cac bai toan chon loc trong he toa do oxyz phan 1 nguyen xuan chung

PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ BỔ XUNG CÔNG THỨC TÍNH NHANH Trong phần nghiên cứu tốn điển hình hệ tọa độ Oxyz thiên tính tốn: Nghĩa từ số liệu kiện cho, thiết lập phương trình hay hệ thức có liên quan giải đáp số cần tìm Phần toán sưu tầm chọn lọc có tính tổng hợp, nghĩa tổ hợp nhiều tốn nhỏ, bao gồm nhiều kiến thức có liên quan Nói cách khác: Đây tốn để ôn tập luyện thi Chúng ta phân dạng, loại tốn theo nhiều cách hay theo hình thức đó, tốn nằm nhiều dạng tốn khác nhau, khơng thể định dạng chung cho tất toán Trong phần tơi cố gắng biên soạn tốn theo chủ đề, hay theo phương pháp giải theo dạng tốn đặc trưng Để đáp ứng ôn tập luyện thi, đặc biệt thi trắc nghiệm, ngồi kiến thức cách giải tự luận, yêu cầu em cần bổ xung thêm kiến thức, số kết hay số cơng thức tính nhanh, kết hợp với máy tính CASIO I CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ Tóm tắt kiến thức  Trong hệ Oxyz, điểm uuuur r r r M ( a; b; c ) ⇔ OM = a.i + b j + c.k  Hình chiếu vng góc M trục Ox A ( a; 0;0 )  Hình chiếu vng góc M mp(Oxy) r ur u = ( x; y ; z ) u ' = ( x '; y '; z ' )  Cho GV: Nguyen Xuan Chung ,… H ( a; b;0 ) ,… r ur r ur r ur u.u ' = u u ' cos u , u ' ( ) r ur rr r r u.u ' = x.x '+ y y '+ z.z ' u.v = ⇔ u ⊥ v ; ; r r2 u = x2 + y + z2 ⇔ u = x2 + y + z  Tích vơ hướng:  Cơng thức tính độ dài  Cơng thức tích có hướng  Định nghĩa: Tích có hướng véc tơ có tọa độ xác định công thức: r ur  y z z x x y u ∧u'=  ; ;  y' z' z' x' x' y' r u = ( x; y ; z ) ur u ' = ( x '; y '; z ' )  r ÷ = ( yz '− zy '; zx '− xz '; xy '− yx ') uu =w  r ur u ∧u' r ur rr uu r ur r ur uu u u' u u ' w.u = 0; w.u ' =  Tính chất: = sin( , ); ,… r ur r ur  u , u '   u '  Chú ý Ta cịn ký hiệu tích có hướng Một số ví dụ giải tốn Ví dụ 1: Trong khơng gian điểm cạnh AC Oxyz , cho tam giác ABC có A ( −4; −1; ) thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC , B ( 3;5; −10 ) Trung thuộc mặt phẳng ( Oxz ) C Tọa độ đỉnh là: C ( 4; −5; −2 ) C ( 4;5; ) C ( 4; −5; ) C ( 4;5; −2 ) A B C D  Phân tích: + Kiến thức: Trung điểm đoạn thẳng + Vận dụng: Đối với AC BC ⇒ xC + xA = 0; zC + z A = + Kĩ năng: H(0; y; 0) trung điểm AC (Loại đáp án B C) ⇒ yC + yB = K(x; 0; z) trung điểm BC (Loại đáp án D) Đáp số: Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian Oy bằng: Oxyz , cho điểm A ( 1; 2;3) Khoảng cách từ 10 10 A B C  Phân tích: + Kiến thức: Khoảng cách từ điểm đến trục tọa độ + Vận dụng: A GV: Nguyen Xuan Chung D A đến trục + Kĩ năng: H(0; 2; 0) hình chiếu A Oy ⇒ HA = OA2 − OH = 12 + 32 = 10 Đáp số: Chọn B r a = ( 3; −1; −2 ) Oxyz Ví dụ 3: r b = ( 1; 2; m ) r c = ( 5;1;7 ) Trong không gian , cho ba vectơ , r r r c =  a , b  m Giá trị để là: −1 A B C D  Phân tích: + Kiến thức: Tích CÓ HƯỚNG hai véc tơ r r a b + Vận dụng: Đối với rr c.b = ⇒ + + m = ⇒ m = −1 + Kĩ năng: Tính chất tích có hướng: Đáp số: Chọn A r r r r a = 3, b =3 Oxyz a b Ví dụ 4: Trong không gian với , cho hai vectơ thỏa mãn r r r r 5a, −2b  a, b = 300   Độ dài vectơ bằng: ( ) 3 30 A B C  Phân tích: + Kiến thức: Tích CÓ HƯỚNG hai véc tơ r r 5a −2b + Vận dụng: Đối với + Kĩ năng: Tính chất r r r r 5a, −2b  = 5.2 a b sin 30 o = 10.2 3.3 = 30   D 90 tích có hướng Đáp số: Chọn C Ví dụ 5: Trong khơng gian giác ABC là: Oxyz 13 , cho A(1;0;1), B(-2;1;3), C(1;4;0) Diện tích tam 26 3 A B C D  Phân tích: + Kiến thức: Tích VƠ HƯỚNG hai véc tơ uuur uuu r BC BA + Vận dụng: Đối với r uuur2 uuu r uuur uuu S= BA BC − BA.BC + Kĩ năng: Tính chất tích vơ hướng ( S= (3 + (−1) + (−2) ) ( 32 + 32 + (−3) ) − ( − + ) = GV: Nguyen Xuan Chung 26 26 ) Đáp số: Chọn D Lời bình Việc tính diện tích tam giác theo cơng thức Hê - Rơng hay theo công r uuur uuu S =  BA, BC  thức được, nhiên ta có cơng thức bổ xung r 2sau uuu rđây uuu r uuu r uuu tính nhanh hơn: S= BA BC − BA.BC ( Ghi vào máy (580): (A + B + C ) ( x + y + z ) − ( Ax + By + Cz ) CALC nhập tọa độ uuu r BA uuur BC Bài tập kiểm tra Câu Trong không gian Oxyz , hình chiếu điểm M ( 1; −3; −5 ) mặt phẳng ( Oxy ) A là: ( 1; −3;5 ) ( 1; −3;0 ) B C ( 1; −3;1) ( 1; −3; ) D M ( −3; 2; −1) Oxyz M' Câu Trong không gian , tọa độ đối xứng với điểm qua mp ( Oxy ) A là: M ' ( −3; 2;1) M trục ( 0;0;0 ) A B Oz Câu Trong không gian Oy A là: A ' ( −3; 2;1) Câu Trong không gian bằng: A M ' ( 3; − 1) M ' ( 3; −2; −1) ( 0;1;0 ) ( 0;0; −2022 ) C D M ( 2021;1; −2022 ) Oxyz Câu Trong không gian , cho điểm Hình chiếu vng góc M ' ( 3; 2;1) có tọa độ: ( 2021;0;0 ) B Oxyz , cho điểm A ' ( 3;2 − 1) B Oxyz , cho điểm B 13 C A ( −3;2; −1) C D Tọa độ A ' ( 3; 2;1) A ( 4; −2;3) C A' đối xứng với D Khoảng cách từ GV: Nguyen Xuan Chung D A A ' ( 3; −2; −1) A qua đến trục Oy Oxyz Câu Trong không gian S ( 17 / 18; −11 / 9;17 / 18 ) , cho hình nón đỉnh có đường A ( 1;0;0 ) B ( 0; −2;0 ) C ( 0;0;1) l tròn đáy qua ba điểm , , Độ dài đường sinh hình nón là: 86 l= A 194 l= B 94 l= C l= → Oxyz Câu Trong không gian , cho vectơ mệnh đề sau, mệnh đề sai ? A a = ( −1;1;0 ) uu r a = r r b ⊥ c C Oxyz → ; , cho ba điểm r r A Câu 10 −54 đơn vị A Oxyz , cho hai vectơ Độ dài vectơ B r b C thỏa mãn Oxyz , cho vectơ r r u+v r u = ( 2; −1; ) vectơ bằng: A D B C A ( 1;2;0 ) , B ( 1;0; −1) , C ( 0; −1; ) C Tam giác vuông đỉnh r r a = 3, b = Độ dài vectơ A Tam giác có ba góc nhọn D D ( 4; −5;1) bằng: 54 thỏa mãn Câu 11 Cho điểm giác ABC Câu 12 r r 3a − 2b r a r r u − v = Để D Trong không gian với hệ tọa độ r v Trong D A ( −1; 2; ) , B ( 0;1;3) , C ( −3; 4;0 ) ABCD ( a, b ) = 30 c = ( 1;1;1) ; r r a ⊥ b tứ giác hình bình hành tọa độ điểm D ( −4;5; −1) D ( 4;5; −1) D ( −4; −5; −1) A B C Câu Trong không gian → b = ( 1;1;0 ) ur c = B Câu Trong không gian tọa độ D D Chọn mệnh đề tam B Tam giác cân đỉnh A D Tam giác A ( 0;0;1) B ( −1; −2;0 ) Oxyz ABC Trong không gian , cho tam giác có , , C ( 2;1; −1) Khi tọa độ chân đường cao H hạ từ GV: Nguyen Xuan Chung A xuống BC là: A  14  H  ;− ;− ÷  19 19 19  B D Câu 13 Trong không gian D ( 4;5 − ) , cho bốn điểm G tứ diện ( −2;1;2 ) ( 8; 2; −8) A B Câu 14 [ĐỀ THPTQG 2017] Trong M (2;3; −1), N ( −1;1;1) A Câu 15 m = −6 B Trong không gian P(1; m − 1; 2) m=0 Oxyz A ( 1;0; −2 ) Câu 16 m = B B ( 0; −2;5 ) A Câu 17 87 , C ( 1;1;3) , B ( 2;1; −1) , điểm Tìm m để tam giác MNP vuông N C m = −4 D m=2 m = C 349 là: m = , cho hình bình hành C 87 ABCD D ABCD m = Biết ( Oxz ) A ( 2;1; −3) , là: D 349 [BGD_2017_MH2] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm B ( 5; 6; ) C ( 1; −2; ) có tọa độ là: ( 8; −1;2 ) ( 2;1; −2 ) C D khơng gian Oxyz, cho ba Diện tích hình bình hành B , cho ba điểm A(1;0;1), B(-1;1;3), C(1;3;m) Giá trị Oxyz Trong không gian C ABCD m cho diện tích tam giác ABC A 8  H 1;1; − ÷ 9    H  1; ;1÷   Oxyz Trọng tâm 4  H  ;1;1÷ 9  A ( −2;3;1) AM BM AB M Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm Tính tỉ số AM AM AM AM = =2 = =3 BM BM BM BM A B C D ………………………………………………………… Hướng dẫn tập kiểm tra M ( 1; −3; −5 ) Oxyz Câu Trong khơng gian , hình chiếu điểm mặt phẳng ( Oxy ) là: GV: Nguyen Xuan Chung A ( 1; −3;5 ) B ( 1; −3;0 ) Để tiện ghi nhớ, ta nhìn vào mp = ta hình chiếu Câu Trong không gian Oxyz ( 1; −3;1) C Hướng dẫn ( Oxy ) ( 1; −3;0 ) , tọa độ D thiếu thành phần z, nên M cho z Chọn B M' ( 1; −3; ) đối xứng với điểm M ( −3; 2; −1) qua mp ( Oxy ) A là: M ' ( −3; 2;1) M' đối xứng với B M M ' ( 3; 2;1) qua mp Câu Trong không gian M trục ( 0;0;0 ) A Oz C Hướng dẫn ( Oxy ) phần z đối nên tọa độ Oxyz M ' ( 3; − 1) D M ' ( 3; −2; −1) giữ nguyên hai thành phần x, y, thành M ' ( −3; 2;1) , cho điểm Chọn A M ( 2021;1; −2022 ) có tọa độ: ( 2021;0;0 ) ( 0;1;0 ) B C Hướng dẫn Để tiện ghi nhớ, ta nhìn vào trục Oz Hình chiếu vng góc D ( 0;0; −2022 ) thiếu thành phần x y, nên M ( 0;0; −2022 ) cho x = y = ta hình chiếu Chọn D A ( −3;2; −1) Oxyz A' A Câu Trong không gian , cho điểm Tọa độ đối xứng với qua Oy A A' là: A ' ( −3;2;1) đối xứng với B A A ' ( 3;2 − 1) A ' ( 3;2;1) C Hướng dẫn qua trục Oy D A ' ( 3; −2; −1) giữ nguyên thành phần y, hai thành phần A ' ( 3; 2;1) x, z tương ứng đối nên tọa độ Chọn C A ( 4; −2;3) Oxyz Oy A Câu Trong không gian , cho điểm Khoảng cách từ đến trục bằng: A B 13 C GV: Nguyen Xuan Chung D Hướng dẫn Bỏ thành phần y, khoảng cách cần tìm Oxyz Câu Trong không gian 86 A l= B Độ dài đường sinh tính SA: 194 l= C Hướng dẫn 94 l= Chọn A → Oxyz Câu Trong không gian , cho vectơ mệnh đề sau, mệnh đề sai ? A D nên ta cần tính đoạn, chẳng hạn 86  17   11   17  SA = 1 − ÷ +  ÷ +  ÷ =  18     18  uu r a = r r b ⊥ c có đường A ( 1;0;0 ) B ( 0; −2;0 ) C ( 0;0;1) l , , Độ dài đường sinh l = SA = SB = SC Chọn D S ( 17 / 18; −11 / 9;17 / 18 ) , cho hình nón đỉnh trịn đáy qua ba điểm hình nón là: l= d = 42 + 32 = B a = ( −1;1;0 ) → b = ( 1;1;0 ) ; → ; ur c = C Hướng dẫn D c = ( 1;1;1) Trong r r a ⊥ b Rõ ràng ta cần giải theo phương pháp loại trừ, để nhanh chóng tìm uu r a = câu trả lời, ta kiểm tra đáp án véc tơ Các độ dài ur c = r r b⊥c sai, rr b.c = Chọn A Câu Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; ) , B ( 0;1;3) , C ( −3;4;0 ) ABCD Để D tứ giác hình bình hành tọa độ điểm D ( −4;5; −1) D ( 4;5; −1) D ( −4; −5; −1) A B C Hướng dẫn D D ( 4; −5;1) Để nhanh chóng tìm câu trả lời, ta sử dụng tính chất: tâm I hình bình hành trung điểm hai đường chéo Tổng thành phần x A C – nên có hai đáp án A, C (Vì B có hồnh độ 0) D ( −4;5; −1) Tổng thành phần y A C = + 5, nên tọa độ Chọn A GV: Nguyen Xuan Chung Oxyz Câu Trong không gian r r a, b = 300 ( ) A , cho hai vectơ Độ dài vectơ −54 B 54 r r 3a − 2b r a r b r r a = 3, b = thỏa mãn bằng: C Hướng dẫn D Để nhanh chóng tìm câu trả lời, ta sử dụng tính chất: Bình phương vơ hướng r r 3a − 2b = Ta có Câu 10 ) r2 r2 rr = 9a + 4b − 12a.b = 144 − 108 = Chọn D Trong không gian với hệ tọa độ đơn vị A ( r r 3a − 2b r v r r u − v = thỏa mãn Oxyz , cho vectơ Độ dài vectơ B r r u+v r u = ( 2; −1; ) bằng: vectơ C Hướng dẫn D Để nhanh chóng tìm câu trả lời, ta sử dụng tính chất: Bình phương vô hướng r r r r2 rr 16 = u − v = u + v − 2u.v ( r r r r2 rr m = u + v = u + v + 2u.v ) r r2 r r 16 + m = u + v = 20 ⇒ m = ⇒ m = u + v = Cộng hai vế ta được: Chọn C Lời bình Cách giải chứng minh lại định lý: Trong hình bình hành, tổng bình phương độ dài hai đường chéo tổng bình phương độ dài cạnh Tương tự khơng gian: Trong hình hộp, tổng bình phương độ dài bốn đường chéo tổng bình phương độ dài cạnh Câu 11 Cho điểm giác A ( 1;2;0 ) , B ( 1;0; −1) , C ( 0; −1; ) Chọn mệnh đề tam ABC A Tam giác có ba góc nhọn C Tam giác vuông đỉnh A B Tam giác cân đỉnh D Tam giác Hướng dẫn GV: Nguyen Xuan Chung A Để nhanh chóng tìm câu trả lời, ta tính bình phương độ dài cạnh, AB = 5; AC = 14; BC = 11 suy mối quan hệ: Chọn A Câu 12 Oxyz Trong không gian C ( 2;1; −1) A  14  H  ;− ;− ÷  19 19 19  B D Bước 1: Gọi tọa độ ABC , cho tam giác Khi tọa độ chân đường cao H Các đáp án B, C, D sai hạ từ có A A ( 0;0;1) xuống 4  H  ;1;1÷ 9  BC B ( −1; −2;0 ) , , là: 8  H 1;1; − ÷ 9  C   H  1; ;1÷   Hướng dẫn H ( x; y; z ) , tính H uuur uuur AH = ( x; y; z − 1) , BC = ( 3;3; −1) Bước 2: Điểm thỏa mãn điều kiện Cách giải Trắc nghiệm uuur uuur AH BC = 3x + y + − z (1) H ∈ BC (2) H Ghi vào máy tính CALC nhập tọa độ đáp án, đáp án A thỏa mãn điều kiện (1) Các đáp án cịn lại khơng thỏa mãn Chọn A Lưu ý: Nếu có hai hay nhiều đáp án thỏa mãn (1) kiểm tra uuur uuur BH = t BC Cách giải Tự luận Từ (1) ta có 3x + y + − z = x = 3t − 1, y = 3t − 2, z = −t Suy tọa độ từ (2) ta có uuur uuur BH = t BC = ( 3t ;3t ; −t ) 9t − + 9t − + + t = ⇒ t = thay vào ta  14  H  ;− ;− ÷  19 19 19  19 Chọn A A ( 1;0; −2 ) B ( 2;1; −1) C ( 1; −2; ) Oxyz Trong không gian , cho điểm , , Câu 13 D ( 4;5 − ) A Trọng tâm ( −2;1;2 ) G ABCD tứ diện có tọa độ là: ( 8; 2; −8) ( 8; −1;2 ) ( 2;1; −2 ) B C D Hướng dẫn 10 GV: Nguyen Xuan Chung A ( −3 + a; − a; 2a ) ∈ d , B ( + b;3b; 2b ) ∈ d ' d,d ' ∆ Giả sử giao điểm với uuur r AB = ( b − a + 6; a + 3b − 2; 2b − 2a ) / / n = ( 1; 2; −1) Ta có , suy hệ phương trình:  2b − 2a + 12 = a + 3b − 3a + b = 14 a = ⇔ ⇔  A ( 1; - 2;8) b − a + = 2a − 2b a − b = b = , phương trình Q ( 4; 4;5) ∆ : x = + t , y = −2 + 2t , z = − t t =3 D Cho qua điểm Chọn D (Xem thêm phần phụ lục) A ( 1; − 2;3 ) B ( 2; −1;1) C ( −1;1; ) Oxyz Câu 153: Trong không gian , cho bốn điểm , , , D ( 1; 2; −1) 11 A Tính Tính khoảng cách hai đường thẳng 11 B uuu r uuur AB = ( 1;1; −2 ) , CD = ( 2;1; −1) AB 11 C Hướng dẫn CD 10 11 D nên hai đường thẳng AB CD chéo r uuu r uuur n =  AB, CD  = ( −1;3;1) =1= = & =1=1 = Vào MENU nhập ta có (Viết phương trình mp chứa AB song song CD tính khoảng cách) −1( x − 1) + ( y + ) + 1( z − 3) 1+ +1 Nhập máy Chọn C Câu 154: Trong không gian với hệ trục toạ độ ∆1 : đường thẳng ∆1 CALC nhập tọa độ C, ta có M cho ( P) :x + y − z − = x −1 y −1 z − x−2 y −3 z +4 = = ; ∆2 : = = 1 −5 có toạ độ số dương, M P điểm đến ( ) A , Oxyz , B 139 M cách C Hướng dẫn giải GV: Nguyen Xuan Chung ∆2 Gọi M ( P) D 11 11 hai điểm thuộc Khoảng cách từ Cách Tổng quát (Công thức tính nhanh) ∆1 Từ phương trình ∆2 khoảng cách đến ( x − 2) y = x, z = x + rút M ( x; x; x + 1) suy tọa độ tính ( P) + ( x − 3) + ( x + ) ( ( x − ) + ( x − 3) − ( x + 5) ) − 2 + + 25 Ghi = x + x − x −1 − 3 x=2 1= SHIFT SOLVE kết bấm  trở về, xóa vế phải, bấm = ta có Chọn A Cách Xét vị trí tương đối Gọi M ( m; m; m +1) Ỵ D1 , m > Ta có (2) d ( M ,( P)) = , đó: ur uu r u1 ^ u2 & D1 ÇD = K ( 0;0;1) 3m = Vậy = 3 cố định độ dài (1) MK = d ( M , D ) = 3m m- Từ (1) (2) ta được: d ( M ,( P )) = m- Û 8m +16m - 64 = Þ m = B ( 2; 2; ) d A C ) Oxyz cho ba điểm , , C ( −2;3;1) d: đường thẳng cho thể tích tứ diện  3   15 11   − ; − ; ÷;  − ; ; − ÷  2    3   13   ; − ; ÷;  ; ; ÷ 2 2  2 Ta có m >0 Chọn A Câu 155: [THPT Nho Quan – Ninh Bình] Trong khơng gian A ( 0;1;0 ) (Vì MABC Tìm điểm B  3   13   − ; − ; ÷;  − ; ; ÷  2  2 D Hướng dẫn giải uuur uuur AB = ( 2;1; ) , AC = ( −2; 2;1) Phương trình mp(ABC) là: mp(ABC) h Ta có: M thuộc  3   13   ; − ; ÷;  ; ; ÷ 5 2  2 140 x −1 y + z − = = −1 uuu r uuur  AB, AC  = −3 ( 1; 2; −2 ) ⇒ S ABC =   suy x + y − 2z − = Gọi khoảng cách từ M đến GV: Nguyen Xuan Chung 2t + + ( −2 − t ) − ( + 2t ) − 1 Sh = ⇔ h = ⇔ h = ⇒ = ⇒ −4t − 11 = 3 Suy Câu 156: 17  3 1  15 11  t = − ∪ t = − ⇒ M  − ; − ; ÷∪ M  − ; ; − ÷ 4  2  2 [PTNK - ĐHQG TP HCM] Trong không gian với hệ tọa độ đường thẳng AB = mãn tứ diện A Chọn A V =7 Ta có x = 1+ t  d1 :  y = − 2t  z = −3 − t  Trên ABCD d2 lấy hai điểm C , D Trên thỏa mãn d1 lấy hai điểm CD = A , cho hai B , Tính thể tích thỏa V B ur uu r u1.u2 =  x = + 3t  d :  y = + 2t z = 1− t  Oxyz nên V = 21 d1 ⊥ d2 V= 21 C Hướng dẫn giải V= D Giả sử mp(P) chứa AB vng góc d2 21 cắt d2 C, d1 từ C kẻ CE vng góc với CE đoạn vng góc chung 1 VABCD = CD.S ∆ABC = AB.CD.CE = 3.4.CE = 2CE Ta có Viết phương trình (Q) chứa d1 song song d2 có vtpt r ur uu r n = u1 , u2  = ( 4; −2;8 ) ( x − 1) − 1( y − ) + ( z + 3) nên ghi vào hinh CE = 21 Vậy 22 + 12 + 42 VABCD = 21 Chọn B 141 GV: Nguyen Xuan Chung CALC nhập = =1 = Câu 157: d2 : Trong không x y−2 z = = −3 −3 gian d3 : Oxyz, cho x + y −1 z + = = ba Gọi ∆ đường x = t  d1 :  y = − t  z = −1 + 2t  thẳng đường thẳng cắt d1 , d , d3 , lần ∆ lượt điểm A, B, C cho AB = BC Phương trình đường thẳng x−2 y−2 z x y−2 z x y − z −1 x y − z −1 = = = = = = = = 1 1 1 1 −1 −1 A B C D Hướng dẫn giải Cách Gọi  a + 5c − −a + 2c + 2a + c −  A ( a; − a; −1 + 2a ) , C ( −1 + 5c;1 + 2c; −1 + c ) ⇒ B  ; ; ÷ 2   Cho B thuộc Từ suy Cách d2 ta có hệ: uu r u∆ = ( 1;1;1) − 2a + 17c =  a + 2c + = −3 ( a + 5c − 1) + ⇔ ⇔ a = 1, c =  5a + 16c =  2a + c − = −3 ( a + 5c − 1) qua B ( 0; 2;0 ) Vào MENU nhập dòng đầu r ur ur n=é u , u ù= ( - 5;9;7 ) ê ë1 ú û Mặt phẳng Chọn B =- =- = ( P) dòng hai song song cách = =- = d1 d3 ta , i qua im ổ1 Mỗ - ; ;ỗ ỗ ố 2 1ữ ữ ữ ứ có phương trình Điểm B giao điểm Lấy điểm d2 ( P ) : - x + y + z =18 ( P) A( a; - a;- + 2a ) Ỵ d1 , tọa độ , suy tọa độ - a +1 a - - 2a = = Þ a = Þ A( 1;3;1) uur uur Þ BA = uD = ( 1;1;1) qua 142 B ( 0; 2;0) B ( 0; 2;0) Chọn B GV: Nguyen Xuan Chung C ( - a; a;1- 2a ) Ỵ d3 nên ta có : Câu 158: Oxyz [Chun ĐB Sơng Hồng] Trong không gian với hệ tọa độ x −1 y z = = d1 : đường thẳng cho d1 d2 , x = 1+ t  d2 :  y = + t z = m  Gọi S tập tất số chéo khoảng cách chúng phần tử −11 A S , cho hai 19 m Tính tổng B 12 C −12 D 11 Hướng dẫn giải Cách uur ur uu r ur uu r   n = u , u u1 = ( 2;1;3) u2 = ( 1;1;0 ) α   = ( −3;3;1) Ta có , khác phương VTPT mp ( a) chứa d1 song song d2 , có phương trình (a ) : - 3x + y + z + = m +6 Tính khoảng cách từ điểm ( 1;2; m) đến ( a) 19 , ta có: = ém =- Û ê ê 19 ëm =- 11 S = { - 1; - 11} Vậy Chọn C Cách ur uu r u1 = ( 2;1;3) u2 = ( 1;1;0 ) M ( + 2t ; t;3t ) Ỵ d1 Ta có , khác phương Lấy , tính khoảng cách đến d2 , ta có: 2 d = ( 2t ) +( t - 2) +( 3t - m) d t= ( 3t - 2) 2( 3m - 1) 19 2 = , đó: 19 t + ( 1- 3m) t + + m 2 19 25 t + ( 1- 3m) t + + m = 19 - 25 ( 3m - 1) + + m = Û m2 +12m +11 = Û m =- È m =- 11 19 19 Hay ta có Lời bình Do hai véc tơ khác phương khoảng cách khác nên hai đường thẳng chéo Từ ta có phương pháp tìm điều kiện để hai đường thẳng chéo Nếu em học chương trình nâng cao nắm “tích hỗn hợp” ba véc tơ giải cách khác 143 GV: Nguyen Xuan Chung IX PHỤ LỤC PHÂN TÍCH MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sau phân tích số tốn phương pháp thường dùng, hy vọng em nhìn nhận góc độ khác giải toán, nhằm phát huy ưu thân, rèn luyện kỹ giải toán, mạch lạc sáng học toán Phương pháp loại trừ Hướng 1: Chúng ta loại bỏ đáp án khơng thỏa mãn u cầu tốn Hướng 2: Chúng ta chọn đáp án thỏa mãn dần u cầu tốn Để nhanh kết hợp hai hướng trên, nói cách khác: loại bớt đáp án khơng thỏa mãn, kiểm tra đáp án nhanh Phương pháp áp dụng số trường hợp, rộng rãi Oxyz Ví dụ 59 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ , cho mặt phẳng ( P ) : x - y + 2z = ( Q) ( P) Phương trình mặt phẳng chứa trục hồnh tạo với góc nhỏ A y - 2z = B y - z = C y + z = D x + z = Phân tích Ta cần kiểm tra mặt phẳng chứa Ox tạo với (P) góc nhỏ + Kiểm tra chứa Ox: Tức mp qua hai điểm O(0; 0; 0) A(1; 0; 0) Loại đáp án D + Kiểm tra góc nhỏ nhất: Ghi vào máy  cos −1  nhập vtpt đáp án: Đáp án A cho ỏn C cho 90 ữ ì B2 + C ÷  24,09 − B + 2C bấm CALC o , đáp án B cho 30o , đáp o Vậy chọn A Ví dụ 60 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo  x = −1 + 2t  y =1+ t z =  x y −1 z + = = −1 d 1: d2: Viết phương trình d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = cắt hai đường thẳng d1, d2 A x −7 y−2 z +6 = = −4 B 144 x − y +1 z + = = −4 GV: Nguyen Xuan Chung x −1 y − z − = = −1 −4 x − y −1 z + = = −4 C D Phân tích Ta cần loại bỏ đáp án mà “ khơng vng góc” “ khơng cắt” ( P) Bước 1: Kiểm tra đường thẳng khơng vng góc với ? Ở ta loại đáp án D d Bước 2: Kiểm tra đường thẳng cắt hai đường thẳng cho? Rõ ràng quy tốn xét vị trí tương đối phải xét 2.2 = lần thử Tuy nhiên ta rút ngắn cách thử z=3 Thay thuẫn x= vào đáp án A, suy x= z=3 d2 −35 cắt y= , −27 y= d : −1 d2 Thay trở −9 suy mâu d2 Thay vào đáp án B, suy , Thay trở suy mâu thuẫn Vậy chọn C Nhận xét Với cách làm trên, bước ta cần quan sát mẫu số được, thể vài giây; bước 2, ta nhẩm + Casio nhanh (tùy người nhé!) Tuy nhiên ví dụ sau ta khơng nên làm tương tự! Ví dụ 61 [MH_2018_BGD] Trong khơng gian với hệ tọa độ d1 : thẳng x−3 y −3 z + = = −1 −2 ( P ) : x + y + 3z − = d2 : ; Oxyz x − y +1 z − = = −3 Đường thẳng vng góc với , cho hai đường ( P) mặt , cắt d1 phẳng d2 có phương trình A x −1 y +1 z = = B x − y − z −1 = = x−3 y −3 z + = = C Phương pháp đại số D x −1 y +1 z = = Bước 1: Biểu diễn yếu tố cần giải thông qua tham số (ẩn số) Bước 2: Lập hệ phương trình từ giả thiết, yêu cầu đề Bước 3: Giải hệ phương trình, trả lời tốn (Chọn đáp án) Để nhanh kết hợp bước bước 3, nói cách khác: cho thỏa mãn dần điều kiện, khử bớt ẩn, cuối ẩn Ta tạm gọi phương pháp khử dần ẩn (dồn biến) Hướng dẫn 145 GV: Nguyen Xuan Chung Giả sử d A ( − a;3 − 2a; −2 + a ) ∈ d1 với uuu r AB Ta có d1 d2 B ( − 3b; −1 + 2b;2 + b ) ∈ d Ta có: phương với uu r nP = ( 1; 2;3) Giải ta có nên tọa độ A ( 1; −1;0 ) ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = Chọn D Ví dụ 63 [Sở GD Bắc Giang] Cho số thực thay đổi a+b+c = nên suy ra: 4 − a + b = + 3a − 9b + a − 3b −4 + 2a + 2b − a + b = = ⇔ −4 + 2a + 2b = + a − 6b a = 2, b = giao điểm uuu r AB = ( + a − 3b; −4 + 2a + 2b;4 − a + b ) a, b, c, x, y, z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 − + − + A B C D Phân tích Quan sát biểu thức ta thấy dùng bất đẳng thức Mincopki B.C.S Cách BĐT Mincopxki kết hợp B.C.S P+ 1= Biến đổi ( a + 1) P +1 ≥ Khi có: ( a + 1) ( a − x) 2 + ( b + 1) + ( c − ) + ( b + 1) + ( c − ) ≥ + ( b − y) + ( c − z) + 2 Từ (1) (2) suy Cách Bất đẳng thức B.C.S P = ( a − x) + ( b − y) + ( c − z ) ≥ 2 Ta có + ( y + 1) + ( z − ) ) −1 = − Chọn C (*) = ( + + 1) ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − )  ≥ ( x + y + z )   P≥ Từ (*) (**) suy Nhận xét ( 3− 3 146 ) (2) x + y + z ≤ ⇔ 3−( x + y + z) ≥ 3− > (1) Sử dụng bất đẳng thức B.C.S, ta ( a + b + c − x − y − z) Mặt khác ta có ( 2 ( a + b + c) = 3 P +1 ≥ ⇔ P ≥ ( x + 1) (**) = 4−2 Chọn C GV: Nguyen Xuan Chung , suy ra: Cách giải theo phương pháp đại số hoàn toàn tự luận, phù hợp với em ưa thích đại số, yêu cầu em biến đổi thật nhanh ! Kể tiêu tốn nhiều thời gian Nói vui tí: “Nhà giàu tiêu xài khơng sợ lãng phí” “thời gian cịn q vàng”, khơng nên nhé! Cịn toán – max nghiên cứu kỹ PHẦN Nhưng sau ta lại xem xét thêm: Ví dụ 64 Trong ( S ) : ( x − 2) không gian với + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 hệ tọa Oxyz độ M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( S ) A Khi mặt A = x0 + y0 + z0 cầu đạt D sử dụng bất đẳng thức B.C.S, ta có: A − = 1( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) ≤ Suy cho cho x0 + y0 + z0 giá trị nhỏ Khi −1 −2 A B C Hướng dẫn Chọn B Viết lại , −9 ≤ A − ≤ ⇔ −3 ≤ A ≤ 15 x = 1, y = z = −1 Suy ( + + ) ( x − ) , A = −3 x0 + y0 + z0 = −1 2 + ( y − 1) + ( z − 1)  =  ⇔ x − y −1 z −1 = = = −1 2 Phương pháp quỹ tích (Tập hợp điểm) Chúng ta cần định hướng (hình dung) tập hợp điểm gì, sau đó: Bước 1: Lập phương trình đường Bước 2: Tìm giao đường vừa lập Bước 3: Tính tốn trả lời tốn (Chọn đáp án) BÀI TỐN: Phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo  Biết đường thẳng ( AB) có phương phương Bước 1: Viết phương trình mp(P) chứa Bước 2: Tìm giao điểm 147 MỴ d B = ( P) Ç d ' GV: Nguyen Xuan Chung r a r r r n=é u, aù ê ë ú û Bước 3: Trả lời uur r B Î D & uD = a Oxyz Ví dụ 65 Trong khơng gian trình x y +1 z = = , cho hai đường thẳng x y −1 z −1 = = −2 d1 Đường thẳng d d2 có phương cắt hai đường thẳng x −4 y −7 z −3 ∆: = = d1 d −2 , song song với đường thẳng có phương trình x +1 y +1 z + x −1 y +1 z − = = = = −2 −2 A B x + y −1 z + x −1 y −1 z − = = = = −2 −2 C D Hướng dẫn giải uur uur uur nP = ud1 , u∆  M ( 0; −1;0 ) Mặt phẳng (P) qua có Vào MENU nhập uur   nP =  −4; ;1÷   = = −1 = 1= = = dòng đầu dòng hai ta có −8 x + y + z = −3 Phương trình mp(P): x −1 y +1 z − d: = = B ( 1; −1; ) = ( P ) ∩ d −2 Ta có nên phương trình Chọn B  Đường thẳng ( AB) qua điểm Bước 1: Viết phương trình mp(P) chứa M0 M0 & d Phương trình mp(Q) chứa M0 & d ' Bước 2: Tìm giao điểm Bước 3: Tính uuu r AB A = (Q ) Ç d giao điểm trả lời 148 GV: Nguyen Xuan Chung B = ( P) Ç d ' Ví dụ 66 Trong không gian với hệ tọa độ d1 : thẳng Oxyz , cho điểm M ( 2; −1; −6 ) hai đường x −1 y −1 z +1 x + y +1 z − = = d2 : = = −1 M , Đường thẳng qua điểm d1 d A B AB cắt hai đường thẳng , hai điểm , Độ dài đoạn thẳng A 38 B 10 C D 12 Hướng dẫn giải Vào MENU nhập dòng đầu M vào tử d1 =- =- = ) Phương trình mp(P): Trong MENU nhập dòng đầu M vào tử d2 A( 3;0;0) = (Q) Ç d1 x +11y - z = 21 = =- = ) Phương trình mp(Q): dịng hai (Thay dịng hai 2x - y + z = B ( 4;1;6) = ( P) Ç d =- = = = =8 = (Thay uuu r AB = ( 1;1;6) Þ AB = 38 Ta có nên Chọn A Nhận xét Đây phương pháp tương đối sáng, sử dụng máy tính CASIO hỗ trợ đắc lực giải toán, tiết kiệm thời gian Oxyz A(2;3;1) B (−1; 2; 0) C (1;1; −2) Ví dụ 67 Trong khơng gian hệ tọa độ , cho ba điểm , , ABC OH H Điểm trực tâm tam giác , đó, độ dài đoạn A 870 12 B 870 14 870 16 C D 870 15 Hướng dẫn giải Điểm dòng H thuộc mp hai , vào MENU nhập dòng đầu - = = =1 = - x + y - z = 17 Mặt phẳng ( ABC ) ( P) dòng ba = =- = = suy = =1 =1 = mp(ABC): chứa AH 149 vuông góc với BC GV: Nguyen Xuan Chung là: x - y - z =- Mặt phẳng ( Q) chứa BH vng góc với CA là: x + y + 3z = æ2 29 - 870 Hỗ ; ; ữ ị OH = ữ ỗ ữ ỗ ố15 15 15 ứ 15 Giải hệ ba ẩn ba mặt phẳng ta có Chọn D Lời bình Phương pháp quỹ tích dùng nhiều giải toán hệ tọa độ Oxyz, tập hợp điểm (điểm) cần tìm giao đường khác Phương pháp véc tơ Véc tơ tọa độ sở để xây dựng hình học không gian Oxyz, phương pháp véc tơ dùng nhiều nhất, nhiên tương đối ngắn gọn súc tích: Bước 1: Chuyển đổi yếu tố hình học sang véc tơ; sử dụng tính chất hình học số hình đặc biệt; phép suy ngược từ phương trình véc tơ (Nếu cần) Bước 2: Tìm mối quan hệ biến đổi cần thiết Bước 3: Tính tốn trả lời tốn (Chọn đáp án) Oxyz A(1;1;1) B (5;1; −2) C (7;9;1) ABC Ví dụ 68 Trong không gian , cho tam giác , biết , , AD A Tính độ dài phân giác góc A 74 B 74 C 74 D 74 Hướng dẫn giải Tính tỉ số DB AB 42 + 02 + (- 3) = = = DC AC 62 + 82 + 02 Khi điểm uuu r uuu r uuu r uuur r uuu r AB + AC DB + DC = Û AD = cho uuu r æ 14 - ö 74 AD = ỗ ; ; ữ ị AD = ữ ỗ ữ ç è3 3 ø Chú ý Khi tính độ dài, tọa độ nhẩm được! 150 D thuộc đoạn Suy BC uuu r uuu r AB, AC tính rồi, nên GV: Nguyen Xuan Chung uuu r AD Ví dụ 69 [MH_2019_BGD] ( P) : x + y + z − = Trong không d: đường thẳng Oxyz , gian x y +1 z − = = −1 cho mặt Hình chiếu phẳng d ( P) có phương trình x +1 y +1 z +1 = = −1 −4 A x −1 y −1 z −1 = = −5 C B D x −1 y −1 z −1 = = −2 −1 x −1 y + z + = = 1 Hướng dẫn giải ur u' Gọi hình chiếu suy ra: rr n.u t = r2 = n Thay trở về: r u ( P) , ta có: ur r r u ' + t.n = u ur r r u ' = u - n = ( 1;2;- 1) Nhân hai v vi ổ2 2 ữ ỗ ; ; ữ = ( 1;4; - 5) ỗ ỗ ố3 3 ÷ ø r n , M ( 1;1;1) = d Ç ( P ) Tìm Chọn C Lưu ý Ta sử dụng CASIO sau (nhất số không đẹp): Ghi Ghi x+y +z CALC nhập x- M : y- M : z- M Ví dụ 70 [Đề_2021_BGD] d: x y z −1 = = −1 = =- == bấm Trong mặt phẳng === khơng t= STO M ( ta có gán vào phím M) ur ỉ - 5ư u ' =ỗ ; ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố3 3 ø gian Oxyz ( P) : x + y − z + = , cho đường thẳng Hình chiếu vng góc ( P) đường thẳng có phương trình: x y z −1 x y z +1 x y z +1 = = = = = = −2 14 −2 A B C d Hướng dẫn giải 151 GV: Nguyen Xuan Chung D x y z −1 = = 14 Ghi Ghi D) x + y - 2z CALC nhập x - M : y - M : z + 2M Điểm =- = == bấm === t= STO M ( ta có - gán vào phím M) ur ỉ 14 u ' =ỗ ; ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố9 9ứ (Cú ỏp ỏn B, M ( 0;0; - 1) Ï ( P ) , loại đáp án B Chọn D ………………………………………………………… PHÂN TÍCH MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC A Khái niệm véc tơ “Véc tơ đoạn thẳng có hướng” Nếu đoạn thẳng AB bị “thủng lỗ” hay thiếu vài điểm hai điểm A B uuu r AB khơng có đoạn thẳng AB, khơng có véc tơ Đề xuất: Nếu gọi O điểm đầu (điểm gốc) A điểm cuối (điểm ngọn) ta có véc tơ, ký hiệu uur OA uur OA Hướng véc tơ từ O đến A theo đường thẳng chứa hai điểm O, A (Nhằm phân biệt với cung định hướng) Nhận xét Định nghĩa theo cách đề xuất dài hoàn toàn dễ hiểu phù hợp với toán học cao cấp toán học đại, chẳng hạn ma trận hay đa thức xem véc tơ Theo đ/n thì: véc tơ khơng có liên quan điểm hai điểm O A Để đ/n độ dài ta đ/n khoảng cách hai điểm O A; B Khái niệm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng “Véc tơ góc với ( a) nghĩa cho r n r r n¹ đgl VTPT mặt phẳng ( a) ” Như lấy quan hệ Nếu d ( a) “ Cho véc tơ r n r r n¹ , mặt phẳng với giá ” Khi ta cịn nói Tình huống: 152 d (giá) ( a) vng để định khơng vng góc VTPT khơng định nghĩa Nói cách khác: VTPT chạy theo Đề xuất: giá r n ( a) ( a) ( a) phụ thuộc vào đgl có VTPT nhận r n r n làm VTPT GV: Nguyen Xuan Chung ( a) ( a) vng góc Cho trước đó: ( a) r n ( a) , giá r n khơng vng góc với có vơ số VTPT khác nhau, khơng phải r n ; ngược lại VTPT vô số mặt phẳng khác nhau, Như thế: Véc tơ pháp tuyến r r n¹ ( a) ( a) Û ( a) ^ d r n r n M0 Hoàn toàn phù hợp với nhận xét: xác định biết điểm ………………………………………………………………… CHÚC MỌI NGƯỜI THÀNH CƠNG! 153 Khi ln tồn tự thân (nội – nội hàm) cho trước rồi, cịn trở thành VTPT ( a) ( a) GV: Nguyen Xuan Chung