Thông tin tài liệu
TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Phương pháp giải Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a b Dạng tổng quát : c a : b d c:d Các số a d gọi ngoại tỉ ; số b c gọi trung tỉ Tính chất tỉ lệ thức a b Tính chất : c d ad bc b,d Tính chất hốn vị: Từ tỉ lệ thức ta có thể: Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau; Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau; Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ Từ dãy tỉ số a b c d e a ta suy : f b c d e f a b c d e f a b c d e f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Khi có dãy tỉ số a b Ta viết a : b : c c , ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; 5 2:3:5 B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y 2x 3y 36 Giải Tìm cách giải Để tìm x,y dãy tỉ số biết thêm điều kiện buộc Ta có thể: Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số Cách Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x) Trình bày lời giải + Cách : (Đặt ẩn phụ) Trang Đặt x y k suy : x Theo giả thiết : 2x Do : x Kết luận x 3.2 3y 6; y 6, y 3k, y 36 4.2 4k 6k 12k 36 18k 36 k 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Do : x x x y 2x 2.3 3y 3.4 36 18 y y Kết luận : x 6, y + Cách 3: (phương pháp thế) x y 3y Từ giả thiết x 4 3y 3y 36 9y 72 y Mà 2x 3y 36 3.8 Do : x Kết luận x 6, y x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết : 2x 3y z , Giải Tìm cách giải Từ hai tỉ lệ thức giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y nối cần tạo thành phần chứa y giống Sau ý tưởng ví dụ trên, có cách giải Cách Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k Cách Sử dụng tính chất dãy tỉ số Cách Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số Trình bày lời giải + Cách Từ giả thiết : y z y 12 x y x y 12 z 20 Trang x Từ (1) (2) , suy : x Ta đặt y 12 z 20 Theo giả thiết : 2x Do đó: x 27, y y 12 z * 20 k suy x 3y z 9k; y 18k 12k;z 26k 20k 20k 2k k 60 36,z + Cách Chúng ta biến đổi giả thiết cách đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y 12 z 20 2x 18 x x 27 y 12 y 36 z 20 z 60 Do đó: Kết luận : x 27, y 3y 36 z 20 2x 3y z 18 36 20 60 36,z + Cách (phương pháp : ta tính x, y theo z) Từ giả thiết : y z y Mà 2x z 3y Suy : y Kết luận : x 3.60 27, y 3z x ; 9z 20 36, x 36,z y 3z 9.60 20 3y x z z 10 3z 9z 20 60 z k 60 27 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x y biết x y xy 24 Giải Đặt x y k suy : x Theo giả thiết : xy 24 2k, y 3k 2k.3k 24 k2 Trang + Với k + Với k x 4; y x 4; y Kết luận Vậy x; y 4; , 4;6 Nhận xét Trong ví dụ mắc sai lầm sau : + Thứ lời giải thiếu trường hợp k + Thứ hai vận dụng tính chất : x 2 y xy 2.3 24 4! Chúng ta lưu ý tính chất dãy tỉ số không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với Do gặp điều kiện phép nhân lũy thừa biến, nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác , biết a x Chứng minh : b y bz cy cx a az ay b bx c c z Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa : ay hay cần chứng minh ay chứng minh bz cy bx 0,bz az ay cx a cy bx b 0,az cx bx,bz cy,az cx Vì từ giả thiết ta cần Với suy nghĩ , cần nhân c tỉ số với số thích hợp vào tử mẫu số cho vận dụng tính chất dãy tỉ số bz kết Quan sát tỉ số cy a cx az b ta thấy bz az ; để triệt tiêu được, cần nhân tử mẫu tỉ số thứ với a; nhân tử mẫu tỉ số thứ hai với b Tương tự với tỉ số thứ ba Trình bày lời giải Từ đề ta có : abz acy a bcx abz b acy bcx c Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : abz acy a bcx Suy ay abz b bx acy 0,bz bcx c cy abz 0,bz cx acy bcx abz acy a b2 c2 bcx 0 Trang ay bx,bz cy,bz a x cx b y c z Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài tỉ lệ với Diện tích 1960m2 Tính chu vi hình chữ nhật Giải Trình bày lời giải Đặt chiều rộng chiều dài khu đất x y (mét; x,y > 0) x Theo đề , ta có : Đặt x y y xy 1960 k (điều kiện k > ) , suy : x Theo giả thiết : xy 1960 Từ ta tìm : x 5k.8k 35; y 5k, y k2 1960 8k 49 (vì k k 0) 56 Suy chu vi hình chữ nhật : 35 56 182 m Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác không đối đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số : 2020a b a c a c Tính M d b d a b d 2020b b c a c a c d b d d b a b 2020c c d a b a b c d c 2020d d a c Giải Từ giả thiết suy : 2019 a a b c d a b c d a b a M b c c c d c d b d a + Trường hợp :Xét a c d b c c a c d c d b 2019 d a c d a d a d b b + Trường hợp 1: Xét a Suy M a 2019 2019 c b c d d ;b c a b c d d b c d a d a d a d Trang d Suy a b c d a a M a a a a a a a a a a Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác ,thỏa mãn tỉ lệ thức Chứng minh a b 1 1 21a 10b a 11b 21c 10d c 11d c d Giải Từ 21a 10b 21c 10d a 11b Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : c 11d Từ 21a 10b 21c 10d a 11b c 11d Từ 231a 110b 231c 110d 21a 21c 10a 110b 10c 110d Từ (1) (2) , suy : a c 21a 10b 21c 10d 231b 231d 21a 21c 231b 231d 231a 110b 10a 110b 231c 110d 10c 110d b a hay d b 241a 241c 241b 241d b d a c c d Ví dụ 8: Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nào, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tổng tỉ lệ với 7; ; Giải Đặt độ dài ba cạnh tam giác a, b, c Độ dài ba đường cao tương ứng h a ;h b ;h c Theo đề ta có : hb hb hc hc ah a bh b ch c Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : hb hb hc hc hc Mặt khác 3h c 2h a 3h c hc 2h a 2h b 5h 5h c hb hb 2h b Từ (2),(3) suy : hb hb 14 hc hb 9h c hb hc hc 2 hb hc 6h b hc 7h b 3h c 2h b 14 7h c 2h c hb hc hb hc hb hc Trang Đặt hb hc k k Kết hợp với (1), ta có : 3a 4b 3k;h b a 2c 4k;h c b 2k c Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; C Bài tập vận dụng 5.1 Tìm x, y biết : a) 2y 18 4y 24 6y ; 6x b) 2x 5.2 Cho x, y thỏa mãn 3y 2x 3y 12 5y 5x 7y 4x 3y Tìm x, y 6x 5.3 Tìm số x, y, z biết rằng: 3: : 5z2 a) x : y : z b) x c) 2x y 3y 3x 2 ;4 y 4z x 2y2 594 2x 3z y z 38 y z 685; 3y z 50 5.4 Tìm x, y, z biết rằng: a) 7x b) c) d) e) 12z x 10y x y y y z y z x x z xy 5.5 Cho a) a a 2020 b) 2020 c x y x y y z xz 15 a b z z x x ; y z x y z z y x y z; zx 11 yz xy 27 yz c Chứng minh rằng: d 2c b b2020 d 2020 d a a b c d c.b 2d ; 2020 2020 Trang 5.6 Cho a b c Các số x, y, z, t thỏa mãn xa d xa za Chứng minh 5.7 Cho tỉ lệ thức yb tb xc zc 3x y x y c3 d3 y y b c ; c d 5.10 Chứng minh a y ta có y z a b c z x b c a 5.11 Cho a, b, c thỏa mãn a c a 5.12 Cho a y b z x y y z bd Chứng minh rằng: 8b3 8c3 x x 3z 27c3 27d a d y a, b, c khác khác c x x y c a b a 2016 b 2018 c Chứng minh : 2020 x a3 b3 b) z z ac;c2 a b x Tính giá trị tỉ số y 5.9 Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b2 b3 c3 td yd td 5.8 Chứng minh : Nếu x a3 a) b zc yb z b b b a2 c x2 y2 b2 c2 t z có giá trị nguyên A x z y t Tính giá trị biểu thức B b c x a y b z Chứng minh : c t y t z x y x y z t x z x t y t x y z 5.14 Cho dãy tỉ số : a 5.15 Cho b z2 y t x 5.13 Cho x y z c c a a a1 a2 a1 a12 a2 a3 a2 a 22 b c a 32 a 2019 a 2020 z Chứng minh biểu thức sau a 2020 a1 a 2020 a 2020 Tính P a 49 b51 c100 Trang a 5.16 Cho a, b, c ba số dương, thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị biểu thức B 5.17 Cho a, b, c thỏa mãn a a b b 5.18 Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn 5.19 Cho x y y a c c b c a c a b Chứng minh : c b a c c a a b b c b c x x y y z z x Chứng minh x x 5.20 Cho số a; b; c khác thỏa mãn ab a 2x 3x 3y 4y bc b b a b c b z Tính giá trị biểu thức A Tính giá trị biểu thức P b c yz 4z (giả thiết A có nghĩa) 5z ca c c a ab2 bc2 ca a b c3 Trang HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 5.1 a) Vì 2y 18 24y 4y 24 18 3y 12 6x 18 6x b) Ta có : 5y 5x 6x 7y 4x 3y 20y 35y 12 20x 20x 3y 12y 18 24 18x 20y 20x 12y 12 48y 18 90 x 72y 5 35y 20x y 15 y Thay vào đề ,ta : Vậy x 18 4y Thay vào đề ta có : y 24 2y 15 15 5x x 15 y 5.2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 2x 3y 2x 3y 7 Kết hợp với đề suy ra: 2x Trường hợp 1: Xét 2x suy ra: 2x 3y Trường hợp 2: Xét 2x Thay vào đề ta có : Vậy x 2; y 2x 3y 2.2 2x 3y 12 3y 3y 12 2x 3y 6x 0;3y 0 suy 6x 3y 3y ;y x 12 x 3y 2 y 3 Nhận xét dễ bỏ sót trường hợp Trang 10 5.3 x a) Đặt y Mà 5z2 z 3x 66k 2y2 x suy x b) x y Đặt y Vậy x z 50 9k 2x 12 15 suy x y x x z 2;z 4k 50 9k 17;z 4z 12 x 18 45 k 4.5 23 y 16 3z 3k y 1; y 3k 3.5 y 2k 3y 12 594 15 2k 4k 2.16k 12;z k z 3.9k 3z 12 2.5 11; y c) Ta có : 12;z x 3y 4k 5k 9; y y 12 x Mà 2x k 9; y + Với k 4k;z 5.25k suy x x 12 3k; y 594 k2 594 + Với k k 4k 50 z 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x 18 y 16 z 15 suy : x x y z 18 16 15 36; y 32;z 38 19 y 42 z 35 30 5.4 a) Từ 7x 10y 12z x 60 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x 60 y 42 z 35 x y z 60 42 35 Từ suy : x 120; y 685 137 210;z 175 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : z y z y 5 z y z y Trang 11 z z 3;9 y 10 y 1;X y x a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y z x z x y x y x Kết hợp với đề bài, suy : x Suy : y z z x 2y x x y 2z x 2x x y z z x x y z z 2 x y z 3x y z 3y y z 3z 3y ;y b) Giải tương tự câu c, ta : x x 3x x y 3z z 11 ;z 13 c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: xy zx 15 yz 27 Suy : xy xy zx yz 15 27 xy zx 32 yz yz 63 Từ (1) ,(2) (3) nhân vế với vế : xyz + Trường hợp xyz a) Xét a Xét a c d c b a d 2d a b c d k bk,c bk bk Từ (1) (2), suy : a b) Đặt xyz 2;z k 2c b 36 1; y Kết hợp với (1),(2) (3) ta có: x a b Kết hợp với (1),(2) (3) ta có : x 5.5 Đặt 17 51 21 zx + Trường hợp xyz a 1; y dk 2dk b dk b 2c b bk,c 2;z d 2d d k b k b a c b 2d b d b d 2d 2d dk Trang 12 a 2020 Xét 2020 c Xét b 2020 d 2020 a b c d b 2020 k 2020 d 2020 k 2020 2020 2020 bk b dk d b 2020 d 2020 b 2020 k 2020 d 2020 k 2020 2020 b 2020 k 2020 d 2020 k 2020 b 2020 d 2020 b2020 d 2020 2020 Từ (1) (2) , suy điều phải chứng minh 5.6 Đặt a b c d k a bk;c dk Xét xa za yb tb xbk zbk yb tb b xk b zk y t xk zk y t Xét xc zc yd td xdk zdk yd td d xk d zk y t xk zk y t xa za Từ (1) (2) , suy : 5.7 Từ 12x 3x y x y 3x 5.8 Từ x x y 30 yb tb xc zc suy : 3x y 3y 4y 9x 7y y y z 3z y z 30 yd , điều phải chứng minh td 3x x y y 12x 4y 3x 3y x suy : 3z x 30 x y x 15 z z x 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y y 15 x z z y y 15 10 z z 10 5.9 Từ b2 ac a b c d b c z x Từ (1) (2) , suy : Đặt x x a b k x y z 15 10 x x y 10 z y y b ;c c a z bd bk;b y z x y , điều phải chứng minh b c ck;c c d a b b c c d dk Trang 13 a3 a) Xét b a Xét b b3 c3 c3 d3 b c c d a d Xét bk ck dk b c d a3 Từ (1) (2), suy : b a3 b) Xét b k b3 b 3k c3k d 3k b c3 d b3 c3 b c k b c d b c d c3 d3 a b b c c d 8b3 8c3 27c3 27d3 b3k 8c3k 27d3k b3 8c3 27d3 a b c b c d k.k.k k3 c3 d3 3 d k3 k3 điều phải chứng minh k b3 b 8c3 8c 27d3 27d k3 Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh 5.10 Từ a y a y z abc z b z b z x abc x c x c x y abc y suy y z z bc x ac x y ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : y z z bc y z x ac y bc z x y c a b y y z bc x ab y z x b c a y x y ab z ac x y z a b c ac z x bc z x ab x x ac ab Từ (1), (2), (3) , suy y z a b c z x b c a x y , điều phải chứng minh c a b 5.11 Áp dụng tỉ số , ta có : a 2016 a b 2018 c 16 Do c 2020 a a c a b b a b b c 2 c b b a c c a b b c Trang 14 5.12 Áp dụng tính chất tỉ số , ta có : x a y b z c x a Suy : x ( a y b 5.13 Từ x y z x y z y z x x2 a2 2 z x2 t t z z c y2 b2 t x z y z t A x2 a2 t ;y 1 z x t 1) c y2 b2 z2 c2 x t y z x t y t x y y x z t t x (t x) t x t x y z t (z t) 1 y z t z y z x t x (z t) z t Suy A b x2 z2 y x z z x y t x (t x) z t Suy y x t x y x y x x x x x x x x 1 1 t x x z x x t x x x x t y y z z Trường hợp 2: Xét x Suy A y2 z2 y t x z y z2 c2 y t x z z t y2 Trường hợp 1: Xét x x z (Vì a y 1) y y z c Vậy x x y b z z t Vậy biểu thức A ln có giá trị số ngun 5.14 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : a1 a2 a2 a3 Suy : a1 Do B a2 a1 a12 a 2019 a 2020 a 2020 a1 a 2019 a1 a a 2019 a 2020 a a a 2020 a1 a 2020 a1 a1 a12 a12 20202 a12 2020.a12 2020 5.15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : Trang 15 a b b c c a a b b c c a a a 49 a 51 a100 c Do P b 5.16 Từ đề suy : a b c c b Mà a,b,c c a a nên a Từ , ta có : B c b b a a a , suy a c a a a b b a a b c c a b a c a b b c c 5.17 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : a a b b a c c a a b 5.18 Từ b b c a x x y y a a c c b b 2c c c b c z z x x suy x z a a b b c c c 2b 2b y x x z y x Áp dụng tính chất dãy tỉ số , ta có : x z y x x z y x x z y x x z x z y x x z y x x z y x x y z x Từ (1) (2) , suy : 5.19 Từ Đặt x 15 x y y 20 Do A x 15 z 24 b ab a b bc b c z y 20 x a b y x y y ; 20 ca a 2y 2x yz k c x z x2 ta có : c 2x 2z y x 15k; y 30k 60k 96k 45k 80k 120k 5.20 Với a,b,c a x z y x c 20k;z 186k 250k ab a z x suy 24 15 b b a P 1 c z 24 24k 93 125 bc b y 20 ca c c b a a c Trang 16 Trang 17 ... x 3.2 3y 6; y 6, y 3k, y 36 4.2 4k 6k 12k 36 18k 36 k 8 + Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Do : x x x y 2x 2.3 3y 3.4 36 18 y y Kết luận : x 6,... 20k 20k 2k k 60 36,z + Cách Chúng ta biến đổi giả thiết cách đến (*) Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y 12 z 20 2x 18 x x 27 y 12 y 36 z 20 z 60 Do đó: Kết luận : x 27, y 3y 36 z 20... số cho vận dụng tính chất dãy tỉ số bz kết Quan sát tỉ số cy a cx az b ta thấy bz az ; để triệt ti? ?u được, cần nhân tử mẫu tỉ số thứ với a; nhân tử mẫu tỉ số thứ hai với b Tương tự với tỉ số thứ
Ngày đăng: 17/10/2022, 12:37
Xem thêm:
