phuong phap giai bai tap ve ham so do thi ham so chon loc

HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số Khi y hàm số x ta viết y f x ,y g x Tập xác định hàm số tập hợp tất giá trị biến số Hàm số cho bảng, công thức, sơ đồ mũi tên, đồ thị Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị y gọi hàm Mặt phẳng tọa độ Oxy xác định hai trục số vng góc với nhau: trục hoành Ox trục tung Oy; giao điểm hai trục O gốc tọa độ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M xác định cặp số x ; y0 ; ngược lại cặp số x ; y0 xác định điểm M Cặp số x ; y0 gọi tọa độ điểm M; x hoành độ, y tung độ điểm M Ta viết M x ; y0 Đồ thị hàm số y f x tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng x; y mặt phẳng tọa độ x; y Đồ thị hàm số y Đồ thị hàm số y ax a a a;x x đường thẳng qua gốc tọa độ hai nhánh (hai đường cong), nhánh nằm góc phần tư thứ I nhánh nằm góc phần tư thứ III a nhánh nằm góc phần tư thứ II nhánh nằm góc phần tư thứ IV a B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho cặp số sau: 2; ; 1,5; ; 1,2;5 ; ;8 ; 18; ; 3; a) Lập bảng giá trị cặp số b) Vẽ sơ đồ mũi tên c) Giải thích bảng vừa lập xác định y hàm số x? d) Hàm số cho cơng thức nào? Trang  Tìm cách giải: Ta cần kiểm tra xem giá trị đại lượng x có tương ứng với giá trị đại lương y Từ quan hệ x y viết công thức hàm số Giải a) Bảng giá trị cặp số: x -2 -1,5 1,2 y -3 -4 5 18 -3 -2 b) Sơ đồ mũi tên: c) Trong bảng ta thấy giá trị x tương ứn xy f x g với giá trị y hàm số x (việc lập bảng sơ đồ mũi tên chứng tỏ điều ấy) d) Hàm số cho cơng thức y x với x 2; 1,5;1,2; ;18; Ví dụ 2: Cho hàm số xác định công thức f x a) Tính f ;f ;f b) Tìm x để f x c) Chứng tỏ với x 5x ; 74;f x R f x 1; f x Trang  Tìm cách giải: Để tính f a ta thay x tìm x biết f x a vào cơng thức, từ tìm giá trị Để m từ tìm x Ta thay vai trò x so m ta thay y sánh kết để kết luận Giải 5.32 a) f f 3 c) Với 5 74 nghĩa 5x nghĩa f x 39;f b) f x 5x x f x x 74 5x x2 5x Ví dụ 3: Một hàm số xác định sau: y a) Đặt y f x Tính f ;f 39 5x x2 80 16 x x f x x x nÕu x nÕu x ;f ; b) Hãy viết gọn công thức  Tìm cách giải: a) Thay x 5;x x vào f x để ý b) Lưu ý định nghĩa giá trị tuyệt đối x x 0; nÕu x x nÕu x 0 Giải a) f f f 5 (vì 0) (vì 0) b) Cơng thức viết gọn y x x nÕu x x nÕu x f x x theo định nghĩa Ví dụ 4: Tìm tập xác định hàm số sau: Trang a) y 5x 3; b) y 4x ; d) y 2x ; x f) y 3x x2 c) y 4x e) y x 3x 12 x ; x x ;  Tìm cách giải: Để tìm tập xác định hàm số cho cơng thức, ta cần tìm tất giá trị biến làm cho công thức có nghĩa Giải a) Tập xác định hàm số y b) 4x x x c) y d) 4x 4x 9 tập hợp số thực khác x tập hợp số thực khác x 3x 12 x khác : x x khơng có nghĩa 3x 12 Vậy tập xác định hàm số y 5: x R x 4;x khác Vậy tập xác định hàm số x 3x 12 Vậy tập xác định 9: x R x x x Rx x 2x tập hợp số thực khác khác x 2 x x tức x 1 2x khơng có nghĩa x x f) x x 4x khơng có nghĩa 4x hàm số y e) ;x Rx R; khơng có nghĩa 4x Vậy tập xác định hàm số y 1: x 5x x x x tập hợp số thực khác khác với x nên tập xác định hàm số y 3x R x 2 Trang Ví dụ 5: Cho hàm số y m3 2m3 x 2m3 Tìm m f 51 vào  Tìm cách giải: Thay x f x m3 f x 51 Giải tìm m Giải m3 Ta có f 5m3 m3 40 2m3 m 5m3 51 51 Ví dụ 6: Cho điểm A 0;6 ;B 5;6 ;C 5;0 ;D 2;2 ;M 4;0 ; N 0;2 Tìm diện tích hình tam giác AMN hình tứ giác ABCD  Tìm cách giải: Biểu diễn điểm A,B,C,D,M, N mặt phẳng tọa độ nối lại AMN tứ giác ABCD Mỗi đơn vị trục tọa độ đơn vị độ dài Tam giác AMN có độ dài đáy AN (đvđd), chiều cao MO (đvđd) Ta có ABCO hình chữ nhật Để tính diện tích tứ giác ABCD từ D ta hạ đường vuông góc DK DH xuống hai trục tọa độ Ox Oy tạo thành hình vng OHDK tam giác vng AHD DKC Giải Ta có tam giác AMN có độ dài đáy AN (đvđd), chiều cao MO (đvđd) Nên: SAMN AN.MO 8.4 16 (đvdt) Từ D ta hạ đường vng góc DK DH xuống hai trục tọa độ Ox Oy Ta có: OA (đvđd) OC (đvđd); HA HD DK Ta có: SABCD SABCD OK OH SAOCB AO.OC (đvđd); CK (đvđd) (đvđd) SAHD AH.HD SDKC SOHDK DK.KC OH.OK 6.5 0,5.4.2 0,5.3.2 2.2 19 (đvdt) Trang  Chú ý: Ta tìm SABCD cách khác: Nối O với D ta có: SABCD SAOCB SDOC SAOD Bạn đọc tự giải Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x a) Viết cặp số x; y với x 2; 1;0;1;2 b) Biểu diễn cặp số mặt phẳng tọa độ c) Vẽ đường thẳng qua điểm 2;4 gốc tọa độ O Kiểm tra thước xem điểm cịn lại có nằm đường thẳng khơng  Tìm cách giải: Để xác định cặp số ta thay giá trị x vào cơng thức, sau tính giá 2;4 mặt phẳng tọa độ từ điểm -2 trục hồnh ta trị y Khi biểu diễn vẽ đường thẳng vng góc với trục hồnh; từ điểm trục tung ta vẽ đường thẳng vng góc với trục tung; giao điểm hai đường vng góc điểm cần biểu diễn Giải a) Năm cặp số cần xác định 2;4 ; 1;2 ; 0;0 ; 1; ; 2; b) Biểu diễn cặp số mặt phẳng tọa độ hình bên c) Các điểm lại thuộc đường thẳng d hai điểm qua 2;4 gốc tọa độ O Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y ax qua điểm A 4; a) Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số đó; b) Cho B biết 2;4 C 2;1 Không cần biểu diễn B, C mặt phẳng tọa độ cho ba điểm sau, ba điểm thẳng hàng: A,B,C ; A,O,B ; A,O,C ; B;O;C ; c) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y 2x Trang  Tìm cách giải: Thay tọa độ điểm A vào y y ax ta tìm a Đồ thị hàm số ax đường thẳng qua gốc tọa độ nên cần xác định điểm đường thẳng Thông thường để vẽ đồ thị hàm số y ax cần xác định điểm vẽ đường thẳng qua điểm gốc tọa độ Một điểm thuộc đồ thị hàm số tọa độ thỏa mãn hàm số cho Giải a) Đồ thị hàm số y hàm số, tức a ax qua điểm A suy a Để vẽ đồ thị hàm số, ta cho x hàm số y 4; phải thỏa mãn x Hàm số cho y điểm A 4; nên cặp số y vẽ 4; Đường thẳng OA đồ thị x b) Thay tọa độ B khơng thỏa mãn 2;4 vào y x ta thấy Vậy điểm B không thuộc đồ thị hàm số y Thay tọa độ C 2;1 vào y x x ta thấy thỏa mãn 2 x Vậy điểm C thuộc đồ thị hàm số y Do có ba điểm A,O,C thẳng hàng c) Cho x y Vẽ điểm D 1;2 Đường thẳng DO đồ thị hàm số y 2x (hình vẽ trên) Trang Ví dụ 9: Vẽ đồ thị hàm số y 2x nÕu x x nÕu x  Tìm cách giải: Vẽ hai đồ thị y 2x x x x y Hai đồ thị kết hợp thành đồ thị cần vẽ Giải Đồ thị d1 hàm số y 2x x Đồ thị d hàm số y x x tia OM với M 2; tia ON với N d1 d kết hợp thành đồ thị hàm số y Ví dụ 10: Vẽ đồ thị hàm số y 3x 2; 2x nÕu x x nÕu x x  Tìm cách giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối số thực x: x x nÕu x x nÕu x Xét hàm số với hai trường hợp x x Giải Trang x Do x nÕu x x nÕu x 4x nên hàm số trở thành y Đồ thị d1 hàm số y 4x x nÕu x 2x nÕu x 0 tia OQ gốc O qua điểm Q 1;4 Đồ thị d hàm số y qua P 2x x tia OP gốc O 2;4 d1 d kết hợp thành đồ thị hàm số y 3x x C Bài tập vận dụng 13.1 Cho cặp số x, y sau đây: x 0,5 y -1 15 -6 -5 18 a) Hãy lập cặp số x, y b) Vẽ sơ đồ mũi tên c) Các cặp số xác định hàm số Tại sao? d) Hàm số cho công thức nào? 13.2 Trong sơ đồ sau, sơ đồ xác định hàm số? Tại Hàm số biểu thị công thức? Trang f x xác định công thức f x 13.3 Cho hàm số y a) Chứng tỏ với x b) Tính f 20 R f x f c) Tìm x để f x 13.4 Hàm số y y f x 2x f f 6;f x x x ; f 1,2 f x xác định sau: 2x nÕu x 2,5 nÕu x 2,5 a) Tính f ; f 2018 ;f ;f 3; b) Hãy viết gọn cơng thức trên; c) Tính nhanh tích P f 0,5 f 1,5 f 2,5 f 99,5 ; d) Đại lượng x có hàm số đại lượng y khơng? 13.5 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y 3x; c) y 2016 ; 27x 13.6 Cho hàm số y a) Tìm f m b) y d) y f x m2 x2 2x 18 ; 2x 10 x 1975x ; 30x 4 m2 2m 1; Trang 10 b) Tìm m f 376 13.7 a) Cho hàm số y 2018x f x Chứng minh với x b) Cho hàm số y R f x 2x 1945x R f x f x Chứng minh với x 2019 f x f x 13.8 Cho hình chữ nhật có chiều rộng 25cm chiều dài 28cm Người ta tăng chiều 15 x cm a) Tính chu vi y hình chữ nhật theo x Chứng minh đại lượng y hàm số đại lượng x; b) Tập xác định hàm số y 13.9 Đồ thị hàm số y ax qua điểm C 1;2 a) Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số đó; b) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y 13.10 Vẽ đồ thị hàm số y 0,5 x 3x đồ thị hàm số y nÕu x nÕu x hệ trục tọa độ Xác định giao điểm hai đồ thị Kiểm tra lại kết tính toán 13.11 Cho hàm số y 2bx x a) Vẽ đồ thị hàm số b 2; b) Vẽ đồ thị hàm số b 0,5 (cùng hệ trục tọa độ câu a) 13.12 Biết đồ thị hàm số y a a x qua điểm A 2;0,5 a) Xác định hệ số a, vẽ đồ thị (H) hàm số với a vừa tìm; b) P x P ; yP điểm (H) biết 2x P 8yP , xác định tọa độ P; c) Tìm giao điểm đồ thị hàm số với đồ thị (D) hàm số y x 13.13 Gọi f hàm xác định tập hợp số nguyên thỏa mãn điều kiện sau đây: Trang 11 1) f 0; 2) f 3; 3) f x f y f x y f x y , với x, y Z Tính f (Cuộc thi Olimpic Tốn học thành phố Leningrat, LB Nga năm 1987) 13.14 Cho f x hàm số thỏa mãn f 2x x 12 x 13 , với số thực Hãy xác định giá trị f 31 (Cuộc thi Toán Canada mở rộng 2006) 13.15 Cho hàm số f x thỏa mãn f 2x x 2013 x 2014 Tính f 4207 (Đề thi Olimpic Toán tuổi thơ cấp THCS, Đăk Lăk năm học 2013 – 2014) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 13.1 a); b) Bạn đọc tự lập cặp số vẽ sơ đồ c) Trong cặp số ta thấy giá trị x tương ứng với giá trị y nên y hàm số x (Việc lập cặp số sơ đồ mũi tên chứng tỏ điều ấy) d) Hàm số cho công thức y với x 3x 0,5; 1 ;3; 1; ; 15 13.2 Theo khái niệm hàm số: - Quy tắc sơ đồ (a) biểu thị hàm số Công thức y - Quy tắc sơ đồ (b) không biểu thị hàm số với x 0,5x có hai giá trị tương ứng thuộc Y - Quy tắc sơ đồ (c) không biểu thị hàm số có phần tử chẳng hạn tập X khơng có giá trị tương ứng thuộc tập Y - Quy tắc sơ đồ (d) biểu thị hàm số Công thức y 3x 13.3 a) Với x Từ f x R f f x x x f x x x f x f x Trang 12 Vậy với x R f x b) f f 20 f f x f 20 x c) f x nghĩa f x 1,2 nghĩa x 24 8 x 1,2 4031; x 1,6 13.4 a) f 10 f 2018 f f 5; 2018.2 5; 11 b) Công thức viết gọn y x c) P x nÕu x x nÕu x nên y 0 f 2,5 f x 2x f x theo định nghĩa 2x 2x nÕu 2x hay x 2,5 nÕu 2x hay x 2,5 d) Đại lượng x không hàm số đại lượng y ứng với giá trị y ta có hai giá trị tương ứng x (chẳng hạn y x ) nên theo định nghĩa x hàm số đại lượng x không hàm số đại lượng y 13.5 a) x x R vµ x c) x x R;x 13.6 a) Khi m b) f m2 ; b) x x R;x ; d) x x f x 2 x2 m2 376 ; R 22 16 nên f 2m vµ x m 16 32 50 13.7 Trang 13 a) Ta có: f x 2018 f x f x b) f x f x x x 1945 2018x 2019 2x x 2019 f x 2x 1945x 1945x f x f x 13.8 a) Chiều rộng 25 15 x ; chiều dài 28 nhật y x 28 15 y 4x 25 15 x 4x 15 x Chu vi hình chữ 166 166 hàm số ứng với giá trị x ta có giá trị tương ứng y b) Tập xác định hàm số y 4x 166 D x x R;x 15 13.9 a) Đồ thị hàm số y tức a.1 ax qua điểm C 1;2 nên cặp số 1;2 phải thỏa mãn hàm số, suy a Hàm số cho y OC đồ thị hàm số y b) y 2x Vẽ điểm C 1;2 Đường thẳng 2x f x 0,5 x 0,5x nÕu x 0,5x nÕu x * Đồ thị t1 hàm số y 0 0,5x x tia OA với A 4;2 * Đồ thị t hàm số y 0,5x x Hợp t1 t đồ thị hàm số y tia OB với B 4;2 0,5 x Trang 14 13.10 y f x 3x 3x nÕu x 3x nÕu x Đồ thị d1 hàm số y 3x x 0 tia OA với A 1;3 Đồ thị d hàm số y với B 3x x tia OB 1;3 , d1 d kết hợp thành đồ thị hàm số y 3x nÕu x 3x nÕu x nÕu x Đồ thị hàm số y nÕu x đường thẳng t với x a) Khi b y x nÕu x kết hợp với phần ;2 0 nên hàm số trở thành 3x nÕu x 5x nÕu x Đồ thị y phần đường thẳng t1 với x 3x nên x x nÕu x 13.11 Do x 0 Giao điểm hai đồ thị C Kiểm tra với y 0 3x x tia d1 gốc O qua 5x x tia d gốc O qua Q P 1;3 Đồ thị y t1 t hợp thành đồ thị hàm số y b) Khi b 0,5 hàm số trở thành y Đồ thị y x 3x x f x x x 1;5 nÕu x 2x nÕu x 0 tia Ox Trang 15 Đồ thị y tia d gốc O qua M 2x x Tia Ox d hợp thành đồ thị hàm số y 1;2 x x 13.12 a a x a) Đồ thị (H) hàm số y A 2;0,5 nên ta có 0,5 Hàm số cho y a qua điểm a 1 x Vẽ đồ thị: x -4 -2 -1 -0,25 0,25 0,5 y 0,25 0,5 -4 -2 -1 -0,5 -0,25 hai nhánh đường cong x Vẽ điểm x; y nối lại được: Đồ thị hàm số y h1 nằm góc phần tư thứ II h nằm góc phần tư thứ IV nên y P x P thỏa mãn biểu thức nghĩa x b) P nằm đồ thị hàm số y yP xP Với x P Do 2x P yP 8yP nên 2x P Ta có hai điểm P1 2; 0.5 P2 M 2;2 ; N xP x P2 yP 0.5;x P c) Đồ thị (D) hàm số y 4x P 0.5 2;0.5 f x x x nÕu x x nÕu x 2;2 Hai đồ thị (D) (H) cắt I 0 gồm tia OM ON với 1;1 13.13 Áp dụng tính chất cho ta có: f 1f f f 1f f 1 f 2f f f f 1 f 2f f f f f f f f 18 Trang 16 f 3f f f f 47 f 4f f f f 843 Vậy f 843 13.14 Ta có: 31 2x 13.15 Ta có: 4027 2x x 15 Vậy f 31 x 15 12 15 13 2013 Vậy f 4027 84 Trang 17 ... (đvđd); CK (đvđd) (đvđd) SAHD AH.HD SDKC SOHDK DK.KC OH.OK 6.5 0,5.4.2 0,5.3.2 2.2 19 (đvdt) Trang  Chú ý: Ta tìm SABCD cách khác: Nối O với D ta có: SABCD SAOCB SDOC SAOD Bạn đọc tự giải Ví dụ 7:... y x x ta thấy thỏa mãn 2 x Vậy điểm C thuộc đồ thị hàm số y Do có ba điểm A,O,C thẳng hàng c) Cho x y Vẽ điểm D 1;2 Đường thẳng DO đồ thị hàm số y 2x (hình vẽ trên) Trang Ví dụ 9: Vẽ đồ thị... x, y Z Tính f (Cuộc thi Olimpic Toán học thành phố Leningrat, LB Nga năm 1987) 13.14 Cho f x hàm số thỏa mãn f 2x x 12 x 13 , với số thực Hãy xác định giá trị f 31 (Cuộc thi Toán Canada mở rộng