Phuong phap giai va bai tap ve cach tinh goc giua hai duong thang (1)

DẠNG CÁCH TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng d1 , d2 khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d2 cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) d1 d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d2' song song ( trịng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1' , d2' góc hai đường thẳng d1 , d2 Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác b2  c  a cos A  2bc Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d2 xác định cos  d1 , d2   u1 u2 u1 u2 Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b, c không đồng phẳng mà tính độ dài góc chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a , b, c thực tính tốn a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , IJ  A Chọn C Gọi M , N trung điểm AC , BC Ta có: J 1 a  M  MI  NI  AB  CD   MINJ hình thoi 2  O B  MI // AB // CD // NI N I Gọi O giao điểm MN IJ C Ta có: MIN  2MIO a IO    MIO  30  MIN  60 Xét MIO vng O , ta có: cos MIO  a MI 2 Mà:  AB, CD    IM , IN   MIN  60 Câu 2: Cho hình hộp ABCD ABCD Giả sử tam giác ABC ADC có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC AD góc sau đây? A BDB B ABC C DBB D A' D DAC Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: AC // AC (tính chất hình hộp)   AC, AD    AC, AD   DAC (do giả thiết cho DAC nhọn) D' B' C' A D B C Câu 3: Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: A Chọn D Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  Gọi E trung điểm CD  BE  CD (do BCD đều) Do AH   BCD   AH  CD B D H CD  BE  CD   ABE   CD  AB   AB, CD   90 Ta có:  C CD  AH Câu 17 [1H3-2] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  Hướng dẫn giải: A B C D E A Chọn A Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  E Gọi E trung điểm AC  ME // AB   AB, DM    ME, MD   B  Ta có: cos  AB, DM   cos  ME, MD   cos ME, MD  cos EMD D H M C Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính a độ dài cạnh MED : ME  a , ED  MD  2 2 a a 3 a 3       ME  MD  ED       Xét MED , ta có: cos EMD    2ME.MD a a 2 3 Từ đó: cos  AB, DM    6 Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  A 30 B 45 C 60 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình vng ABCD  O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2)  SO   ABCD  Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN đường trung bình SAD )   MN , SC    SA, SC  D 90 S N A B M O D 2 2   SA  SC  a  a  2a Xét SAC , ta có:   SAC vng S  SA  SC AC  AD  a     SA, SC    MN , SC   90 C Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc  IJ , CD  A 30 B 45 C 60 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi O tâm hình vng ABCD  O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) D 90 S I A D B O J C Từ (1) (2)  SO   ABCD  Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ đường trung bình SAB )   IJ , CD    SB, AB  Mặt khác, ta lại có SAB đều, SBA  60   SB, AB   60   IJ , CD   60 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB  CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD , AD Góc  IE, JF  A 30 Hướng dẫn giải: Chọn D B 45 C 60 D 90 A  IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có:  (tính chất đường trung bình  JE // IF // CD tam giác) Từ suy tứ giác IJEF hình bình hành 1 Mặt khác: AB  CD  IJ  AB  JE  CD  ABCD hình 2 thoi  IE  JF (tính chất hai đường chéo hình thoi)   IE, JF   90 F I B E J C Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ? A 45 B 90 C 120 D 60 Hướng dẫn giải: Chọn B AB  AE    AB  DH   AB, DH   90 AE // DH  Câu 8: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Hãy xác định góc cặp vectơ AB OO ' ? A 60 B 45 C 120 D 90 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì ABCD ABC ' D ' hình vng nên AD // BC '; AD  BC '  ADBC ' hình bình hành Mà O; O ' tâm hình vng nên O; O ' trung điểm BD AC '  OO ' đường trung bình ADBC '  OO ' // AD Mặt khác, AD  AB nên OO '  AB   OO ', AB   90o Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC  BAD  60 , CAD  90 Gọi I J 0 trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD ? A 45 B 90 C 60 D 120 Hướng dẫn giải: Chọn B D Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI  DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB ) nên CID tam giác cân I Do IJ  CD Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC ASB  BSC  CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SB AC ? A 60 B 120 C 45 D 90 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: SAB  SBC  SCA  c  g  c   AB  BC  CA Do đótam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SA  SB  SC nên hình chiếu S trùng với G Hay SG   ABC   AC  BG  AC   SBG  Ta có:   AC  SG Suy AC  SB Vậy góc cặp vectơ SB AC 900 Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC  BAD  60 , CAD  90 Gọi I J 0 trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ ? A 120 B 90 C 60 D 45 Hướng dẫn giải: Chọn B Xét tam giác ICD có J trung điểm đoạn CD Ta có: IJ  IC  ID Vì tam giác ABC có AB  AC BAC  60 Nên tam giác ABC Suy ra: CI  AB Tương tự ta có tam giác ABD nên DI  AB 1 Xét IJ AB  IC  ID AB  IC AB  ID AB  2 Suy IJ  AB Hay góc cặp vectơ AB IJ 900 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn khẳng định đúng? A AB2  AC  AD2  BC  BD2  CD2   GA2  GB  GC  GD2      B AB2  AC  AD2  BC  BD2  CD2   GA2  GB2  GC  GD2  C AB2  AC  AD2  BC  BD2  CD2   GA2  GB  GC  GD2  D AB2  AC  AD2  BC  BD2  CD2   GA2  GB2  GC  GD2  Hướng dẫn giải: Chọn B AB  AC  AD  BC  BD  CD       AG  GD    BG  GC    BG  GD   CG  GD   3DG   AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD  1  AG  GB  AG  GC  AG  3BG  3CG 2 2 2 Lại có: GA  GB  GC  GD    GA2  GB  GC  GD2    AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD   Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Góc AB CD là? A 120 B 60 C 90 D 30 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi I trung điểm AB Vì ABC ABD tam giác CI  AB Nên   DI  AB Suy AB   CID   AB  CD Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc  IJ , CD  bằng: A 90 B 45 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình thoi ABCD Ta có: OJ //CD Nên góc IJ CD góc I J OJ Xét tam giác IOJ có a a a IJ  SB  , OJ  CD  , IO  SA  2 2 2 Nên tam giác IOJ Vậy góc IJ CD góc I J OJ góc IJO  600 C 30 D 60 Câu 15: Cho hình hộp ABCD ABCD Giả sử tam giác ABC ADC có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC AD góc sau đây? A ABC B DAC  C BBD Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: AC //AC nên góc hai đường thẳng AC AD góc hai đường thẳng AC  AD góc nhọn DAC  (Vì tam giác ADC có góc nhọn D BDB Câu 16: Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A 60 B 30 C 90 D 45 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì tứ diện ABCD nên AG   BCD  CD  AG  CD   ABG   CD  AB Ta có:  CD  BG Vậy số đo góc hai đường thẳng AB CD 900 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Cắt tứ diện mặt phẳng song song với cặp cạnh đối diện tứ diện Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Thiết diện hình chữ nhật B Thiết diện hình vng C Thiết diện hình bình hành D Thiết diện hình thang Hướng dẫn giải: A Chọn A Gỉa sử thiết diện tứ giác MNPQ Ta có: MN //PQ MN  PQ nên MNPQ hình bình hành Q M Lại có AC  BD  MQ  PQ Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật B D P N C Câu 18: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC  AC AD  AD AB AB  CD , AC  BD , AD  BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: Bước 1: AB AC  AC.AD  AC.( AB  AD)   AC.DB   AC  BD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD  AD AB ta AD  BC AB AC  AD AB ta AB  CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Sai bước B Đúng C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn B Bài giải Câu 19: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC ASB  BSC  CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC AB ? A 120 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: S Chọn D   Ta có: SC AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA  SA.SB cos BSC  SC.SA.cos ASC  Vì SA  SB  SC BSC  ASC   C A Do đó: SC , AB  900 B Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  bằng: A 45 B 30 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: AC  a  AC  2a  SA2  SC  SAC vuông S Khi đó: NM SC  SA.SC   NM , SC  90   MN , SC   90   C 90 D 60 Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Chọn khẳng định sai? A Góc AC B1D1 90 C Góc AD B1C 45 Hướng dẫn giải: Chọn B  Ta có: AA1.B1D1  BB1.BD  BB1 BA  BC  BB1.BA  BB1.BC     B Góc B1D1 AA1 60 D Góc BD A1C1 90 A1  B1 C1  (vì BB1 , BA  900 BB1 , BC  900 )   Do đó: AA1 , B1D1  90   AA1 , B1D1   90 D1 A B D C Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị B1M BD1 là: A a B a Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: B1M BD1  B1B  BA  AM BA  AD  DD1   C a D  A1  B1 B.DD1  BA  AM AD  a  a  D1 a2 a2  Câu 23: Cho hình hộp ABCD ABCD có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A AC  BD B BB  BD C AB  DC Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: BB.BD  BB BA  BC  BB.BA  BB.BC   BB.BA cosBBA  cosBBC  D B1 C1 M  a A B C D BC  AD  Vì AABB ABCD hai hình thoi nên + BBA  BBC  BB.BD  suy BB không vng góc với BD + BBA  BBC  1800  cosBBA  cosBBC  BB.BD  suy BB  BD Nên đáp án B sai chưa có điều kiện góc BBA BBC Chọn B Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB EG ? A 90 B 60 C 45 D 120 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: EG //AC (do ACGE hình chữ nhật)    E F   AB, EG  AB, AC  BAC  45 H G A B D C Câu 25: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD ,  góc AC BM Chọn khẳng định đúng? A cos   B cos   Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi O trọng tâm BCD  AO   BCD  C cos   D   600 Trên đường thẳng d qua C song song BM lấy điểm N cho BMCN hình chữ nhật, từ suy ra:  AC, BM    AC, CN    ACN    a a BN  CN  2 2 2  AO  AB  BO  AB   BM   a 3  Có: CN  BM  AC  CN  AN a  cos    a ; AN  AO  ON  2 AC.CN 12 Câu 26: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC ' ON  BN  BO  C ' A Hãy xác định góc cặp vectơ AB CC ' ? A 450 B 1200 C 600 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi I trung điểm CC  CAC cân A  CC  AI (1) D 900 CBC cân B  CC  BI (2) (1),(2)   CC   AIB   CC  AB  CC  AB Kết luận: góc CC  AB 90 Câu 27: Cho a  3, b  góc a b 120 Chọn khẳng định sai khẳng đính sau? A a  b  19 B a  b  C a  2b  139 Hướng dẫn giải: Chọn A   2 2 D a  2b    Ta có: a  b  a  b  2a.b cos a, b  19 a  b  a  b  2a.b.cos a,b  19 Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG ? A 900 B 600 Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt cạnh hình lập phương a Gọi I giao trung điểm EG Qua A kẻ đường thẳng d //FI Qua I kẻ đường thẳng d //FA Suy d cắt d  J  C 450 D 1200  Từ suy EG, AF  EIJ   IJ  AF  2EI  2FI  AJ  a EJ  AE  AJ  2 EI  IJ  AJ cos       60 2.EI EJ Câu 29: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC  BAD  600 Hãy xác định góc cặp vectơ AB CD ? A 600 B 450 C 1200 D 900 Hướng dẫn giải: Ta có   AB.CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC  AB AD.cos 600  AB AC.cos 600     AB, CD  900 Câu 30: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Góc AC DA1 A 450 B 900 Hướng dẫn giải: Vì A ' C ' //AC nên góc AC DA1 DA1C1 C 600 D 1200 Vì tam giác DA1C1 nên DA1C1  600 Vậy góc AC DA1 600 Câu 31: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC ASB  BSC  CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SA BC ? A 1200 B 900 Hướng dẫn giải: Ta có SA.BC  SA SC  SB  SA.SC  SA.SB  C 600 D 450   SA.SC.cos ASC  SA.SB.cos ASB   SA, BC  900   Câu 32: Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  B Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh tứ diện a AB.DM AB.DM  Ta có cos AB, DM  a AB DM a Mặt khác A   C D   AB.DM  AB AM  AD  AB AM  AB AD  AB AM cos 300  AB AD.cos 600 Do có a 3 3a a a  a.a    2 4 3 Suy cos  AB, DM   cos AB, DM  6 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB  CD  M điểm thuộc cạnh BC cho MC  x.BC   x  1 mp  P  song song với AB CD cắt  a   BC, DB, AD, AC M , N , P, Q Diện tích lớn tứ giác ? A B 11 C 10 D Hướng dẫn giải:  MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD  MNPQ hình bình hành Mặt khác, AB  CD  MQ  MN Do đó, MNPQ hình chữ nhật MQ CM   x  MQ  x AB  x Vì MQ //AB nên AB CB Theo giả thiết MC  x.BC  BM  1  x  BC Vì MN //CD nên MN BM    x  MN  1  x  CD  1  x  CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ  x 1 x  SMNPQ  MN MQ  1  x  x  36.x 1  x   36   9   Ta có SMNPQ  x   x  x  Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn M trung điểm BC Câu 34: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD ? A 00 B 300 C 900 D 600 Hướng dẫn giải:   Ta có AO.CD  CO  CA CD  CO.CD  CA.CD  CO.CD.cos 300  CA.CD.cos 600 a 3 a2 a2 a  a.a    2 2 Suy AO  CD  Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB  CD Gọi I , J , E, F trung điểm AC, BC, BD, AD Góc  IE, JF  A 300 B 450 Hướng dẫn giải: Tứ giác IJEF hình bình hành   IJ  AB Mặt khác  mà AB  CD nên IJ  JE  JE  CD  Do IJEF hình thoi Suy  IE, JF   900 Câu 36: Cho tứ diện ABCD với AC  D 900 AD, CAB  DAB  600 , CD  AD Gọi  góc AB CD Chọn khẳng định ? A cos  B   600 Hướng dẫn giải: AB.CD AB.CD Ta có cos AB, CD   AB CD AB.CD  C 600 C   300 D cos   Mặt khác AB.CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC    AB AD.cos 600  AB AC.cos 600 1  AB AD  AB AD   AB AD   AB.CD 2 4  AB.CD 1 Do có cos AB, CD    Suy cos   AB.CD   Câu 37: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Tứ giác CDD ' C ' hình gì? A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang D Hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Tứ giác CDD ' C ' hình bình hành Lại có: DC   ADD '  DC  DD ' Vậy tứ giác CDD ' C ' hình chữ nhật a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD : A 300 B 450 C 600 D 900 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ IM  MJ  IJ Tính được: cosIMJ   2MI MJ Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 600 Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, IJ= Câu 38: Cho tứ diện ABCD với AB  AC, AB  BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là? A 900 Hướng dẫn giải: AB.PQ  AB  PQ B 600 C 300 D 450 Câu 39: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a  b  Gọi  góc hai vectơ a, b Chọn khẳng định đúng? A cos   Hướng dẫn giải: B   300 C cos   D   600 2 (a  b)2  a  b  2a.b  a.b  a.b Do đó: cos   a.b Câu 40: Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: AB.CD  AC.DB  AD.BC  k A k  Hướng dẫn giải: B k   C k  D k   AB.CD  AC.DB  AD.BC  AC  CB CD  AC.DB  AD.CB      AC CD  DB  CB CD  AD  AC.CB  CB AC  Chọn đáp án C Câu 41: Trong khơng gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A AB2  AC  BC   GA2  GB  GC  B AB2  AC  BC  GA2  GB2  GC C AB2  AC  BC   GA2  GB  GC  D AB2  AC  BC   GA2  GB  GC  Hướng dẫn giải: Cách Ta có GA  GB  GC  0  GA2  GB  GC  2GA.GB  2GA.GC  2GB.GC   GA2  GB  GC   GA2  GB  AB    GA2  GC  AC    GB  GC  BC    AB  AC  BC   GA2  GB  GC  Cách 2: Ta có: AB AC BC MA2 GA2 GA MA Tương tự ta suy AB AC GA2 GB GC AB 3 GA2 BC CA2 GB GC AB AB AC BC BC BA2 BC BC 2 AC CA2 CB 2 AB CA2 Chọn đáp án D Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi AB BC CA2 3 GA2 GB GC AB BC CA2 2 GA GB GC Chọn đáp án D Câu 42: Trong khơng gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức P  MA2  MB2  MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC G cố định GA GB P MG 3MG GA MG GB 2MG GA GB 3MG GA2 GB Dấu xảy M GC G MG GC GA2 GC GA2 GB GB GC GC GC Vậy Pmin GA2 GB2 Chọn đáp án A GC với M G trọng tâm tam giác ABC Câu 43: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  26; b  28; a  b  48 Độ dài vectơ a  b bằng? A 25 Hướng dẫn giải:  a b  a b  B 616  C  a  b  2a.b  a  b    a  b D 618  2   a  b   a  b  262  282  482  616    a  b  616 Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC BDA  60 , ADC  90 , BDC  120 Trong mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn Hướng dẫn giải: Đặt DA  DB  DC  a 0 B Tam giác BCD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn a2 a2 Tam giác ACD vuôn D nên diện tích S ACD  DA.DC  2 a Diện tích tam giác BCD S BCD  DB.DC sin1200  Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BC  a nên tam giác ABC Tam giác ABD cạnh a nên diện tích S ABD  vng A Diện tích tam giác ABC S ABC  a2 AB AC  2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a.b  10 Xét hai vectơ y  a  b x  a  2b, Gọi α góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định 2 A cos   B cos   C cos   15 15 15 cos   15 Hướng dẫn giải:       a  2b    a   b   4a.b   a  b    a   b   2a.b  2 Ta có x y  a  2b a  b  a  b  3a.b  x y   x  y   2 2 2 D cos   x y  x y  15 Câu 46: Cho tam giác ABC có diện tích S Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn:   2 AB AC  2k AB AC 1 A k  B k = C k  D k  Hướng dẫn giải: 1 S  AB AC.sin C  AB AC sin C  AB AC 1  cos2 C  2 2 2  AB AC  AB AC Chọn C Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau A AB CD chéo B AB CD vng góc với C AB CD đồng phẳng D AB CD cắt b) Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA Khẳng định sau nhất? Chứng minh MNPQ hình chữ nhật A MNPQ hình vng B MNPQ hình bình hành C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình thoi Hướng dẫn giải: a) Đặt AB  AD  AC  a S     Ta có CD AB  AD  AC AB 1  AB AD cos 600  AB AC cos 600  a.a  a.a  2 Vậy AB  CD AB a  nên tứ giác b) Ta có MN PQ AB MN  PQ  2 MNPQ hình bình hành  MN AB  Lại có  NP CD  MN  NP , MNPQ hình chữ nhật  AB  CD  C N M B P D A Q Câu 48: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a BC  a Tính góc hai đường thẳng AB SC A  AB, SC   600 B  AB, SC   450 C  AB, SC   300 D  AB, SC   900 Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, AC , MN AB nên S  AB, SC    MN , SC  Đặt   NMP , tam giác MNP có MN  MP  NP cos   1 2MN MP a Ta có MN  MP  , AB2  AC  BC  ABC vuông 5a 3a A , PB  AP  AC  , PS  Trong 4 tam giác PBS theo cơng thứ tính đường trung tuyến ta có 5a 3a  2 PB  PS SB  a  3a PN    4 4 Thay MN , MP, NP vào 1 ta cos       1200 M N φ A B P C Vậy  AB, SC    MN , SC   600 Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA  AB SA  BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC A  BC , SD   300 B  BC , SD   450 C  BC , SD   600 D  BC , SD   500 b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J A  IJ , AC   900 B  IJ , AC   600 C  IJ , AC   300 D  IJ , AC   450 Hướng dẫn giải: a)  BC , SD   450 b)  IJ , AC   900 Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất? A AD  BC B AD cắt BC C AD BC chéo D Cả A, B, C b) Gọi M , N điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MA  k MB, ND  k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC A  MN , BC   900 B  MN , BC   800 C  MN , BC   600 D  MN , BC   450 Hướng dẫn giải: a) Gọi P trung điểm BC , tam giác  AP  BC ABC DBC cân nên   DP  BC  A  Ta có BC AD  BC PD  PA  Vậy BC  AD b) Ta có MA  k MB   MA ND  k , ND  k NB  k MB NB MA ND  MB NB M N B suy MN AD   MN , BC    AD, BC   90 ( Theo câu a) D P C Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh a ABC  B ' BA  B ' BC  600 Tính góc hai đường thẳng AC B’D’ A  AC, B 'D'  900 B  AC, B 'D'  600 C  AC, B 'D'  450 D  AC, B 'D'  300 Hướng dẫn giải: HS tự giải Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB  CD  2a MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD A  AB, CD   300 B  AB, CD   450 C  AB, CD   600 D  AB, CD   900 Hướng dẫn giải: Gọi O trung điểm AC , ta có OM  ON  a OM AB   AB, CD    OM , ON   ON CD Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có cos MON  OM  ON  MN  2OM ON 2  a2  a2  a 2.a.a  A  Vậy  AB, CD   60 N O B D M C Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c a)Khẳng định sau A đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc khơng vng góc với hai cạnh D A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AC BD a2  c2   A  AC , BD   arccos b2 B  AC , BD   arccos C  AC , BD   arccos D  AC , BD   arccos A  a2  c2  M P b2  a2  c2  3b B D  a2  c2  b N C Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, AD a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung AC  BD, AD  BC nên chúng nhau, suy MC  MD Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN  CD Tương tự MN  AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại  PM BD   BD, AC    PM , PN  b) Ta có   PN AC Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có 2 CA2  CB AB 2  b  c   a CM    4 2 2 b  c   a Tương tự DM  , nên 2 MC  MD CD 2  b  c   a a b2  c  a 2 MN      4 Áp dụng định lí sin cho tam giác PMN ta có 2 2 b b b c a    a2  c2  PM  PN  MN     cos MPN    2.PM PN b2  b  b         a2  c2  Vậy  AC , BD   arccos b2 ... 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a.b  10 Xét hai vectơ y  a  b x  a  2b, Gọi α góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định 2 A cos   B cos... 900 Hướng dẫn giải: AB.PQ  AB  PQ B 600 C 300 D 450 Câu 39: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a  b  Gọi  góc hai vectơ a, b Chọn khẳng định đúng? A cos   Hướng dẫn giải: B ... vng góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc khơng vng góc với hai cạnh D A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng