NỬA MẶT PHẲNG A Phương pháp giải a Mặt phẳng + Một mặt bàn, mặt bảng, một tờ giấy trải rộng cho ta hình ảnh của mặt phẳng + Mặt phẳng không bị hạn chế về mọi phía b Nửa mặt phẳng + Hình gồm đường thẳn[.]
Trang 1NỬA MẶT PHẲNG A Phương pháp giải
a Mặt phẳng
+ Một mặt bàn, mặt bảng, một tờ giấy trải rộng… cho ta hình ảnh của mặt phẳng + Mặt phẳng khơng bị hạn chế về mọi phía
b Nửa mặt phẳng
+ Hình gồm đường thẳng a vả một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa mặt phẳng bờ a
+ Hai nửa mặt phẳng có bờ chung gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau
Trên hình vẽ nửa mặt phẳng bờ a' chứa điểm B và nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm A là hai nửa mặt phẳng đối nhau
Hai điểm A và C (hoặc A và B) nằm khác phía với đường thẳng a hay thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì đoạn AC (hoặc AB) cắt a
Hai điểm bất kì B và C nằm cùng phía với đường thẳng a thì đoạn BC khơng cắt a Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau
B Các dạng toán và phương pháp giải
Trang 2Ví dụ 1: Cho ba điểm M ,N, P khơng thẳng hàng nằm ngồi đường thẳng a Biết
rằng đường thẳng a cắt đoạn thẳng MN nhưng không cắt đoạn MP 1 Gọi tên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a
2 Đoạn thẳng NP có cắt đường thẳng a khơng? Vì sao?
Lời giải:
1 Hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a là:
Nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M và điểm P Nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm N
2 Đường thẳng a cắt đoạn MN nên M, N thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a (1)
Đường thẳng a không cắt đoạn MP nên M, P thuộc cùng một nửa mặt phẳng đối nhau bờ a (2)
Từ (1) và (2) suy ra N và P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a nên đoạn thẳng NP cắt đường thẳng a
Ví dụ 2: Cho đường thẳng xy Lấy hai cặp điểm M, N và P, Q không thuộc xy,
nằm ở hai phía của xy Nối MN, NP, PQ, QM Hỏi đường thẳng xy cắt những đoạn thẳng nào và không cắt đoạn nào? Vì sao?
Lời giải:
Trang 3N, P ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy nên xy cắt đoạn thẳng NP
Nhận xét: Nếu nối MP, NQ thì xy cắt cả hai đoạn thẳng này
Dạng 2: Nhận biết một tia nằm giữa hai tia
Ví dụ 3: Cho hình sau Tia nào nằm giữa hai tia khác?
Lời giải:
Trên hình 2 khơng có tia nào nằm giữa hai tia cịn lại
Trên hình 3, tia OB nằm giữa tia OC và tia OD Tia OC và tia OD nằm giữa hai tia OA và OB
Ví dụ 4: Cho tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy không đối nhau Tia Ot nằm giữa hai
tia Oz, Oy Chứng tỏ tia Oz nằm giữa tia Ox và Ot
Lời giải:
Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên tia Oz cắt đoạn AB tại C nằm giữa A, B
Tia Ot nằm giữa hai tia Oz, Oy nên tia Ot cắt đoạn CB tại D nằm giữa C, B Suy ra điểm C nằm giữa A, D, do đó tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ba điểm M, N, P nằm ngoài đường thẳng d, biết rằng d cắt MN và d
không cắt MP Khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? A M và N nằm khác phía đối với đường thẳng d
Trang 4C P và M nằm khác phía đối với đường thẳng d D P và M nằm cùng phía đối với đường thẳng d
Lời giải:
Đường thẳng d cắt MN nên M và N nằm khác phía đối với đường thẳng d, do đó A đúng
Đường thẳng d không cắt MP nên P và M nằm cùng phía đối với đường thẳng d, do đó D đúng
Từ hai nhận định trên suy ra N và P nằm khác phía với đường thẳng d nên B đúng D là đúng suy ra C là khẳng định sai
Bài 2: Cho bốn điểm M, N, P, Q khơng nằm trên đường thẳng a, trong đó M và N
thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a, còn P và Q thuộc nửa mặt phẳng kia Qua hai điểm vẽ một đoạn thẳng Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng cắt đường thẳng a, hãy kể tên?
Lời giải:
M, P thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ a nên MP cắt a Tương tự MQ, NP, NQ cũng cắt a
Vậy số đoạn thẳng cắt đường thẳng a là 4, đó là các đoạn MP, MQ, NP, NQ
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm ngoài đường thẳng a Biết rằng cả ba đoạn
thẳng AB, BC, CD đều cắt a Hỏi đoạn thẳng BD, AD có cắt a khơng?
Trang 5 BC cắt a nên C và B nằm khác phía đối với a CD cắt a nên C và D nằm khác phía đối với a
Từ đó suy ra B và D nằm cùng phía đối với a (1) Vậy đoạn BD không cắt a
AB cắt a nên A và B nằm khác phía đối với a, kết hợp với (1) suy ra A và D nằm khác phía đối với a, do vậy AD cắt a
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm ngoài đường thẳng a Biết rằng các đoạn
thẳng AB, BC không cắt đường thẳng a, đoạn thẳng CD cắt đường thẳng a 1 Hãy chứng tỏ hai điểm A và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ a
2 Hãy chứng tỏ hai điểm A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a 3 Gọi I là giao điểm của đường thẳng a với đoạn thẳng AD Trong ba tia CA,
CD, CI tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
Lời giải:
1 AB không cắt a nên A và B nằm cùng phía đối với a
BC khơng cắt a nên B và C nằm cùng phía đối với a, do đó A và C thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a
2 A và C nằm cùng phía đối với a, CD cắt a nên C và D nằm khác phía đới với a