tuyen tap nhung bai tap ve chung minh bat dang thuc va tim cuc tri hinh hoc chon loc

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC A Phương pháp giải  Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc khơng ta có thể: Dùng quan hệ góc cạnh đối tam giác (h.22.1) ABC : AC  AB  B  C Suy tam giác tù (hoặc tam giác vuông) cạnh góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn Dùng quan hệ góc cạnh đối hai tam giác có hai cặp cạnh (h.22.2) ABC A ' B ' C ' có: AB  A ' B '; AC  A ' C ' Khi đó: BC  B ' C '  A  A ' Dùng quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu AH  a, B, M  a (h.22.3) Khi đó:  AM  AH (dấu “=” xảy  M  H )  AM  AB  HM  HB Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4) ABC : bc  a  bc Mở rộng: Với ba điểm A, B, C ta có: AB  AC  CB (dấu "  " xảy  C thuộc đoạn thẳng AB)  Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Trang Ta phải chứng minh AB  a (số a không đổi) rõ dấu "  " xảy Khi giá trị lớn độ dài AB a Ta viết maxAB  a  Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB  b (số b không đổi) rõ dấu "  " xảy Khi giá trị nhỏ độ dài AB b Ta viết minAB  b B Một số ví dụ Ví dụ Tam giác ABC có C  B Vẽ đường trung tuyến AM Trên tia đổi tia MA lấy điểm D Chứng minh AB  CD  AC  BD Giải (h.22.5) * Tìm cách giải Để chứng minh AB  CD  AC  BD ta chứng minh AB  AC CD  BD Sau cộng vế hai bất đẳng thức * Trình bày lời giải Tam giác ABC có ACB  ABC suy AB  AC (1) Xét AMB AMC có: MB  MC; AM chung; AB  AC nên AMB  AMC Suy CMD  BMD Xét CMD BMD có: MC  MB; MD chung; CMD  BMD nên CD  BD (2) Từ (1) (2), suy ra: AB  CD  AC  BD * Nhận xét: Nếu a  b c  d a  c  b  d Ví dụ Cho tam giác ABC có B  90 Gọi O trung điểm BC Vẽ BD  AO; CE  AO ( D, E thuộc đường thẳng AO) Chứng minh AB  AD  AE Giải (h.22.6) * Tìm cách giải Ta có AB  AD  AE  AB  AD  AE Trang Để chứng minh 2AB  AD  AE ta biểu diễn AB theo hai cách khác dùng tính chất cộng vế hai bất đẳng thức chiều có 2AB * Trình bày lời giải Ta có BOD  COE (cạnh huyền-góc nhọn)  OD  OE Xét AOB có B  90 nên OA cạnh lớn nhất, AB  AO (*) Suy AB  AD  OD (1) Từ (*) ta được: AB  AE  OE (2) Từ (1) (2) suy ra: AB  AD  OD  AE  OE Do 2AB  AD  AE (vì OD  OE ) Vậy AB  AD  AE Ví dụ Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Lấy điểm E  Ax, điểm F  By cho EOF  90 Đặt AOE  m Xác định giá trị m để EF có độ dài ngắn Giải (h.22.7) * Tìm cách giải Vẽ EH  By Dễ thấy EF  EH  AB (không đổi) Ta cần tìm giá trị m để dấu "  " xảy Khi minEF  AB * Trình bày lời giải Vẽ EH  By Theo tính chất đoạn chắn song song ta EH  AB AE  BH Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có EF  EH , EF  AB Dấu "  " xảy  F  H  AE  BF  AOE  BOF  AOE  BOF  45 (vì AOE  BOF  90) Vậy EF có độ dài ngắn (bằng độ dài AB) AOE  45, tức m  45 Ví dụ Cho góc nhọn xOy điểm A góc Xác định điểm M tia Ox, điểm N tia Oy cho OM  ON tổng AM  AN nhỏ Trang Giải (h.22.8) * Tìm cách giải Xét ba điểm A, M, N ta có AM  AN  MN độ dài MN lại thay đổi Do khơng thể kết luận tổng AM  AN có giá trị nhỏ độ dài MN Ta phải thay tổng AM  AN tổng hai đoạn thẳng có tổng lớn độ dài đoạn thẳng cố định Muốn ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm điểm E cố định * Trình bày lời giải Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A vẽ tia Ot cho yOt  AOx Trên tia Ot lấy điểm E cho OE  OA Như hai điểm A E cố định, đoạn thẳng AE có độ dài khơng đổi Ta có AOM  EON (c.g.c)  AM  EN Do AM  AN  EN  AN Gọi F giao điểm AE với tia Oy Xét ba điểm N, A, E ta có: EN  AN  AE (dấu "  " xảy  N  F ) Vậy AM  AN  AE N  F Điểm M  Ox cho OM  ON C Bài tập vận dụng • Quan hệ cạnh góc đối tam giác 22.1 Cho tam giác ABC, A  60 Chứng minh BC  AB3  AC 22.2 Cho tam giác ABC, AB  AC Vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DE  DF 22.3 Cho tam giác ABC, A  90 AB  BC Chứng minh C  B 22.4 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AM  BC góc A nhọn 22.5 Cho tam giác ABC điểm D nằm tam giác Chứng minh bốn điểm A, B, C, D tồn ba điểm ba đỉnh tam giác có góc lớn 29 • Quan hệ đường vng góc đường xiên 22.6 Cho điểm A nằm đường thẳng a Lấy điểm B  a Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng a C Trang Xác định vị trí điểm B đế BC có độ dài nhỏ 22.7 Cho tam giác ABC cân A, BC  a Gọi O điểm đáy BC Qua O vẽ đường thẳng song song với hai cạnh bên, cắt AB AC M N Tìm độ dài nhỏ MN 22.8 Cho tam giác ABC cạnh dài 4cm Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD  CE Tính độ dài nhỏ DE 22.9 Cho tam giác ABC, B  45; C  30 AC  52cm Điểm M nằm B C Tính giá trị lớn tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM 22.10 Chứng minh tam giác có góc  tổng hai cạnh kề góc 2a tam giác cân có góc đỉnh  tam giác có chu vi nhỏ • Bất đẳng thức tam giác 22.11 Cho tam giác ABC Gọi xy đường phân giác góc ngồi đỉnh C Tìm xy điểm M cho tổng MA  MB ngắn 22.12 Cho tam giác ABC có AB  12; AC  16 Gọi M điểm mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  7MA  3MB  4MC 22.13 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh tổng HA  HB  HC nhỏ chu vi tam giác ABC 22.14 Cho tam giác ABC vuông cân A, AB  a Tìm điểm M cho tam giác MAC cân M, đồng thời tổng MA  MB nhỏ Tìm giá trị nhỏ 22.15 Cho đường thẳng xy tam giác ABC có cạnh AB nằm nửa mặt phẳng bờ xy đỉnh C di động xy Biết AB  13cm, khoảng cách từ A B đến xy 2cm 7cm Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC 22.16 Một hộp gỗ hình lập phương cạnh dài 20cm Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn Nắp hộp A ' B ' C ' D ' mở dựng đứng lên (h.22.9) Một kiến đỉnh A muốn bò tới đỉnh C ' cách vượt qua cạnh A ' B ' phải bị qng đường ngắn bao nhiêu? Trang Hướng dẫn giải 22.1 (h.22.10)  Nếu B  C ABC cân, A  60 nên ABC Do AB  BC  CA Suy AB3  BC3  CA3 Vậy BC3  AB3  CA3  Nếu B  C B  60 (vì B  C  120) Do A  B  BC  AC Suy BC3  AB3  CA3  Nếu B  C, chứng minh tương tự, ta được: BC3  AB3  CA3 22.2 (h.22.11) Theo định lí Py-ta-go ta có BE  AB2 , CF  AC mà AB  AC nên BE  CF Dễ thấy ABF  AEC (c.g.c) Suy BF  CE Xét CBE BCF có: BC chung, CE  BF, BE  CF nên ECB  FBC hay ECD  FBD Xét ECD FBD có: CE  BF, DC  DB ECD  FBD Do DE  DF (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Trang 22.3 (h.22.12) Vẽ đường trung trực BC cắt BC M, cắt AC N Ta có NB  NC; NBC cân  C  NBC   BAM có BA  BM   BC  nên tam giác cân   Suy A1  M1 , mà BAN  90, BMN  90 nên MAN  AMN  MN  AN (quan hệ cạnh đối tam giác) MBN ABN có BM  BA, BN chung MN  AN Do MBN  ABN (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Suy MBN  MBN  ABN  MBN Do 2MBN  ABC  2C  B (vì C  MBN )  C  B 22.4 (h.22.13) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD  MA ABM  DCM (c.g.c)  AB  CD A1  D Do AB / /CD  BAC  DCA  180 (cặp góc phía) (*) • Chứng minh mệnh đề: “Nếu góc A nhọn AM  Nếu AM  BC " BC 2AM  BC AD  BC BAC  DCA (c.c.c)  BAC  DCA  180 :  90, trái giả thiết Nếu AM  BC 2AM  BC AD  BC BAC DCA có: AB  CD; AC chung BC  AD Do BAC  DCA Từ (*) suy BAC  90, trái giả thiết Vậy A nhọn AM  BC Trang • Chứng minh mệnh đề: "Nếu AM  BC góc A nhọn." Nếu A  90 từ (*) suy DCA  90 BAC  DCA (c.g.c)  BC  AD hay AM  BC , trái giả thiết Nếu A  90 từ (*) suy DCA  90 Vậy BAC  DCA BAC DCA có: AB  CD; AC chung BAC  DCA Do BC  AD hay BC  AM tức AM  Vậy AM  BC , trái giả thiết BC góc A nhọn 22.5 (h.22.14) Vẽ đoạn thẳng DA, DB, DC Ta có ADB  BDC  CDA  360 Suy tồn góc có số đo nhỏ 120 (vì ba góc lớn 120 tổng chúng lớn 360, vơ lí) Giả sử góc góc BDC Xét BDC có BDC  120, suy DBC  DCB  60 Do tồn góc lớn 30  29 Vậy ba điểm cần tìm B, C, D 22.6 (h.22.15) Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A đường thẳng a Khi AH có độ dài khơng đổi Ta có ABC vng A nên AM  BC Trang hay BC  AM  AH (quan hệ đường vng góc với đường xiên) Do BC có độ dài nhỏ 2AH  M  H  ABH vuông cân Ta xác định điểm B sau: - Dựng AH  BC; - Trên đường thẳng a đặt HB  HA (h.22.16) 22.7 (h.22.17) Vẽ MH  BC, NK  BC, NI  MH Khi IN  HK IH  NK (tính chất đoạn chắn song song) Ta có OM / / AC  BOM  C  B Do MBO cân M, từ ta HB  HO Tương tự ta có KC  KO Suy HK  BC  a Theo quan hệ đường vuông góc đường xiên ta có a MN  IN  HK  Dấu "  " xảy  M  I (h.21.18)  MH  NK  MHB  NKC  BH  CK  OH  OK  OB  OC  O trung điểm BC Vậy MN  a O trung điểm BC 22.8 (h.22.19) Vẽ DH  BC, EK  BC, DF  EK Ta có DF  HK (tính chất đoạn chắn song song) Các tam giác vng HBD KCE có D  E  30 nên BH  Do BH  CK  1 BD; CK  CE 2 1 BD  CE    BD  AD   AB  2cm  2 Suy HK  2cm Ta có DE  DF  HK  2cm Trang Dấu "  " xảy  E  F  DH  EK  HBD  KCE  BD  CE  BD  AD  D trung điểm AB (khi E trung điểm AC) Vậy độ dài nhỏ DE 2cm D E trung điểm AB AC 22.9 (h.22.20) Vẽ BD  AM, CE  AM  D, E  AM  Ta có BD  BM, CE  CM (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do BD  CE  BM  CM  BC (dấu "  " xảy  D E trùng với M  AM  BC) Vậy tổng BD  CE có giá trị lớn độ dài BC • Tính độ dài BC (h.22.21) Vẽ AH  BC AHC vng H có C  30 nên AH  AC  52 :  26  cm  Ta có HC  AC  AH  522  262  2028  HC  45  cm  Xét ABH vng H, có B  45 nên tam giác vuông cân  BH  AH  26cm Do BC  26  45  71 cm  Vậy giá trị lớn tổng BD  CE 71cm M hình chiếu A BC 22.10 (h.22.22) Xét ABC có A   AB  AC  2a Ta phải chứng minh AB  AC  a chu vi ABC nhỏ Thật vậy, giả sử AB  AC Trên tia AB lấy điểm B ', tia AC lấy điểm C ' cho AB '  AC '  a Khi B ' C ' điểm cố định B ' C ' có độ dài khơng đổi Ta có AB  AC  AB ' AC '  2a Trang 10 Do AB   AC ' C ' C    AB  BB '  AC '  CC '  BB ' Vẽ BH  B ' C ' CK  B ' C ' BB ' H  CC ' H (cạnh huyền, góc nhọn)  HB '  KC ' HK  B ' C ' (1) Gọi M giao điểm BC B ' C ' Ta có MH  MB; MK  MC  MH  MK  MB  MC hay HK  BC (2) Từ (1) (2) suy BC  B ' C ' Ta có chu vi ABC  AB  BC  CA  2a  B ' C ' (không đổi) Dấu "  " xảy  B '  B C '  C Vậy chu vi ABC nhỏ AB  AC  a, tức ABC cân A 22.11 (h.22.23) Vẽ AH  xy, tia AH cắt đường thẳng BC D Khi BD khơng đổi CHA  CHD (g.c.g)  HA  HD  xy đường trung trực AD Gọi M điểm xy Ta có MA  MD (tính chất điểm nằm đường trung trực) Do MA  MB  MD  MB  BD (dấu "  " xảy  M  C) Vậy tổng MA  MB ngắn BD M  C 22.12 (h.22.24) Ta có S  7MA  3MB  4MC   MA  MB    MA  MC   AB  AC  3.12  4.16  100 Dấu "  " xảy  M thuộc đoạn thẳng AB AC  M  A Vậy minS  100 M  A 22.13 (h.22.25) Trang 11 Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC D; đường thẳng song song với AC cắt AB E Theo tính chất đoạn thẳng song song ta có AD  HE, AE  HD Vì HB  AC nên HB  HE  HB  BE (quan hệ đường vng góc đường xiên) Chứng minh tương tự ta HC  CD Xét AHD có HA  AD  DH (bất đẳng thức tam giác) Suy HA  HB  HC   AD  DH   BE  CD   AD  AE   BE  CD   AD  CD    AE  BE   AC  AB (1) Chứng minh tương tự, ta được: HA  HB  HC  AB  BC (2) HA  HB  HC  BC  CA (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:  HA  HB  HC    AB  BC  CA  Do HA  HB  HC   AB  BC  CA  22.14 (h.22.26) Tam giác ABC vuông cân A nên theo định lí Py-ta-go ta tính BC  a Tam giác MAC cân M  MA  MC M nằm đường trung trực d AC Xét tổng MA  MB  MC  MB  BC  a Dấu "  " xảy M  O với O giao điểm d với cạnh BC Vậy giá trị nhỏ tổng MA  MB a M  O * Nhận xét: Ta thấy MA  MB  AB  a, khơng có vị trí M để dấu "  " xảy Vì khơng thể kết luận  MA  MB   a 22.15 (h.22.27)  Xác định vị trí C để chu vi tam giác ABC nhỏ Chu vi ABC CA  CB  AB Do AB cố định nên chu vi ABC nhỏ  CA  CB nhỏ Trang 12 Vẽ AH  xy Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD  HA Khi BD đoạn thẳng cố định Gọi C ' điểm xy AHC '  DHC ' (c.g.c)  C ' A  C ' D Xét ba điểm BDC’ ta có C ' B  C ' D  BD (dấu "  " xảy  C '  C với C giao điểm BD với xy) Do C ' B  C ' D nhỏ BD C '  C Suy C giao điểm BD với xy chu vi ABC nhỏ • Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Vẽ BK  xy, BI  AH ta tính IH  7cm; IA  5cm ID  9cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào IAB vng I ta có: BI  AB2  IA2  132  52  144 Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng IDB, ta BD2  IB2  ID2  144  92  225  BD  15  cm  Vậy giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC CA  CB  AB  BD  AB  15  13  28  cm  22.16 (h.22.28) Gọi M điểm cạnh A ' B ' mà kiến phải qua bò từ A đến C ' Mở nắp hộp A ' B ' C ' D ' đứng lên đến vị trí A ' B ' C1D1 Xét ba điểm A, M , C1 ta có MA  MC1  AC1 Dấu  "  " xảy  M trùng với giao điểm O AC1 với cạnh A ' B '  A ' AM  B ' C1M (g.c.g)  MA '  MB '  M trung điểm A ' B ' Ta có AC12  AB2  BC12  202  402  2000  AC1  2000  44,7  cm  Vậy quãng đường ngắn mà kiến phải bò 44,7cm kiến bò qua trung điểm M cạnh A ' B ' theo hành trình: đoạn thẳng AM đoạn thẳng MC ' Trang 13 Trang 14 ... trung tuyến AM Trên tia đổi tia MA lấy điểm D Chứng minh AB  CD  AC  BD Giải (h.22.5) * Tìm cách giải Để chứng minh AB  CD  AC  BD ta chứng minh AB  AC CD  BD Sau cộng vế hai bất đẳng thức... Chứng minh BC  AB3  AC 22.2 Cho tam giác ABC, AB  AC Vẽ ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DE  DF 22.3 Cho tam giác ABC, A  90 AB  BC Chứng minh C... có ACB  ABC suy AB  AC (1) Xét AMB AMC có: MB  MC; AM chung; AB  AC nên AMB  AMC Suy CMD  BMD Xét CMD BMD có: MC  MB; MD chung; CMD  BMD nên CD  BD (2) Từ (1) (2), suy ra: AB  CD