Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
1,16 MB
Nội dung
TÍNH SỐ ĐO GĨC HÌNH HỌC LỚP A Phương pháp giải Để giải tốt tốn tính số đo góc phải nắm vững kiến thức sau: * Trong tam giác: + Tổng ba góc 180 + Biết hai góc xác định góc cịn lại * Trong tam giác cân: Biết góc xác định hai góc cịn lại * Trong tam giác vng: + Biết góc nhọn, xác định góc nhọn cịn lại + Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 30 * Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo 45 * Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo 60 * Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo * Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với * Hai góc đối đỉnh * Tính chất góc so le trong, đồng vị, phía, đường thẳng cắt hai đường thẳng song song Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc, ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng nhau, suy kết B Ví dụ minh họa Ví dụ Cho ABC , C 30 Kẻ AH vng góc với BC H, biết AH Gọi D trung điểm AB Tính số đo góc ACD? Giải BC * Tìm cách giải Xuất phát từ AHC vng có C 30 AH BC Với hai yếu tố giúp nghĩ tới tam giác vng có góc 30 Với lập luận đó, nghĩ tới việc chứng minh tam giác ABC cân Chúng ta giải theo hướng suy nghĩ * Trình bày lời giải Xét AHC có C 30 , AHC 90 AC AH BC gt Mà AH AC BC CD đường phân giác góc C ACB cân C ACD 15 Ví dụ Cho tam giác ABC có tia phân giác góc B góc C cắt I Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Biết BI = 2.IM BIM 90 Tính số đo A Giải * Tìm cách giải Dựa vào ví dụ 4, chuyên đề 7, biết BIC 90 A Do cần tính BIC Mặt khác, theo giả thiết BIM 90 nên cần tính MIC Do MB = MC BI = 2.IM nên dễ dàng suy luận tạo điểm D cho M trung điểm ID Từ có lời giải sau: * Trình bày lời giải Trên tia đối tia MI lấy MD = MI BMI Suy BIM Từ BI 2.IM CD ID CID 45 ICB BI ID BI CD; BIM 2.IM CDI vuông cân D BIC BIC có BIC IBC CDM c.g.c 45 135 135 nên CMD; IM CDM DM CDI 90 BI; CI tia phân giác B C nên ABC ACB IBC ICB 90 , suy A 90 Ví dụ Cho tam giác ABC cân A với BAC 90 kẻ BD, AH vng góc với AC; BC Trên tia BD lấy điểm K cho BK = BA Tính số đo góc HAK Giải - Cách Vì tam giác ABC cân A có AH vng góc với BC, dễ dàng chứng minh AH đường phân giác góc BAC suy A2 A3 Mặt khác BA = BK (giả thiết) nên hay BKA A1 ABK cân B, suy BKA (1) A2 Trong tam giác vuông ADK có: K A1 (2) 90 Thay (1) vào (2) ta được: A1 A2 90 , Suy A1 A2 Vậy HAK 45 45 - Cách Gọi I giao điểm AK BC BIK có AKB Mà CBD A2 Ta có KAB CBD (góc ngồi tam giác) I ACB nên AKB 90 IAH Mặt khác: AKB A3 (2) KAB (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: IAH A3 Lại có A2 I A2 A3 IAH I I A2 (1) BAK suy AHI cân H HAK 45 * Nhận xét: Bài tốn có nhiều cách giải Ngồi hai cách tính đây, hạ KJ AH J AH chứng minh AJK vuông cân J Nếu BAC 90 ta có kết HAK 135 (bạn đọc tự chứng minh theo ý tưởng trên) Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia AC lấy hai điểm E F cho ABE 15 CE = CF Tính số đo góc CBF Giải Trên nửa mặt phẳng bờ BE chứa điểm F, dựng tam giác BED Ta có EBC ABC ABE 45 15 30 CBD 30 Khi BC tia phân giác góc EBD nên BCE (c.c.c) BCD CD CE CF, Suy tam giác DEF vng D Ta có: DEF 180 180 75 AEB 60 BED 45 Vậy DEF vng cân D Lại có DFE 45 ; ACB 45 DFE ACB , BC // DF Ta lại có tam giác DBF cân D (vì DB = DF = DE) BDF BDE EDF 60 90 150 nên DFB DBF 15 , suy CBF Vây CBF 15 DFB 15 * Nhận xét Dựa vào kỹ thuật trên, giải đươc tốn đảo: Cho tam giác ABC vng cân A Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CBF 15 Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = CF Tính số đo góc CBE Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ACD Giải * Tìm cách giải Từ đề bài, ta tính B C 80 B A 80 góc tam 20 60 giác Do ta nghĩ đến phương pháp để vẽ đường phụ tam giác Khi vẽ đường phụ ý vẽ xuất phát điểm luôn xuất mối liên hệ 20 ; 60 ; 80 Sau vài cách: * Trình bày lời giải - Cách vẽ Dựng điểm I nằm tam giác cho tam giác BIC tam giác Ta có ABI cạnh chung BAI CAI Mặt khác DAC ACI có AB = AC, IB = IC, AI ABI ACI (c.c.c) 10 (1) ADC CIA có AD = CI (= BC), ICA = 20 , AC cạnh chung CIA (c.g.c) ADC Từ (1), (2) ACD CAI (2) ACD 10 - Cách vẽ Dựng tam giác ADM (M C khác phía so với AB) suy ra: CAM 20 60 80 ABC ABC CAM có MA = BC, CAM 80 , AC cạnh chung Suy ra: ABC CMA c.g.c ACM 20 CM = AC ADC MDC có AD = MD, AC = MC, CD cạnh chung Suy ra: ADC MDC c.c.c ACD MCD 20 10 - Cách vẽ Dựng tam giác CAN (B; N khác phía so với AC) suy ra: DAN 20 60 ABC ABC NAD có AD = BC, NAD Suy 80 , AB ABC AN AC NAD c.g.c ND AND AC Xét 80 20 DNC ta có ND = NC (cùng AC) CND cân N mà CND AND 60 180 NCD 60 40 20 40 ACD 70 70 60 10 - Cách vẽ Dựng tam giác ABK (K; C phía so với AB) Ta có CAK ACK cân A mà 60 20 40 180 AKC 40 Mặt khác: ADC DAC CBK Suy ADC ACD BKC 70 BCK có AD = BC, 20 , AC AK AB BCK c.g.c 70 60 10 Ví dụ Cho ABC , M trung điểm BC, BAM 30 , MAC 15 Tính số đo góc BCA ? Giải * Tìm cách giải Do BAC 45 nên nghĩ tới việc dựng tam giác vuông cân Do giải sau: * Trình bày lời giải Kẻ CK AB Ta có AKC vng cân K (vì BAC 45 ) KC Vẽ KA Do ASC vng cân S (K, S khác phía so với AC) BKC vuông K KMC cân M MKC MCK Dễ dàng chứng minh KAM KAM SAM 60 MKC CSM có KM CSM c.g.c 90 75 15 SCM SAC CM, AKM AS MC AKM KAC CSM ASM MCK BC KM SCM, KA ASM 30 SM AK CS SA CS 60 AKM cân A AK BCA CK 45 15 30 Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A B Trên nửa mặt phẳng bờ BC, chứa điểm A, vẽ tia Cy cho BCy 132 Tia Cy cắt tia phân giác Bx góc B D Tính số đo góc ADB Giải Từ giả thiết ABC cân A A B , suy B C 36 Trên tia BA lấy điểm E cho BE = BC (E nằm ngồi đoạn AB), Bx tia phân giác ABC từ dễ dàng chứng minh BD vng góc với CE Tam giác EBC cân B có; EAC AEC 180 36 72 Do AEC Ta lại có DEC cân D, ECD ABC ACB 72 ACE cân C nên CA = CE (1) CAE 132 —72 60 nên Từ (1) (2) suy CAD cân C, có ACD 132 —36 ADC Trong ADB 180 96 BCD có BDC BDC 96 42 ADC DEC tam giác (2) 42 180 30 132 18 30 , suy ra: 12 Vậy ADB 12 C Bài tập vận dụng 14.1 Cho tam giác ABC cân A, A 80 Điểm D thuộc miền tam giác cho DBC 10 ; DCB 30 Tính số đo ADB 14.2 Cho tam giác vuông ABC vuông cân A Điểm D thuộc miền tam giác cho ADC 150 tam giác DAC cân D Tính số đo ADB 14.3 Cho ABC, B 45 ; A 15 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2BC Vẽ DE AC E AC a) Chứng minh rằng: EB = ED b) Tính số đo ADB 14.4 Cho tam giác ABC cân A có A 100 Qua B dựng tia Bx cho CBx 30 Tia phân giác góc ACB cắt tia Bx D a) So sánh CD với CA b) Tính số đo góc BDA 14.5 Cho tam giác ABC cân A có A 40 Trên tia phân giác AD góc A lấy điểm E cho ABE 30 ; cạnh AC lấy điểm F cho CBF 30 a) Chứng minh rằng: AE = AF b) Tính số đo BEF 14.6 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) với BAC 20 Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD 50 , cạnh AB lấy điểm E cho BCE 60 Tính số đo góc CED 14.7 Cho tam giác ABC cân có BAC 100 Điểm M nằm tam giác cho MAC MCA 20 Tính số đo góc AMB 14.8 Cho tam giác ABC với BAC 55 , ABC 115 Trên tia phân giác góc ACB lấy điểm M cho MAC 25 Tính số đo góc BMC 14.9 Cho tam giác ABC cân A có BAC 80 Điểm M nằm tam giác cho MAC MCA 10 Tính số đo góc AMB 14.10 Cho tam giác ABC cân A có BAC 80 Gọi M điểm nằm tam giác cho MBC 10 , MCB 30 Tính số đo góc AMB; AMC 14.11 Cho tam giác ABC, điểm D nằm A B Đường thẳng vẽ từ D vng góc với AC cắt đường thẳng vẽ từ B vng góc với BC điểm M Gọi N trung điểm AD Tính số đo góc MCN? HƯỚNG DẪN GIẢI 14.1 Tìm cách giải Đây tốn khó khó nhận mối quan hệ giả thiết kết luận để tìm cách giải tốn Ta có: ABC DBC 60 góc tam giác Từ vẽ để tạo tam giác theo hướng sau: - Cách Dựng tam giác BCM (A; M phía so với BC) ABM Suy AMC ABM AMB ACM (c.c.c) ABM AMB Xét ACM có AB = AC, MB = MC, MA cạnh chung DCB ABM 30 DBC có BM = BC, 30 ; ABM DBC 10 DBC g.c.g AB DB ABD cân B 180 ADB 40 70 - Cách Dựng tam giác ABE (C E phía so với AB) Ta có: ACE cân A, mà CAE BCE 80 BD 50 BE ACE 180 20 80 BEC g.c.g BAD cân B BA 180 ADB BDC 30 20 40 70 - Cách Dựng tam giác ACK (B; K phía so với AC) Ta có BAK ABK cân lại K, mà 20 CBK 80 50 30 80 CKB (g.c.g) BDC BD ABK ABD cân B CK Mà ABD 40 180 ADB 40 70 - Cách Kẻ tia phân giác góc ABD cắt CD kéo dài M Ta có: MBC Mặt khác AMB MCB AMB AMC ABM AB DB Mà ABD 40 30 BMC cân M AMC c.c.c 360 120 120 DBM(c.g.c) ABD cân B, BMC 120 180 ADB 40 70 14.2 Nhận xét Để tính góc ADB ta cần chứng minh tam giác ABD cân B Ta có 150 90 60 góc tam giác Do tốn ta phải tìm cách vẽ kẻ để tạo tam giác từ tìm cách tính góc ADB Có thể vẽ đường phụ theo cách sau: - Cách Dựng ∆ ADF (B; F phía so với AC) Ta có: ADC cân D mà ADC 180 CAD 150 15 BAF 90 15 ADC 60 15 AFB c.g.c Và ABF 15 AFB 150 DFB AFB 360 DFB c.g.c 150 60 AB DB 150 150 ABD cân B mà ABD 30 180 ADB 30 75 - Cách Dựng tam giác ACE (E; B khác phía so với AC) ADE CDE có AD = CD, AB = CE, DE cạnh chung, suy ADE CDE c.c.c ADE BAD ADE CDE 75 ADB có AB = AE, EAD suy ADE ADE ADB Vậy ADB 75 75 , AD cạnh chung, ADB (c.g.c) 75 - Cách Dựng tam giác CDK (K; B phía so với AC) suy DCB KCB DCB DCB 30 KCB có CD = CK, 30 , BC cạnh chung, KBC suy KCB (c.g.c) DCB DB = KB (*) ADK ADC có DK = DC, ADK 150 , AD cạnh chung, ADC suy ADC ADK c.g.c Mặt khác: CAD KAD 15 AK; AC AB KAB 90 —30 60 ABK tam giác Từ (1), (2) Từ (*) (**) BAD AC DB BDA BK = BA(**) ABD cân B BA 90 —15 75 Vậy ADB 75 - Cách Dựng tia Bx cho ABx 15 (Bx C phía so với AB) Tia Bx cắt tia CD I Ta có BI BIC cân I ( IBC CI 45 CAI BIC 150 —30 Mặt khác, ACI 30 ) ACI ( c.c.c) ABI BAI ICB BIC cân I 30 120 ACI có: 15 ; CAI 45 AIC 180 —15 Từ ta có: AIB 360 —120 120 AK 45 120 120 AB Vậy AIB 120 (*) DIB Xét tam giác: AID có ADI DAI 45 15 30 Từ (*) (**) 30 (Góc tam giác) ACD CAD AID cân I IA DIB c.g.c AB AIB ID (**) DB ABI DBI 15 ABD cân B ABI 180 30 75 14.3 a) Ta có ACD ABC BAC 45 15 60 Từ tam giác ECD vng E, có CDE 30 nên CD = 2CE (theo ví dụ 8, chuyên đề 9), ta lại có CD= 2BC nên CE = BC, suy CBE 30 CDE EBD cân E suy EB = ED b) Ta có ABE ABC CBE ta lại có EA = EB = ED Vậy ADB ADE EDB 45 —30 15 EAD vuông cân E 45 30 75 14.4 a) Dựng tam giác BEC cho E A nằm nửa mặt phẳng bờ BC Ta có BA = CA, BE = CE, AE cạnh chung ABE EAB ACE (c.c.c) EAB cân E, EDA 45 suy AEB AEC 30 ABC cân A có A ACB ABC Suy ECA 40 DBC BAD ABC BAC ACD DCB 20 CD CA AEC g c g b) Ta có BDA 180 Mà ABD 100 nên suy ABD DBC DAC (1) BAD 10 BAC ACD 180 100 180 20 20 (3) Từ (l), (2) (3) suy ra: BDA 180 ABD BAD 180 —10 20 150 * Mở rộng tốn: Có thể thay kết luận yêu cầu: Tính số đo góc ADC; BAD 14.5 a) Ta có FBA 40 BAC BFA cân F FA FB (1) AH phân giác BAC nên BAE 20 Dựng tam giác ABD cho D nằm nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa điểm B DA = DB, FAD 20 (2) Từ (1 ) (2) suy ADF (c.c.c) 30 ADF BDF Từ dễ dàng suy FAD BDF EAB g —c g AE AF b) Ta có DFA 180 —ADF DAF 180 Ta có DFA Trong DFB 130 ; EFA BFE BEF 30 —20 80 nên suy EFB 180 — EBF EFB 130 20 , EBF 10 150 14.6 - Cách Vẽ tam giác ACF cho F nằm nửa mặt bờ AB không chứa điểm C Gọi giao điểm CF AB K Ta có BCK 20; ECK 40 ; BKC 180 CBK BCK 80 CBK cân C CK BC (1) BDC 180 CBD BCD 50 CBD cân C CD BC (2) Từ (1) (2) suy CD = CK KCD cân C DCK 60 KCD tam giác CK DK (3) CKE có KCE KEC 40 nên CKE cân K CK EK (4) Từ (3) (4) suy EK DK EKD cân K có EKD 180 CKD BKC 40 nên KED 70 mà BEC 40 CED 30 - Cách Vẽ EF // BC (F thuộc AC) Gọi P giao điểm BF CE, BCE 60 nên BPC CP CB (1) Do CBD CDB 50 nên BCD cân C, dẫn đễn CD = CB (2) Từ (1) (2) suy DCP cân C nên CPD 80; DPF 40 Mà DFP 40 nên DPF cân DP = DF Từ DPF DFE (c.c.c) Suy PED FED 30 Hay CED 30 - Cách Trên tia CA; CB lấy V U cho CV = CU = CE Ta có CE = CU BCE 60 nên CEU đều, EU = EC CEU 60 Vì CEB 40 nên BEU 20 Lại có ACE cân nên AE = CE, AE = EU Có AEV EUB AE EU , EAV UEB 20, AV AC CV AB EC AC AE EB Nên EV = BU AVE EBU 180 ABC 180 80 100 Mặt khác, BU CU BC CV CD DV Nên EV = DV Do EVD cân V, suy DEV AVE 50 Ta có CVE cân C có ECV 20 , suy CEV CVE 80 Từ CED CEV DEV 80 50 30 - Cách Lấy F AB cho DCF 60 FCB 20 BCF cân CFB CBF 80 , Nên CF = CB Ta có BCD cân CBD CDB 50 Suy CB = CD Từ CF = CD mà DCF 60 nên CDF đều, FCE 40 FEC nên FE = FC, suy FE = FD Vậy FED cân F Vì EFD 40 , suy FED 70 Ta có CED FED FEC 70 40 30 14.7 Giả sử CM cắt AB E, tia phân giác góc BEC cắt BM, BC H K Ta có tam giác MAC cân M, nên AME 20 20 40 Lại có CEA CEK BEK 60 , suy CEA CEK (g.c.g) MEA MEK (c.g.c) Suy AME KME 40 Vì EBK 40 nên EKB EKM (g.c.g), suy EHB EHM (c.g.c), EHM 90 Xét tam giác HEM có EHM 90, HEM 60 , nên EMH 30 Do AMB BME EMA 30 40 70 14.8 Ta có C 180 Kẻ DE AM E (55 115 ) 10 AC DAM cân D từ suy ADM 120 , DE Ta có DAM DMA 30 đường phân giác góc ADM nên EDM BDM 60 Do EDC BDC g.c.g BC EC Xét BMC Do BMC BMC EMC EMC có BC EC; MCB MCE , MC chung EMC (c.g.c) 180 DME 180 DAE 180 55 125 14.9 Vẽ tam giác AEM với E B nằm nửa mặt phẳng bờ AM Ta có BAE 80 BAE BAE 10 60 10 CAM có AB = AC, MAC Suy 10 , AE CAM (c.g.c) BAE ABE ACM EAB EBA BEM AM 10 Do AEB 10 360 60 160 160 140 Xét tam giác BEM có BE = AE = EM nên EBM = EMB (1800 1400) : 200 Do AMB 200 600 800 14.10 Dựng tam giác BCD với A, D nằm nửa mặt phẳng bờ BC Ta có ABC ACB 50 , suy ABD 10 Từ ADB ADB ADC (c.c.c) ADC 30 BMC (g.c.g), suy BA Từ BAD = BM, dẫn đến tam giác BAM đều, suy AMB 60 AMC 180 10 30 60 80 14.11 Vẽ tam giác MCE (N E thuộc nửa mặt phẳng bờ CM) Ta có ACE ACE BCM (cùng + MCA BCM có BC = AC, 60 ) ACE BCM, MC BCM (c.g.c) ACE CAE EC CBM 90 AE / / DM (cùng EAN AC ) MDN (so le trong) Ta có MBD MDB 30 Mà MB AE (vì AEN AEN MCN MCN ACE MBD cân M BCM ) DMN có MD DMN c.g.c ECN có MC ECN c.c.c Mà MCN NCE MCE MD AE, MDN MN 60 MD AE EAN 150 NE EC, MN MCN MB EN, CN cạnh chung NCE MCN MCE 30 ... ADB 30 75 - Cách Dựng tam giác ACE (E; B khác phía so với AC) ADE CDE có AD = CD, AB = CE, DE cạnh chung, suy ADE CDE c.c.c ADE BAD ADE CDE 75 ADB có AB = AE, EAD suy ADE ADE ADB Vậy ADB 75 75 ,... EV = BU AVE EBU 180 ABC 180 80 100 Mặt khác, BU CU BC CV CD DV Nên EV = DV Do EVD cân V, suy DEV AVE 50 Ta có CVE cân C có ECV 20 , suy CEV CVE 80 ... cách giải Do BAC 45 nên nghĩ tới việc dựng tam giác vuông cân Do giải sau: * Trình bày lời giải Kẻ CK AB Ta có AKC vng cân K (vì BAC 45 ) KC Vẽ KA Do ASC vuông cân S (K, S khác phía so với AC)