phuong phap giai va bai tap ve chung minh ba duong thang cung di qua mot diem co loi giai

CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY) A Phương pháp giải Trong chuyên đề trước ta gặp số toán chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy Phương pháp giải tốn vận dụng định lí đường đồng quy tam giác: - Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy; - Ba đường phân giác tam giác đồng quy; - Ba đường trung trực tam giác đồng quy; - Ba đường cao tam giác đồng quy Nếu ba đường thẳng a, b, c cho đường chủ yếu tam giác để chứng minh a, b, c đồng quy, ta gọi giao điểm a b O chứng minh đường thẳng c qua O hay chứng minh O nằm đường thẳng c Một số trường hợp đưa tốn chứng minh ba đường đồng quy chứng minh ba điểm thẳng hàng B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, góc A tù Vẽ đường thẳng m n đường trung trực AB AC, cắt BC theo thứ tự E F Vẽ tia phân giác Ax góc EAF Chứng minh đường thẳng m, n Ax đồng quy Giải (h.21.1) * Tìm cách giải Gọi O giao điểm m n Ta phải chứng minh tia Ax qua O Muốn phải chứng minh OAE  OAF * Trình bày lời giải Gọi O giao điểm hai đường thẳng m n Ta có: OB  OC  OA AOE  BOE (c.c.c) Suy A1  B1 AOF  COF (c.c.c) Suy A2  C Mặt khác, B1  C (vì BOC cân O) nên A1  A2 Do tia AO tia phân giác góc EAF Suy ba đường thẳng m, n Ax đồng quy O Trang Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD  AE Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba đường thẳng AM, BE CD đồng quy Giải (h.21.2) * Tìm cách giải Gọi O giao điểm BE CD Ta phải chứng minh AM qua O tức phải chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng * Trình bày lời giải Ta có AB  AC, AD  AE, suy BD  CE EBC  DCB (c.g.c)  B1  C1 Gọi O giao điểm BE CD Vì OBC cân O nên OB  OC (1) Mặt khác, AB  AC (giả thiết) (2) MB  MC (giả thiết) (3) Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, O, M thẳng hàng (vì nằm đường trung trực BC) Do ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy Ví dụ Cho tam giác ABC Các đường phân giác góc ngồi tam giác cắt D, E, F (D nằm góc A, E nằm góc B, F nằm góc C) a) Chứng minh đường thẳng AD, BE, CF đồng quy điểm O b) Điểm O có vị trí đổi với tam giác DEF? Giải (h.21.3) * Tìm cách giải Trang Từ giả thiết đường phân giác cắt ta nghĩ đến định lí ba đường phân giác tam giác đồng quy Vì để chứng minh AD, BE, CF đồng quy ta cần chứng minh AD, BE, CF ba đường phân giác tam giác ABC * Trình bày lời giải a) Xét tam giác ABC, đường phân giác đỉnh B đỉnh C cắt D Suy AD đường phân giác đỉnh A Chứng minh tương tự ta BE, CF đường phân giác đỉnh B, đỉnh C tam giác ABC Do ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy O b) Ba điểm F, B, D thẳng hàng; ba điểm E, C, D thẳng hàng; ba điểm F, A, E thẳng hàng Xét DEF có AD  EF (hai đường phân giác hai góc kề bù) Tương tự BE  DF , CF  DE nên AD, BE, CF ba đường cao gặp O Do O trực tâm tam giác DEF Ví dụ Cho tam giác ABC có A  135 Vẽ tam giác tam giác DAB EAC vuông cân D E Vẽ AH  BC Chứng minh ba đường thẳng AH, BD, CE đồng quy Giải (h.21.4) * Tìm cách giải Trong đề có yếu tố góc vng, có yếu tố đường cao nên ta dùng định lí ba đường cao tam giác đồng quy * Trình bày lời giải Tam giác DAB vng cân D  A1  45 Tam giác EAC vuông cân E  A2  45 Ta có BAD  BAC  45  135  180, suy ba điểm D, A, C thẳng hàng Chứng minh tương tự ta ba điểm B, A, E thẳng hàng Xét ABC có AH, BD, CE ba đường cao nên chúng đồng quy * Lưu ý: Trực tâm tam giác tù nằm tam giác C Bài tập vận dụng Trang  Đưa chứng minh đồng quy chứng minh thẳng hàng 21.1 Trong hình 21.5 có: AB / /CD, AB  CD, AM  CN Chứng minh ba đường thẳng AC, BD MN đồng quy 21.2 Cho tam giác ABC vuông A, B  60 Gọi M điểm tam giác cho MBC  40, MCB  20 Vẽ điểm D E cho đường thẳng BC đường trung trực MD đường thẳng AC đường trung trực ME Chứng minh ba đường thẳng BM, AC DE đồng quy 21.3 Cho tam giác nhọn ABC điểm M nằm tam giác cho AMB  AMC  120 Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx Cy cho CBx  BCy  60 Chứng minh ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy 21.4 Hình 21.6 có BAx  ABy  90 Gọi d đường trung trực AB Chứng minh đường thẳng Ax, By d đồng quy 21.5 Cho tam giác ABC điểm O tam giác 21.6 Gọi F G trọng tâm tam giác AOB AOC Chứng minh ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy  Ba đường phân giác đồng quy Trang 21.7 Trong hình 21.7, hai đường thẳng AB CD khơng song song Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy 21.8 Cho tam giác ABC, A  120 Vẽ đường phân giác AD CE cắt O Từ B vẽ đường thẳng xy  BO Chứng minh ba đường thẳng xy, DE AC đồng quy 21.9 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD Vẽ điểm M N cho AB AC theo thứ tự đường trung trực DM DN Gọi giao điểm MN với AB AC theo thứ tự F E Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy • Ba đường cao đồng quy 21.10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi O K giao điểm đường phân giác tam giác ABH tam giác ACH Vẽ AD  OK Chứng minh đường thẳng AD, BO, CK đồng quy 21.11 Cho tam giác ABC, đường cao AD Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ đoạn thẳng BF  BA BF  BA Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ đoạn thẳng CE cho CE  CA CE  CA Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy 21.12 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Từ A, B, C vẽ đường thẳng d1 , d2 , d3 vng góc với AD Các đường thẳng d d3 cắt AD E F Chứng minh đường thẳng d1 , BF , CE đồng quy • (Ba đường trung trực đồng quy, ba đường trung tuyến đồng quy 21.13 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường phân giác góc BAH góc CAH cắt BC E F Gọi M trung điểm EF Qua M vẽ đường thẳng d / / AH Chứng minh đường phân giác góc B, góc C đường thẳng d đồng quy 21.14 Cho tam giác ABC vuông A, AB  4cm; AC  6cm Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD  ACD Trên cạnh AC lấy điểm E, cạnh AB lấy điểm F cho BE  5cm CF  40cm Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy 21.15 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, đường phân giác BD đường trung tuyến CM Cho biết tam giác HDM tam giác đều, chứng minh ba đường thẳng AH, BD, CM đồng quy Hướng dẫn giải 21.1 (h.21.8) Trang Gọi O giao điểm AC BD, ta phải chứng minh MN qua O, tức phải chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng Ta có AOB  COD (g.c.g)  OA  OC A  C MOA  NOC  c.g.c   MOA  NOC Ta có MOA  MOC  180 (kề bù)  NOC  MOC  180  MON góc bẹt Do ba điểm M, O, N thẳng hàng, dẫn tới ba đường thẳng AC, BD MN đồng quy 21.2 (h.21.9) Gọi O giao điểm hai đường thẳng BM AC Ta phải chứng minh DE qua O Xét ABC vuông A, B  60  C  30 Ta có BOC  180   40  30  110 Do CMO  180  110  10  60 Điểm C nằm đường trung trực MD ME nên CD  CM  CE Ta có CEO  CMO (c.c.c)  CEO  CMO  60 Xét tam giác CDE cân C có   DCE  DCM  ECM  BCM  ACM  2.ACB  60 Vậy CDE tam giác  CED  60 Vậy CED  CEO   60 , hai tia ED EO trùng dẫn tới ba điểm D, O, E thẳng hàng Do ba đường thẳng BM, AC DE đồng quy Trang 21.3 (h.21.10) Gọi O giao điểm tia Bx Cy Ta phải chứng minh đường thẳng AM qua O Vẽ OH  MB; OK  MC Tam giác BOC tam giác nên BOC  60 (1) Ta có tổng AMB  AMC  BMC  360  BMC  360  120  120   120 (2) Từ (1) (2), ta tính MBO  MCO  180 Mặt khác, MBO  HBO  180 nên MCO  HBO (cùng bù với MBO) Ta có KCO  HBO (cạnh huyền, góc nhọn)  OK  OH MOK  MOH (cạnh huyền, cạnh góc vng)  KMO  HMO  120 :  60 Do AMC  KMO  120  60  180 Suy ba điểm A, M, O thẳng hàng, dẫn tới ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy 21.4 (h.21.11) Gọi O giao điểm hai tia Ax By Xét AOB có A  B nên OA  OB, suy điểm O nằm đường trung trực d AB Vậy đường thẳng Ax, By d đồng quy 21.5 (h.21.12) Gọi M trung điểm OA Xét AOB có F trọng tâm nên đường thẳng BF qua trung điểm M AO Xét AOC có G trọng tâm nên đường thẳng CG qua trung điểm M AO Do ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy trung điểm M AO 21.6 (h.21.7) Trang Hai đường thẳng AB CD không song song nên chúng cắt tạo thành góc Hai điểm M N nằm góc đó, cách hai đường thẳng nên chúng nằm tia phân giác góc Suy ba đường thẳng AB, CD MN đồng quy đỉnh góc 21.7 (h.21.13) Xét tam giác ABC có hai đường phân giác AD, CE cắt O nên BO đường phân giác góc ABC Đường thẳng xy qua B vng góc với BO nên xy đường phân giác ngồi đỉnh B góc ABD Gọi Ax tia đối tia AD Vì BAC  120 nên dễ thấy A1  A2  A3  A4  600 Xét ADC có AE đường phân giác đỉnh A, CE đường phân giác đỉnh C nên DE đường phân giác ngồi đỉnh D Xét ABD có đường thẳng AC đường phân giác đỉnh A, đường thẳng xy đường phân giác đỉnh B, đường thẳng DE đường phân giác đỉnh D Do ba đường thẳng xy, DE AC đồng quy 21.8 (h.21.14) Điểm F nằm đường trung trực DM nên FD  FM Suy FDM cân F FB đường phân giác đỉnh F DEF Chứng minh tương tự ta EC đường phân giác đỉnh E DEF Xét DEF có hai đường phân giác ngồi cắt A nên DA đường phân giác góc EDF (1) Mặt khác, DB  DA nên DB đường phân giác D Điểm B giao điểm hai đường phân giác đỉnh F D DEF nên EB đường phân giác góc DEF (2) Chứng minh tương tự ta FC đường phân giác góc DFE (3) Từ (1), (2), (3), suy AD, BE, CF đồng quy * Lưu ý: Nếu bỏ điều kiện nhọn tam giác ABC tốn Trang 21.9 (h.21.15) Xét ABC vuông A, AH  BC nên BAH  ACB (cùng phụ với ABC ) Gọi M giao điểm AO CK, gọi N giao điểm AK BO Vì O giao điểm đường phân giác ABH nên BAO  HAO Vì K giao điểm đường phân giác ACH nên ACK  BCK Xét AMC có MAC  MCA  MAC  ACB BAH  MAC   MAC  MAB  BAC  900 2 Suy AMC  900  CM  AO Chứng minh tương tự ta BN  AK Xét AOK có AD, BO CK ba đường cao nên đồng quy 21.10 (h.21.16) Trên tia đối tia AD lấy điểm K cho AK  BC Xét ADC có góc KAC góc ngồi nên KAC  D  ACB  90  ACB Mặt khác, BCE  90  ACB nên KAC  BCE Ta có KAC  BCE (c.g.c)  C1  E Vì C1  C  90 nên E  C  90 Gọi G giao điểm BE với KC Xét GCE có E  C  90 nên G  90  BE  KC Chứng minh tương tự, ta có CF  AB Xét KBC có AD, BE, CF ba đường cao nên chúng đồng quy Trang 21.11 (h.21.17) Tam giác EAB vuông E, A1  45 nên tam giác vuông cân Suy EA  EB Tương tự, ta có: FA  FC Từ F vẽ đường thẳng vng góc với CE cắt d1 G Gọi K giao điểm đường thẳng EG với BF Ta có AFG  FCE (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) AFG  FCE (g.c.g)  AG  FE AGE  EFB (c.g.c)  AGE  EFB Ta có AGE  AEG  90  EFB  KEF  90  EK  BF Xét EFG có CE, BF d1 ba đường cao ba đường thẳng đồng quy 21.12 (h.21.18) Trang 10 Tam giác ABC vuông A, AH  BC nên BAH  ACB (cùng phụ với góc ABC) Ta có CAH  ABC (cùng phụ với ACB ) Xét AFC có AFB góc ngồi nên AFB  FAC  FCA  FAH  BAH  FAB Suy BAF cân B đường phân giác góc B đường trung trực AF Chứng minh tương tự ta CAE cân C đường phân giác góc C đường trung trực AE Ta có d / / AH mà AH  EF nên d  EF Mặt khác, ME  MF nên d đường trung trực EF Xét AEF có đường phân giác góc B, góc C với đường thẳng d ba đường trung trực nên chúng đồng quy 21.13 (h.21.19) Ta có CAD  ACD  DAC cân  DC  DA (1) Tam giác ABC vuông A  ABC  ACB  90 Mặt khác, BAD  CAD  90 mà ACB  CAD nên ABC  BAD Do DAB cân  DB  DA (2) Từ (1) (2) suy DC  DB Vậy D trung điểm BC Xét ABE vng A có AE  BE  AB2  25  16   AE   cm   E trung điểm AC Xét AFC vuông A có AF  CF  AC    6 40 2 4  AF   cm   F trung điểm AB Trang 11 Xét ABC có AD, BE, CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy 21.14 (h.21.20) Tam giác ABH vng H, có HM đường trung tuyến nên HM  AB Suy DM  AB (vì HM  DM ) Do DAB vng D Tam giác ABC có BD vừa đường phân giác vừa đường cao nên tam giác cân B  BA  BC (1) dẫn tới DA  DC 2 Xét HAC HAB vng H có HD  AC; HM  AB mà HD  HM nên AC  AB (2) Từ (1) (2) suy AB  BC  CA ABC Trong tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến CM đường phân giác Suy AH, BD, CM đồng quy Trang 12