Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bất phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2017 i Mục lục Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.2 Các hệ thức tam giác 1.2.1 Một số dẳng thức tam giác 1.2.2 Một số bất đẳng thức thông dụng tam giác 1.3 Xây dựng các hệ thức lượng giác từ đẳng thức, bất đẳng thức đại số 5 6 10 Phương pháp lượng giác bất đẳng thức trình 2.1 Các toán bất đẳng thức tam giác 2.1.1 Bất đẳng thức lượng giác tam giác 2.1.2 Bất đẳng thức đại số tam giác 2.2 Các toán bất đẳng thức đại số 2.2.1 Bất đẳng thức lượng giác tự 2.2.2 Bất đẳng thức dùng biến đổi lượng giác 2.3 Các toán bất phương trình 13 13 13 23 26 26 29 39 44 44 49 53 56 Một số dạng toán liên quan 3.1 Phương pháp lượng giác chứng minh đẳng thức 3.2 Phương pháp lượng giác giải phương trình 3.3 Phương pháp lượng giác giải hệ phương trình 3.4 Phương pháp lượng giác giải toán cực trị bất phương Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Lượng giác chuyên đề quan trọng chương trình tốn phổ thơng Học sinh học lượng giác thường chưa cặn kẽ tư tưởng phương pháp tiếp cận đặc biệt khâu vận dụng kiến thức vào giải toán đại số, giải tích Trong hoạt động thực tiễn, có nhiều toán cần đến can thiệp lượng giác để tính tốn mơ Vì vậy, chun đề lượng giác có vị trí đặc biệt tốn học, đối tượng cần nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực đại số giải tích hình học Đặc biệt, nhiều tốn đại số, giải tích đươc giải dễ dàng cách sử dụng hàm lượng giác, mà gọi "Phương pháp lượng giác hóa" Đó nhờ tính chất đặc thù hàm lượng giác mà hàm khác khơng thể có, cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, cơng thức nhân đôi, nhân ba, đồng thức, bất đẳng thức quan trọng hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập, luận văn "Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình đại số" nhằm tìm hiểu,thu thập tài liệu phân loại toán phương pháp lượng giác số toán đại số, chứng minh bất đẳng thức, bất phương trình Luận văn chia làm chương Chương Một số kiến thức Nhắc lại số tính chất hàm số lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng, phép lượng giác Chương Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình Trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức bất phương trình có độ khó cao Chương Một số dạng tốn liên quan Trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình số tốn cực trị Để hoàn thành luận văn, em nhận giúp đỡ thầy cô, bạn bè, đặc biệt bảo hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, thầy cô Seminar mơn Tốn trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn em hồn thành khóa học Cao học 2015-2017 Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức Chương có tính bổ trợ, trình bày tính chất hàm lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thông dụng, xây dựng hệ thức lượng giác từ đẳng thức, bất đẳng thức đại số Các kiến thức dùng đến thường xuyên chương sau 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác Trong phần ta xét số tính chất hàm lượng giác trục thực Ta có sin x, cos x € r✁1; 1s; sin2 x   cos2 x ✏ 1, ❅x € R, k € Z sin♣x   k2π q ✏ sin x; cos♣x   k2π q ✏ cos x, ❅x € R, k € Z π tan♣x   kπ q ✏ tan x, ❅x ✘   kπ; cot♣x   kπ q ✏ cot x, ❅x ✘ kπ, k € Z Cơng thức góc nhân đôi cos 2x ✏ cos2 x ✁ sin2 x ✏ cos2 x ✁ ✏ ✁ sin2 x tan x cot2 x ✁ sin 2x ✏ sin x cos x; tan 2x ✏ ; cot 2x ✏ cot x ✁ tan2 x Cơng thức góc nhân ba cos 3x ✏ cos3 x ✁ cos x, sin 3x ✏ sin x ✁ sin3 x, tan 3x ✏ Một số hệ thức thường sử dụng tan x ✁ tan3 x ✁ tan2 x ✁ π✠ ❄ π✠ sin x   cos x ✏ sin x   ✏ cos x ✁ ✠ ❄ ✁ ✠ ❄ ❄ ❄ ✁ ✁ ↕ sin x   π4 ; cos x ✁ π4 ↕ ❄ ✁ π✠ ❄ ✁ π✠ sin x ✁ cos x ✏ sin x ✁ ✏ cos x   ✁ ✠ ✠ ❄ ❄ ❄ ❄ ✁ ✁ ↕ sin x ✁ π4 ; cos x   π4 ↕ ❄ ✁ 1.2 Các hệ thức tam giác 1.2.1 Một số dẳng thức tam giác Trong phần ta giả sử tam giác ABC có • BC ✏ a, CA ✏ b, AB ✏ c • S diện tích tam giác • p nửa chu vi tam giác • ma , mb , mc , , hb , hc độ dài trung tuyến, đường cao tương ứng với cạnh a, b, c Mệnh đề 1.1 Cho A, B, C góc tam giác cho trước Khi ta có công thức sau: cos A   cos B   cos C sin A   sin B   sin C ✏   sin A2 sin B2 sin C2 ✏ cos A2 cos B2 cos C2 sin 2A   sin 2B   sin 2C ✏ sin A sin B sin C sin2 A   sin2 B   sin2 C ✏   cos A cos B cos C tan A   tan B   tan C cot A ✏ tan A tan B tan C   cot B2   cot C2 ✏ cot A2 cot B2 cot C2 Mệnh đề 1.2 Cho A, B, C € ♣0, πq Khi A, B, C góc tam giác tan A B tan 2   tan B2 tan C2   tan A2 tan C2 ✏ Chứng minh Giả sử A, B, C góc tam giác Khi A B  C C π, nghĩa ✏ ✁ π A B Do C tan ✁A   B ✠ A   B✠ ✏ tan ✁ ✏ cot A B A B cot cot ✁ 1 ✁ tan tan 2 ✏ 2A B ✏ A B cot   cot tan   tan 2 2 ✁π ô tan A2 tan B2   tan B2 tan C2   tan A2 tan C2 ✏ ✏ Ngược lại, giả sử A   B   C tan ✏ π thỏa mãn đẳng thức   tan B2 tan C2   tan A2 tan C2 ✏ B A tan 2 (1.1) ✏ Mà tan A → nên tan A2 ✏ ❄1 Suy A ✏ B ✏ C✏ ✏ π hay A, B, C góc tam giác Khơng tính tổng qt ta giả sử A ✘ B Vì ➔ A   B ➔ 2π nên tồn C1 € ♣✁π, π q cho A   B   C1 ✏ π Theo chứng minh ta có ✏B✏C A ✵ 60 , kéo theo A   B   C Nếu A tan2 tan A B tan 2 Ta chứng minh C   tan B2 tan C21   tan A2 tan C21 ✏ (1.2) ✏ C1, suy A   B   C ✏ π, tức A, B, C góc tam giác Thật vậy, trừ hai vế (1.1) cho (1.2) ta có tan C ✏ tan C21 ✞C ✁ C ✞ ✞C ✁ C ✞ C C ✞ ✞ 1✞ 1✞ ✞ ✏ kπ, k ➙ 0, k € Z, mà ✞ ✞↕   Suy ✞ hay C 2 ✏ C1 1.2.2 2 ➔ π2   π2 ✏ π, suy k ✏ Một số bất đẳng thức thông dụng tam giác Ta đưa số bất đẳng thức liên quan đến góc tam giác cho trước, bất đẳng thức vô quan trọng sử dụng chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa Mệnh đề 1.3 Cho A, B, C góc tam giác ABC Khi ta có bất đẳng thức sau: sin A   sin B   sin C sin A sin B sin C ↕ ❄ ❄ 3 ↕   sin B2   sin C2 ↕ 32 sin A sin A B C sin sin 2 ↕ 81 cos A   cos B   cos C cos A cos B cos C ↕ 32 ↕ 81 A cos   cos B2   cos C2 ↕ sin2 A   sin2 B   sin2 C ❄ 3 ↕ 94 cos2 A   cos2 B   cos2 C 10 11 ➙ 34 B C ❄ A tan   tan   tan ➙ 2 ❄ tan A   tan B   tan C ➙ 3 Chứng minh Hàm sin x lõm khoảng ♣0, π q nên theo bất đẳng thức Jensen ta có ✁A   B   C ✠ sin A   sin B   sin C ↕ sin ❄ 3 ô sin A   sin B   sin C ↕ ✏ sin π3 ✏ ❄ 2 Từ sin x → với ❅x € ♣0, π q, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có sin A sin B sin C ↕ ✁ sin A   sin B   sin C ✠3 ↕ ✁ ❄3 ✠3 ✏ ❄ 3 Tương tự chứng minh (1) ta có sin A   sin B2   sin C2 ↕ sin ✁A   B   C ✠ ✁ π✠ hàm sin x lõm khoảng 0, sin A 2 ✏ sin π6 ✏ 21 nên   sin B2   sin C2 ↕ 23 Tương tự chứng minh (2) từ bất đẳng thức AM-GM ta có ❝ A B C sin sin sin 2 A B C ô sin sin sin Từ A   B ↕ sin ↕ A   sin B2   sin C2 ↕ 12 ✏ π ✁ C suy cos C ✏ ✁ cos♣A   B q ✏ ✁ cos A cos B   sin A sin B Do ✁ 2♣cos A   cos B   cos C q ✏3 ✁ 2♣cos A   cos B ✁ cos A cos B   sin A sin B q ✏ sin2 A   sin2 B ✁ sin A sin B     cos2 A   cos2 B ✁ cos A ✁ cos B   cos A cos B ✏♣sin A ✁ sin B q2   ♣1 ✁ cos A ✁ cos B q2 ➙ 0, điều tương đương với cos A   cos B   cos C ↕ 23 Từ cos♣A   B q ✏ ✁ cos C ta có cos A cos B cos C ✏ 12 ♣cos♣A   B q   cos♣A ✁ B qq cos C ✏ 21 ♣cos♣A ✁ B q ✁ cos C q cos C ✏ 12 cos♣A ✁ B q cos C ✁ cos2 C ✁ ✠2 ✏ ✁ cos C ✁ cos♣A ✁ B q   cos ♣A ✁ B q ↕ cos2 ♣A ✁ B q A B C Vì A, B, C € ♣0, π q nên , , 2 ta có cos A   cos B2   cos C2 nghĩa cos A   cos B2   cos C2 ↕ € ↕ 8 ✁ π✠ 0, Do theo bất đẳng thức Jensen ↕ cos A   cos6 B   cos C ❄ 3 ✏ cos π6 ✏ ❄ , Ta có sin2 A   sin2 B   sin2 C ✏   cos A cos B cos C ↕   18 ✏ 94 Ta có A B C✠   sin2   sin2 ➙ 3✁ ✏ 2 4 ✁ π✠ 10 Vì hàm tan x lồi khoảng 0, nên theo bất đẳng thức Jensen ta có cos2 A   cos2 B   cos2 C tan A ✏3✁   tan B2   tan C2 tức tan A   tan B2   tan C2 ➙ ❄ ✁ sin2 ➙ tan A   B6   C ✏ tan π6 ✏ ❄1 3 11 Vì tam giác cho nhọn nên A, B, C ✁ π✠ 0, € , ✁ π✠ 0, Hàm f ♣xq ✏ tan x lồi nên theo bất đẳng thức Jensen ta có tan A   tan B   tan C ❄ ➙ tan A   B3   C ✏ tan π3 ✏ 3 Trong tam giác có bất đẳng thức kép thơng dụng cho mệnh đề sau 47 β ✁ tan β ✏ tan ✁ tan2 β tan γ ✁ tan3 γ tan 3γ ✏ ✁ tan2 γ tan 3β Thay vào (3.3) ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.4 Cho ➔ a, b, c ➔ a2   b2   c2   2abc ✏ Chứng minh abc   ✏ c ❜ ❜ (3.4) ❜ ♣1 ✁ q♣1 ✁ q   a ♣1 ✁ q♣1 ✁ q   b ♣1 ✁ c2q♣1 ✁ a2q a2 b2 b2 c2 Lời giải Vì ➔ a, b, c ➔ 1, nên ta đặt a ✏ cos α, b ✏ cos β, c ✏ cos γ với ➔ α, β, γ π Khi (3.4) trở thành ➔ cos2 α   cos2 β   cos2 γ   cos α cos β cos γ ✏ 1 ♣   cos 2αq   ♣1   cos 2β q   cos2 γ   rcos♣α   β q   cos♣α ✁ β qs cos γ 2 cos♣α   β q cos♣α ✁ β q   cos2 γ   rcos♣α   β q   cos♣α ✁ β qs cos γ ✏ ô ✏1 ô ô cos♣α   β qrcos♣α ✁ β q   cos γ s   cos γ rcos γ   cos♣α ✁ β qs ✏ ô rcos♣α   β q   cos γ srcos γ   cos♣α ✁ β qs ✏ ✁ π✠ ô cos♣α   β q   cos γ ✏ ♣do cos♣α ✁ β q   cos γ → ❅α, β, γ € 0; q ô α   β ✏ π ✁ γ Vậy α   β   γ ơ ✏ π Khi đẳng thức cần chứng minh viết dạng cos α cos β cos γ   ✏ cos γ sin α sin β   cos α sin β sin γ   cos β sin γ sin α cos γ cos♣α   β q ✁ sin♣α   β q sin γ   ✏ cos♣α   β   γ q   ✏ cos♣α   β   γ q ✏ ✁1, điều α   β   γ ✏ π Vậy toán chứng minh Bài toán 3.5 Cho x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình x3   ax2   x   b ✏ b ✘ Chứng minh ✁ x1 ✁ 1✠ ✁ ✠✁ 1✠ ✁ ✠✁ 1✠ ✠✁ x2 ✁   x2 ✁ x3 ✁   x3 ✁ x1 ✁ ✏ x1 x2 x2 x3 x3 x1 (3.5) 48 Lời giải Vì x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình (3.5) nên ✧ x1 x2   x2 x3   x3 x1 x1 x2 x ✏1 ✏b✘0 ñ ✧ Đặt x1 ✏ tan α, x2 ✏ tan β, x3 ✏ tan γ với α, β, γ x1 x2   x2 x3   x x1 x1 , x2 , x3 ✁ € ✁ π π✠ ; Ta có 2 ✏1 ✘0 tan α tan β   tan β tan γ   tan γ tan α ✏ 1 ✁ tan α tan β ✏ ♣tan α   tan β q tan γ Nếu tan α tan β ✏ tan α   tan β ✏ tan γ ✏ • tan α   tan β • tan γ (3.6) ✏ ñ tan α ✏ ✁ tan β , đó✁ tan2 β ✏ 1, vơ lý ✏ đ x3 ✏ 0, vơ lý Vậy tan α tan β ✘ Khi từ (3.6)ta có tan α   tan β tan γ ✏ 1 ✁ tan α tan β ✠ ✁ ô tan♣α   β q ✏ tan π2 ✁ γ ô α   β   γ ✏ π2   kπ, ♣k € Zq Và 1✠ ✁ ✠✁ 1✠ ✁ ✠✁ 1✠ ✠✁ x2 ✁   x2 ✁ x3 ✁   x3 ✁ x1 ✁ x1 x2 x2 x3 x3 x1 ✏ ♣tan α ✁ cot αq♣tan β ✁ cot β q   ♣tan β ✁ cot β q♣tan γ ✁ cot γ q   ♣tan γ ✁ cot γ q♣tan α ✁ cot αq ✁ x1 ✁ ✏ cot 2α cot 2β   cot 2γ ♣cot 2α   cot 2β q ✏ cot 2α cot 2β ✁ cot♣2α   2β q♣cot 2α   cot 2β q ♣do 2γ ✏ π ✁ ♣2α   2β   k2πqq 2α cot 2β ✁ ✏ cot 2α cot 2β ✁ cot ♣cot 2α   cot 2β q ✏ cot 2α   cot 2β Vậy ✁ x1 ✁ ✠✁ 1✠ ✁ ✠✁ 1✠ ✁ ✠✁ 1✠ x2 ✁   x2 ✁ x3 ✁   x3 ✁ x1 ✁ ✏ 4, x1 x2 x2 x3 x3 x1 điều phải chứng minh 49 3.2 Phương pháp lượng giác giải phương trình Bài tốn 3.6 Giải phương trình sau 32x♣x2 ✁ 1q♣2x2 ✁ 1q ✏ ✁ khoảng ♣0; 1q x ✁ π Lời giải Vì x € ♣0; 1q nên ta đặt x ✏ cos t với t € 0; q Khi phương trình cho trở thành ơ ô ô ô 32 cos t♣cos2 t ✁ 1q♣2 cos2 t ✁ 1q ✏ ✁ 32 cos2 t sin2 t cos2 2t ✏ ✁ cos t cos t sin2 2t cos2 2t ✏ ✁ cos t sin2 4t ✏ ✁ cos t cos 8t ✏ cos t ✔ 2π t✏k ✖ 8t ✏ ✟t   k2π ô ✕ 2π , k € Z t✏k ✁ π✠ Kết hợp với t € 0; , ta t ✏ 2π 2π 4π ;t ✏ ;t ✏ 9 2π 2π 4π Vậy nghiệm phương trình cos ; cos ; cos 9 Bài toán 3.7 Phương trình 4x3 ✁ 3x ✏ Lời giải Điều kiện ✁ x2 ➙ hay Đặt x ✏ cos t ❄ ✁ x2 có nghiệm? ✁1 ↕ x ↕ ❄ ♣t € r0; πsq, ta có ✁ x ✏ sin t Phương trình trở thành cos3 t ✁ cos t ✏ sin t cos 3t ✏ sin t ta có t ✏ π kπ π   t ✏ ✁   lπ ♣k, l € Zq π kπ π 5π +) Xét t ✏   , t € r0; π s nên t ✏ t ✏ , 8 π 5π suy x ✏ cos x ✏ cos 8 π 3π 3π +) Xét ✁   lπ, t € r0; π s nên t ✏ , tức x ✏ cos 4 Vậy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Bài tốn 3.8 Chứng minh phương trình 64x6 ✁ 96x4   362 ✁ ✏ 50 có nghiệm thực x0 thỏa mãn điều kiện ❜ 2  ❛ 2  Lời giải Từ công thức cos2 α ✏ α cos Khi α ✏ Khi α ✏ ✏ ❣ ❢ ❢   cos α ❡ ✏ ❄ ❜ 2  ➔ x0 ➔ ❄ ❛ 2    cos 2α (với ↕ α ↕ π ), ta suy ❣ ❝ ❢ ❢ ❢     cos α ❡ 2 π ta có ❝ π cos 16 ✏ π cos 24 ✏ π ta có 2  ❝ 2  ❜ 2  ❜ 2  ✏ ❜ 2  ❄   cos α ❄ ❄ Mặt khác cos 6t ✏ cos3 2t ✁ cos 2t ✏ 4♣2 cos2 t ✁ 1q3 ✁ 3♣2 cos2 t ✁ 1q ✏ 32 cos6 t ✁ 48 cos4 t   18 cos2 t ✁ Suy 64 cos6 t ✁ 96 cos4 t   36 cos2 t ✁ ✏ cos 6t ✁ Từ phương trình 64x6 ✁ 96x4   36x2 ✁ ✏ 0, ta xét x € r✁1; 1s Đặt x ✏ cos t, ta π π nghiệm có cos 6t ✁ ✏ đ cos 6t ✏ đ t ✏ Do x0 ✏ cos 18 18 π π π π π π phương trình Mặt khác ➔ ➔ đ cos → cos → cos Vậy phương 24 18 16 24 18 16 π thỏa mãn điều kiện trình 64x ✁ 96x   36x ✁ ✏ có nghiệm x0 ✏ cos 18 ❜ 2  ❛ 2  ❄ Bài toán 3.9 Giải phương trình x3   ❜ ❜ ➔ x0 ➔ 2  ❛ 2  ❄ ❜ ♣1 ✁ x2q3 ✏ x 2♣1 ✁ x2q ✁1 ↕ ✑x ↕ ✙ π π Đặt x ✏ sin α với α € ✁ ; , ta có phương trình trở thành 2 ❄ sin3 α   cos3 α ✏ sin α cos α Lời giải Điều kiện 51 ô ♣sin α   cos αq3 ✁ sin α cos α♣sin α   cos αq ✁ ❄ ✁π ✠ ❄ Đặt sin α   cos α ✏ sin   α ✏ t (điều kiện ⑤t⑤ ↕ 2) t2 ✁ , phương trình trở thành suy sin α cos α ✏ ❄ sin α cos α ❄ t2 ✁ t2 ✁ t✁ ❄ 22 ❄ t   2t ✁ 3t ✁ ✏ t3 ✁ ✏0 ô ❄ ❄ ❄ ô ♣t ✁ 2q♣t   ✁ 1q♣t     1q ✏ ❄ ❄ ❄ Suy t ✏ t ✏ ✁ (do ⑤t⑤ ↕ ) ✁π ✠ ❄ ❄ ✁π ✠ ❄ π   α ✏ ô sin   α ✏ hay α ✏   k2π Với t ✏ ñ sin 4 ❄ π π π π Vì α € r✁ ; s nên α ✏ x ✏ cos ✏ ❄2 ❄ Với t ✏ ✁ suy sin α   cos α ✏ ✁ hay ❄ ❄ ✧x ↕ ✁ ❄2 ❄ x  1✁x ✏1✁ 2ô ✁ x2 ✏ ♣1 ✁ ✁ xq2 ❄ ✧ ❄ ❛❄ x↕1✁ ❄ ✁ 2✁ 2✁1 ô x2 ✁ ♣1 ✁ 2qx   ♣1 ✁ ❄2q ✏ x ✏ Vậy phương trình cho có nghiêm x✏ ❄ 1✁ ;x ✏ ❄ 2✁ ❛ ❄ 2✁1 Bài toán 3.10 a) Xác định đa thức Pn ♣tq thỏa mãn điều kiện Pn ♣cos xq ✏ cos nx b) Giải biện luận phương trình Pn ♣tq ✏ m Lời giải Theo cơng thức Moivre ta có ♣cos x   i sin xqn ✏ cos nx   i sin nx Suy cos nx ✏ Re♣cos x   i sin xq n ➳ n ✏ m✏0 ➳ ✏ Re n ✁➳ k ✏0 Cnk cosn✁k ♣✁1qmCn2m cosn✁2m x sin2m x n ✏ m✏0 ♣✁1qmCn2m cosn✁2m x♣1 ✁ cos2 xqm k k x.i sin x ✠ 52 Đặt cos x ✏ t ta ➳ n Pn ♣tq ✏ m✏0 ♣✁1qmCn2mtn✁2m♣1 ✁ t2qm b) Giải biện luận phương trình Pn ♣tq ✏ m Nếu ⑤m⑤ ↕ 1, ta đặt m ✏ cos a ✏ cos♣a ✟ 2π q ✏ ✏ cosra ✟ 2♣n ✁ 1qπ s, ❅a € r0, π s Khi cos nx ✏ cos♣a ✟ 2kπ q ñ nx ✏ a   k2π ♣0 ↕ k hay x✏ a   k2π n ↕ n ✁ 1q, ñ t ✏ cos a  nk2π , ↕ k ↕ n ✁ Nếu ⑤m⑤ → Theo công thức Euler số phức ta có cos x ✏ eix   e✁ix eix ✁ e✁ix , sin x ✏ 2 Với eix ✏ a, a ✘ 0, a ❘ R ta có cos x ✏ 1✁ 1✠ 1✁ n 1✠ a  , và, cos nx ✏ a   n a a Từ hệ thức Pn ♣tq ✏ cos nx ta có Pn ♣tq ✏ Suy 1✁ n 1✠ a   n , t ✏ cos x a ❛ ❄ 1✁ n 1✠ n a   n ✏ m hay a ✏ m ✟ m2 ✁ a t✏ ❜ ❜ ✠ ❛ ❛ 1✠ 1✁ n 1✁ n a  ✏ m   m ✁   m ✁ m2 ✁ a Vậy, ⑤m⑤ ↕ phương trình có nghiệm t ✏ cos a   k2π ,0 ↕ k n Và ⑤m⑤ → phương trình có nghiệm t✏ ❜ ❛ 1✁ n m   m2 ✁   ↕ n ✁ ❜ n m✁ ✠ ❛ m2 ✁ Bài toán 3.11 Cho ➔ m ➔ 1, giải phương trình ♣1 ✁ m2qx   ♣2mqx ✏ ♣1   m2qx Lời giải Ta có (3.7) ô ✁ ✁ m2 ✠x   m2   ✁ 2m ✠x   m2 ✏ (3.7) 53 ✁ π✠ Đặt m ✏ tan t với t € 0; suy ✁ m2   m2 ✏ cos 2t;  2mm2 ✏ sin 2t Phương trình có dạng ♣sin 2tqx   ♣cos 2tqx ✏ Nhận xét, x ✏ nghiệm phương trình Với x → ta có ♣sin 2tqx ➔ ♣sin 2tq2 ♣cos 2tq2 ➔ ♣cos 2tq2, suy ♣sin 2tqx   ♣cos 2tqx ➔ 1, phương trình khơng nghiệm Với x ➔ 2, tương tự ta có ♣sin 2tqx   ♣cos 2tqx → 1, phương trình khơng nghiệm Vậy với ➔ m ➔ phương trình có nghiệm x ✏ 3.3 Phương pháp lượng giác giải hệ phương trình Bài tốn 3.12 Giải hệ phương trình sau ✩ 2 ✫x   y ✏ ✪♣x ✁ y q♣1   4xy q ✏ ❝ Lời giải Trong hệ phương trình có phương trình x2   y x ✏ sin α, y ✏ nên ta đặt ✏ cos α với t € r0; 2πs Khi phương trình thứ hai hệ trở thành ♣sin α ✁ cos αq♣1   sin α cos αq ✏ ❄ ✁ π✠ ô cos 3α ✁ ✏ ✁ 23 ❝ ô3α ✁ π4 ✏ 5π6   k2π Vì α € r0; 2π s nên ta tính nghiệm S ✏ ✧ ✯ 13π 17π 37π 41π 61π 65π ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm ✁ 13π 13π ✠ ✁ 17π 17π ✠ ✁ 37π 37π ✠ sin ; cos ; sin ; cos ; sin ; cos ; 36 36 36 36 36 36 ✁ 41π 41π ✠ ✁ 61π 61π ✠ ✁ 65π 65π ✠ sin ; cos ; sin ; cos ; sin ; cos 36 36 36 36 36 36 Bài toán 3.13 Giải hệ phương trình ✩ ✬ ✫ ✬ ✪ Lời giải 2y   y2 2x   y2 ✏x ✏ y 54 Nhận xét 3.1 Nhìn nhanh ta thấy hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai giải cách lấy phương trình thứ trừ cho phương trình thứ hai Tuy nhiên nhìn vào vế trái phương trình thứ phương trình thứ hai giải cách sử dụng lượng giác hóa sau Đặt ✧ với α, β ✁ € ✁ π2 ; π2 ✠ x ✏ tan α y ✏ tan β, Khi hệ cho trở thành ✩ ✬ ✫ ✬ ✪ tan β   tan2 β tan β   tan2 β ✏ tan α ✏ tan α ô ✧ sin 2β ✏ tan α sin 2α ✏ tan β Ta xét hai trường hợp • Nếu sin α ✏ sin β ✏ ngược lại nên ta có x ✏ y ✏ nghiệm hệ • Nếu sin α ✘ sin β ✘ Nhân phương trình thứ phương trình thức hai theo vế ta ✧ sin 2α sin 2β ✏ tan α tan β sin 2β ✏ tan α hay ô ✩ ✫4 cos α cos β ✏ cos α sin β ✪2 sin β cos α cos β ✏ sin α ✩ ✫ cos α cos β ✏ ✪ sin β cos α cos β (3.8) ✏ sin α Thay (3.8) vào (3.9) ta cos2 α ✏ ô 12 ♣1   cos 2αq ✏ 21 ô cos 2α ✏ ô 2α ✏ π2   kπ ô α ✏ π2   kπ , k € Z ✓ ✁π ✠ x✏y✏0 Khi nghiệm hệ x ✏ y ✏ tan   kπ ô x ✏ y ✏ x ✏ y ✏ ✁1 Bài tốn 3.14 Giải hệ phương trình sau ✩ ✫x ✁ 3x ✏ y ♣3x2 ✁ 1q ✪ y ✁ 3y ✏ z ♣3y ✁ 1q z ✁ 3z ✏ x♣3z ✁ 1q (3.9) 55 Lời giải Nhận thấy hệ khơng có nghiệm x x, y, z ✘ ✟ ❄1 ✏ ✟ ❄1 ;y ✏ ✟ ❄1 ;z ✏ ❄1 Với , ta đưa hệ phương trình dạng ✩ x3 ✁ 3x ✬ ✬ y ✏ ✬ ✬ 3x2 ✁ ✬ ✫ y ✁ 3y z✏ ✬ 3y ✁ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪x ✏ z ✁ 3z Đặt x ✏ tan α, α € ✁ ✠ 3z ✁ ✁ π2 ; π2 ♣1q với tan α, tan 3α, tan 9α ✘ ✟ ❄1 Khi α ✁ tan α ✏ tan3 tan ✏ tan 3α, 2α✁1 tan3 3α ✁ tan 3α z✏ ✏ tan 9α, tan2 α ✁ tan3 9α ✁ tan 9α x✏ ✏ tan 27α ♣2q tan2 9α ✁ y π π✠ € Z Do t € ✁ ; Từ (1) (2) ta tan α ✏ tan 27α ô α ✏ suy k ✏ 0; ✟1; ✟2; ; ✟12 ♣✝q Vậy hệ phương trình có 25 nghiệm ♣x, y, z q ✏ π 3π 9π ♣tan k 26 , tan k , tan k q với k thỏa mãn♣✝q 26 26 π k ,k 26 Bài tốn 3.15 (Romania 2002) Tìm tất số thực a, b, c, d, e mãn hệ phương trình ✩ ✫a   b   c   d   e ✏ € r✁2; 2s thỏa ✏0 ✏ 10 Lời giải Đặt a ✏ cos x, b ✏ cos y, c ✏ cos z, d ✏ cos t, e ✏ cos u Ta có cos 5x ✏ ♣2 cos xq5 ✁ 5♣2 cos xq3   5♣2 cos xq ✏ a5 ✁ 5a3   5a Suy ➦ cos 5x ✏ ➦ a5 ✁ ➦ a5   ➦ ➦ a ✏ 10 5x ✏ Điều kéo theo cos 5x ✏ cos ❄ 5y ✏ cos 5z ✏ cos❄5t ✏ cos 5u ✏ 2π 2π 5✁1 4π 5 1 Rõ ràng cos α ✏ ô α ✏ k , k € Z Từ cos ✏ , cos ✏ ✁ , cos ✏ 5 ❄ ❄ ✦ ➦ 5✁1   1✮ suy a, b, c, d, e € 2; ;✁ Với a ✏ rõ ràng phải có số 2❄ ❄ 5✁1 5 1 2, hai số khác hai số lại ✁ Kiểm tra 2➦ trường hợp ta thấy đẳng thức a3 ✏ thỏa mãn ✪ a3   b   c   d   e a5   b   c   d   e ✁ 56 3.4 Phương pháp lượng giác giải toán cực trị Bài toán 3.16 Cho số dương x, y, z thỏa mãn 6x   3y   2z ✏ xyz Tìm giá trị lớn biểu thức ❄ ❛ P ✏❄ x2   ♣y   4q♣z   9q x yz Lời giải Để ý thấy biểu thức P viết lại dạng P ✏❄ ❞ x x2  1 ❛ y y2   ❄ z z2  9 Các biểu thức P biểu thức đậm chất lượng giác, ta khai thác giả thiết 6x   3y   2z Ta đặt a ✏ , b ✏ , c ✏ y x ta ab   bc   ca ✏ Khi biểu thức P trở thành z P Ta đặt a ✏ tan ✏ xyz ô yz6   zx   xy2 ✏ ✏❄ ❞ 1  a2 ❄ 1  A B C ,b ✏ ,c ✏ với ♣A   B   C 2 A P ✏ cos ❝ cos b2 ❄ 1   c2 ✏ πq Khi B C cos 2 Vì B, C bình đẳng P nên trình đánh giá, ta bảo đảm cho dấu xảy B ✏ C Ta có 2P ✁ ✠✁ ✠ A ✠✁ A sin   2 A A A ✁ ✁ sin     sin     sin ✠3 ✏ cos2 A2 cos B2 cos C2 ↕ ✠✁ ✠ ✁ ✁ sin2 ✏ 32 ✏ 12 2✁2 sin A2 1 sin A2 1 sin A2 ↕ 27 ❄ Kết luận Suy P ↕ ❄ ❄ ❄ A A B C Max P ✏ ô sin ✏ , B ✏ C ô tan ✏ , tan ✏ tan ✏ ôx✏ 2 ❄ 9❄ ❄ 2, y ✏ 2, z ✏ Bài toán 3.17 Trong nghiệm ♣x, y, z, tq hệ phương trình ✩ 2 ✫x   y ✪   xt   yz z2 t2 ✏1 ✏ 2❄ ➙ 57 Hãy tìm nghiệm cho y   t nhỏ α, β ❄ ✏ sin α, y ✏ cos α z ✏ Lời giải Từ giả thiết ta đặt x sin β, t ✏ € r0; 2πs Ta có ❄ ❄ ❄ ↕ xt   yz ✏ 2♣sin α cos β   sin β cos αq ✏ sin♣α   β q ô sin♣α   β q ➙ ô sin♣α   β q ✏ ô α   β ✏ π2   k2π Do y   t ✏ cos α   ❄ cos β ✏ cos ✠ ✁π   k2π ✁ β   ❄ cos β ❜ ❄ ❄ ✏ sin β   cos β ↕ ✁ ♣sin2β   cos2 β q♣1   2q ✏ ✁ ❄ Tức min♣y   tq ✏ ✁ đẳng thức xảy ✩ ✬ ✫cos2 β ✏ sin2 α ✏ ô ✬ ✪cos2 α ✏ sin2 β ✏ ✩ ✬ ✬ x2 ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫y ✏ ✬ ✏ ✬ t ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ 2 ✪ z ✏ Bằng cách chọn giá trị ta nghiệm sau thỏa mãn ✁ ♣x, y, z, tq ✏ ✁ ❝ ❝ ,✁ ❝ ,✁ ❝ ✠ ,✁ 3 Bài tốn 3.18 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số ❄ u ✏ 2x   3y   với 4x2   9y ✏ 16 ✁ x ✠2 ✁ 3y ✠2 Lời giải Theo giả thiết 4x2   9y ✏ 16 ô   ✏ Đặt ✩x ✫ ✏ cos α với α € r0; 2π s ✪ 3y ✏ sin α Khi đó, ta ★ x y Do ✏ cos α ✏ 34 sin α ❄ u ✏ cos α   sin α   ✏ ✁1 cos α   ❄ ✠ sin α   2 ❄ cos β, với 58 ✁ ✏ sin α   ✁ π✠   ✁ π✠ π✠ ↕ nên ✁6 ↕ u ↕ 10 Ta có u ✏ ✁6 sin α   ✏ ✁1 ô 6 ❄ 2π 4π ✁2 Vậy α ✏ ✁   k2π ♣k € Zq Vì ↕ α ↕ 2π suy α ✏ hay x ✏ ✁1 y ✏ 3 u ✏ ✁6 π π Và u ✏ 10 sin♣α   q ✏ α ✏   k2π ♣k € Zq Vì α € r0; 2π s suy ❄6 π α ✏ hay, x ✏ y ✏ , max u ✏ 10 Vậy max u ✏ 10, u ✏ ✁6 3 Vì ✁1 ↕ sin α   Bài toán 3.19 Giả sử x, y số thay đổi thỏa mãn điểu kiện x → 0, y x y ✏ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ✧ P ✏ ✏ Đặt t ✏ sin α   cos α ✏ π ✏ ❄1x✁ x   ❄1y✁ y ✁ x ✏ cos2 α → y ✏ sin2 α → Lời giải Đặt ➔ α   π4 ➔ 3π4 ❄ sin α   ❄ π✠ , suy sin α cos α ✏ t 2✁ Do ➔ α ➔ π2 ñ 2, ✁ P 0➔α➔ π✠ Ta có cos2 α sin2 α cos3 α   sin3 α   cos α ✏ sin α cos α sin α ♣sin α   cos αq♣1 ✁ sin α cos αq sin α cos α ✁ nên ➔ t ↕ ✏ t2 ✁ ✠ t2 ✁ t 1✁ ✏ ✁tt2 ✁ 13t ✁t3   3t ta có t2 ✁ Đặt f ♣tq ✏ ♣3 ✁ 3t2q♣t2 ✁ 1q ✁ 2t♣✁t3   3tq ✏ ✁t4 ✁ ➔ 0, ❅t € ♣1; ❄2s ♣t2 ✁ 1q2 ♣t2 ✁ 1q2 ❄ Suy f ♣tq nghịch biến ♣1; 2s, f ♣tq ✏ ✶ ❄ f ♣tq ✏ f ♣ 2q ✏ Vậy P ✏ ❄ → t€♣1;2s 2, đạt x ✏ y ✏ 21 ❄ x ✏ y ✏ 21 59 Bài toán 3.20 Xét số thực a, b, c dương thỏa mãn điều kiện abc   a   c ✏ b Tìm giá trị lớn biểu thức P ✏ a2 2  ✁ b2 2    c2 3  Lời giải Ta có abc   a   c ✏ b ô a   c ✏ b♣1 ✁ acq Nếu ac ✏ a   c ✏ a c đ a ✏ ✁c đ ✁ ✏ 1, vơ lý Vậy ac ✘ Khi ta có b ✏ Ta đặt ✁ ac a ✏ tan α, c ✏ tan β ñ b ✏ tan♣α   β q, với α, β thỏa mãn điều kiện α, β → π α   β ➔ Khi a2 P ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✁     tan ♣α   β q   tan α   cos2 α ✁ cos2 ♣α   β q   cos2 β cos 2α   ✁ rcos 2♣α   β q   1s   cos2 β cos 2α ✁ cos 2♣α   β q   cos2 β sin β sin♣2α   β q   3♣1 ✁ sin2 β q sin♣2α   β q 10 10 ✁ 3rsin β ✁ s ✁ cos2 ♣2α   β q ↕ 3 3 tan2 α Dấu xảy ★ sin β ✏ sin♣2α   β q cos♣2α   β q ✏ Vì sin β ✏ nên cos β ✏ ❄ chẳng hạn 2 tan β ❄ ✏ ❄ ✩ ✫2α   β ✏ π ✪sin β ✏ ❄ 2 hay c ✏ Lại có 4 ✠ ❄ tan α ✁ β ✏ cot β ✏ 2 ñ ✏ 2 ✁ tan2 α ❄ ❄ ✁π ✠ ❄ 2 nên tan α ✏ , suy a ✏ b ✏ tan♣α   β q ✏ tan ✁ α ✏ cot α ✏ Vậy 2❄ ❄ ❄ 10 2 max P ✏ , đạt a ✏ , b ✏ 2, c ✏ tan 2α ✏ tan ✁π 60 Kết luận Luận văn "Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức bất phương trình đại số " giải vấn đề sau: Luận văn giới thiệu nhìn khác chuyên ngành lượng giác Đó việc sử dụng tính chất, công thức lượng giác, bất đẳng thức lượng giác việc giải toán bất đẳng thức, bất phương trình đại số Luận văn tập trung tìm hiểu, thu thập tài liệu phân loại toán ứng dụng phương pháp lượng giác Luận văn xây dựng hệ thống dạng toán liên quan tập hợp số thi Olympic Toán nước việc sử dụng phương pháp lượng giác vào giải tốn bất đẳng thức, bất phương trình đại số đề xuất tập tương tự 61 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Hứa Mạnh Hưởng (2016),Phép lượng giác Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐHKH ĐH Thái Nguyên [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc (2003), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [5] T-L.T Radulescu, V.D Radulescu, T.Andreescu (2009), Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the real axis, Springer Sciences+Business Media [6] Paulo Ney de Sausa, Jorge- Nume Silva (1998), Berkeley Problems in Mathematics, Springer ... Chương Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình Chương trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức bất phương trình đại số 2.1 Các toán bất đẳng thức tam giác. .. Một số kiến thức Nhắc lại số tính chất hàm số lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng, phép lượng giác Chương Phương pháp lượng giác bất đẳng thức bất phương trình Trình... hệ thức lượng giác từ đẳng thức, bất đẳng thức đại số 5 6 10 Phương pháp lượng giác bất đẳng thức trình 2.1 Các toán bất đẳng thức tam giác 2.1.1 Bất đẳng thức lượng