= ∈ / (0; 1]  t= Bảng biến thiên t f (t) | + f (t) 1 − | −1 Từ bảng biến thiên ta có f (t) ≥ −1 ⇒ P ≥ f (t) ≥ −1 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P -1 Bài toán 4.16 Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ab + bc + ca + − abc abc Chứng minh √ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có = a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ Theo giải thiết ta có < abc ≤ Khi P = ab + bc + ca + − abc abc √ ≥ a2 b2 c2 + − abc abc 75 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến √ Đặt abc = t với t ∈ (0; 1] Ta có P ≥ 3t2 + Xét hàm số f (t) = 3t2 + − t3 t3 − t3 với t ∈ (0; 1] t3 ta có −3t6 + 6t5 − 3 f (t) =6t − − 3t = t t4 3(t − 1)(−t + t + t + t + 1) = ≤0 t4 ∀t ∈ (0; 1] Do P ≥ f (t) ≥ f (1) = Đẳng thức xảy dấu t = ⇒ a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Bài toán 4.17 Với số x, y, z thỏa mãn x, y, z ∈ [−1; 3] Tìm giá trị lớn x+y+z =3 P = x2 + y + z Chứng minh Giả sử ≥ x ≥ y ≥ z ≥ −1 Khi  3 ≥ x  3+1≥x+y + + (−1) = x + y + z Xét hàm số f (t) = t2 , với t ∈ [−1; 3] f (t) = 2t f (t) = ≥ 0, với t ∈ [−1; 3] Do với x, y, z ∈ [−1; 3], theo bất đẳng thức Karamata ta có f (3) + f (1) + f (−1) ≥ f (x) + f (y) + f (z) ⇔x2 + y + z ≤ 11 Đẳng thức xảy x = 3; y = 1; z = −1 hoán vị chúng 76 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Bài toán 4.18 Với −1 ≤ a, b, c ≤ a + b + c = −1 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức F = a12 + b12 + c12 Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử ≥ a ≥ b ≥ c ≥ −1 Khi  a≤1    a+b≤1−   a + b + c = − − Vì hàm số f (x) = x12 lồi [−1; 1], theo bất đẳng thức Karamata, ta có a12 + b12 + c12 = f (a) + f (b) + f (c) ≤ f (1) + f ( −1 ) + f (−1) = + 12 2 −1 , c = −1 hoán vị chúng Vậy giá trị lớn F + 12 Đẳng thức xảy a = 1, b = 4.4 Bài toán liên quan Bài toán 4.19 Với ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 y3 z3 + + (1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) Bài toán 4.20 Với x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 y z4 + + 12 108 Bài toán 4.21 (HSG Hà nội 2014-2015) Vơi ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 1 + 2 +b +c abc Bài toán 4.22 (Đại học khối B năm 2012) Với số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0; x2 + y + z = Tìm giá trị lớn P = x5 + y + z 77 KẾT LUẬN Các toán bất đẳng thức cực trị với đa thức đối xứng chủ đề hay khó với học sinh giáo viên Tuy nhiên kì thi Đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Tốn học quốc tế lại thường có dạng toán Đặc biệt toán bất đẳng thức cực trị với đa thức đối xứng ba ba biến Luận văn hoàn thành đạt kết sau: Giới thiệu lại kiến thức đa thức đối xứng ba biến, bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz bất đẳng thức Karamata bổ đề Đưa cách tiếp cận bất đẳng thức đối xứng ba biến có tổng tích khơng đổi hệ thống ví dụ đề thi quốc gia quốc tế Đưa lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến cách giải tốn cung hệ thống ví dụ đa dạng Với đạt được, tơi hi vọng luận văn tài liệu có ích cho quan tâm tới bất đẳng thức toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Trong điều kiên thời gian khuôn khổ luận văn, chưa thể nghiên cứu thêm bất đẳng thức toán cực trị với đa thức đối xứng khác Đó hướng phát triển luận văn Tác giả mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 78 Chương Một số lớp toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXBĐH Sư Phạm [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXBGD [4] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng,NXB GD [5] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB GD 2002 [6] N.V Mậu, T.N Dũng, N.Đ Phất, N.T Thanh, Số phức áp dụng, NXB GD 2009 [7] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức kì thi Olympic tốn học, NXBĐHQG Hà Nội [8] Cao Minh Quang,Một số dạng toán bất đẳng thức ba biến với tích biến khơng đổi, Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng Tháp 2013 [9] Phạn Văn Thuận, Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận khám phá, NXBĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [10] D Djukic, V Jankovic, I Matic and N Petrovic, The IMO Compendium 1959-2004, Springer-Verlag 2004 [11] D, S Mitrinovic, J E Pecaric, ” Recent Advances in Geometric Inequalities”, Kluwer Academic Publishers, 1989 79 ... luận văn với để tài "Một số lớp bất đẳng thức toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến. " Luận văn chia làm bốn chương: • Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ • Chương 2: Bất đẳng thức với tổng... 59 60 62 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Đa thức đối xứng ba biến 1.2 Tính chất bất đẳng thức 1.3 Bất đẳng thức thường dùng 1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy... b) Đẳng thức hai bất đẳng thức xảy x = x0 Chương Bất đẳng thức với tổng không đổi 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức có tổng khơng đổi với hàm phân thức hữu tỉ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Đối với bất đẳng