CHUYÊN ĐỀ - TOÁN LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức I Tỉ lệ thức Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: � � = a:b=c:d � � Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ Tính chất a) Tính chất (Tính chất bản) � � = => ad = bc (với b,d≠0) � � b) Tính chất (Tính chất hốn vị) Từ tỉ lệ thức � � = (a,b,c,d≠0) ta suy ba tỉ lệ thức khác cách: � � - Đổi chỗ ngoại tỉ cho - Đổi chỗ trung tỉ cho - Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho Cụ thể: Từ � � = (a,b,c,d≠0) � � � � � � � � => = , = , = � � � � � � II Tính chất dãy tỉ số ThuVienDeThi.com 1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức 2) Tính chất 2: � �+� �‒� � � (b≠±d) = suy = = � �+� �‒� � � � � � = = ta suy � � � � � � �+�+� �‒�+� �‒� = = = = = =… � � � �+�+� �‒�+� �‒� (Giả thiết tỉ số có nghĩa) * Nâng cao Nếu Từ �1� + �2� + �3� � � � = = =k =� �1� + �2� + �3� � � � � � �±� �±� = => +) = � � � � +) �±� �±� = � � (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c � � � = = � � � B Các dạng toán phương pháp giải Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải toán chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức ThuVienDeThi.com Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết: �‒3 = �+5 �‒1 �‒2 b) = �+2 �+3 Giải a) a) Từ �‒3 = => 7(x-3) = 5(x+5) Giải x = 23 �+5 b) Cách Từ �‒1 �‒2 => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2) = �+2 �+3 (x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2 �2 - x + 3x – = �2 + 2x – 2x – Cách 2: Đưa 2x = -1 => x = ‒ x 1 x2 +1= +1 x2 x3 2x 1 2x 1 = x2 x3 2x+1=0 x= - (Do x+2 x+3) Bài 2: Tìm x, y, z biết: � � � = = x – 3y + 4z = 62 Giải Cách (Đặt giá trị chung) Đặt � = 4� � � � � = 3� => = = =� � = 9� { Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62 ThuVienDeThi.com 4k – 9k + 36k = 62 � = 4.2 = Do � = 3.2 = � = 9.2 = 18 { 31k = 62 => k = Vậy x = 8; y= 6; z = 18 Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: � � � � ‒ 3� + 4� 62 = = = = =2 ‒ 3.3 + 4.9 31 Cách (Phương pháp thế) � � = Từ � � = => x= => y= { 4� 3� Mà x – 3y + 4z = 62 => Do x = � = 4.2 = => � = 3.2 = � = 9.2 = 18 3� 4� ‒ + 4� = 62 đua 31z = 558 => z = 18 9 4.18 3.18 = ; y= =6 9 Vậy x = 8; y = v z =18 Bài 3: Tìm x, y, z biết: a) � � = ; = 2x + 3y – z = 186 � � b) 2x = 3y = 5z |� + � ‒ �|=95 a) Cách 1: Từ Giải � � � � � = => = => = � 4 15 20 ThuVienDeThi.com Và => � � � � � = => = => = 20 28 � � � � = (*) = 15 20 28 Ta có: � � 2� + 3� ‒ � 186 � = = = = =3 15 20 28 2.15 + 3.20 ‒ 28 62 � = 15.3 = 45 => � = 20.3 = 60 � = 28.3 = 84 { Vậy x=45; y=60 z=84 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt (Sau giải cách 2) � � � = =k = 15 20 28 Cách 3: Sau làm đến (*) dùng phương pháp giải cách b) Vì 2x = 3y = 5z => 2� 3� 5� � � � = => = = = 30 30 30 15 10 x y z 95 Mà |� + � ‒ �| = 95 x y z 95 +) Nếu x+y-z= 95 � � � �+�‒� 95 Ta có = = = = =5 15 10 15 + 10 ‒ 19 +) Nếu x + y – z = - 95 Ta có � = 75 � => = 50 � = 30 { � =‒ 75 � � � �+�‒� ‒ 95 = = = = =‒ => � =‒ 50 15 10 15 + 10 ‒ 19 � =‒ 30 { � = 75;� = 50;� = 30 Vậy: � =‒ 75;� =‒ 50;� =‒ 30 [ Bài 4: Tìm x, y, z biết: ThuVienDeThi.com a) 18 � = � = � – x + z = -196 11 b) �‒1 �+3 �‒5 5z – 3x – 4y = 50 = = c) x + y – z = - 10 3x y z x y 3z Giải a) Vì => => => 6� 11 = 18 �= �= � 11 9� = 18� 9� 18� 6� = = 11.18 2.18 5.18 � � � = = 33 Ta có � = 231 ‒�+� ‒ 196 � � � � = 28 = = => = = =7 ‒ 28 33 ‒ 33 + � = 35 { Vậy x = 231; y = 28 z = 35 b) Ta có �‒1 �+3 �‒5 = = = 3(� ‒ 1) = Vậy x = 5; y = z = 17 4(� + 3) 5(� ‒ 5) 5(� ‒ 5) ‒ 3(� ‒ 1) ‒ 4(� + 3) 50 ‒ = = = 16 30 30 ‒ ‒ 16 { � ‒ = => � = � + = => � = � ‒ = 12 => � = 17 ThuVienDeThi.com c) Vì = 3x y z x y 3z 3� ‒ 2� 2� ‒ 4� 4� ‒ 3� 12� ‒ 8� 6� ‒ 12� 8� ‒ 6� 12� = = = = = 16 =0 3� = 2� => 2� = 4� 4� = 3� = 3� ‒ 2� = => 2� ‒ 4� = 4� ‒ 3� = { Từ => { 3� = 2� => { � = � x y z x y z 10 10 � � 23 4� = 3� => = { � =‒ 20 � =‒ 30 Vậy x = - 20; y = -30 z = -40 � =‒ 40 Bài 5: Tìm x y, z biết: a) x: y: z = 2: 3: xyz = 810 �3 �3 �3 b) = �2+2�2 ‒ 3�2 = - 650 = 27 64 Giải a) Vì x: y: z = 2: 3: => � � � = = Cách (Đặt giá trị chung) � = 2� � � � Đặt = = = � => � = 3� � = 5� { Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30�3=810 => �3=27 => k = ThuVienDeThi.com � = 2.3 = => � = 3.3 = Vậy x = 6; y = z = 15 � = 5.3 = 15 { Cách 2: Từ � � = 810 = 5� => (2�)3= 2�.�3.5� = ��� = = 27 30 30 � = => x = thay vào đề tìm y = ; z = 15 Vậy x = 6; y = z = 15 Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách � �3 �3 �3 b) Từ = => = 27 64 � � � � � => = = 4 () () () = = Cách 1: (Đặt giá trị chung) Đặt � = 2� � � � � = 3� = = k => = � = 4� { Mà �2 + 2�2 – 3�2 = - 650 => 4�2 + 2.9�2 ‒ 3.16�2 = ‒ 650 =>-26�2 = ‒ 650 => �2 = 25 => � =± � = 10 Nếu k = 5=> � = 15 � = 20 { � = ‒ 10 Nếu k = -5 => � =‒ 25 � =‒ 20 { � = 10;� = 15;� = 20 Vậy � =‒ 10;� =‒ 15;� =‒ 20 [ Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) � � � �2 �2 �2 �2 + 2�2 ‒ 3�2 ‒ 650 Vì = = => = = = = = 25 16 + 2.9 ‒ 3.16 ‒ 26 ThuVienDeThi.com �2 = 100 => � =± 10 => �2 = 225 => � =± 15 �2 = 400 => � =± 20 { Theo đề suy x,y,z dấu x 10; y 15; z 20 Vậy x 10; y 15; z 20 Cách (Phương pháp thế) Bài 6: Tìm x, y, z biết: � � � = = = � + � + � (1) �+�+1 �+�+2 �+�‒3 Giải: * Nếu � + � + � Ta c ó � �+�+1 � � �+�+� = = � + � + � + � ‒ (� + � + 1) + (� + � + 2) + (� + � = = (2) Từ (1) (2) ta có x + y + z = ThuVienDeThi.com �+�= ‒� => � + � = ‒ � �+�= ‒� { � ‒�+1 Hay +) +) = � ‒� � = � = ‒� ‒� thay � ‒�+2 = � ‒� = = � ‒�‒3 � = ‒5 ‒� 3 => 2x = ‒ � => 3x = => x = 2 2 5 => 2y = ‒ � => 3y = => y = 2 +) Có x + y + z = , mà x = y = 2 1 ‒5 =>z= ‒ ‒ = Vậy y = 2 6 ‒5 �= { x = * Nếu x + y + z = ta có: (1) => � � � = = =0 �+�+1 �+�+2 �+�‒3 => x = y = z = ThuVienDeThi.com vào đề ta được: ‒5 x = ; y = ; � = Vậy 6 x = y = z = [ Bài 7: Tìm x, y biết: + 2� + 4� + 6� = = 18 24 6� + 3� + 5� + 7� b) = = 12 5� 4� Giải a) a) Vì + 2� + 4� => 24(1+2y) = 18(1+4y) = 24 18 =>24 +48y = 18 +72y Đưa 24y = => y = thay vào đề ta có + => 6� = 18 => 18x = 90 => x = 2 Ta có 18 + = 6� => 18 = 6� 1 3y 12 + 3� 12 + 5� + 7� + 20� + 35� + 3� + + = = = = 5� 4� 20� 20� 12 + 20� ‒ 12� =‒ � 12 ‒1 + 5� =>1+3y = -12y => 15y = -1 => y = thay vào =‒ � 15 5� = + Ta 5� ‒1 15 = 1 1 => 5x = ‒ => � = => x = 15 3 15 ThuVienDeThi.com Vậy x = y = ‒1 15 Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức � � = ta thường dùng số phương pháp sau: � � •) Phương pháp 1: Chứng tỏ A.D = B.C •) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số � � �à có giá trị � � •) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức * Một số kiến thức cần ý •) •) � �.� (n ≠ 0) = � �.� � � � = => � � � � � () () �= � (n ∈ N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) Bài 1: Cho tỉ lệ thức �+� �+� � � = Chứng minh = �‒� �‒� � � GIẢI Cách (pp1): ThuVienDeThi.com (a + b).(c ‒ d) = ac – ad + bc ‒ bd (a ‒ b).(c + d) = ac + ad ‒ bc ‒ bd Ta có: a c Vì = = > ad = bc b d (a+b).(c-d) = (a – b).(c+d) Cách (pp2): Đặt � � � = �� = = k => � = �� � � } �+� �+� = �‒� �‒� { �� �ó: �+� �+� = �‒� �‒� � + � �� + � �(� + 1) � + = = = � ‒ � �� ‒ � �(� ‒ 1) � ‒ � + � �� + � �(� + 1) � + = = = � ‒ � �� ‒ � �(� ‒ 1) � ‒ } Cách (pp3): Từ � � � � = => = � � � � Ta có: � � �+� �‒� = = = � � �+� �‒� �+� �+� = �‒� �‒� ThuVienDeThi.com � � = � � Cách 4: Từ { => � � �+� �+� �+� � + = + => = => = � � � � �+� � � � �‒� �‒� �‒� � ‒ = ‒ => = => = � � � � �‒� � �+� �‒� = �+� �‒� => � � Bài 2: Cho tỉ lệ thức = � � �+� �+� = �‒� �‒� �� �2 ‒ �2 Chứng minh = �� �2 ‒ �2 (1) GIẢI Cách 1: a c Vì = = > ad = bc b d Có: ab(�2 ‒ �2) = ���2 ‒ ���2 = ���� ‒ ���� ��(�2 ‒ �2) = ���2 ‒ ���2 = ���� ‒ ���� } ab(�2 ‒ �2) = ��(�2 ‒ �2) 2 Cách 2: � � = =k � � �� � ‒ � = �� �2 ‒ �2 � = �� => � = �� thay vào vế (1) chứng minh vế có giá trị { Cách 3: ThuVienDeThi.com Vì � � � � � => = => = � � � � � � = � () () �� �2 �2 �2 ‒ �2 = = = �� �2 �2 �2 ‒ �2 B ài 3: chứng minh � � = � � �� = �� 5� + 3� 5� + 3� = 5� ‒ 3� 5� ‒ 3� 7�2 + 3�� 7�2 + 3�� b) = 2 11� ‒ 8� 11�2 ‒ 8�2 a) GIẢI � � � � 5� + 3� 5� ‒ 3� = => = = = � � � � 5� + 3� 5� ‒ 3� 5� + 3� 5� + 3� => = 5� ‒ 3� 5� ‒ 3� � � � � Từ = => = � � � � �2 �2 �� 7�2 8�2 3�� 11�2 => = = = 2= 2= = 2 �� 3�� 7� 8� 11�2 � � a) Từ b) 7�2 + 3�� 11�2 ‒ 8�2 = = 7� + 3�� 11�2 ‒ 8�2 ThuVienDeThi.com => 7�2 + 3�� 11�2 ‒ 8�2 7�2 + 3�� 11� ‒ 8� = Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng: 1) �3 + �3 ‒ �3 �+�‒� = 3 �+�‒� � +� ‒� � �3 + 8�3 + 125�3 2) = � �3 + 8�3 + 125�3 ( ) GIẢI a b = b c 1) Vì b c c2 = bd = > = c d b2 = ac = > } � � � �+�‒� = = = � � � �+�‒� 3 � �3 � + � ‒ � �3 + �3 ‒ �3 � = = = = 3 3 � + � ‒ � � � � + �3 ‒ �3 � ( Vậy �3 + �3 ‒ �3 ) �+�‒� = 3 �+�‒� � +� ‒� ( ) ThuVienDeThi.com �3 � Có: 2) = �3 = �3 = } �3 + 8�3 + 125�3 � �3 � � � � �à = 3= = � ��� � � � �3 + 8�3 + 125�3 � () � �3 + 8�3 + 125�3 = � �3 + 8�3 + 125�3 � � � Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn = = 2014 2015 2016 Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = (� ‒ �)2 Từ � GIẢI � � �‒� �‒� �‒� = = = = = 2014 2015 2016 ‒1 ‒1 2(� ‒ �) 2(� ‒ �) = =�‒� ‒1 ‒1 4(� ‒ �)(� ‒ �) = (� ‒ �)2 �' � �' Bài 6: Biết + = + = �' � �' � � CMR: abc + �'�'�'= �' Từ + = �' � � GIẢI => ab + �'�' = �'� Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + �'�'� = �'�� ThuVienDeThi.com (1) (2) �' Ta c ó : + = �' � � => bc + �'�' = �'� (3) Nhân hai vế (3) với �' ta có: �'�� + �'�'�' = �'�'� (4) Cộng hai vế (2) (4) ta có: abc + �'�'� + �'�� + �'�'�' = �'�� + �'�'� abc + �'�'�'= Bài 7: Cho CMR: � � � = = � � � �� ‒ �� �� ‒ �� �� ‒ �� = = � � � (1) GIẢI Nhân thêm tử mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: �� - �� � = = ��� - ��� �2 = ��� - ��� �2 = ��� - ��� �2 ��� - ��� + ��� - ��� + ��� - ��� 2 � +� +� =0 � � = � � � � �� ‒ �� = => �� = �� => = � � { �� ‒ �� = => �� = �� => � � � = = � � � Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) ThuVienDeThi.com (1) Trong a,b,c số khác khác thì: �‒� �‒� �‒� = = �(� ‒ �) �(� ‒ �) �(� ‒ �) GIẢI Vì a,b,c ≠ nên chia số (1) cho abc ta được: = �(� + �) �(� + �) �(� + �) �+� �+� �+� = = => = = ��� ��� ��� �� �� �� (� + �) ‒ (� + �) �� ‒ �� = (� + �) ‒ (� + �) �� ‒ �� = (� + �) ‒ (� + �) �� ‒ �� �‒� �‒� �‒� = = �(� ‒ �) �(� ‒ �) �(� ‒ �) Dạng : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài : Cho tỉ lệ thức 3x y x Tính giá trị tỉ số x y y Bài giải: Cách : Từ 3x y 4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y x y 12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y ThuVienDeThi.com Vậy x = y Cách 2: 3x 1 3x y 3 y Từ x x y 1 y Đặt x 3a =a = y a 1 Bài 2: Cho yzx x y z Tính giá trị biểu thức P = x yz Cách 1: Đặt x y z = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0) P= 3k 4k 2k 5k 2k 3k 4k 3k Vậy P = Cách : Có x y z yzx yzx x yz x yz = 3 4 23 yzx x yz yzx x yz Vậy P = Bài : Cho dãy tỉ số a b c d Tính giá trị biểu thức bcd acd abd bca ThuVienDeThi.com ... biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải tốn chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp... dụng tính chất tỉ lệ thức * Một số kiến thức cần ý •) •) � �.� (n ≠ 0) = � �.� � � � = => � � � � � () () �= � (n ∈ N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) Bài 1: Cho tỉ lệ thức. .. � � � � +) �±� �±� = � � (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c � � � = = � � � B Các dạng toán phương pháp giải Dạng