Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác 1.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc hai 1.2 Xây dựng phương trình bậc hai từ phương trình bậc hai biết 2π 4π 1.3 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác , 5 2π 4π , 1.3.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác 5 2π 4π 1.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác , 5 π 1.4 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác góc 12 π 1.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc 12 π 1.4.2 Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác góc 12 11 12 12 14 20 20 21 Chương Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh hệ thức lượng giác 23 2.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc ba 23 2.2 Xây dựng phương trình bậc ba từ phương trình bậc ba biết 26 2.3 Phương trình bậc ba liên quan đến giá trị lượng giác π 5π 7π góc , , 27 18 18 18 2.3.1 Các mệnh đề liên qua đến giá trị lượng giác góc π 5π 7π , , 27 18 18 18 2.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác góc π 5π 7π , , 18 18 18 2.4 Phương trình bậc ba liên quan đến giá trị lượng giác π 3π 5π góc , , 7 2.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π , , 7 2.4.2 Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π , , 7 28 42 42 43 Chương Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh hệ thức lượng giác 51 3.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc bốn 51 3.2 Xây dựng phương trình bậc bốn từ phương trình bậc bốn có 53 3.3 Phương trình bậc bốn liên quan đến giá trị lượng giác π 3π 5π 7π góc , , , 8 8 3.3.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π 7π , , , 8 8 3.3.2 Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác góc π 3π 5π 7π , , , 8 8 3.4 Phương trình bậc bốn liên quan đến giá trị lượng giác π 5π 9π 13π góc , , , 16 16 16 16 3.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác góc π 5π 9π 13π , , , 16 16 16 16 3.4.2 Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác góc π 5π 9π 13π , , , 16 16 16 16 54 54 55 66 66 67 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Mở đầu Lí chọn đề tài Xét ba tốn sau Bài tốn (Olympic Moskva, 1939, vịng 1) Chứng minh cos 4π 2π + cos =− 5 (1) Bài tốn (Vơ địch Quốc tế lần thứ 5, 1963) Chứng minh cos π 2π 3π − cos + cos = 7 (2) 3π 5π 7π π Bài toán (THTT, tháng 10, số 232, năm 1996) tan , tan , tan , tan 8 8 nghiệm phương trình t4 − 6t2 + = (3) Hai hệ thức (1) (2) dễ dàng chứng minh nhờ phép biến đổi lượng giác Tuy nhiên, từ hai hệ thức ta khó phát thêm hệ thức tương tự Mặt khác, dễ dàng chứng minh (xem Mệnh đề 1.3.1) 2π 4π 1 nghiệm phương trình t2 + t − = Tương tự (xem cos , cos 5 π 3π 5π 1 Mệnh đề 2.4.1), cos , cos , cos nghiệm phương trình t3 − t2 − t + 7 2 = toán chứng minh Mệnh đề 3.3.1 Từ tính chất nghiệm phương trình bậc hai bậc ba, ta suy hệ thức (1) (2) (xem Hệ thức 1.3.1 2.4.1b) Từ tính chất nghiệm phương trình bậc hai, bậc ba bậc bốn, ta dễ dàng phát chứng minh 2π 4π π 3π 5π π 3π 5π 7π , , , hay , , , 5 7 8 8 mà không cần sử dụng phép biến đổi lượng giác Đó ý tưởng nhiều hệ thức lượng giác chứa góc chủ đạo luận văn Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc ba để phát chứng minh hệ thức (hình học lượng giác) tam giác có lẽ lần trình bày [6] phát triển [1] Phát chứng minh hệ thức lượng giác nhờ sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc bốn có lẽ lần trình bày cách hệ thống [2] [3] Như vậy, ta có nhịp cầu nối Đại số (phương trình hàm số) với Lượng giác (các hệ thức hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt) Đây điểm khác biệt luận văn so với luận văn có hệ thức lượng giác Ý tưởng sử dụng tính chất nghiệm phương trình đại số để phát chứng minh hệ thức lượng giác có lẽ lần trình bày cách hệ thống [3] Lịch sử nghiên cứu Chủ đề hệ thức lượng giác có vị trí vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề hệ thức lượng giác Tuy nhiên theo quan sát chúng tơi chưa có nhiều tài liệu hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu hệ thức lượng giác Mục đích, đối tượng, phạm vi nguyên cứu Luận văn có mục đích trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh hệ thức lượng giác Đối tượng, phạm vi nghiên cứu hệ thức lượng giác góc có liên quan đặc biệt Mục tiêu luận văn Trình bày phương pháp phương trình đại số để phát chứng minh hệ thức lượng giác Ngoài nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứng minh thơng thường (nhờ biến đổi lượng giác), số bài, luận văn trình bày kĩ thuật chứng minh truyền thống Phương pháp nghiên cứu Sử dụng cơng cụ phương trình đại số để nghiên cứu hệ thức lượng giác Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn gồm ba chương Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Đầu Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc hai, sau xây dựng phương trình bậc hai từ phương trình bậc hai có Từ đưa phương trình bậc hai có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác góc đặc biệt đưa nhiều hệ thức lượng giác Chương Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh hệ thức lượng giác Đầu Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc ba, sau xây dựng phương trình bậc ba từ phương trình bậc ba có Từ đưa phương trình bậc ba có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác góc đặc biệt đưa nhiều hệ thức lượng giác Chương Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh hệ thức lượng giác Đầu Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc bốn, sau xây dựng phương trình bậc bốn từ phương trình bậc bốn có Từ đưa phương trình bậc bốn có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác góc đặc biệt, từ phát biểu chứng minh nhiều hệ thức lượng giác Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc đến thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn để tơi hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cám ơn tồn thể thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập, thực hoàn thành luận văn Xin cám ơn nhà trường THPT Quế Võ Số 1, tỉnh Bắc Ninh Xin cám ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Kim Anh Chương Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc hai ứng dụng phát hiện, chứng minh hệ thức lượng giác 1.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc hai Mọi phương trình bậc hai đưa dạng x2 + ax + b = (1.1) Phương trình (1.1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn tính chất sau Tính chất 1.1.1 σ1 = x1 + x2 = −a Tính chất 1.1.2 σ2 = x1 x2 = b Từ hai tính chất sử dụng tính chất đối xứng nghiệm, ta suy nhiều tính chất khác nghiệm phương trình bậc hai, có lợi cho nghiên cứu phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Tính chất 1.1.3 x21 + x22 = a2 − 2b 10 Tính chất 1.1.4 x31 + x32 = −a3 + 3ab Tính chất 1.1.5 x41 + x42 = a4 − 4a2 b + 2b2 Tính chất 1.1.6 1 a + =− x1 x2 b Tính chất 1.1.7 1 a2 − 2b + = x21 x22 b2 Tính chất 1.1.8 1 −a3 + 3ab + = x31 x32 b3 Tính chất 1.1.9 1 a4 − 4a2 b + 2b2 + = x41 x42 b4 Bổ đề (Công thức Newton) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 tính theo công thức truy hồi Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 Tính chất 1.1.10 (Cơng thức Waring) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 tính theo công thức   k   Sk = k m=0 (−1)m (k − m − 1)! k−2m m σ1 σ2 , m!(k − 2m)! theo định nghĩa 0! = 1! = [x] phần nguyên x Các trường hợp riêng: S2 = 2 σ − σ2 = σ12 − 2σ2 σ − σ1 σ2 = σ1 σ12 − 3σ2 1 S4 = σ1 − σ12 σ2 + σ22 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 S3 = 60 Hệ thức 3.3.23 tan8 π 3π 5π 7π + tan8 + tan8 + tan8 = 2308 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.12 vào (3.6) ta Hệ thức 3.3.23 Hệ thức 3.3.24 1 + + π 3π 5π 3π 5π 7π 5π 7π π tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 8 8 8 8 π 3π 5π 3π 5π 7π = cot2 cot2 + cot2 + cot2 cot2 cot2 3π 7π π 8 8 8 tan2 tan2 tan2 8 7π π 7π π 3π 5π cot2 cot2 + cot2 cot2 cot2 = 12 + cot 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.13 vào (3.6) ta Hệ thức 3.3.24 Hệ thức 3.3.25 7π π tan2 8 + π 3π 3π 5π 5π 7π tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 8 8 8 5π 3π tan2 tan2 8 + = 68 + 7π π π 5π 7π 2 2 3π 2 tan tan tan tan tan tan 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.14 vào (3.6) ta Hệ thức 3.3.25 tan2 Hệ thức 3.3.26 π 3π 5π 3π 5π 7π tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 8 + 8 π 7π tan tan2 8 7π π 7π π 3π 5π tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 tan2 8 + 8 = 68 + 3π 5π tan2 tan2 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.15 vào (3.6) ta Hệ thức 3.3.26 tan2 Hệ thức 3.3.27 1 1 + + + π 3π 5π 7π tan4 tan tan tan 8 8 π 3π 5π 7π = cot4 + cot4 + cot4 + cot4 = 68 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.16 vào (3.6) ta Hệ thức 3.3.27 61 Hệ thức 3.3.28 2 2 π 3π 5π 7π 3π 5π tan − tan − tan − tan + tan + tan 8 8 8 2 2 π 5π 7π π 3π 7π − tan − tan − tan + tan + tan = 128 + tan 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.17 vào (3.6) ta Hệ thức 3.3.28 Hệ thức 3.3.29 π 3π π 5π 5π 7π 3π 7π tan2 tan2 tan tan + tan2 tan tan2 tan 8 8 8 8 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π + tan2 tan tan tan2 + tan tan2 tan2 tan 8 8 8 8 5π π 3π π 3π 7π 5π 7π tan tan + tan tan tan tan = −6 + tan tan 8 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.2 vào (3.7) ta Hệ thức 3.3.29 Hệ thức 3.3.30 3π 5π 7π π 3π 5π 7π π tan2 tan2 + tan2 tan3 tan2 tan2 tan3 tan2 8 8 8 8 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π + tan tan tan tan + tan tan tan tan = 8 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.3 vào (3.7) ta Hệ thức 3.3.30 Hệ thức 3.3.31 π 3π 5π π 3π 7π π 5π 7π tan tan tan + tan tan tan + tan tan tan 8 8 8 8 π 3π 5π π 3π 7π 3π 5π 7π × tan tan tan + tan tan tan + tan tan tan 8 8 8 8 π 3π 5π π 5π 7π 3π 5π 7π × tan tan tan + tan tan tan + tan tan tan 8 8 8 8 π 3π 7π π 5π 7π 3π 5π 7π × tan tan tan + tan tan tan + tan tan tan = 8 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 1.2.7 vào (3.7) ta Hệ thức 3.3.31 Hệ thức 3.3.32 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π tan4 tan4 tan2 tan2 + tan4 tan2 tan4 tan2 8 8 8 8 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π + tan4 tan2 tan2 tan4 + tan2 tan4 tan4 tan2 8 8 8 8 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π + tan tan tan tan + tan tan tan tan = 38 8 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.10 vào (3.7) ta Hệ thức 3.3.32 Hệ thức 3.3.33 62 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π tan6 tan4 tan4 tan4 + tan4 tan6 tan4 tan4 8 8 8 8 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π + tan tan tan tan + tan tan tan tan = 12 8 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.11 vào (3.7) ta Hệ thức 3.3.33 Hệ thức 3.3.34 π 3π 5π π 3π 5π π 5π 7π tan4 tan4 tan4 + tan4 tan4 tan4 + tan4 tan4 tan4 8 8 8 8 5π 7π 3π tan4 tan4 = 68 + tan4 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.12 vào (3.7) ta Hệ thức 3.3.34 Hệ thức 3.3.35 1 1 + + = π + 3π 5π 7π cos cos cos cos 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.1 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.35 Hệ thức 3.3.36 1 1 1 1 + + + π π π 3π 5π 7π 3π 5π cos cos cos cos cos cos cos cos 8 8 8 8 1 1 + = −8 + 3π 7π 5π 7π cos cos cos cos 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.2 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.36 Hệ thức 3.3.37 1 1 1 1 + + π π π cos cos 3π cos 5π cos cos 3π cos 7π cos cos 5π cos 7π 8 8 8 8 1 + = 3π 5π 7π cos cos cos 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.3 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.37 Hệ thức 3.3.38 1 1 = π cos cos 3π cos 5π cos 7π 8 8 63 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.4 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.38 Hệ thức 3.3.39 cos 3π 5π 7π π + cos + cos + cos = 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.5 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.39 Hệ thức 3.3.40 1 1 + + + = 16 π 3π 5π 7π 2 cos2 cos cos cos 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.6 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.40 Hệ thức 3.3.41    1  1   + + +    π + π 3π 5π 3π 7π  cos cos cos cos cos cos 8 8  8  1  1   × + + + =   π + 5π 7π 3π 5π 7π  cos cos cos cos cos cos 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.7 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.41 Hệ  thức 3.3.42   1  1 1   + − + −   π + π + 3π 5π 7π 3π 7π 5π  cos cos cos cos cos cos cos cos 8  8 8   1  1 1   + − + + − ×  π + π 5π 7π 3π 3π 5π 7π cos cos cos cos cos cos cos cos 8 8 8 8 =128 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.8 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.42 Hệ thức 3.3.43 1 1 1 + + + π + π 3π 5π 3π 7π cos cos cos cos cos cos 8 8 + 8 1 7π 5π cos cos 8 64 1 1 + + + + π 5π 7π 3π 5π 7π cos cos cos cos cos cos 8 + 8 = −4 + 1 π 3π cos cos 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.9 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.43 Hệ thức 3.3.44 1 1 1 1 + + + π π π 3π 5π cos2 cos2 3π cos2 cos2 5π cos2 cos2 7π cos2 cos2 8 8 8 8 1 1 + = 48 + 3π 7π 5π 7π cos2 cos2 cos2 cos2 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.10 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.44 Hệ thức 3.3.45 1 + 1 π π 3π 5π 2 cos2 cos2 3π cos2 7π cos cos 8 8 8 1 1 1 + + = 128 5π 7π 3π 5π 7π 7π 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.11 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.45 cos2 Hệ thức 3.3.46 1 + + + = 96 π 3π 5π 7π 4 cos4 cos cos cos 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.12 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.46 Hệ thức 3.3.47 3π 5π π 3π 7π π 5π 7π π cos + cos cos cos + cos cos cos cos cos 8 8 8 8 3π 5π 7π + cos cos cos = 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.13 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.47 Hệ thức 3.3.48 π 3π 7π π 3π 5π π 5π 7π cos cos cos cos cos cos cos cos cos 8 + 8 + 8 5π 7π 3π cos cos cos 8 65 5π 7π 3π cos cos 8 = + π cos Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.14 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.48 cos Hệ thức 3.3.49 7π 5π 3π cos cos 8 + + π 3π 5π π 3π 7π π 5π 7π cos cos cos cos cos cos cos cos cos 8 8 8 8 π cos = 16 + 3π 5π 7π cos cos cos 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.15 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.49 cos Hệ thức 3.3.50 cos2 π 3π 5π 7π + cos2 + cos2 + cos2 = 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.16 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.50 Hệ thức 3.3.51  2  2  2       − + − + −      π π π 3π 5π 7π  cos cos cos cos cos cos 8 8 8 8     2 1      − + − + − = 64   3π 5π 3π 7π 5π 7π  cos cos cos cos cos cos 8 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.17 vào (3.8) ta Hệ thức 3.3.51  + Hệ thức 3.3.52 tan16 π 3π 5π 7π + tan16 + tan16 + tan16 = 2663428 8 8 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.12 vào (3.9) ta Hệ thức 3.3.52 66 3.4 Phương trình bậc bốn liên quan đến giá trị π 5π 9π 13π lượng giác góc , , , 16 16 16 16 3.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác π 5π 9π 13π góc , , , 16 16 16 16 Mệnh đề 3.4.1 tan 5π 9π 13π π , tan , tan , tan nghiệm 16 16 16 16 t4 + 4t3 − 6t2 − 4t + = (3.10) Chứng minh Ta có π 5π 9π 13π tan = tan = tan = tan = Chứng tỏ 4 4 π 5π 9π 13π x = ,x = ,x = ,x = nghiệm phương trình tan (4x) = 16 16 16 16 Mà tan (2x) tan (4x) = ⇔ =1 − tan2 (2x) 2 tan x tan x ⇔2 =1− − tan2 x − tan2 x ⇔ tan x − tan2 x = − tan2 x − tan2 x ⇔ tan4 x + tan3 x − tan2 x − tan x + = Đặt t = tan x ta phương trình t4 + 4t3 − 6t2 − 4t + = Suy điều phải chứng minh 1 1 , , , nghiệm Mệnh đề 3.4.2 π 5π 9π 13π tan tan tan tan 16 16 16 16 t4 − 4t3 − 6t2 + 4t + = (3.11) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 vào (3.10) ta Mệnh đề 3.4.2 5π 9π 13π π Mệnh đề 3.4.3 cot2 , cot2 , cot2 , cot2 nghiệm 16 16 16 16 t4 − 28t3 + 70t2 − 28t + = (3.12) Chứng minh Do π 5π 9π 13π cot2 = ; cot2 = ; cot2 = ; cot2 = π 16 16 16 16 5π 9π 13π tan2 tan tan tan 16 16 16 16 67 Áp dụng mệnh đề 3.2.2 vào (3.11) ta Mệnh đề 3.4.3 1 1 Mệnh đề 3.4.4 , , nghiệm , π 5π 9π 13π sin2 16 sin 16 sin 16 sin 16 t4 − 32t3 + 160t2 − 256t + 128 = Chứng minh Do cot2 α = (3.13) − nên thay t t − vào (3.12) ta sin2 α Mệnh đề 3.4.4 3.4.2 Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác π 5π 9π 13π , , , góc 16 16 16 16 Hệ thức 3.4.1 tan 5π 9π 13π π + tan + tan + tan = −4 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.1 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.1 Chứng minh Sử dụng cơng thức cộng, hạ bậc, ta có π 5π 9π 13π tan + tan + tan + tan 16 16 16 16 13π π 13π 5π 9π 5π 9π π + − tan tan +tan + − tan tan = tan 16 16 16 16 16 16 16  16 7π 7π cos cos 7π  7π    8 = tan + tan    13π 9π  π 5π 8 cos cos cos cos 16 16 16 16   7π 7π sin cos 7π  2  8 = sin + =  7π 7π 7π 3π π cos + cos cos + cos cos2 − 8 7π sin = 7π cos 7π = tan = −4 Hệ thức 3.4.2 tan2 π 5π 9π 13π + tan2 + tan2 + tan2 = 28 16 16 16 16 68 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.6 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.2 Chứng minh Sử dụng đẳng thuéc lượng giác, công thức haj bậc, ta có 5π 9π 13π π + tan2 + tan2 + tan2 tan2 16  16   16     16 1 1      + + +     π 5π 9π 13π 2 cos2 −1 −1 −1 −1 cos cos cos 16 16 16 16 2 2 = + + −4 + π 5π 9π 13π + cos + cos + cos + cos 8 8 2 2 = + −4 π + π + 5π 5π + cos − cos + cos − cos 8 8 4 8 = + = 32 ⇔ + −4 π π 5π 5π − cos2 − cos − cos − cos 8 8 √ + √ − = 28 = 2 1− 1+ 2 Hệ thức 3.4.3 = 5π π 9π π 13π 5π 9π 5π 13π π tan + tan tan + tan tan + tan tan + tan tan 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 9π 13π + tan tan = −6 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.2 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.3 tan Hệ thức 3.4.4 tan π 5π 9π 13π tan tan tan = 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.4 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.4 Hệ thức 3.4.5 1 1 + + = π + 5π 9π 13π tan tan tan 16 tan 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.5 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.5 Hệ thức 3.4.6 π 5π 9π π 5π 13π π 9π 13π tan tan tan + tan tan tan + tan tan tan 16 16 16 16 16 16 16 16 16 69 5π 9π 13π tan tan = 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.3 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.6 + tan Hệ thức 3.4.7 π 5π 9π 5π 9π 13π tan + tan + tan tan + tan + tan 16 16 16 16 16 16 9π 13π π 13π π 5π + tan + tan tan + tan + tan = −79 × tan 16 16 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.7 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.7 Hệ thức 3.4.8 π 5π 9π 13π 5π 9π 13π π + tan + tan − tan tan + tan + tan − tan 16 16 16 16 16 16 16 16 13π π 5π 9π + tan + tan − tan × tan 16 16 16 16 13π π 5π 9π × tan + tan + tan − tan = −496 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.8 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.8 tan Đẳng thức 3.4.9 5π 9π 9π 13π π 5π + tan + tan + tan + tan tan tan 16 16 16 + 16 16 16 π 13π tan tan 16 16 9π 13π π 13π π 5π tan + tan + tan tan + tan + tan 16 16 16 + 16 16 16 = −20 + 5π 9π tan tan 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.9 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.9 Hệ thức 3.4.10 π 5π π 9π π 13π 5π 9π tan2 tan2 + tan2 tan2 + tan2 tan2 + tan2 tan2 16 16 16 16 16 16 16 16 5π 13π 9π 13π tan2 + tan2 tan2 = 70 + tan2 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.10 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.10 Hệ thức 3.4.11 π 5π 9π π 5π 13π tan2 tan2 tan2 + tan2 tan2 tan2 16 16 16 16 16 16 π 9π 13π 5π 9π 13π + tan tan tan + tan tan tan = 28 16 16 16 16 16 16 70 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.11 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.11 Hệ thức 3.4.12 tan4 13π 5π 9π π + tan4 + tan4 + tan = 644 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.12 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.12 Hệ thức 3.4.13 1 + + π 5π 9π 5π 9π 13π 9π 13π π tan tan tan tan tan tan tan tan tan 16 16 16 16 16 16 16 16 16 = −4 + 13π π 5π tan tan tan 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.13 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.13 Hệ thức 3.4.14 13π π tan 16 16 + π 5π 5π 9π 9π 13π tan tan tan tan tan tan 16 16 16 16 16 16 5π 9π tan tan 16 16 + + = 28 9π 13π π 13π π 5π tan tan tan tan tan tan 16 16 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.14 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.14 tan Hệ thức 3.4.15 π 5π 9π 5π 9π 13π tan tan tan tan tan 16 16 16 + 16 16 16 π 13π tan tan 16 16 9π 13π π 13π π 5π tan tan tan tan tan tan 16 16 16 + 16 16 16 = 28 + 5π 9π tan tan 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.15 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.15 tan Hệ thức 3.4.16 cot2 π 5π 9π 13π + cot2 + cot2 + cot2 = 28 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.1 vào (3.12) ta Hệ thức 3.4.16 Hệ thức 3.4.17 71 2 π 5π 5π 9π 9π 13π tan − tan − tan − tan + tan + tan 16 16 16 16 16 16 2 π 9π 13π 13π π 5π − tan − tan − tan + tan + tan = 96 + tan 16 16 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.17 vào (3.10) ta Hệ thức 3.4.17 Hệ thức 3.4.18 π 5π 9π 13π + cot4 + cot4 + cot4 = 644 16 16 16 16 cot4 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.6 vào (3.12) ta Hệ thức 3.4.18 Hệ thức 3.4.19 cot8 5π 9π 13π π + cot8 + cot8 + cot8 = 408068 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.12 vào (3.12) ta Hệ thức 3.4.19 Hệ thức 3.4.20 1 1 + + + = 32 π 5π 9π 13π sin2 sin sin 16 sin 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.1 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.20 Hệ thức 3.4.21 π 5π 9π 13π sin sin2 sin sin 16 16 16 16 = 128 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.4 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.21 Hệ thức 3.4.22 1 + + + = 704 π 5π 9π 4 13π sin4 sin sin 16 sin 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.6 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.22 Hệ thức 3.4.23 sin2 π 5π 9π 13π + sin2 + sin2 + sin2 = 16 16 16 16 72 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.5 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.23 Hệ thức 3.4.24 sin4 5π 9π 13π π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.16 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.24 Hệ thức 3.4.25 1 + + 5π 9π 13π π π π sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 16 16 16 16 16 16 1 + + = 160 + 9π 13π 13π 5π 5π 9π sin sin sin sin sin sin 16 16 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.2 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.25 Hệ thức 3.4.26 + + 5π 9π 13π π π π sin4 sin4 sin4 sin4 sin4 sin4 16 16 16 16 16 16 1 + + + = 9472 9π 13π 13π 5π 5π 9π sin sin sin sin sin sin 16 16 16 16 16 16 Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.10 vào (3.13) ta Hệ thức 3.4.26 Nhận xét Ta sử dụng đẳng thức mối quan hệ giá trị lượng giác để suy nhiều phương trình bậc bốn nhận giá trị lượng giác góc làm nghiệm nhiều hệ thức lượng giác khác (xem thêm Chương [3]) 73 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh hệ thức lượng giác Các kết trình bày luận văn bao gồm: Trình bày phương pháp phương phương trình bậc hai chứng minh hệ thức lượng giác Đưa số phương trình bậc hai có nghiệm giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Từ suy hệ thức lượng giác với chứng minh nhờ tính chất nghiệm phương tình bậc hai Một số dùng cách chứng minh truyền thống cơng thức Waring Trình bày phương pháp phương trình bậc ba chứng minh hệ thức lượng giác Đưa số phương trình bậc ba có nghiệm giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Từ suy hệ thức lượng giác với chứng minh nhờ tính chất nghiệm phương tình bậc ba Trình bày phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh hệ thức lượng giác Đưa số phương trình bậc bốn có nghiệm giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Từ suy hệ thức lượng giác với chứng minh nhờ tính chất nghiệm phương tình bậc bốn Nội dung luận văn viết dựa mục 5.1 sách [1] sách [3], tác giả luận văn đồng tác giả sách [3] Một số phần [3], thí dụ mục Chương (tương ứng mục 1.3, Chương luận văn), mục Chương (tương ứng mục 3.3, Chương luận văn) tính chất 2.1.20 số Chương luận văn tìm tịi tác giả 74 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạ Duy Phượng, Hồng Minh Qn (2017), Phương trình bậc ba với hệ thức hình học lượng giác tam giác, NXB Giáo dục [2] Hoàng Minh Quân (2018), Phương trình bậc bốn hệ thức hình học tứ giác (Bản thảo) [3] Hoàng Minh Quân, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thị Kim Anh (2018), Phát chứng minh đẳng thức lượng giác nhờ phương trình đại số (Bản thảo) [4] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Tiếng Anh [5] Dragoslav S Mitrinovic, J Pecaric, V Volenec (1989), Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers [6] Djukié, D., Jankovié, V., Matié, I., Petrovié, N., (2011), A Collection of Problems: Suggested for The International Mathematical Olympiads: 19592009, Springer ... phương trình đại số để phát chứng minh hệ thức lượng giác Ngoài nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứng minh thơng thường (nhờ biến đổi lượng giác) , số bài, luận văn trình. .. Chương Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh hệ thức lượng giác Chương trình bày số tính chất nghiệm phương trình bậc bốn Từ phát chứng minh số hệ thức lượng giác 3.1 Các tính chất nghiệm phương. .. trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh hệ thức lượng giác Đối tượng, phạm vi nghiên cứu hệ thức lượng giác góc có liên quan đặc biệt 7 Mục tiêu luận văn Trình bày phương pháp phương