CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG A Phương pháp giải Khi giải 5.7 chuyên đề ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp thuộc loại chứng minh gián tiếp Để chứng minh mệnh đề A ta chứng minh phủ định A sai Nội dung chứng minh phản chứng gồm ba bước: - Bước (phủ định kết luận): Giả sử điều trái với kết luận toán - Bước (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử từ điều biết (giả thiết, tiên đề, định lí,…) ta suy điều vơ lí (trái với giả thiết, trái với kiến thức biết hai điều mâu thuẫn nhau) - Bước (khẳng định kết luận): Vậy điều giả sử sai, điều phải chứng minh Chú ý: Trong bước ta phải phủ định điều phải chứng minh Phủ định “có A” “khơng có A” Phủ định “khơng có B” “có B” Ví dụ: Phủ định “ba điểm A, B, C thẳng hàng” “ba điểm A, B, C không thẳng hàng” Phủ định m n m n (tức m n m n ) Trong bước 2, thiết phải suy điều mâu thuẫn với điều cho, biết Nếu khơng chưa thể khẳng định điều giả sử bước sai B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho 12 đường thẳng cắt O tạo thành số góc khơng có điểm chung Chứng minh góc có hai góc có số đo khơng vượt 15 Giải (h.6.1) * Tìm cách giải Dễ thấy tổng số đo góc khơng có điểm chung 360 Vì ta cần biết có góc khơng có điểm chung tạo thành * Trình bày lời giải 12 đường thẳng cắt O tạo thành 24 góc đỉnh O khơng có điểm chung Tổng số đo góc 360 nên phải tồn góc nhỏ 360 : 24 15 Ta chứng minh điều phản chứng Giả sử góc lớn 15 tổng chúng lớn hơn: 15.24 360 (vơ lí) Vậy số góc tồn góc khơng vượt q 15 Góc góc đối đỉnh với nên tồn hai góc khơng vượt q 15 Ví dụ 2: Hình 6.2 có OA OB, A m, B n , với m n 90 Chứng minh Ax By không song song Giải (h.6.3) * Tìm cách giải Bài tốn yêu cầu chứng minh Ax By không song song Nếu ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử Ax / / By vận dụng định lí tính chất hai đường thẳng song song để giải Tuy nhiên, Ax By chưa có cát tuyến nên ta vẽ tia Ot góc AOB cho Ot / / Ax Ot / / By Khi góc A, góc B O1 O2 thuận lợi việc liên hệ với góc AOB cho trước * Trình bày lời giải Giả sử Ax / / By Trong góc AOB vẽ tia Ot / / Ax Ot / / By (vì Ax / / By ) Ta có O1 A m (hai góc so le trong); O2 B n (hai góc so le trong) Do O1 O2 m n Mặt khác, O1 O2 AOB; m n 90 nên AOB 90 Điều mâu thuẫn với AOB 90 (vì OA OB ) Vậy điều giả sử sai, suy Ax By khơng song song Ví dụ 3: Cho góc tù xOy, tia Ot góc cho xOt yOt Trên tia Ox lấy điểm A Qua A vẽ đường thẳng m Ox Chứng minh đường thẳng Ot m cắt Giải (h.6.4) * Tìm cách giải Điều phải chứng minh đường thẳng Ot m cắt Muốn chứng minh phản cứng ta giả sử Ot / / m , từ suy Ot Ox xOt 90 Để đưa đến mâu thuẫn ta cần chứng minh xOt 90 * Trình bày lời giải Giả sử đường thẳng Ot m không cắt Suy Ot / / m Mặt khác, Ox m (gt) nên Ox Ot xOt 90 (*) Ta có xOt yOt xOy 180 mà xOt yOt nên xOt 90 , mâu thuẫn với (*) Vậy điều giả sử sai, đường thẳng Ot m phải cắt Ví dụ 4: Cho ba tia phân biệt OA, OB, OC cho AOB BOC COA Chứng minh ba tia cho khơng có tia nằm hai tia lại Giải (h.6.5) * Tìm cách giải Để giải ví dụ phương pháp phản chứng, ta giả sử ba tia cho có tia nằm hai tia cịn lại dùng tính chất cộng số đo góc dẫn đến kết có hai tia trùng nhau, trái giả thiết * Trình bày lời giải Giả sử ba tia OA, OB, OC có tia nằm hai tia cịn lại Khơng làm giảm tính tổng qt, ta sử giả tia OB nằm hai tia OA, OC Khi ta có AOB BOC AOC Nhưng AOB BOC AOC nên AOB AOB AOB AOB 0 , suy hai tia OA, OB trùng nhau, trái giả thiết Vậy điều giả sử sai, suy ba tia cho khơng có tia nằm hai tia lại C Bài tập vận dụng Chứng minh hai đường thẳng cắt 6.1 Chứng minh định lí: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song cắt đường thẳng Hướng dẫn giải (h.6.9) Cho a / /b , c cắt a O Ta phải chứng minh c cắt b Giả sử c khơng cắt b c / /b Như qua điểm O có hai đường thẳng a c song song với b, trái với tiên đề Ơ-clít Vậy điều giả sử sai, suy c cắt b 6.2 Cho hai đường thẳng a b vng góc với O Chứng minh đường thẳng c không vuông góc với b hai đường thẳng a c cắt Hướng dẫn giải (h.6.10) Trường hợp đường thẳng c qua O c a cắt O Trường hợp đường thẳng c cắt b K O : Giả sử c a khơng cắt chúng song song với Vì b a nên b c , trái giả thiết Vậy c a phải cắt 6.3 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Từ A vẽ đường thẳng a Ox , từ B vẽ đường thẳng b Oy Chứng minh hai đường thẳng a b cắt Hướng dẫn giải (h.6.11) Giả sử a b trùng Như vậy, qua O có hai đường thẳng Ox Oy vng góc với đường thẳng a (hoặc b), vơ lí Vậy a b khơng trùng (1) Giả sử a / /b Ta có Ox a nên Ox b Mặt khác Oy b (gt), qua điểm O có hai đường thẳng Ox Oy vng góc với đường thẳng b, vơ lí Vậy điều giả sử sai, suy a b không song song (2) Từ (1) (2) suy a cắt b 6.4 Hình 6.6 có góc AOB nhọn, A 134; B 135 Chứng minh Ax By không song song Hướng dẫn giải (h.6.12) Giả sử Ax / / By Trong góc AOB vẽ tia Ot / / Ax Ot / / By (vì Ax / / By ) Ta có O1 A 180 O1 180 134 46 O2 B 180 O2 180 135 45 Do O1 O2 46 45 hay AOB 91 90 Điều mâu thuẫn với giả thiết góc AOB nhọn Vậy điều giả sử sai, suy Ax By khơng song song 6.5 Hình 6.7 có góc A tù, AB BD, AC CE Vẽ tia Bx Cy tia phân giác góc ABD ACE Chứng minh đường thẳng Bx Cy cắt Hướng dẫn giải (h.6.13) Ta có AB BD, AC CE ABD ACE 90 Do ABx ACy 45 Ta chứng minh Bx Cy cắt phương pháp phản chứng Giả sử Bx / /Cy Ở góc A ta vẽ At / / Bx At / /Cy (vì Bx / /Cy ) Ta có A1 ABx 45 (cặp góc so le trong); A2 ACy 45 (cặp góc so le trong) Do A1 A2 90 hay BAC 90 trái giả thiết góc A tù Vậy điều giả sử sai, suy hai đường thẳng Bx Cy cắt 6.6 Cho hai điểm A B nằm đường thẳng m Qua A vẽ 50 đường thẳng có đường thẳng qua B Qua B vẽ 50 đường thẳng có đường thẳng qua A Hỏi có giao điểm đường thẳng m với đường thẳng vẽ? Hướng dẫn giải (h.6.14) Trong số 50 đường thẳng vẽ qua A có 49 đường thẳng cắt m Ta chứng minh điều phản chứng Giả sử có chưa đến 49 đường thẳng cắt m, suy cịn đường thẳng không cắt m Hai đường thẳng qua A song song với m Điều vơ lí trái với tiên đề Ơ-clít Vậy điều giả sử sai, có 49 đường thẳng cắt m Nếu đường thẳng AB / / m số giao điểm đường thẳng m với đường thẳng vẽ 49 49 98 (điểm) Nếu đường thẳng AB đường thẳng m không song song giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng m giao điểm đường thẳng BA với đường thẳng m Do số giao điểm đường thẳng m với đường thẳng vẽ 49 49 1 97 (điểm) Chứng minh hai góc khơng Tính số đo góc 6.7 Trong hình 6.8, cho biết A1 B1 Chứng minh C1 D1 Hướng dẫn giải (h.6.8) Giả sử C1 D1 , suy AC / / BD (vì có cặp góc đồng vị nhau) Do A1 B1 (cặp góc so le trong) Điều trái giả thiết Vậy điều giả sử sai, C1 D1 6.8 Cho đường thẳng cắt O tạo thành số góc khơng có điểm chung Chứng minh góc tồn góc lớn 20 tồn góc nhỏ 20 Hướng dẫn giải (h.6.15) đường thẳng cắt O tạo thành 18 góc khơng có điểm chung Tổng 18 góc 360 (*) Nếu tatá góc nhỏ 20 tổng chúng nhỏ 20.18 360 , mâu thuẫn với (*) Vậy tồn góc lớn 20 Nếu tất góc lớn 20 tổng chúng lớn 20.18 360 , mâu thuẫn với (*) Vậy tồn góc nhỏ 20 6.9 Qua điểm O đường thẳng a vẽ số đường thẳng tất cắt a Những đường thẳng cắt a tạo với đường thẳng a 78 tam giác chung đỉnh O Chứng minh số đường thẳng vẽ qua O có hai đường thẳng cắt theo góc nhỏ 13 Hướng dẫn giải (h.6.16) Gọi số đường thẳng vẽ qua O cắt đường thẳng a n Số tam giác đỉnh O có cạnh đối diện nằm đường thẳng a tính theo cơng thức Theo đề ta có n n 1 n n 1 78 n n 1 156 13.12 n 13 Vậy có 13 đường thẳng qua O cắt đường thẳng a Theo đề bài, qua O cịn có đường thẳng khơng cắt a Theo tiên đề Ơ-clít có đường thẳng Vậy số đường thẳng vẽ qua O 14 14 đường thẳng tạo nên 28 góc đỉnh O khơng có điểm chung có tổng số đo 360 (*) Vậy phải có góc nhỏ 360 : 28 1251 13 khơng có góc nhỏ 13 tổng 28 góc lớn 13.28 364 , mâu thuẫn với (*) Các dạng khác 6.10 Chứng minh định lí: Trên tia Ox có OM a, ON b Nếu a b điểm M nằm hai điểm O N Hướng dẫn giải (h.6.17) Điểm O không nằm hai điểm M N (1) M N nằm tia Ox Giả sử điểm N nằm hai điểm O M ON NM OM b NM a Suy NM a b (vì a b ) Điều vơ lí NM Vậy điều giả sử sai, điểm N khơng nằm hai điểm O M (2) Trong ba điểm O, M, N thẳng hàng phải có điểm nằm hai điểm lại nên từ (1) (2) suy điểm M nằm O N 6.11 Chứng minh hai tia Ox Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Oz cho zOx zOy 180 hai tia Ox, Oy đối Hướng dẫn giải (h.6.18) Giả sử hai tia Ox, Oy không đối Ta vẽ tia Oy tia đối tia Ox Khi zOx zOy 180 (hai góc kề bù) Mặt khác, zOx zOy 180 (gt) Suy zOy zOy (cùng bù với zOx ) Điều vơ lí nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz có tia Oy cho zOy m Vậy điều giả sử sai, hai tia Ox, Oy đối 6.12 Vẽ đoạn thẳng mặt phẳng Hỏi xảy trường hợp đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác không? Hướng dẫn giải Không thể xảy trường hợp đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác Ta chứng minh phản chứng Giả sử đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác Như với đoạn thẳng ta 9.5 45 trường hợp hai đoạn thẳng cắt Nhưng trường hợp tính hai lần (vì đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng CD ngược lại, đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AB) thực có trường hợp hai đoạn thẳng cắt Vì 45 nên điều giả sử sai Do khơng thể xảy trường hợp đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác 45