Phuong phap giai va bai tap ve cach chung minh cac dang thuc to hop

DẠNG 7 CÁCH CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Phương pháp Dựa vào các công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp * ! n P n * ! ( )! k n n A n k   , 1 k n  * ! !( )! k n n C k n k   , 0 k n  * ! ( 1[.]

DẠNG CÁCH CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Phương pháp: Dựa vào cơng thức hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp * Pn  n ! * Ank  n! , 1 k  n (n  k )! n! , 0kn k !(n  k )! * n!  n(n  1)(n  2) (n  k  1).(n  k)! Các ví dụ Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk33 với n  *,0  k  n  * Cnk  Annk2  Annk1  k Ann k với n, k  *, k  Lời giải Ta có: Cnk  Cnk 1  n! n!  (n  k )! k ! ( k  1)!(n  k  1)!  n! 1    ( k  1)!(n  k)!  k n  k    n! n1 ( k  1)!(n  k)! k(n  k  1) (n  1)!  Cnk1 k !(n   k )! Áp dụng kết ta có: VT  (Cnk  Cnk 1 )  2(Cnk 1  Cnk 2 )  (Cnk 2  Cnk 3 )   Cnk11  2Cnk12  Cnk13  (Cnk11  Cnk12 )  (Cnk12  Cnk13 )  Cnk22  Cnk23  Cnk33  VP (n  k )! (n  k)! (n  k)!     1  ( k  2)! ( k  1)! ( k  2)!  k   (n  k )! k (n  k )!   k2  k Ann k ( k  2)! k  k! Ta có: Annk2  Annk1  Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: Cnk  4Cnk 1  6Cnk 2  4Cnk 3  Cnk 4  Cnk4 với  k  n Pk An21 An2 An2  nk ! An5 Cn0Cnk  Cn1Cnk11   CnkCn0k  2k Cnk  k 1 n Ta có: VT  C  C k n   C k 1 n k 2 n C Lời giải:  Cnk 2  Cnk 3  Cnk 3  Cnk 4       Cnk1  3Cnk11  3Cnk12  Cnk13  Cnk4 Ta có: VT  k ! (n  1)! (n  3)! (n  5)! (n  5)!  k!  nk ! An5 (n  1)! (n  1)! (n  3)! (n  1)! Ta có: CnmCnkmm  n! (n  m)! n!  m !(n  m)! ( k  m)!(n  k )! m !( k  m)!(n  k )! k! n!  Ckm Cnk m !( k  m)! k !(n  k )!  Suy ra: k k k m0 m0 m0  CnmCnkmm   CkmCnk  Cnk  Ckm  2k Cnk Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: Ank  Ank1  k.Ank11 với n, k  *, n  2, k  n  n1  1   k  k 1   k với n, k  *, k  n n   Cn 1 Cn 1  Cn Lời giải: n! (n  1)!  Ta có: Ank  Ank1  (n  k )! (n   k)!  Ta có: (n  1)!  n  (n  1)!  1  k  kAnk11  (n  k  1)!  n  k  (n  k )! n1  1  n  k !  n   k  !  k  1 !  n  k  !  k  k 1   n   Cn  Cn   n   n  1 ! k ! n  k !  n   k    k  1 n2 n! k ! n  k !   k n! Cn  Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: n n C C n 1 n  2n     với n  *, n  n     C2nn k C2nn k  C2nn với n, k   k  n Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho n số ta có: n n n C C C n1 n  C  Cn1   Cnn1  Cnn  Cnn   2n     n     n    n  n Ta đặt ak  C2nn k C2nn k   2n  k  !  2n  k  !  ak  n! n  k ! n! n  k !   n  k  ! n  k  !       a k   n !  n  k  1 n !  n  k   !  Để chứng minh BĐT ta chứng minh ak  ak 1 , k  ,0  k  n Ta có: ak  ak 1    n  k  !  n  k  !   n  k  1 !  n  k   ! n !  n  k  ! n !  n  k  ! n !  n  k  1 n !  n  k   ! n  k 2n  k  n n (đúng)   1  1 nk n k 1 nk n k 1    a0  a1   ak  ak 1  a0  ak  C2nn k C2nn k  C2nn Ví dụ Tính tổng S  C21n1  C22n1   C2nn1 , biết số tự nhiên n thỏa mãn: 1 1 ( 1)n n Cn  Cn  Cn  Cn   Cn  2(n  1) 4024 Lời giải: 1 1 ( 1)n n C Đặt S1  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4   2(n  1) n 1 1 ( 1)n n  C  Ta có: S1   Cn0  Cn1  Cn2   2 n1 n  ( 1)k k ( 1)k k 1 Do C  C nên ta suy ra: k  n n  n 1 n 1  n1 k k  S1  ( 1)k Cnk11     ( 1) Cn1  Cn1   2(n  1) k 0 2(n  1)  k 0  2(n  1) Do giả thiết tốn  1   n  2011 2(n  1) 4024 Ta có: C2kn1  C22nn11k k  0,1,2, ,2n   C20n1  C21n1   C2nn1  C2nn11  C2nn21   C22nn11 Mặt khác: C21n1  C22n1   C22nn11  22 n1  2(C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1 )  22 n1  S  C21n1  C22n1   C2nn1  22n  C20n1  22n   24022  ... n  k  ! n  k  !       a k   n !  n  k  1 n !  n  k   !  Để chứng minh BĐT ta chứng minh ak  ak 1 , k  ,0  k  n Ta có: ak  ak 1    n  k  !  n  k  !   n...  1 ! k ! n  k !  n   k    k  1 n2 n! k ! n  k !   k n! Cn  Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: n n C C n 1 n  2n     với n  *, n  n     C2nn k C2nn k  C2nn... !(n  k )!  Suy ra: k k k m0 m0 m0  CnmCnkmm   CkmCnk  Cnk  Ckm  2k Cnk Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: Ank  Ank1  k.Ank11 với n, k  *, n  2, k  n  n1  1   k  k 1 