Phuong phap giai va bai tap ve cach tim thiet dien lien quan den vuong goc co dap an (1)

DẠNG CÁCH TÌM THIẾT DIỆN LIÊN QUAN ĐẾN VNG GÓC Phương pháp: Để xác định thiết diện mặt phẳng    qua điểm O vuông góc với đường thẳng d với hình chóp ta thực theo hai cách sau: d b O α I a Cách Tìm tất đường thẳng vng góc với d ,    song song chứa đường thẳng ta chuyển dạng thiết diện song song biết ( dạng 2, §2 chương II) Cách Ta dựng mặt phẳng    sau: Dựng hai đường thẳng a , b cắt vng góc với d có đường thẳng qua O ,    mặt phẳng mp  a, b  Câu 130: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA   ABC  Gọi  P  mặt phẳng qua B vng góc với SC Thiết diện  P  hình chóp S ABC là: A Hình thang vuông B Tam giác C Tam giác cân Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm AC , kẻ IH  SC Ta có BI  AC, BI  SA  BI  SC D Tam giác vng Do SC   BIH  hay thiết diện tam giác BIH Mà BI   SAC  nên BI  IH hay thiết diện tam giác vuông Chọn D Câu 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a 12 , gọi P mặt phẳng qua B vng góc với AD Thiết diện P hình chóp có diện tích A 36 B 40 C 36 D 36 Hướng dẫn giải: Thiết diện tam giác BCE , với E trung điểm AD Gọi F trung điểm BC Trang Ta có BE CE 12 3; EF BE BF Diện tích thiết diện là: S EF BC 36 Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , cạnh bên SA   ABC  Mặt phẳng  P qua trung điểm M AB vng góc với SB cắt AC, SC, SB N , P, Q Tứ giác MNPQ hình ? A Hình thang vng B Hình thang cân Hướng dẫn giải:  AB  BC  BC  SB Ta có:   SA  BC   BC  SB   P  / / BC 1 Vậy    P   SB Mà  P    ABC   MN   C Hình bình hành D Hình chữ nhật Từ 1 ;    MN / / BC Tương tự ta có PQ / / BC; PN / / SA Mà SA  BC  PN  NM Vậy thiết diện hình thang MNPQ vng N Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, O trung điểm đường cao AH tam giác ABC, SO vng góc với đáy Gọi I điểm tùy ý OH (không trùng với O H ) mặt phẳng  P  qua I vng góc với OH Thiết diện  P  hình chóp S ABC hình gì? A Hình thang cân B Hình thang vng C Hình bình hành D Tam giác vuông Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( P) vuông góc với OH nên ( P) song song với SO Suy ( P) cắt (SAH ) theo giao tuyến đường thẳng qua I song song với SO cắt SH K Từ giả thiết suy ( P) song song BC , ( P) cắt ( ABC ),(SBC ) đường thẳng qua I K song song với BC cắt AB, AC, SB, SC M , N , Q, P Do thiết diện tứ giác MNPQ Ta có MN PQ cùng song song BC suy I trung điểm MN K trung điểm PQ , lại có tam giác ABC tam giác SBC cân S suy IK vng góc với MN PQ dó MNPQ hình thang cân Chọn đáp án A Trang Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA  SB  SC  b ( a  b ) Gọi G trọng tâm ABC Xét mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC điểm C1 nằm S C Diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P  A S  a 3b  a 4b B S  a 3b  a 2b C S  a 3b  a 2b D S  a 3b  a 4b Hướng dẫn giải: Kẻ AI  SC   AIB   SC Thiết diện tam giác AIB  a  b2  b2  a 4b  a Ta có AI  AC sin ACS  a  cos ACS  a    2ab   2b Gọi J trung điểm AB Dễ thất tam giác AIB cân I , suy IJ  AB a IJ  AI  AJ  3b2  a 2b Do đó: a 3b  a AB.IJ  4b Chọn A S Câu 5: Tam giác ABC có BC  2a , đường cao AD  a Trên đường thẳng vng góc với  ABC  A , lấy điểm S cho SA  a Gọi E , F trung điểm SB SC Diện tích tam giác AEF bằng? 3 A B C a D a a a 2 Hướng dẫn giải: Do AD  BC, SA  BC  BC   SAD   BC  AH  EF  AH EF AH 1 Mà EF  BC  a Do H trung điểm SD  AH  a  SAEF  a 2  SAEF  Câu 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh Gọi P mặt phẳng qua A vng góc với BC Thiết diện hình chóp S ABC cắt P có diện tích bằng? 2a, SA Trang ABC , SA a 3a C a Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC BC 3a 2a D A Hiển nhiên AM ABC Mà SA a BC B AM SA Từ suy BC SAM P SAM Khi thiết diện hình chóp S ABC cắt P SAM SAM vng A nên 1a S SAM SA AM a 2 Chọn đáp án C 3a Câu 7: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA   ABC  , SA  a Gọi  P  mặt phẳng qua S vng góc với BC Thiết diện  P  hình chóp S ABC có diện tích ? a2 a2 a2 A B C D a Hướng dẫn giải: Kẻ AE  BC, SA  BC  BC   SAE    P  Thiết diện mặt phẳng  P  hình chóp S ABC tam giác SAE có diện tích : SSAE 1 a2  SA AE  a.a  2 M a P mặt phẳng qua M vng góc với BC Thiết diện Câu 8: Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC SBC hai tam giác cạnh a, SA điểm AB cho AM b b a P tứ diện SABC có diện tích bằng? 3  a b  A .   a  Hướng dẫn giải: Trang  a b  B .   a  3  a b  C   16  a  3  a b  D    a  Gọi N trung điểm BC SB SC BC SN BC AB AC BC AN Theo BC P Kẻ MI / / AN , MK / / SA M SAN P P / / SAN Thiết diện P tứ diện SABC KMI ABC SBC hai tam giác cạnh a AN SM a SA SAN tam giác cạnh a 3 a b 3 a b KMI tam giác cạnh S KMI 2 a 16 a Chọn đáp án C Câu 9: Cho tứ diện ABCD cạnh a  12 , AP đường cao tam giác ACD Mặt phẳng  P  qua B vng góc với AP cắt mp  ACD  theo đoạn giao tuyến có độ dài ? A B C Hướng dẫn giải: Ta có : CD  AP, CD  BP  CD   APB   BG  CD D Tương tự : AD  CM , AD  BM  AD   BCM   AD  BG Suy : BG   ABC   BG  AP Kẻ KL qua trọng tâm G ACD song song với CD   P  AP  KL mặt phẳng  BKL    ACD    BKL   KL  CD  Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G trọng tâm ACD G tâm ACD BG  ( ACD) Trong mp( ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC, AD K , L Ta có Vậy ( BKL)  ( ACD), AP  KL  AP  ( BKL) ( P)  ( BKL)   ACD    BKL   KL  CD  Câu 10: Cho hình chóp S ABCD , với đáy ABCD hình thang vuông A , đáy lớn AD  , BC  , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  Gọi M trung điểm AB  P  mặt phẳng qua M vng góc với AB Thiết diện  P  hình chóp có diện tích bằng? A 10 Hướng dẫn giải: Trang B 20 C 15 D 16 Do  P   AB   P  SA Gọi I trung điểm SB  MI SA  MI   P  Gọi N trung điểm CD  MN  AB  MN   P  Gọi K trung điểm SC  IK BC , mà MN BC  MN IK  IK   P  Vậy thiết diện  P  hình chóp hình thang MNKI vng M Ta có: MI đường trung bình tam giác SAB  MI  SA  IK đường trung bình tam giác SBC  IK  BC  MN đường trung bình hình thang ABCD  MN   AD  BC   IK  MN 3 Khi SMNKI  MI   15 2 Vậy chọn đáp án C Câu 11: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Kẻ OH   ABC  a) Khẳng định nhất? H trực tâm ABC A H trực tâm ABC B H tâm đường tròn nội tiếp ABC C H trọng tâm ABC D H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC b) ABC tam giác gì? A ABC tam giác nhọn B ABC tam giác tù ABC C tam giác vuông D ABC tam giác cân c) Khẳng định sau nhất? S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 1 1 A S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA B S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 2 2 C SABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA D S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA d) Tìm tập hợp điểm M không gian cho MA2  MB2  MC  3MO2 A M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG , I điểm cách điểm O, A, B, C G trọng tâm tam giác ABC B M thuộc mặt phẳng qua I song song với OG ,trong I điểm cách điểm O, A, B, C trọng tâm tam giác ABC C M thuộc mặt phẳng qua O vng góc với OG , G trọng tâm tam giác ABC D M thuộc mặt phẳng qua O song song với OG , G trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải: OA  OB  a) Ta có   OA   OBC   OA  BC OA  OC  Trang Lại có OH   ABC   OH  BC A BC  OA  Vậy   BC   OAH  BC  OH  1  BC  AH AC  OB    AC   OBH   BH  AC   AC  OH  Từ 1 ,   suy H trực tâm tam giác ABC b) Đặt OA  a, OB  b, OC  c H Tương tự C O I Ta có BC  OB2  OC  b2  c B Tương tự AC  a  c2 , AB  a  b2 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có 2 2 2 AB  AC  BC  a  b   (a  c )   b  c  cos A   AB AC  a  b  (a  b )  a2 a  b  (a  b ) 2  suy A nhọn Tương tự góc B, C nhọn 1  AI BC   OI  OA2  OB  OC  c) Ta có S ABC 4 1  OI BC  OA2OB  OA2OC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 4 d) Gọi I điểm cách điểm O, A, B, C G trọng tâm tam giác ABC ta có : MA2  MB2  MC  3MO2        3(MI  IO)   IA  IB  IC  IM  3IO.MI  3IG.MI  3IO.IM  OGMI   MI  OG ( 2  MI  IA  MI  IB  MI  IC 2 IA  IB  IC  3IG ) Vậy M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Gọi I , K trung điểm cạnh AB SC Tính IK a 2 Hướng dẫn giải: A IK  B IK  a C IK  a D IK  3a 2 S a a Ta có IS  AI  AS     a  Tương tự 2 a suy IS  ID  IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD CD  AD  CD   SAD  Mặt khác  CD  SA ID  IC  K A D Trang B I C  CD  SD  SCD vuông D , lại có K trung điểm SC nên K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD , KI   SCD  1 Ta có IK  ID  DK  ID  SC  ID   SA2  AC  4 2 5a a a   a  2a    IK  4 2 Câu 13: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD  lấy điểm S Biết góc SA  ABCD  có số đo 45 Tính độ dài SO A SO  a B SO  a C SO  a D SO  a Hướng dẫn giải: Chọn B Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO  45 Do SAO vng cân O nên SO  AO  a Câu 14: Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng  ABC  Tìm Giá trị nhỏ M    cot    cot    cot   A 64 B Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu D  ABC  D 64 C Khi H trực tâm tam giác ABC Và  DA,  ABC     DA, AH   DAH   Đặt DA  a, DB  b, DC  c Gọi I  AH  BC DI đường cao tam giác DBC nên DB.DC bc DI   BC b  c2 A H 2 D DA a  b  c  cot    DI b2c I a  b2  c  2a 4a Vậy   cot     2  b2c bc bc B 4a 2  cot   1 bc 4b 4c Tương tự  cot      cot    3 ac ab Nhân theo vế BĐT 1 ,   ,  3 ta   cot    cot    cot    64 ( đpcm) Trang C Câu 15: Trong mặt phẳng   cho đường trịn đường kính cố định BC M điểm di động đường tròn Trên đường thẳng d vng góc với   B lấy điểm A a) Khẳng định sau đúng? A mặt tứ diện ABMC tam giác vuông B mặt tứ diện ABMC tam giác vuông cân C tam giác ACM vuông A D tam giác ACM vuông cân M b) Gọi H , K hình chiếu B AM AC Khẳng định sau sai? A AC   BHK  B BH  AC C A, B D A, B sai c) Tìm tập hợp điểm H M di động A H thuộc đường trịn đường kính BK B H thuộc đường trịn đường kính AC C H thuộc đường trịn đường kính BM D H thuộc đường trịn đường kính AB d) Tìm vị trí M để đoạn AM lớn A M  C B C M  H D e) Tìm vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn A M giao điểm đường trịn đường kính BC BA.BC 2 BA2  BC B M giao điểm đường trịn đường kính BC BA.BC 2 BA2  BC C M giao điểm đường trịn đường kính BC BA.BC BA2  BC D M giao điểm đường trịn đường kính BC BA.BC M B M K với đường trịn tâm B bán kính với đường trịn tâm B bán kính với đường trịn tâm B bán kính với đường trịn tâm B bán kính BA2  BC Hướng dẫn giải:  AB  BM a) Ta có AB      suy tam giác ABM  AB  BC ABC vuông B  MC  MB  MC   ABM  Tiếp theo ta có   MC  AB  MC  AM hay tam giác ACM vuông M  BH  AM  BH   ACM  b) Ta có   BH  MC  BH  AC AC  BH  Vậy   AC   BHK  AC  BK  Trang A K H C B M c) Dễ thấy BK cố định BHK  900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK Từ ta có tập hợp điểm M đường trịn đường kính BK d) MA2  AB2  BM mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn  BM  BC  M  C BH  HK BK S  BH HK   e) Ta có BHK khơng đổi nên 4 BK BK max S BHK   BH  HK , lúc HBK vuông cân H nên BH  1 1 1   ;   Ta có 2 2 BH BA BM BK AB BC  1 1       nên    2 2 BA BM BA BC  BA BC  BM BA.BC  MB  BA2  BC BA.BC BK   MB   M giao điểm đường trịn đường kính Vậy max S BHK  BA2  BC BA.BC BC với đường tròn tâm B bán kính BA2  BC Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, BC  a , mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD  a a) Tính SA A SA  a B SA  2a C SA  3a D SA  4a AC b) Đường thẳng qua A vuông góc với cắt CB, CD I , J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K , L giao điểm K , L SB, SD với  HIJ  Khẳng định sau nhất? A AK   SBC  , B AL   SCD  C AK  SC D Cả A, B, C Hướng dẫn giải: a) SBC vuông B  BC  SB mà BC  AD  BC   SAB   BC  SA S Tương tự ta có SA  CD nên SA   ABCD  Ta có SC  DS  DC  a  SA  SB  AB  a Vậy SA  a  IJ  AC  IJ   SAC   IJ  SC b) Do   IJ  SA Lại có AH  SC   HIJ   SC  AK  SC Dế thấy BC   SAB   BC  AK Trang 10  2 K J 1 B I L H  SB  SC  BC  a 2 A D C Từ 1 ,   suy AK   SBC  Lập luận tương tự ta có AL   SCD  Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  a, SA  a SA   ABC  Gọi M điểm cạnh AB AM  x   x  a  , mặt phẳng   qua M vuông góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với   tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng C hình thang b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn 3a a a A x  B x  C x  2 Hướng dẫn giải:    AB  SA   Ta có   SA  AB  M   SAB      Do  SA   SAB       SAB   MN SA Tương tự   SA       AB  BC    BC  AB    M      ABC    BC   ABC    BC        ABC   MQ BC , Q  AC D hình bình hành D x  a S P N C A Q M B  N   SBC           SBC   NP BC , P  SC  BC   SBC    BC   Thiết diện tứ giác MNPQ b) Ta có MN SA, PQ SA  MN PQ MQ BC, NP BC  MQ NP nên MNPQ hình bình hành  MN SA  Mặt khác  NP BC  MN  NP Vậy MNPQ hình chữ nhật  SA  BC  MN MB MB.SA  a  x  a   MN    a  x SA AB AB a a2  a a2  MN MQ   a  x  x  3[   x   ]   2 b) Ta có MQ  AM  x , SMNPQ max S MNPQ  Trang 11 a2 a x  Câu 18: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD  lấy điểm S Biết góc SA  ABCD  có số đo 45 Tính độ dài SO A SO  a B SO  a C SO  a D SO  a Hướng dẫn giải: Chọn B Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO  45 Do SAO vng cân O nên SO  AO  a Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB  a, BC  b, CD  c Độ dài AD : A a  b2  c Hướng dẫn giải:: B a  b2  c C a  b2  c D a  b  c Ta có: BC  CD  BD  BC  CD2  b2  c  AB  BC  AB   BCD   AB  BD Mặt khác:   AB  CD AD  AB2  BD2  a  b2  c2 Vậy chọn đáp án A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng   qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện a2 a2 a2 4a 2 A S  B S  C S  D S  3 Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu A SC K    Trong  SAC  gọi I  SO  AK BD  SA    BD   SAC  BD  AC   BD  SC , mặt khác    SC nên BD Ta có Trang 12    I      SBD   Vậy  BD   SBD    BD        SBD   HL BD, H  SD, L  SB Thiết diện tứ giác AHKL  HL BD  HL  AK  S AHKL  AH KL b) Do   BD  AK S K L I H B A O Ta có SA  AC  a  SAC cân tại., mà AK  SC nên K SC 2a C D  a trung điểm SC  AK  2 HL SH SI 2 2a HL BD      HL  BD  BD SD SO 3 2a a  Vậy S AHKL  a 3 Câu 21: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SO  2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA ' tam giác ABC Xét mặt phẳng   qua M vng góc với AA ' Đặt AM  x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt   Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn a 3a 3a 3a A x  B x  C x  D x  8 Hướng dẫn giải: S Vì S ABC hình chóp nên SO   ABC  ( O tâm tam giác ABC ).Do SO  AA1 mà   AA1  SO K   Tương tự ta có BC   Trường hợp x  thiết diện điểm A A a Trường hợp  x  M thuộc đoạn AO  M  A Ta có :  M   ABC           ABC   IJ BC , I  AB, J  AC  BC   ABC    BC    M      SAA1   Tương tự  SO   SAA1       SAA1   MK SO, K  SA   SO   Thiết diện tam giác KIJ Trang 13 C J I M O A1 B a a x M thuộc đoạn OA  M  0; M  A Tương tự trường hợp ta có:  M   ABC       BC   ABC    BC        ABC   IJ BC , I  AB, J  AC Trường hợp S F A J O I  M      SAA1        SAA1   MN SO, N  SA1  SO   SAA1    SO    N      SBC        SBC   EF IJ , N  EF  BC   SBC    BC   Thiết diện tứ giác IJEF a Trường hợp x  thiết diện đoạn BC b) Xét trường hợp: a x   Std  , x   Std  a 0 x , S IJK  IJ MK IJ AM x 2x    IJ  Ta có IJ BC  BC AA1 a 3 MK AM x    MK  x Tương tự SO AO a 3 B 2x x  x a a x , dễ thây IJEF hình thang nên S IJEF   IJ  EF  MN 3 a x EF SN OM x  IJ      EF  x  a , BC SA1 OA1 a Vậy S IJK   Trang 14 N E  M A1 C a x MN MA1    MN  3a  x SO OA1 a Vậy S IJEF  x  3a 3a  x      Xét trường hợp ta thấy Std lớn trường hợp a a 3a x max S IJEF  3a Câu 22: Cho tam giác ABC C có cạnh huyền nằm mặt phẳng  P  cạnh góc vng tạo x với  P  góc  ,  Giả sử  độ lớn góc đường cao CK với  P  Khẳng định sau nhất? A sin   2sin   2sin  sin   sin  C sin   Hướng dẫn giải: B sin   sin   sin  D sin   sin   sin  Kẻ CH   P  CKH góc CK  P  dễ thấy CA,  P  CAH   , CB,  P  CBH   h h , CB  sin  sin  2 h h AB  CA2  CB   2 sin  sin  Đặt CH  h , ta có CA  C  1   h2     sin  sin   Xét tam giác ABC có CK AB  CACB A h h sin  sin  CA.CB  CK   AB  h sin   sin  P H K B  sin   sin     h  sin  sin   CH  sin   sin  CK Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O SO   ABCD  , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng  ABCD   SBC  góc Gọi Ta có sin CKH  H hình chiếu A  SBC  a)Tính SA HB  Trang 15 a A a B a C a D a b) Tính góc đường thẳng SA với  ABCD  A   arctan B   arctan C   arctan D   arctan Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy  SA,  ABCD    SAO   nên SO  SA cos  1 OI  BC  BC   SIO  Gọi I trung điểm BC ta có   SO  BC Kẻ OK  SI OK  BC nên OK   SBC  S Kẻ At OK cắt CK H , ta có  AH CK  AH   SBC  nên  SA,  SBC    SAH    CK   SBC  AH  SA cos  D  2 Từ 1 ,   ta có AH  SO Khi BH  K H I O a tam giác vng HAB có A C B a a AH  AB  HB  a     2 2 a 3 a 2 a a  SO  AH   SA  SO  OA2        2 2     a SO 3      arctan b) tan   OA a 2 2 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  , SC  a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng  ABCD   SAB    a) Tính SA A SA  a sin  C SA  a tan  B SA  a cos  D SA  2a sin  b) Tính AB A a cos     cos     C 3a cos     cos     B 2a cos     cos     Hướng dẫn giải: Trang 16 D a cos     cos     a) Do SA   ABCD    SA,  ABCD   S  SAC    BC  AB  BC   SAB  Tương tự   BC  SA   SC ,  SAB    SBC   β A SA  SC sin   a sin  b) SB  SC sin   a sin  AB  SB2  SA2  a sin   a sin  a B α  cos 2  cos 2  2 D C  a cos     cos     Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi A, B, C ba góc tương ứng tam giác ABC Đặt   AOH ,   BOH ,   COH Khẳng định sau nhất? sin 2 sin 2 sin 2   sin A sin B sin 2C sin  sin  sin    D sin A sin B sin 2C sin  sin  sin    sin A sin B sin C sin 2 sin 2 sin 2   C sin A sin B sin C Hướng dẫn giải: ( HS tự giải) A B Câu 26: Cho tứ diện ABCD có BDC  90 Hình chiếu H D mặt phẳng ABC trực tâm tam giác ABC a) Tính CDA A CDA  600 B CDA  900 C CDA  450 b)Khẳng định sau A  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA C  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA D CDA  300 B  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA D  DA2  DB  DC    AB  BC  CA Hướng dẫn giải:  BC  DA 1 Tương tự ta có  BDH   AC  DB  AC ,  DB  DC  DB   ACD    DB  AC  2 Từ 1 ,   suy DA   BCD   DA  DC CDA  900 Trang 17 D  BC  DH  BC   ADH  a) Vì   BC  AH  DB  DA A B H N C M b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA, DB, DC đơi vng góc Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có  AB  BC  CA   AB  BC  CA2   AB  DA2  DB  Mà  BC  DB  DC nên  AB  BC  CA   DA2  DB  DC  CA2  DA2  DC  Đẳng thức xảy AB  BC  CA  ABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm đáy ta D ABC hình chóp đỉnh D Câu 27: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC MA2 MB MC   OA2 OB OC B T  a) Tìm giá trị nhỏ T  A T  D T  C T  b) Gọi H trực tâm tam giác ABC  ,  ,  góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA, OB, OC Tìm giá trị lớn A  cot  cot  cot  A max A  c) Tìm GTNN S  B max A  C max A  cos   cos  cos   cos  cos   cos    cos2  cos2  cos  A S  B S  Hướng dẫn giải: a) Gọi N  AM  BC , kẻ MM1 OA ta có D max A  C S  D S  O OA   OBC    MM1   OBC     MM1 OA A1 kẻ MA1  OA, A1  OA Khi AM  AA12  MA12  AA12  MO2  OA12  OM   AA1  OA1  AA1  OA1   OM  OA  OA  2OA1   OM  OA2  2OAOA 2OA1 AM OM  1 Suy 1 2 OA OA OA Tương tự gọi B1 , C1 điểm tương tự A1 ta có A M1 B M N C 2OB1 MB OM  1  2 2 OB OB OB 2OC1 MC OM  1  3 2 OC OC OC 1   OA1 OB1 OC1      2   Từ 1 ,   ,  3 ta có T  OM  3 2   OA OB OC   OA OB OC  Gọi H trực tâm tam giác ABC thì ta biết kết quen thuộc Trang 18 1 1 OM  OA OB OC1     nên T   2   3 2 2 OA OB OC OH OH  OA OB OC  OA1 NM SMBC   Mặt khác OA NA S ABC OB1 SMAC OC1 SMAB OA1 OB1 OC1  ,    1 Tương tự nên OB S ABC OC S ABC OA OB OC OM   OM  OH OH Vậy T  M  H Do T  Cách Đặt OA  a, OB  b, OC  c Do A, B, C , M đồng phẳng nên tồn x, y, z cho OM  xOA  yOB  zOC  x  y  z  1 Ta có AM  OM  OA   x  1 a  b  c , bình phương vô hướng ta MA2 y 2b z c 2  x      OA2 a2 a 2 2 2 2 2 MB xa z c MC xa yb 2    y  1  ,     z  1 Tương tự 2 OB b b OC c c  1 1 Vì T       a x  b2 y  c z   a b c  AM   x  1 a  y 2b2  z 2c  2 1  1   ax  by  cz    ( Theo Cauchy-Schwarz) b c  a Vậy T  b) Dễ thấy   AOH ,   BOH ,   COH 2 1 1  OH   OH   OH      Ta có      1 2 2 OA OB OC OH  OA   OB   OC   cos2   cos2   cos2   1 1 cot x  cos x   Lại có  tan x  * cos2 x  tan x  cot x Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị  ,  ,  kết hợp với 1 thu cot  cot  cot    1  cot   cot   cot  Đặt x  cot  , y  cot  , z  cot   x, y, z   tốn trỏ thành Cho x, y, z  thỏa Ta có  x y z    Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z x y z x y z     1   2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 2 1 x yz  2 1  y 1  z  Tương tự ta có : Trang 19 yz 1  y 1  z  2 1 y xz 2  3 1 z 1  x 1  z  xy 1  x 1  y  Nhân theo vế BĐT   ,  3  ta xyz  c) Tương tự câu b) ta có S  Trang 20  4  dpcm  ... thẳng OA, OB, OC Tìm giá trị lớn A  cot  cot  cot  A max A  c) Tìm GTNN S  B max A  C max A  cos   cos  cos   cos  cos   cos    cos2  cos2  cos  A S  B S  Hướng dẫn giải:...  a tan  B SA  a cos  D SA  2a sin  b) Tính AB A a cos     cos     C 3a cos     cos     B 2a cos     cos     Hướng dẫn giải: Trang 16 D a cos     cos ... * cos2 x  tan x  cot x Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị  ,  ,  kết hợp với 1 thu cot  cot  cot    1  cot   cot   cot  Đặt x  cot  , y  cot  , z  cot   x, y, z  