day du ly thuyet bai tap ve chung minh ba diem thang hang hinh hoc lop 7 co loi giai

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG A Phương pháp giải Ba điểm thuộc đường thẳng gọi ba điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, sử dụng số phương pháp sau đây: Phương pháp Nếu ABD DBC 180 ba Điểm A; B; C thẳng hàng Phương pháp Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: tiên đề Ơ-Clit) Phương pháp Nếu AB a; AC a ba điểm A; B; C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước) Hoặc A; B; C thuộc đường trung trực đoạn thẳng Phương pháp Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy ba điếm O; A; B thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi góc khác góc bẹt có tia phân giác) * Hoặc: Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xOA xOB ba điểm O, A, B thẳng hàng Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ trung điểm BD K K A, K, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm) Trang B Một số ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC).Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 180 Do 180 nên cần chứng minh AMB BMC AMB DMC * Trình bày lời giải AMB CMD có: AB = DC (gt), BAM DCM 90 , MA = MC (M trung điểm AC) Do đó: AMB CMD (c.g.c), suy ra: AMB DMC Mà AMB BMC 180 (kề bù) nên BMC CMD 180 Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng * Trình bày lời giải AOD   COB có OA = OC (vì O trung điểm AC) AOD COB (hai góc đối đỉnh) OD = OB (vì O trung điểm BD) Do AOD   COB (c.g.c) Suy ra: DAO OCB Mà hai góc vị tri so le trong, do: AD // BC, nên DAB CBM (ở vị trí đồng vị) Trang DAB CBM có: AD = BC (do AOD AM) Vậy DAB COB ), DAB CBM (c.g.c) Suy ABD CBM , AB = BM (B trung điểm BMC Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM BC b) Vẽ hai đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng, có thể: - Chứng minh AM, PM, QM vng góc BC - Hoặc AP, AQ tia phân giác góc BAC * Trình bày lời giải a) Vậy ABM ABM ACM có: AB =AC (giả thiết), AM chung, MB = MC (M trung điểm BC) ACM (c.c.c), AMB AMC (hai góc tương ứng) Mà AMB AMC 180 (hai góc kề bù) nên AMB Do đó: AM Do đó: PM 90 BC (điều phải chứng minh) b) Cách Chứng minh tương tự ta được: Suy ra: PMB AMC CPM (c.c.c) BPM PMC (hai góc tương ứng), mà PMB PMC 180 nên PMB PMC 90 BC Lập luận tương tự QM BC Từ điểm M BC có AM BC, PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (điều phải chứng minh) Trang - Cách BPA CPA có AB = AC, AP cạnh chung, BP = CP (cùng bán kính) CPA (c.c.c) BPA ABQ BAP CAP Vậy AP tia phân giác BAC (1) ACQ có AB = AC, AQ cạnh chung, BQ = CQ (cùng bán kính) ACQ (c.c.c) ABQ BAQ CAQ Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Giải - Cách Kẻ ME BME BC; NF BC E; F BC CNF vng E F có: BM = CN (gt), MBE NCF (cùng ACB ) Do đó: CNF (cạnh huyền-góc nhọn) BME Suy ra: ME = NF Gọi K giao điểm BC MN NFK vng E F có: ME = NF (cmt), EMK MEK (so le ME // FN) Vậy Do đó: MK MEK FNK NFK (g-c-g) NK Vậy K trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K Do ba điểm B, K, C thẳng hàng - Cách Kẻ ME // AC ( E BC ) ACB MEB (hai góc đồng vị) Mà ACB Vậy ABC nên MBE MEB MBE cân M Do đó: MB = ME, kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K giao điểm BC MN MEK NCK có: K ME K NC (so le ME //AC) Trang ME = CN (chứng minh trên), MEK Do đó: NCK (g.c.g) MEK (so le ME //AC) NCK MK NK Vậy K trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K Do ba điểm B, K, C thẳng hàng - Lưu ý Cả hai cách giải trên, có nhiều bạn chứng minh MEK NCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết chưa xác Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, BAC 108 Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho CBO 12 Vẽ tam giác BOM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Chứng minh OCA OCM từ suy tia CA tia CM trùng * Trình bày lời giải Tam giác ABC cân A nên ABC ACB 180 108 36 (tính chất tam giác cân) Mà CO tia phân giác ACB , nên ACO BCO 18 Do BOC 150 BOM nên BOM 60 Vậy: MOC 360 —150 BOC BOC 60 150 MOC có: OB = OM (vì MOC BOM đều); 150 ; OC chung, đó: BOC MOC (c.g.c) Suy ra: OCB OCM mà OCB OCA (gt) nên OCA OCM Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA OCM nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A B 60 Vẽ tia Cx BC lấy CE = CA (CE CA phía với BC) Trên tia đối tia BC lấy F cho BF = BA Chứng minh rằng: a) ACE đều; b) E, A, F thẳng hàng Trang Giải * Tìm cách giải Nhận thấy tam giác ABC vuông A B 60 nên ACB ACE 30 60 CAE Do muốn chứng tỏ B, A, F thẳng hàng cần chứng tỏ BAF 30 * Trình bày lời giải a) ABC vuông A B 60 nên ACB 30 ACE 60 mà CA = CB nên b) Ta có: BA = BF (gt) CAE BFA cân ABC BAF Suy ra: BAF 30 Vậy: FAB BAC CAE 30 90 60 180 Ta suy ba điểm F; A; E thẳng hàng C Bài Tập vận dụng 13.1 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA a) Chứng minh AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng 13.2 Cho ABC cân A, có góc A 90 Kẻ BD vng góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh rằng: a) BCE CBD; b) BEK CDK; c) AK phân giác góc BAC d) Ba điểm A, K, I thẳng hàng (với I trung điểm BC) 13.3 Cho ABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD BAC (D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh rằng: a) BDF EDC; Trang b) F, D E thẳng hàng; c) AD FC 13 Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác BCM cân M có góc đáy 15 Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tam giác ABN Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng 13.5 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng A ADB; ACE có AB = AD, AC= AE Kẻ AH vng góc BC; DM vng góc AH EN vng góc AH Chứng minh rằng: a) DM= AH b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh D, I, E thẳng hàng 13.6 Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng 13.7 Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ điểm D, E cho BD vng góc BA, BE vng góc BC Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE Chứng minh A, D, M thẳng hàng 13.8 Cho ABC vuông A, BC = 2AB Gọi D điểm cạnh AC cho ABD Lấy E điểm cạnh AB cho ACE ABC ACB BD CE cắt F; I K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ F đến BC AC Vẽ điểm G H cho I trung điểm FG, K trung điểm FH Chứng minh ba điểm H, D, G thẳng hàng 13.9 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC H; ACB 30 Dựng tam giác ACD (D B nằm khác phía AC) Kẻ HK vng góc với AC K Đường thẳng qua H song song với AD cắt AB kéo dài M Chứng minh ba điểm M, K, D thẳng hàng HƯỚNG DẪN GIẢI 13.1 a) AMC AMC EMB có MA = ME, EMB; MB MC Trang EMB (c.g.c) AMC AC EB; CAM MEB AC / / BD b) AIM CAM EKM có AM = EM; MEB; AI EK EMK mà AMI AMI EKM (c.g.c) AIM IME EMK 180 IME 180 I, M, K thẳng hàng 13.2 a) BCE CBD có BEC CDB 90 ; EBC BCE CBD (cạnh huyền, góc nhọn) BCE CBD b) BKE BEK CDK BE CD CDK có 90 ; BE CD; BKE CKD BKE CKD (góc nhọn, cạnh góc vng) BKE CKD c) AEK DCB ; BC cạnh chung KE ADK có AEK AI chung; KE = KD KD ADK AEK 90 ; ADK EAK DAK Hay AK tia phân giác BAC (1) d) ABI ACI có AB = AC; AI cạnh chung; BI = CI ACI (c.c.c) ABI CAI hay AI tia phân giác BAC (2) BAI Từ (1) (2) suy A; K; I thẳng hàng 13.3 a)   ABD ABD AED có AB = AE; BAD AED (c.g.c) BD EAD ; AD cạnh chung ED; ABD AED Mặt khác ABD DBF 180 ; AED DEC 180 nên DBF Ta có AF BDF DBF AC; AB AE BF DEC EC EDC có BF = CF; DEC; DB DE Trang BDF EDC (c.g.c) BDF EDC b) EDC mà BDF BDF FDC EDC 180 FDC 180 F, D, E thẳng hàng c) Gọi H giao điểm AD CF AHF AHC có AF = AC; FAH AHC (c.g.c) AHF AHF AHC Vậy AH AHF CAH ; AH chung AHC mà AHF AHC 180 90 FC hay AD FC 13.4 Gợi ý: Tính góc ABN 60 ABM ABC CBM 60 mà BN; BM thuộc nửa mặt phẳng bờ AB nên tia BM trùng với tia BN Vậy B, M, N thẳng hàng 13.5 a) Ta có MDA Xét DMA vng M nên MDA 90 mà BAH MAD 90 (vì BAD 90 ) BAH DMA MDA MAD BAH; AD AHB có DMA AB nên (cạnh huyền, góc nhọn) 90 ; AHB DMA AHB AH DM b) Chứng minh tương tự câu a, ta có: ANE Xét CHA, suy AH = EN MID NIE có IMD 90 , INE IM = IN, DM = DN (= AH), suy MID NIE (c.g.c) MID Mặt khác MID NID 180 NIE NIE NID 180 Trang Vậy D, I, E thẳng hàng 13.6 BOD   COD có: OB = OC (gt); OD cạnh chung; BD = CD (D giao điểm hai đường tròn tâm B tâm C bán kính) Vậy COD (c.c.c), suy ra: BOD BOD COD Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy Do OD tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng 13.7 Kẻ MK AB; MH AC, Ta có M trung điểm CE nên EBM CBM BME BMC (c.c.c) 45 Mặt khác EBC 90 KBE ABC Mà ACB ABC 90 ,suy ra: KBE Lại có BM = MC KBM (cạnh huyền, góc nhọn) 90 ACB KBM HCM HCM MK = MH AHM (cạnh huyền, cạnh AKM góc vng) KAM HAM AM tia phân giác góc A Mặt khác, BAD BAD vuông cân A 45 AD tia phân giác góc A A; D; M thẳng hàng (vì A; D; M thuộc tia phân giác góc A) 13.8 Theo đề ABD ABC 20 ABC vng A có BC = 2AB nên ABC DBC 60 ; ACB 30 40 Trang 10 ABC ABD CIF CIF 20 90 ; IC: cạnh chung CIG (c.g.c) CIF CF ICG Tương tự CF BCE CIG có IF = IG (gt) CIG CG 10 ICF 20 CKH (c.g.c) CKF CH KCH KCF 10 Từ suy CG = CH GCF FCH ACB 60 , CHG DKH có KF = KH (giả thiết), DKF DKF DH, CDF CDH (c.c.c) suy CHD ABD vng A có ABD CFD CDF 180 FCD ADB 20 180 Từ (1) (2) suy CHD 60 110 (1) 90 , KD: cạnh chung, DF = CFD CDF 70 10 DKH 60 110 60 CHD 60 (2) CHG Mà hai tia HD, HG nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa ba điểm H, D, G thẳng hàng 13.9 Gọi F trung điểm AC AH AC AHF M, H, F thẳng hàng HF / / AD Mà AK = KF; AMK AKM AMF FDA g.c.g AM DF FDK (c.g.c) DKF M, K, D thẳng hàng Trang 11 ... chung KE ADK có AEK AI chung; KE = KD KD ADK AEK 90 ; ADK EAK DAK Hay AK tia phân giác BAC (1) d) ABI ACI có AB = AC; AI cạnh chung; BI = CI ACI (c.c.c) ABI CAI hay AI tia phân giác BAC (2) BAI. .. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng, có thể: - Chứng minh AM, PM, QM vng góc BC - Hoặc AP, AQ tia phân giác góc BAC * Trình bày lời giải a) Vậy ABM ABM ACM có: AB =AC (giả thiết), AM chung, ... QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (điều phải chứng minh) Trang - Cách BPA CPA có AB = AC, AP cạnh chung, BP = CP (cùng bán kính) CPA (c.c.c) BPA ABQ BAP CAP Vậy AP tia phân giác BAC (1) ACQ