Phuong phap giai va bai tap ve cach tinh khoang cach giua hai duong thang cheo nhau co dap an (1)

DẠNG CÁCH TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi d  a, b   MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : Phương pháp Chọn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng  song song với  ' Khi d( , ') d( ',( )) Phương pháp Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm Phương pháp Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn Trường hợp 1:   ' vừa chéo vừa vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa  ' vng góc với  I Bước 2: Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ   ' Khi IJ đoạn vng góc chung d (,  ')  IJ Trường hợp 2:   ' chéo mà không vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa  ' song song với  Bước 2: Dựng d hình chiếu vng góc xuống ( ) cách lấy điểm M   dựng đoạn MN    , lúc d đường thẳng qua N song song với  Bước 3: Gọi H  d   ' , dựng HK MN Khi HK đoạn vng góc chung d (,  ')  HK  MN Trang Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )   I Bước 2: Tìm hình chiếu d  ' xuống mặt phẳng ( ) Bước 3: Trong mặt phẳng ( ) , dựng IJ  d , từ J dựng đường thẳng song song với  cắt  ' H , từ H dựng HM IJ Khi HM đoạn vng góc chung d (,  ')  HM  IJ Sử dụng phương pháp vec tơ  AM  x AB  CN  yCD a) MN đoạn vng góc chung AB CD   MN AB    MN CD  OH  u1  b) Nếu   có hai vec tơ khơng phương u1 , u2 OH  d  O,     OH  u2 H      OH u1    OH u2  H      Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy  ABCD  Gọi K , H theo thứ tự hình chiếu vng góc A O lên SD Chọn khẳng định khẳng định sau? A Đoạn vng góc chung AC SD AK B Đoạn vng góc chung AC SD CD Trang C Đoạn vng góc chung AC SD OH D Các khẳng định sai Hướng dẫn giải: Nếu AK  AC, AK  AB  AK  ( ABC) S  AK  SA (vì SA  ( ABC )  SA  SD  SAD có góc vng (vơ K H lý)  AC Theo tính chất hình vng CD  A Nếu AC  OH , AC  BD  AC  (SBD)  AC  SO  SOA có góc vng (vơ lý) O Như AC   AK , AC   CD, AC   OH B C Chọn đáp án D Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách AB CD a a a a A B C D 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M , N trung điểm AB CD a Khi NA  NB  nên tam giác ANB cân, suy NM  AB Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d  AB; CD   MN Ta có: S ABN  D p  p  AB  p  BN  p  AN  (p nửa chu vi) aa aa a a 2a  2 2 1 2a Mặt khác: S ABN  AB.MN  a.MN  MN  2  3a a a   4 Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình chữ nhật với AC  a Cách khác Tính MN  AN  AM  BC  a Tính khoảng cách SD BC 3a 2a A B Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: BC //  SAD  C a D a  d  BC; SD   d  BC;  SAD    d  B;  SAD    AB  AD  AB   SAD   d  B;  SAD    AB Mà   AB  SA Ta có: AB  AC  BC  5a  2a  3a Câu 4: Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Khoảng cách BB ' AC bằng: a a a a A B C D 3 Trang Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: d  BB; AC   d  BB;  ACC ' A    a DB  2 Câu 5: Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh (đvdt) Khoảng cách AA ' BD ' bằng: 2 A B C Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: d  AA; BD   d  BB;  DBBD    D AC  2 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai cạnh đối AB CD a a a a A B C D 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M , N trung điểm AB CD a Khi NA  NB  nên tam giác ANB cân, suy NM  AB Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d  AB; CD   MN Ta có: S ABN  p  p  AB  p  BN  p  AN  (p nửa chu vi) aa aa a a 2a  2 2 1 2a Mặt khác: S ABN  AB.MN  a.MN  MN  2 Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo AD A ' C ' :  A AA ' Trang B BB ' C DA ' D DD ' Hướng dẫn giải:   AA '   A ' B ' C ' D '   AA '  A ' C '    A ' C '   A ' B ' C ' D '  AA '   ABCD    AA '  AD    AD  ( ABCD Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD nhận giá trị giá trị sau? A a B a C a D 2a Hướng dẫn giải: Ta có: d  CD, SB   d  CD,  SAB    AD  a Chọn phương án A Câu 9: Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA  OB  OC  a Gọi I trung điểm BC Khoảng cách AI OC bao nhiêu? a a a A a B C D 2 Hướng dẫn giải: Gọi J trung điểm OB Kẻ OH vng góc AJ H Tam giác AOJ vuông O , có OH đường cao A a a OA.OJ a OH    OA2  OJ a a2    2 H Ta có: OC //IJ nên OC //  AIJ  C Do đó: O a J d  AI , OC   d  OC ,  AIJ    d  O,  AIJ    OH  I Chọn đáp án B B Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, AB  BC  a, AD  2a, SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính khoảng cách SB CD a a a a A B C D Hướng dẫ giải: Trang Gọi trung điểm ta có: H AD d(CD;SB)  d(D;(SBH))  d(A;(SBH)) Mà 1 1 a      d(CD;SB)  2 2 d (A;(SBH)) AS AB AH a Chọn đáp án C Câu 11: Cho hình vng ABCD tam giác SAD nằm hai mặt phẳng vng góc với AD  a Tính khoảng cách AD SB a 21 a 21 a 15 a 15 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi E, F trung điểm AD, BC Ta có: AD, BC  (SFE) , suy SF hình chiếu SB lên mặt phẳng (SEF) Nên d(AD;SB)  d(E;SF)  SE.FE SE  FE 2  a a 2 a a  21 a Chọn đáp án B Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 có AA1  2a, AD  4a Gọi M trung điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng A1 B1 C1M bao nhiêu? A 3a B 2a D 2a C a Hướng dẫn giải: Ta có A1B1 //C1D1 suy d  A1B1 , C1M   d  A1B1 , C1D1M    d  A1 , C1D1M   B A Vì AA1  2a, AD  4a M trung điểm AD nên A1M  D1M , suy C M D B1 C1 A1M   C1D1M   d  A1 ,  C1D1M    A1M  2a A1 D1 Chọn đáp án B Câu 13: Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AD AB ? Trang A a B a C a D a Hướng dẫn giải: A' B '  A' A  A ' B '   ADD ' A ' Ta có  A' B '  A' D ' Gọi H giao điểm AD ' với A ' D  A ' H  AD '  A ' H  AD ' a  d  A ' B '; AD '  A ' H   A' H  A' B ' Chọn B Câu 14: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Khoảng cách BB AC a a a a A B C D 3 Hướng dẫn giải: B C  AAC C   AC  Vì  nên d  BB; AC   d  BB;  AACC      AAC C  //BB I Gọi I  AC  BD Vì ABCD ABCD hình A D lập phương nên BI   AACC  a Suy d  BB; AC   d  BB;  AAC C    IB  Chọn đáp án C B A C D Câu 15: Hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  3, AD  4, AA  Khoảng cách hai đường thẳng AC BD ? A 34 B 41 C D Hướng dẫn giải:   ABCD  //  ABCD  Ta có    AC   ABCD  ; BD   ABC D   d  AC; BD  d   ABCD  ;  ABCD    AA  Chọn đáp án C Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BD ah ah ah ah A B C D 3a  h a  h2 2a  h a  2h Hướng dẫn giải: Gọi O  AC  BD Gọi H hình chiếu O lên Trang SA Vì S ABCD hình chóp nên BD   SAC   BD  OH Suy OH đoạn vng góc chung BD, SA OH  OS OA OS  OA 2  a 2.h 2h  a 2 2 S ah  2h  a H A D Chọn đáp án D O B C Câu 17: Cho hai tam giác ABC ABD cạnh x nằm hai mặt phẳng vuông góc với Khi khoảng cách hai đường thẳng AB CD x x x x A B C D 4 Hướng dẫn giải: Gọi I , J trung điểm AB, CD  ABC    ABD  hai tam giác ABC ABD nên AB   CDI  CI  DI suy IJ đoạn vng góc chung Của hai đường thẳng AB, CD Vì tam giác CDI vng I J trung điểm CD x 3   CD 2CI x      Nên IJ  2 Chọn đáp án A Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy ( ABCD) SA  a Tính theo a khoảng cách SB CD A a B a C a D a Hướng dẫn giải: Ta có d  SB; CD   d  CD;  SAB    d  D;  SAB    DA  a Chọn đáp án B Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính khoảng cách SA BD theo a Trang a B a Hướng dẫn giải: Vì SA   ABCD  A BD   ABCD  nên A d  SA; BD   d  A; BD   AB AD AB  AD 2 2a  5a C  2a D 2a 2a Chọn đáp án D Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, AB  BC  a, AD  2a, SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính khoảng cách AD SB a a a a A B C D Hướng dẫn giải: Vì AD   SAB  A SB   SAB  nên d  AD; SB   d  A; SB   AS AB AS  AB  a Chọn đáp án D Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách AD SB A a B a C a D a Hướng dẫn giải: Vì hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy nên SA   ABCD  Vì AD   SAB  A SB   SAB  nên d  AD; SB   d  A; SB   AH  AS AB AS  AB  a Chọn đáp án C Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách SO AB A a Trang B a C a D a Hướng dẫn giải: Gọi E trung điểm AD d  SO; AB   d  AB;  SOE    AH , với H hình chiếu A lên SE a EA.ES a  Ta có AH  2 EA  ES a2 2a  Chọn đáp án B a Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách BD SC A độ dài đoạn thẳng OA B độ dài đoạn thẳng BC C khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC D khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD Hướng dẫn giải: Vì hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy nên SA   ABCD  Suy BD   SAC  O , mà SC   SAC  nên Khoảng cách BD SC khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC Chọn đáp án C Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình chữ nhật với AC  a BC  a Tính khoảng cách SD BC 3a 2a A B Hướng dẫn giải: Dễ thấy BA   SAD  C  a D a  BC / / AD  BC / /  SAD   d  BC, SD   d BC,  SAD   BA Xét tam giác vng ABC có AB  5a2  2a2  a Đáp án D Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA   ABCD  SA  a Khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD a A B a C a Hướng dẫn giải: Trang 10 D a Ta có: SD cắt  ABCD  D Từ H kẻ HI  BD , HM  SI Ta HK thấy song d  HK , SD   d  H ,  SBD    HM song BD : SHD : 2 9a 9a  a  2 SH  SD  HD    AD  AH   a    a 4   2 AC a  4 1 a    HM  2 HM SH IH IH  d  SA, BC   d  H ,  SBD    HM  a Câu 50: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB  BC  a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ), góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 13 78 13 78 A 2a B 2a C a D a 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi I trung điểm AC Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC , mặt phẳng  ABC  kẻ AE vng góc với d E Khi AE  BE AE  AC Ta có: AC //BE  AC //  SBE   d  AC, SB   d  A,  SBE   Gọi AH đường cao  SAE  , ta có  BE  SA  BE   SAE   BE  AH   BE  AE Mặt khác AH  SE nên AH   SBE  Do d  AC, SB   d  A,  SBE    AH Vì SA   ABC  nên hình chiếu SC mặt phẳng ( ABC ) AC suy gó SC mặt o phẳng ( ABC ) SCA  60 Trang 23 Xét SAE vng A có: AH đường cao, SA  tan 60o AC  3.a  a , AE  BI  a nên 1 13    2  2 AH AE SA a 6a 6a 6a a 78  AH   AH  13 13 a 78 Vậy d  AC , SB   13 Câu 51: Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABC  , SA  a , AB  AC  a , góc BAC  120 , lấy điểm M cạnh BC cho MC  2MB Khoảng cách hai đường thẳng SM AC a 3a 2a 42 a 42 A B C D 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn B Dựa vào định lý Côsin tam giác ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos BAC BC  3a  3a  2.a 3.a cos120 BC  9a  BC  3a CM  BC  2a AM  CM  CA2  2CM CA.cos MCA AM  4a  3a  2.2a.a cos 30 AM  a  AM  a Xét tam giác ACM có CM  AM  AC  4a nên tam giác ACM vuông A suy AC  AM mà AC  SA nên AC   SAM  Gọi H hình chiếu A SM , ta có  AH  AC  d  AC , SM   AH   AH  SM Xét tam giác SAM có SA  a , AM  a , AH đường cao nên 1 1    2  2 AH AM SA a 6a 6a 6a a 42 AH   AH  7 a 42 d  AC , SM   Câu 52: Trong khơng gian cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng  SAB  vng góc với đáy, tam giác SAB vuông cân S Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 21 A a Trang 24 B 3a 21 C a D 2a Hướng dẫn giải: Chọn A Kẻ SH AB SH (ABC ) AC //(SBM ) d(AC , SB) d(AC ,(SBM )) d(A,(SBM )) 2d(H ,(SBM )) Kẻ BM //AC Kẻ HK BM, ta có: SH BM (ABC) BM (SHK) Kẻ HQ SK, ta có: BM HQ (SHK) HQ (SBM) d(H ,(SBM )) HQ 1 = HQ HK Xét tam giác vuông SHK ta có: SH a Trong đó: SH=AH= (do tam giác SAB vuông cân S ), HK=HB.sin60 16 = 2 HQ 3a a2 28 3a a 21 14 HQ d(AC , SB) 2HQ a 2 a a 21 Câu 53: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SD vng góc với mặt phẳng  ABCD  , AD  a, góc AOB  120 , góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  45 Khoảng cách hai đường thẳng AC SB A a B Hướng dẫn giải: Chọn B Vì: BC DC BC BC SD SD DC a (SDC ) AD tan 60 SCD C 3a D 5a 45 a Kẻ OI //SB(I SD) ID=SI= a , SB//(IAC ) d(AC , SB) d(SB,(IAC )) d(B,(IAC )) d(D,(IAC )) AC (IDH ) DH AC Kẻ IH AC Kẻ DK IH , ta có: DK AC (AC (DIH)) DK (IAC) d(D,(IAC))=DK Xét tam giác vng DHA : ta có DH a.sin 60 a tam giác DHI vuông cân a Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, BC  a 3, AB  a ; hai mặt phẳng  SAC   SBD  vng góc với mặt đáy  ABCD  đường thẳng SC tạo với mặt đáy  ABCD  DK DH sin 45 góc 60 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC Trang 25 5a Hướng dẫn giải: Chọn D A B 15a 5a C D 15a Gọi O giao điểm AC BD Ta có  SAC    SBD   SO,  SAC    ABCD  ,  SBD    ABCD   SO   ABCD  OC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng  ABCD    SC,  ABCD    SCO  600  ACM  SO  MH   ABCD  Gọi M trung điểm SD  OM SB  SB Trong mặt phẳng  SBD  kẻ MH Khi d  SB, AC   d  SB,  ACM    d  B,  ACM    2d  H ,  ACM    2HI a d  D, AC   AC a  a  SO  OC.tan 600  a  MH  Có OC  2 1 20 a 15 a 15     HI  Vậy d  SB, AC   HI  2 HI HM HK 3a 10 Câu 55: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB  BC  a, AD  2a Các mặt phẳng  SAC   SBD  vng góc với mặt đáy  ABCD  Biết Ta có HK  góc hai mặt phẳng  SAB   ABCD  60 Khoảng cách hai đường thẳng CD SB A a Trang 26 B 2a C 2a D a Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi O giao điểm AC BD  SAC    SBD   SO,  SAC    ABCD  , Ta có  SBD    ABCD   SO   ABCD  Gọi E trung điểm AD , H  AC  BE  BE CD  CD  SBE   d  CD, SB   d  C ,  SBE    3d  O,  SBE    3OI OM  AB, SO  AB  SM  AB Kẻ    SAB  ,  ABCD    SMO  600 Tính AC  a  OH  a 2a 2a AC   SO  OM tan 600  , OM  AD  6 3 1 75 2a 2a     OI   d  CD, SB   2 OI OH SO 4a 5 Câu 56: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD 3a góc 60 Gọi M trung điểm AB Biết MD  , mặt phẳng  SDM  mặt phẳng  SAC  vng góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng CD SM theo a là: a 3a a 15 3a 15 A B C D 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có  SMD    SAC   SG suy SG   ABCD  Kẻ GH  AB , GK  SH Khi đó, d  DC , SM   d  DC ,  SAB    d  D,  SAB    GD 3a 15 d  G,  SAB    3GK  GM Câu 57: Một hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2 tạo với mặt đáy góc 45 Tính khoảng cách SA BC 3 3 A B C D 4 Trang 27 Hướng dẫn giải: Chọn A + Vì SABC hình chóp tam giác nên SO   ABC  S ( Với O trọng tâm ABC ) + Xét SOA Vuông O có: J - SAO  45 mà SA  2 nên OA  SO   AI  - Với H chân đường cao hạ từ O 1 Ta có:    OH  2 OH OA SO + Trong SIA Gọi J chân đường cao hạ từ I xuống SA Lại có BC   SAI  nên BC  IJ Từ IJ đương H A C O I vng góc chung SA & BC B OH OA OH AI   IJ   + Xét AIJ : IJ AI OA Câu 58: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy hình thoi tâm O, cạnh a, BAD  60 SO  SA  SC SB  SD Hỏi khoảng cách SA BD ? 3a 3a 3a A B C 14 7 Hướng dẫn giải: SO  AC  Ta có:   SO  ( ABCD)  DB  SO SO  DB  DB  SO  Ta có:   BD  ( SAC ) BD  AC  Trong mp ( SAC ) , kẻ OH  SA ( H  SA) , ta có: OH  SA, OH  BD Do đó: d (SA, DB)  OH Ta D 3a Biết 3a 14 có: 2 a 21  3a   a  SA  SO  OA            Tam giác SOA vng O, có OH đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3a OH    SA a 21 14 2 Vậy d ( SA, DB)  OH  3a 14 Chọn B Câu 59: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đường cao SO  2, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60 Khi khoảng cách hai đường thẳng AB SD A B C Trang 28 D Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm CD Ta có:  SCD  ( ABCD)  CD    ( SCD)  SI   ( SOI )  CD ( SOI ) ( ABCD)  OI ,( SOI )    ( SCD),( ABCD)  (OI , SI )  600 Ta có: AB / /CD  AB / /(SCD)  d ( AB, SD)  d ( AB,(SCD))  d ( A,(SCD))  2d (O,(SCD)) Trong mp ( SOI ) , kẻ OH  SI ( H  SI ) , ta có: OH  (SCD) OI  Do đó: d (O,(SCD))  OH Ta có: SI  SO  OI  22  SO  tan 60 4  3 SO.OI 3  1 SI Do đó: d ( AB, SD)  2d (O,(SCD))  2OH  2.1  Chọn B Câu 60: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  3a; AD  2a Hình chiếu Tam giác SOI vng O, có đường cao OH nên OH  vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  điểm H thuộc cạnh AB cho AH  2HB Góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng  ABCD  60 Khoảng cách hai đường thẳng SC AD theo a 6a 39 6a 13 a 39 A B C 13 13 13 Hướng dẫn giải: Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  điểm H nên D a 13 13 SH  ( ABCD) Kẻ HM  CD (M  CD) , ta có: ( ABCD) ( SCD)  CD   ( SHM )  CD    ( ABCD),( SCD)  SMH  60 Ta có: ( SHM ) ( ABCD)  HM  ( SHM ) ( SCD)  SM  AD / / BC  AD / /(SBC ) d ( AD, SC)  d ( A,(SBC))  3d ( H ,( SBC)) Kẻ HI  SB ( I  SB) , ta có: HI  (SBC ) d ( H ,(SBC))  HI   Ta có: SH  HM tan 600  2a SB  SH  HB2  a 13 6a 39 SH HB 2a 39 Vậy d ( AD, SC )  3HI  Chọn A  13 SB 13 Câu 61: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông C, AB  5a; BC  4a Cạnh SA Suy ra: IH  vng góc với đáy góc mặt phẳng  SBC  với mặt đáy  ABC  60 Gọi D trung điểm cạnh AB Khoảng cách hai đường thẳng SD BC là: 3a 39 3a 13 a 13 A B C 13 13 13 Trang 29 D a 39 13 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC , ta có: BC / /(SMD)  d ( BC, SD)  d (C,(SMD))  d ( A,(SMD)) Kẻ AH  SM ( H  SM ) , ta có: AH  (SMD) SA AM 3a 39  SM 13 3a 13 Với SM  SA2  AM  Chọn A Câu 62: hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB  BC  a, AD  2a, tam giác SAB cân đỉnh S nằm  d ( A,( SMD))  AH  mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 60 Khoảng cách AB SD là: a 177 6a 177 2a 177 3a 177 A B C D 59 59 59 59 Hướng dẫn giải: Dựng hình chữ nhật ABED , ta có tam giác ACD vng cân C Gọi H, K trung điểm AB, ED , ta có: SH  ( ABCD) Gọi F đối xứng A qua B, kẻ HM  DF (M  DF ) Suy ra: (SHM )  DF (SCD),( ABCD)  SMH  600 3a AC  4 Ta có: AB / / ED  AB / /(SED) d ( AB, SD)  d ( H ,(SED)) Kẻ HI  SK , ta có: HI  (SED) d ( H ,(SED))  HI Ta có: HM / / AC  HM  Ta có: SK  SH  HK  a 59 2 SI IK 6a 6a 177 Suy ra: HI    SK 59 59 Chọn B Câu 63: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc SB mặt phẳng ( ABC ) 60 , M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC là: 4a 51 2a 51 a 51 a 51 A B C D 51 51 17 Hướng dẫn giải: Trang 30 Gọi N , I trung điểm AC, BC MN đường trung bình ABC  MN€ BC  BC€  SMN  Ta có: d  BC; SM   d  BC;  SMN    d  I ;  SMN    d  A;  SMN   Dễ thấy BC   SAI   MN   SAI    SMN    SAI  theo giao tuyến SH Trong mặt phẳng  SAI  kẻ AK  SH  AK   SMN  Vậy d  BC; SM   d  A;  SMN    AK a a  AH  AI  2 Vì SA   ABC  nên  SB;  ABC     SB; AB   SBA  60  SA  AB.tan 60  a Ta có: AI  1 1 16 17  2  2  2 AK SA AH 3a 3a 3a a 51  AK  17 Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 2a Mặt bên SAB tam giác đều, SI vng góc với  SCD  I trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SO AB là: 3a a a a A B C D 2 MN / / AB Kẻ  d  SO, AB   d  AB,  SMN    d  I , (SMN )  Ta có AB  SI  MN  SI , AB  OI  MN  OI  MN  (SOI )   SMN    SOI  Kẻ IH  SO  IH   SMN   IH  d  I ;  SMN   Gọi J trung điểm CD Do SI   SCD   SI  SJ  SO  Trang 31 JI a 3a a  2 2S 1a a a + SOSI  OE.SI  a   IH  OSI  IH  22 SO Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I , AB  a, AD  2a Gọi M trung điểm cạnh AB N trung điểm đoạn MI Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với điểm N Biết góc tạo đường thẳng SB với mặt phẳng  ABCD  45 + Do SIO cân O kẻ OE  SI  OE  OI  IE  a  Khoảng cách hai đường thẳng MN SD theo a là: a a A a B C Hướng dẫn giải: Do D a MN / / AD  MN / /  SAD   d  MN , SD   d ( MN , ( SAD))  d ( N , ( SAD)) Kẻ NE  AD, SN  AD  AD   SNE    SAD    SNE  NH  SE  NH  (SAD) Kẻ  d  N ,  SAD    d  MN , ( SAD)   NH Ta có : SB;  ABCD   SBN  450 Xét BMN  a2 a2 a a    SN  4 2 a a NE.NS a Do NH   2  a NE  NS 2 Câu 66: hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A B ; AB  BC  a; AD  2a ; SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD) 45 Gọi BN  BM  NM  M trung điểm cạnh AD Khoảng cách hai đường thẳng SM BD là: a 22 a a 11 a 11 A B C D 11 11 22 Hướng dẫn giải: Ta có : SC,  ABCD   SCA  450 Gọi E , K giao điểm AC với BD, NM Kẻ MN / / BD  BD / /  SMN   d  SM , BD   d  BD,  SMN    d  E,  SMN   Do MN / / BD  K trung điểm AE  d  E;  SMN    d  A,  SMN   Kẻ AE  MN , SA  MN  MN   SAE    SAE    SMN  Trang 32 Kẻ AF  SE  FA   SMN   d  A,(SMN )   FA Xét ABC  AC  a  SA  a a a AN AM a AE    2 AN  AM a  a2 FA  SA AE SA2  AE  a 5  a 22 11 55 a Câu 67: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD  60 Gọi G trọng tâm tam giác ABD, SG  ( ABCD) SG  a Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách đường thẳng AB SM theo a a a a A B C 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Gọi J , K hình chiếu H lên DC, SJ d  AB, SM   d  AB,  SDC    d  A,  SDC    d  G,  SDC   3 SG.GJ SG.GC.sin GCJ  GK   2 SJ SG  GJ  SG.GC.sin GCJ  SG  GC.sin GCJ  a AC.sin 300 3  2  a 6 2 0     AC.sin 30     3 a AO.sin 300 3  2  a 6 2 0  AO.sin 30        3 a a .sin 300 3 a   2   a 6 2 a sin 30      2   3  Trang 33 D a Câu 68: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết SA  a cạnh bên SB tạo với mặt đáy  ABCD  góc 30 Khoảng cách hai đường thẳng SA BD là: a 21 2a 2a 21 A B C 7 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC Gọi L, M hình chiếu H lên d , SL D a d  SA, BD   d  BD,  SAL    d  B,  SAL   BA BA d  H ,  SAL    HM HA HA BA SH HL BA SH HL   HA SL HA SH  HL2 a SH HL SH HL SH  sin 30  sin 600   SH  a a.cos 60 SA SH  HL2 SH  HL2 HL HL sin LAH   sin ABO  AH AH AH a cos600   AH  SA  a a AO HL AO.AH 2 SH HL 21    HL   AH  a   a 2 AB AH AB 2 SH  HL a  a Câu 69: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a Gọi H trung điểm cạnh AB ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy ; góc hai mặt phẳng  SAC   ABCD  60 Khoảng cách hai đường thẳng CH SD : 2a 2a 10 a 2a B C D 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì H trung điểm cạnh AB ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên SH   ABCD  A Trang 34 Gọi I hình chiếu H AC suy góc hai mặt phẳng  SAC   ABCD  góc SIH  600 IH BC a a a   IH   Ta có ABC AIH  AH AC a a Gọi K điểm đối xứng H qua A ta có tứ giác CDKH hình bình hành suy CH song song với mặt phẳng  SDK   SD Trong SHI vng H có SH  IH  Nên ta có: d  CH ,SD   d  CH ,  SDK    d  H ,  SDK   Gọi E, F hình chiếu H DK SE Khi ta có d  H ,  SDK    HF a a BH BC 2a Ta có HE  2d  B, H C   2  BH  BC a  2a a 2a 2  2a  2a Chọn D  Trong SHE vng H có HF  5a SH  HE a 8a  Câu 70: hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a , tam giác SAB cân 2a S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ D đến  SBC  Khoảng cách hai đường thẳng SB AC : a 10 a 10 2a 10 2a A B C D 10 5 SH HE Trang 35 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC Gọi K , I hình chiếu H lên d , SK 2a 2a d  D,  SBC     d  A,  SBc    3 a a  d  H ,  SBC     HI  3 1   HI SH HB a       SH  2 a SH a SH a HK HK sin KBH   sin CAB  HB HB a 2a CB HK HB.CB 5a    HK    AC HB AC 5.a d  AC, SB   d  A,  SBK    2d  H ,  SBK    2HL SH HK SH HK SH SH a 10 2  2  SK SH 2 SH  HK Câu 71: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 3a, có SH  ( ABC ) với H thuộc cạnh AB cho AB  AH Góc tạo SA mặt phẳng  ABC  60 Khoảng cách hai =2 đường thẳng SA BC là: a 3a 15 A B 5 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với BC Gọi F , G hình chiếu H lên d , SF SH tan 600   SH  a a HF HF a sin FAH   sin 600   HF  AH a a a SH HF  15 a HG   SH  HF 3a  a d  BC, SA  d  B,  SAF   C a 15 D 3a  3d  H ,  SAF    3HG  15 a Câu 72: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60 Gọi M trung điểm DC Khoảng cách hai đường thẳng SA BM : Trang 36 a 285 3a 285 B 19 Hướng dẫn giải: Chọn C Vẽ đường thẳng d qua A song song với BM Gọi O, P hình chiếu H lên d , SO Ta có: A C a 285 19 D 2a 285 a2 a  SH a 15 tan 600   SH  BH BH  AB  AH  a  OH OH CM OH CM AH sin OAH   sin MBC     OH   AH AH BM AH BM a a 2  5a a 10 a2   a 15   a  95a SO  SH  OH           10  2 a 15 a SH OH 10  285 a d  SA, BM   d  N ,  SAO    4d  H ,  SAO    HP   SO 19 95a Trang 37 ... 17: Cho hai tam giác ABC ABD cạnh x nằm hai mặt phẳng vng góc với Khi khoảng cách hai đường thẳng AB CD x x x x A B C D 4 Hướng dẫn giải: Gọi I , J trung điểm AB, CD  ABC    ABD  hai tam... ACM  nên 1 NH  d  N ,  ACM    DM  a (1) 2 Trang 21 SACM a2  SABC  (2) 1  Áp dụng công thức trung tuyến AN   AB  AD  DB   a  AN  a 2  Ta có AM  BC  a nên AMN cân A...  '')  HM  IJ Sử dụng phương pháp vec tơ  AM  x AB  CN  yCD a) MN đoạn vuông góc chung AB CD   MN AB    MN CD  OH  u1  b) Nếu   có hai vec tơ khơng phương u1 , u2 OH  d 