TIÊN ĐỀ Ơ-CLÍT TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A Phương pháp giải Tiên đề Ơ-clít: Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng Trong hình 4.1, đường thẳng m qua O song song với a Tính chất hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc so le nhau; b) Hai góc đồng vị nhau; c) Hai góc phía bù Quan hệ tính vng góc với tính song song a) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với (h.4.2); b) Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng (h.4.2); c) Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với (h.4.3) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, A 75; B 60 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Cx Cy cho ACx 75; BCy 120 Chứng tỏ tia Cx Cy trùng Giải (h.4.4) * Tìm cách giải Để chứng tỏ hai tia Cx Cy trùng ta chứng tỏ hai đường thẳng chứa hai tia trùng nhau, đồng thời hai tia nằm nửa mặt phẳng bờ BC Trang * Trình bày lời giải Ta có ACx A 75 Cx / / AB (vì có cặp góc so le nhau) (1) Ta có BCy B 120 60 180 Cy / / AB (vì có cặp góc phía bù nhau) (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơ-clít, ta có hai đường thẳng Cx Cy trùng Mặt khác, hai tia Cx Cy nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A nên hai tia trùng Ví dụ 2: Hình 4.5 có a / /b A1 B1 30 Tính số đo góc A2 B2 Giải * Tìm cách giải Vì a / /b A2 , B2 so le với góc A1 , B1 nên cần tính A1 , B1 suy A2 B2 * Trình bày lời giải Ta có a / /b nên A1 B1 180 (cặp góc phía) Mặt khác, A1 B1 30 (đề bài) nên A1 180 30 : 105 B1 180 105 75 Suy A2 B1 75 (cặp góc so le trong); B2 A1 105 (cặp góc so le trong) Ví dụ 3: Tính số đo x, y hình 4.6, biết A1 A2 ; B1 B2 x y Giải * Tìm cách giải Nếu chứng minh a / /b tìm x y (đây tốn tìm hai số biết tổng tỉ số) * Trình bày lời giải Ta có A1 A2 180 (kề bù) mà A1 A2 (đề bài) nên A1 180 : 90 Suy AB a Trang Tương tự AB b Do a / /b (cùng vng góc với AB) Ta có x y 180 (cặp góc phía) mà x y nên x 180 54; y 126 10 Ví dụ 4: Hình 4.7 có A 30; B 70; AOB 100 Chứng tỏ Ax / / By Giải * Tìm cách giải Ta phải chứng minh hai đường thẳng Ax By song song Giữa hai đường thẳng chưa có đường thẳng thứ ba cắt chúng nên chưa thể vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh chúng song song Ta vẽ thêm đường thẳng thứ ba làm trung gian dùng dấu hiệu: hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song * Trình bày lời giải (h.4.8) Ở góc AOB, vẽ tia Ot / / Ax Khi AOt A 30 (cặp góc so le trong) Suy BOt 100 30 70 Vậy B BOt ( 70) Do By / /Ot (vì có cặp so le nhau) Từ suy Ax / / By (vì song song với Ot) C Bài tập vận dụng Tiên đề Ơ-clít 4.1 Cho tam giác ABC Vẽ điểm M cho góc BAM so le với góc B Vẽ điểm N góc CAN so le với góc C Chứng tỏ ba điểm M, A, N thẳng hàng Hướng dẫn giải (h.4.19) Ta có BAM B suy AM / / BC (vì có cặp góc so le nhau) CAN C suy AN / / BC (vì có cặp góc so le nhau) Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A có đường thẳng song song với BC, ba điểm M, A, N thẳng hàng Trang 4.2 Qua điểm A đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng Chứng tỏ có 100 đường thẳng cắt a Hướng dẫn giải (h.4.20) Giả sử số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt a Suy cịn hai đường thẳng không cắt a Hai đường thẳng qua A song song với a Điều vơ lí trái với tiên đề Ơ-clít Vậy điều giả sử sai, qua A có 100 đường thẳng cắt a 4.3 Cho điểm O đường thẳng xy Qua O vẽ n đường thẳng Xác định giá trị nhỏ n để số đường thẳng vẽ, có 10 đường thẳng cắt xy Hướng dẫn giải Trong số n đường thẳng vẽ, nhiều có đường thẳng song song với xy Do muốn có 10 đường thẳng cắt xy số đường thẳng phải vẽ 11 Vậy n 11 Tính chất hai đường thẳng song song 4.4 Cho tam giác ABC Từ điểm D cạnh BC vẽ DE / / AB, DF / / AC E AC, F AB a) Kể tên góc hình vẽ góc A; b) Giả sử B C 110 , tính số đo góc A Hướng dẫn giải (h.4.21) a) Ta có DE / / AB nên DEC A (cặp góc đồng vị); DF / / AC nên BFD A (cặp góc đồng vị) Mặt khác BFD FDE (so le DE / / AB ) Suy A DEC BFD FDE b) Ta có D2 B (cặp góc đồng vị DE / / AB ); D1 C (cặp góc so le DF / / AC ); Do D1 D2 B C 110 Suy FDE 180 110 70 Vậy A 70 (vì A FDE ) 4.5 Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh BC vẽ MD / / AB, ME / / AC D AC, E AB Xác định vị trí điểm M để tia MA tia phân giác góc DME Hướng dẫn giải (h.4.22) Trang Ta có MD / / AB suy A1 M1 (cặp góc so le trong); ME / / AC suy A2 M (cặp góc so le trong) Tia MA nằm hai tia MD ME Do tia MA tia phân giác góc DME M1 M A1 A2 M giao điểm BC với tia phân giác góc A 4.6 Hình 4.9 có C m m 90 ; ABC 180 2m Bx / / AC Chứng minh tia Bx tia phân giác góc Aby Hướng dẫn giải (h.4.9) Ta có ABC 180 2m nên ABy 180 180 2m 2m Mặt khác Bx / / AC nên xBy C m (cặp góc đồng vị); suy ABx 2m m m Vậy ABx xBy m (1) Tia Bx nằm hai tia BA By (2) Từ (1) (2) suy tia Bx tia phân giác góc ABy Vận dụng dấu hiệu nhận biết tính chất hai đường thẳng song song 4.7 Hình 4.10, ngồi số đo ghi biết D1 D2 Chứng tỏ b m Hướng dẫn giải (h.4.10) Ta có ACD 180 120 60 Vậy ACD BAa 60 Suy m / / n (vì có cặp góc đồng vị nhau) Ta có D1 D2 180 mà D1 D2 nên D1 90 Suy b n b m (vì m / / n ) Trang 4.8 Hình 4.11 có AB AC, CD AC OE AC Biết OAB m; OCD 50 Tìm giá trị m để tia OE tia phân giác góc AOC Hướng dẫn giải (h.4.11) Ta có AB AC; CD AC; OE AC (đề bài) Suy AB / /CD / /OE (cùng vng góc với AC) Do AOE OAB m (cặp góc so le trong); EOC OCD 50 (cặp góc so le trong) Tia OE nằm hai tia OA OC nên tia OE tia phân giác góc AOC AOE EOC m 50 4.9 Hình 4.12 có AEF 45, EFC AEF Các tia Em Fn tia phân giác góc AEF EFD Chứng tỏ Em / / Fn Hướng dẫn giải (h.4.12) Ta có AEF EFC 45 45.3 180 Suy AB / /CD (vì có cặp góc phía bù nhau) Do AEF EFD (cặp góc so le trong) 2 Mặt khác E1 AEF ; F1 EFD nên E1 F1 , dẫn tới Em / / Fn (vì có cặp góc so le nhau) 4.10 Hình 4.13 có A B Ax / / Bm Chứng tỏ Ay / / Bn Hướng dẫn giải (h.4.23) Gọi C giao điểm hai đường thẳng Ay Bm Ta có Ax / / Bm nên A ACm (cặp góc so le trong) Mặt khác, A mBn nên ACm mBn A Do Ay / / Bn (vì có cặp góc đồng vị nhau) 4.11 Hình 4.14 có A a; B b a, b 90 AOB a b Chứng tỏ Ax / / By Trang Hướng dẫn giải (h.4.24) Ở góc AOB vẽ tia Ot / / Ax Khi AOt A a (cặp góc so le trong) Suy BOt b Vậy BOt B b Do By / /Ot (vì có cặp góc so le nhau) Vậy Ax / / By (vì song song với Ot) 4.12 Hình 4.15 có A m; C n 90 m, n 180 ; AOC 360 m n Chứng tỏ AB / /CD Hướng dẫn giải (h.4.25) Trong góc AOC vẽ tia Ot cho Ot / / AB Khi A AOt 180 (cặp góc phía) Suy AOt 180 m Do COt AOC AOt 360 m n 180 m 180 n Vậy C COt n 180 n 180 Suy CD / /Ot (vì có cặp góc phía bù nhau) Do AB / /CD (vì song song với Ot) 4.13 Hình 4.16 có A 130, C 140 OA OB Chứng tỏ AB / /CD Hướng dẫn giải (h.4.26) Vì OA OC nên AOC 90 Trong góc AOC vẽ tia Ot cho Ot / / AB Khi A AOt 180 (cặp góc phía) Suy AOt 180 130 50 Vì AOC 90 nên COt 40 Ta có C COt 140 40 180 Trang Do CD / /Ot (vì có cặp góc phía bù nhau) Suy AB / /CD (vì song song với Ot) 4.14 Cho góc AOB Trên tia OA lấy điểm M, tia OB lấy điểm N Vẽ góc AOB tia Mx Ny song song với Cho biết AMx 140, BNy 150 , tính số đo góc AOB Hướng dẫn giải (h.4.27) Vì AMx 140 nên M1 40 Vì BNy 150 nên N2 30 Ở góc AOB vẽ tia Ot / / Mx , Ot / / Ny (vì Mx / / Ny ) Ta có O1 M1 40 (cặp góc so le trong) O2 N2 30 (cặp góc so le trong) Suy AOB O1 O2 40 30 70 4.15 Hình 4.17 có Ax / / By; OA OB A 145 Tính số đo góc B Hướng dẫn giải (h.4.28) Ở góc AOB vẽ tia Ot / / Ax Khi Ot / / By (vì Ax / / By ) Ta có OA OB nên AOB 90 Mặt khác A O1 180 (cặp góc phía) nên O1 180 145 35 Suy O2 90 35 55 Ta có O2 B 180 (cặp góc phía Ot / / By ) Do B 180 55 125 4.16 Trong hình 4.18 có Ax / / By Tính số đo góc AOB Trang Hướng dẫn giải (h.4.29) Trên nửa mặt phẳng bờ OB có chứa tia By vẽ tia Ot / / By Khi Ot / / Ax (vì Ax / / By ) Ta có OBy BOt 180 (cặp góc phía) Suy BOt 180 150 30 Ta có AOt OAx 50 (cặp góc so le trong) Từ AOB 50 30 20 Trang