bai tap chon loc ve ti le thuc tinh chat cua day ti so bang nhau co loi giai

TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Phương pháp giải Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a b  Dạng tổng quát : c a : b d c:d Các số a d gọi ngoại tỉ ; số b c gọi trung tỉ Tính chất tỉ lệ thức a b  Tính chất : c d ad bc b,d  Tính chất hốn vị: Từ tỉ lệ thức ta có thể:  Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;  Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;  Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ Từ dãy tỉ số a b c d e a ta suy : f b c d e f a b c d e f a b c d e f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Khi có dãy tỉ số a b Ta viết a : b : c c , ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; 5 2:3:5 B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y 2x 3y 36 Giải  Tìm cách giải Để tìm x,y dãy tỉ số biết thêm điều kiện buộc Ta có thể:  Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ  Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số  Cách Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)  Trình bày lời giải + Cách : (Đặt ẩn phụ) Trang Đặt x y k suy : x Theo giả thiết : 2x Do : x Kết luận x 3.2 3y 6; y 6, y 3k, y 36 4.2 4k 6k 12k 36 18k 36 k 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Do : x x x y 2x 2.3 3y 3.4 36 18 y y Kết luận : x 6, y + Cách 3: (phương pháp thế) x y 3y Từ giả thiết x 4 3y 3y 36 9y 72 y Mà 2x 3y 36 3.8 Do : x Kết luận x 6, y x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết : 2x 3y z , Giải  Tìm cách giải Từ hai tỉ lệ thức giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y nối cần tạo thành phần chứa y giống Sau ý tưởng ví dụ trên, có cách giải  Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k  Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số  Cách Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số  Trình bày lời giải + Cách Từ giả thiết : y z y 12 x y x y 12 z 20 Trang x Từ (1) (2) , suy : x Ta đặt y 12 z 20 Theo giả thiết : 2x Do đó: x 27, y y 12 z * 20 k suy x 3y z 9k; y 18k 12k;z 26k 20k 20k 2k k 60 36,z + Cách Chúng ta biến đổi giả thiết cách đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y 12 z 20 2x 18 x x 27 y 12 y 36 z 20 z 60 Do đó: Kết luận : x 27, y 3y 36 z 20 2x 3y z 18 36 20 60 36,z + Cách (phương pháp : ta tính x, y theo z) Từ giả thiết : y z y Mà 2x z 3y Suy : y Kết luận : x 3.60 27, y 3z x ; 9z 20 36, x 36,z y 3z 9.60 20 3y x z z 10 3z 9z 20 60 z k 60 27 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x y biết x y xy 24 Giải Đặt x y k suy : x Theo giả thiết : xy 24 2k, y 3k 2k.3k 24 k2 Trang + Với k + Với k x 4; y x 4; y Kết luận Vậy x; y 4; , 4;6  Nhận xét Trong ví dụ mắc sai lầm sau : + Thứ lời giải thiếu trường hợp k + Thứ hai vận dụng tính chất : x 2 y xy 2.3 24 4! Chúng ta lưu ý tính chất dãy tỉ số không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với Do gặp điều kiện phép nhân lũy thừa biến, nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác , biết a x Chứng minh : b y bz cy cx a az ay b bx c c z Giải  Tìm cách giải Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa : ay hay cần chứng minh ay chứng minh bz cy bx 0,bz az ay cx a cy bx b 0,az cx bx,bz cy,az cx Vì từ giả thiết ta cần Với suy nghĩ , cần nhân c tỉ số với số thích hợp vào tử mẫu số cho vận dụng tính chất dãy tỉ số bz kết Quan sát tỉ số cy a cx az b ta thấy bz az ; để triệt tiêu được, cần nhân tử mẫu tỉ số thứ với a; nhân tử mẫu tỉ số thứ hai với b Tương tự với tỉ số thứ ba  Trình bày lời giải Từ đề ta có : abz acy a bcx abz b acy bcx c Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : abz acy a bcx Suy ay abz b bx acy 0,bz bcx c cy abz 0,bz cx acy bcx abz acy a b2 c2 bcx 0 Trang ay bx,bz cy,bz a x cx b y c z Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài tỉ lệ với Diện tích 1960m2 Tính chu vi hình chữ nhật Giải  Trình bày lời giải Đặt chiều rộng chiều dài khu đất x y (mét; x,y > 0) x Theo đề , ta có : Đặt x y y xy 1960 k (điều kiện k > ) , suy : x Theo giả thiết : xy 1960 Từ ta tìm : x 5k.8k 35; y 5k, y k2 1960 8k 49 (vì k k 0) 56 Suy chu vi hình chữ nhật : 35 56 182 m Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác không đối đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số : 2020a b a c a c Tính M d b d a b d 2020b b c a c a c d b d d b a b 2020c c d a b a b c d c 2020d d a c Giải Từ giả thiết suy : 2019 a a b c d a b c d a b a M b c c c d c d b d a + Trường hợp :Xét a c d b c c a c d c d b 2019 d a c d a d a d b b + Trường hợp 1: Xét a Suy M a 2019 2019 c b c d d ;b c a b c d d b c d a d a d a d Trang d Suy a b c d a a M a a a a a a a a a a Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác ,thỏa mãn tỉ lệ thức Chứng minh a b 1 1 21a 10b a 11b 21c 10d c 11d c d Giải Từ 21a 10b 21c 10d a 11b Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : c 11d Từ 21a 10b 21c 10d a 11b c 11d Từ 231a 110b 231c 110d 21a 21c 10a 110b 10c 110d Từ (1) (2) , suy : a c 21a 10b 21c 10d 231b 231d 21a 21c 231b 231d 231a 110b 10a 110b 231c 110d 10c 110d b a hay d b 241a 241c 241b 241d b d a c c d Ví dụ 8: Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nào, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tổng tỉ lệ với 7; ; Giải Đặt độ dài ba cạnh tam giác a, b, c Độ dài ba đường cao tương ứng h a ;h b ;h c Theo đề ta có : hb hb hc hc ah a bh b ch c Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : hb hb hc hc hc Mặt khác 3h c 2h a 3h c hc 2h a 2h b 5h 5h c hb hb 2h b Từ (2),(3) suy : hb hb 14 hc hb 9h c hb hc hc 2 hb hc 6h b hc 7h b 3h c 2h b 14 7h c 2h c hb hc hb hc hb hc Trang Đặt hb hc k k Kết hợp với (1), ta có : 3a 4b 3k;h b a 2c 4k;h c b 2k c Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; C Bài tập vận dụng 5.1 Tìm x, y biết : a) 2y 18 4y 24 6y ; 6x b) 2x 5.2 Cho x, y thỏa mãn 3y 2x 3y 12 5y 5x 7y 4x 3y Tìm x, y 6x 5.3 Tìm số x, y, z biết rằng: 3: : 5z2 a) x : y : z b) x c) 2x y 3y 3x 2 ;4 y 4z x 2y2 594 2x 3z y z 38 y z 685; 3y z 50 5.4 Tìm x, y, z biết rằng: a) 7x b) c) d) e) 12z x 10y x y y y z y z x x z xy 5.5 Cho a) a a 2020 b) 2020 c x y x y y z xz 15 a b z z x x ; y z x y z z y x y z; zx 11 yz xy 27 yz c Chứng minh rằng: d 2c b b2020 d 2020 d a a b c d c.b 2d ; 2020 2020 Trang 5.6 Cho a b c Các số x, y, z, t thỏa mãn xa d xa za Chứng minh 5.7 Cho tỉ lệ thức yb tb xc zc 3x y x y c3 d3 y y b c ; c d 5.10 Chứng minh a y ta có y z a b c z x b c a 5.11 Cho a, b, c thỏa mãn a c a 5.12 Cho a y b z x y y z bd Chứng minh rằng: 8b3 8c3 x x 3z 27c3 27d a d y a, b, c khác khác c x x y c a b a 2016 b 2018 c Chứng minh : 2020 x a3 b3 b) z z ac;c2 a b x Tính giá trị tỉ số y 5.9 Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b2 b3 c3 td yd td 5.8 Chứng minh : Nếu x a3 a) b zc yb z b b b a2 c x2 y2 b2 c2 t z có giá trị nguyên A x z y t Tính giá trị biểu thức B b c x a y b z Chứng minh : c t y t z x y x y z t x z x t y t x y z 5.14 Cho dãy tỉ số : a 5.15 Cho b z2 y t x 5.13 Cho x y z c c a a a1 a2 a1 a12 a2 a3 a2 a 22 b c a 32 a 2019 a 2020 z Chứng minh biểu thức sau a 2020 a1 a 2020 a 2020 Tính P a 49 b51 c100 Trang a 5.16 Cho a, b, c ba số dương, thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị biểu thức B 5.17 Cho a, b, c thỏa mãn a a b b 5.18 Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn 5.19 Cho x y y a c c b c a c a b Chứng minh : c b a c c a a b b c b c x x y y z z x Chứng minh x x 5.20 Cho số a; b; c khác thỏa mãn ab a 2x 3x 3y 4y bc b b a b c b z Tính giá trị biểu thức A Tính giá trị biểu thức P b c yz 4z (giả thiết A có nghĩa) 5z ca c c a ab2 bc2 ca a b c3 Trang HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 5.1 a) Vì 2y 18 24y 4y 24 18 3y 12 6x 18 6x b) Ta có : 5y 5x 6x 7y 4x 3y 20y 35y 12 20x 20x 3y 12y 18 24 18x 20y 20x 12y 12 48y 18 90 x 72y 5 35y 20x y 15 y Thay vào đề ,ta : Vậy x 18 4y Thay vào đề ta có : y 24 2y 15 15 5x x 15 y 5.2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 2x 3y 2x 3y 7 Kết hợp với đề suy ra: 2x  Trường hợp 1: Xét 2x suy ra: 2x 3y  Trường hợp 2: Xét 2x Thay vào đề ta có : Vậy x 2; y 2x 3y 2.2 2x 3y 12 3y 3y 12 2x 3y 6x 0;3y 0 suy 6x 3y 3y ;y x 12 x 3y 2 y 3 Nhận xét dễ bỏ sót trường hợp Trang 10 5.3 x a) Đặt y Mà 5z2 z 3x 66k 2y2 x suy x b) x y Đặt y Vậy x z 50 9k 2x 12 15 suy x y x x z 2;z 4k 50 9k 17;z 4z 12 x 18 45 k 4.5 23 y 16 3z 3k y 1; y 3k 3.5 y 2k 3y 12 594 15 2k 4k 2.16k 12;z k z 3.9k 3z 12 2.5 11; y c) Ta có : 12;z x 3y 4k 5k 9; y y 12 x Mà 2x k 9; y + Với k 4k;z 5.25k suy x x 12 3k; y 594 k2 594 + Với k k 4k 50 z 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x 18 y 16 z 15 suy : x x y z 18 16 15 36; y 32;z 38 19 y 42 z 35 30 5.4 a) Từ 7x 10y 12z x 60 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x 60 y 42 z 35 x y z 60 42 35 Từ suy : x 120; y 685 137 210;z 175 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : z y z y 5 z y z y Trang 11 z z 3;9 y 10 y 1;X y x a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y z x z x y x y x Kết hợp với đề bài, suy : x Suy : y z z x 2y x x y 2z x 2x x y z z x x y z z 2 x y z 3x y z 3y y z 3z 3y ;y b) Giải tương tự câu c, ta : x x 3x x y 3z z 11 ;z 13 c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: xy zx 15 yz 27 Suy : xy xy zx yz 15 27 xy zx 32 yz yz 63 Từ (1) ,(2) (3) nhân vế với vế : xyz + Trường hợp xyz a) Xét a Xét a c d c b a d 2d a b c d k bk,c bk bk Từ (1) (2), suy : a b) Đặt xyz 2;z k 2c b 36 1; y Kết hợp với (1),(2) (3) ta có: x a b Kết hợp với (1),(2) (3) ta có : x 5.5 Đặt 17 51 21 zx + Trường hợp xyz a 1; y dk 2dk b dk b 2c b bk,c 2;z d 2d d k b k b a c b 2d b d b d 2d 2d dk Trang 12 a 2020 Xét 2020 c Xét b 2020 d 2020 a b c d b 2020 k 2020 d 2020 k 2020 2020 2020 bk b dk d b 2020 d 2020 b 2020 k 2020 d 2020 k 2020 2020 b 2020 k 2020 d 2020 k 2020 b 2020 d 2020 b2020 d 2020 2020 Từ (1) (2) , suy điều phải chứng minh 5.6 Đặt a b c d k a bk;c dk Xét xa za yb tb xbk zbk yb tb b xk b zk y t xk zk y t Xét xc zc yd td xdk zdk yd td d xk d zk y t xk zk y t xa za Từ (1) (2) , suy : 5.7 Từ 12x 3x y x y 3x 5.8 Từ x x y 30 yb tb xc zc suy : 3x y 3y 4y 9x 7y y y z 3z y z 30 yd , điều phải chứng minh td 3x x y y 12x 4y 3x 3y x suy : 3z x 30 x y x 15 z z x 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y y 15 x z z y y 15 10 z z 10 5.9 Từ b2 ac a b c d b c z x Từ (1) (2) , suy : Đặt x x a b k x y z 15 10 x x y 10 z y y b ;c c a z bd bk;b y z x y , điều phải chứng minh b c ck;c c d a b b c c d dk Trang 13 a3 a) Xét b a Xét b b3 c3 c3 d3 b c c d a d Xét bk ck dk b c d a3 Từ (1) (2), suy : b a3 b) Xét b k b3 b 3k c3k d 3k b c3 d b3 c3 b c k b c d b c d c3 d3 a b b c c d 8b3 8c3 27c3 27d3 b3k 8c3k 27d3k b3 8c3 27d3 a b c b c d k.k.k k3 c3 d3 3 d k3 k3 điều phải chứng minh k b3 b 8c3 8c 27d3 27d k3 Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh 5.10 Từ a y a y z abc z b z b z x abc x c x c x y abc y suy y z z bc x ac x y ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : y z z bc y z x ac y bc z x y c a b y y z bc x ab y z x b c a y x y ab z ac x y z a b c ac z x bc z x ab x x ac ab Từ (1), (2), (3) , suy y z a b c z x b c a x y , điều phải chứng minh c a b 5.11 Áp dụng tỉ số , ta có : a 2016 a b 2018 c 16 Do c 2020 a a c a b b a b b c 2 c b b a c c a b b c Trang 14 5.12 Áp dụng tính chất tỉ số , ta có : x a y b z c x a Suy : x ( a y b 5.13 Từ x y z x y z y z x x2 a2 2 z x2 t t z z c y2 b2 t x z y z t A x2 a2 t ;y 1 z x t 1) c y2 b2 z2 c2 x t y z x t y t x y y x z t t x (t x) t x t x y z t (z t) 1 y z t z y z x t x (z t) z t Suy A b x2 z2 y x z z x y t x (t x) z t Suy y x t x y x y x x x x x x x x 1 1 t x x z x x t x x x x t y y z z  Trường hợp 2: Xét x Suy A y2 z2 y t x z y z2 c2 y t x z z t y2  Trường hợp 1: Xét x x z (Vì a y 1) y y z c Vậy x x y b z z t Vậy biểu thức A ln có giá trị số ngun 5.14 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : a1 a2 a2 a3 Suy : a1 Do B a2 a1 a12 a 2019 a 2020 a 2020 a1 a 2019 a1 a a 2019 a 2020 a a a 2020 a1 a 2020 a1 a1 a12 a12 20202 a12 2020.a12 2020 5.15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : Trang 15 a b b c c a a b b c c a a a 49 a 51 a100 c Do P b 5.16 Từ đề suy : a b c c b Mà a,b,c c a a nên a Từ , ta có : B c b b a a a , suy a c a a a b b a a b c c a b a c a b b c c 5.17 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : a a b b a c c a a b 5.18 Từ b b c a x x y y a a c c b b 2c c c b c z z x x suy x z a a b b c c c 2b 2b y x x z y x Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x z y x x z y x x z y x x z x z y x x z y x x z y x x y z x Từ (1) (2) , suy : 5.19 Từ Đặt x 15 x y y 20 Do A x 15 z 24 b ab a b bc b c z y 20 x a b y x y y ; 20 ca a 2y 2x yz k c x z x2 ta có : c 2x 2z y x 15k; y 30k 60k 96k 45k 80k 120k 5.20 Với a,b,c a x z y x c 20k;z 186k 250k ab a z x suy 24 15 b b a P 1 c z 24 24k 93 125 bc b y 20 ca c c b a a c Trang 16 Trang 17 ... x 3.2 3y 6; y 6, y 3k, y 36 4.2 4k 6k 12k 36 18k 36 k 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Do : x x x y 2x 2.3 3y 3.4 36 18 y y Kết luận : x 6,... 20k 20k 2k k 60 36,z + Cách Chúng ta biến đổi giả thiết cách đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y 12 z 20 2x 18 x x 27 y 12 y 36 z 20 z 60 Do đó: Kết luận : x 27, y 3y 36 z 20... số cho vận dụng tính chất dãy tỉ số bz kết Quan sát tỉ số cy a cx az b ta thấy bz az ; để triệt ti? ?u được, cần nhân tử mẫu tỉ số thứ với a; nhân tử mẫu tỉ số thứ hai với b Tương tự với tỉ số thứ