Chuyên đề Toán lớp 7 các bài toán về tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau33913

20 3 0
Chuyên đề  Toán lớp 7 các bài toán về tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau33913

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ - TOÁN LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức I Tỉ lệ thức Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: � � = a:b=c:d � � Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ Tính chất a) Tính chất (Tính chất bản) � � = => ad = bc (với b,d≠0) � � b) Tính chất (Tính chất hốn vị) Từ tỉ lệ thức � � = (a,b,c,d≠0) ta suy ba tỉ lệ thức khác cách: � � - Đổi chỗ ngoại tỉ cho - Đổi chỗ trung tỉ cho - Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho Cụ thể: Từ � � = (a,b,c,d≠0) � � � � � � � � => = , = , = � � � � � � II Tính chất dãy tỉ số ThuVienDeThi.com 1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức 2) Tính chất 2: � �+� �‒� � � (b≠±d) = suy = = � �+� �‒� � � � � � = = ta suy � � � � � � �+�+� �‒�+� �‒� = = = = = =… � � � �+�+� �‒�+� �‒� (Giả thiết tỉ số có nghĩa) * Nâng cao Nếu Từ �1� + �2� + �3� � � � = = =k =� �1� + �2� + �3� � � � � � �±� �±� = => +) = � � � � +) �±� �±� = � � (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c � � � = = � � � B Các dạng toán phương pháp giải Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải toán chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức ThuVienDeThi.com Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết: �‒3 = �+5 �‒1 �‒2 b) = �+2 �+3 Giải a) a) Từ �‒3 = => 7(x-3) = 5(x+5) Giải x = 23 �+5 b) Cách Từ �‒1 �‒2 => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2) = �+2 �+3 (x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2 �2 - x + 3x – = �2 + 2x – 2x – Cách 2: Đưa 2x = -1 => x = ‒ x 1 x2 +1= +1 x2 x3 2x 1 2x 1 = x2 x3  2x+1=0  x= - (Do x+2  x+3) Bài 2: Tìm x, y, z biết: � � � = = x – 3y + 4z = 62 Giải Cách (Đặt giá trị chung) Đặt � = 4� � � � � = 3� => = = =� � = 9� { Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62 ThuVienDeThi.com 4k – 9k + 36k = 62 � = 4.2 = Do � = 3.2 = � = 9.2 = 18 { 31k = 62 => k = Vậy x = 8; y= 6; z = 18 Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: � � � � ‒ 3� + 4� 62 = = = = =2 ‒ 3.3 + 4.9 31 Cách (Phương pháp thế) � � = Từ � � = => x= => y= { 4� 3� Mà x – 3y + 4z = 62 => Do x = � = 4.2 = => � = 3.2 = � = 9.2 = 18 3� 4� ‒ + 4� = 62 đua 31z = 558 => z = 18 9 4.18 3.18 = ; y= =6 9 Vậy x = 8; y = v z =18 Bài 3: Tìm x, y, z biết: a) � � = ; = 2x + 3y – z = 186 � � b) 2x = 3y = 5z |� + � ‒ �|=95 a) Cách 1: Từ Giải � � � � � = => = => = � 4 15 20 ThuVienDeThi.com Và => � � � � � = => = => = 20 28 � � � � = (*) = 15 20 28 Ta có: � � 2� + 3� ‒ � 186 � = = = = =3 15 20 28 2.15 + 3.20 ‒ 28 62 � = 15.3 = 45 => � = 20.3 = 60 � = 28.3 = 84 { Vậy x=45; y=60 z=84 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt (Sau giải cách 2) � � � = =k = 15 20 28 Cách 3: Sau làm đến (*) dùng phương pháp giải cách b) Vì 2x = 3y = 5z => 2� 3� 5� � � � = => = = = 30 30 30 15 10  x  y  z  95 Mà |� + � ‒ �| = 95    x  y  z  95 +) Nếu x+y-z= 95 � � � �+�‒� 95 Ta có = = = = =5 15 10 15 + 10 ‒ 19 +) Nếu x + y – z = - 95 Ta có � = 75 � => = 50 � = 30 { � =‒ 75 � � � �+�‒� ‒ 95 = = = = =‒ => � =‒ 50 15 10 15 + 10 ‒ 19 � =‒ 30 { � = 75;� = 50;� = 30 Vậy: � =‒ 75;� =‒ 50;� =‒ 30 [ Bài 4: Tìm x, y, z biết: ThuVienDeThi.com a) 18 � = � = � – x + z = -196 11 b) �‒1 �+3 �‒5 5z – 3x – 4y = 50 = = c)   x + y – z = - 10 3x  y z  x y  3z Giải a) Vì => => => 6� 11 = 18 �= �= � 11 9� = 18� 9� 18� 6� = = 11.18 2.18 5.18 � � � = = 33 Ta có � = 231 ‒�+� ‒ 196 � � � � = 28 = = => = = =7 ‒ 28 33 ‒ 33 + � = 35 { Vậy x = 231; y = 28 z = 35 b) Ta có �‒1 �+3 �‒5 = = = 3(� ‒ 1) =  Vậy x = 5; y = z = 17 4(� + 3) 5(� ‒ 5) 5(� ‒ 5) ‒ 3(� ‒ 1) ‒ 4(� + 3) 50 ‒ = = = 16 30 30 ‒ ‒ 16 { � ‒ = => � = � + = => � = � ‒ = 12 => � = 17 ThuVienDeThi.com c) Vì   = 3x  y z  x y  3z 3� ‒ 2� 2� ‒ 4� 4� ‒ 3� 12� ‒ 8� 6� ‒ 12� 8� ‒ 6� 12� = = = = = 16 =0 3� = 2� => 2� = 4� 4� = 3� = 3� ‒ 2� = => 2� ‒ 4� = 4� ‒ 3� = { Từ => { 3� = 2� => { � = �  x  y  z  x  y  z   10  10 � � 23 4� = 3� => = { � =‒ 20 � =‒ 30 Vậy x = - 20; y = -30 z = -40 � =‒ 40 Bài 5: Tìm x y, z biết: a) x: y: z = 2: 3: xyz = 810 �3 �3 �3 b) = �2+2�2 ‒ 3�2 = - 650 = 27 64 Giải a) Vì x: y: z = 2: 3: => � � � = = Cách (Đặt giá trị chung) � = 2� � � � Đặt = = = � => � = 3� � = 5� { Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30�3=810 => �3=27 => k = ThuVienDeThi.com � = 2.3 = => � = 3.3 = Vậy x = 6; y = z = 15 � = 5.3 = 15 { Cách 2: Từ  � � = 810 = 5� => (2�)3= 2�.�3.5� = ��� = = 27 30 30 � = => x = thay vào đề tìm y = ; z = 15 Vậy x = 6; y = z = 15 Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách � �3 �3 �3 b) Từ = => = 27 64 � � � � � => = = 4 () () () = = Cách 1: (Đặt giá trị chung) Đặt � = 2� � � � � = 3� = = k => = � = 4� { Mà �2 + 2�2 – 3�2 = - 650 => 4�2 + 2.9�2 ‒ 3.16�2 = ‒ 650 =>-26�2 = ‒ 650 => �2 = 25 => � =± � = 10 Nếu k = 5=> � = 15 � = 20 { � = ‒ 10 Nếu k = -5 => � =‒ 25 � =‒ 20 { � = 10;� = 15;� = 20 Vậy � =‒ 10;� =‒ 15;� =‒ 20 [ Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) � � � �2 �2 �2 �2 + 2�2 ‒ 3�2 ‒ 650 Vì = = => = = = = = 25 16 + 2.9 ‒ 3.16 ‒ 26 ThuVienDeThi.com �2 = 100 => � =± 10 => �2 = 225 => � =± 15 �2 = 400 => � =± 20 { Theo đề suy x,y,z dấu  x  10; y  15; z  20 Vậy   x  10; y  15; z  20 Cách (Phương pháp thế) Bài 6: Tìm x, y, z biết: � � � = = = � + � + � (1) �+�+1 �+�+2 �+�‒3 Giải: * Nếu � + � + �  Ta c ó � �+�+1 � � �+�+� = = � + � + � + � ‒ (� + � + 1) + (� + � + 2) + (� + � = = (2) Từ (1) (2) ta có x + y + z = ThuVienDeThi.com �+�= ‒� => � + � = ‒ � �+�= ‒� { � ‒�+1 Hay +) +) = � ‒� � = � = ‒� ‒� thay � ‒�+2 = � ‒� = = � ‒�‒3 � = ‒5 ‒� 3 => 2x = ‒ � => 3x = => x = 2 2 5 => 2y = ‒ � => 3y = => y = 2 +) Có x + y + z = , mà x = y = 2 1 ‒5 =>z= ‒ ‒ = Vậy y = 2 6 ‒5 �= { x = * Nếu x + y + z = ta có: (1) => � � � = = =0 �+�+1 �+�+2 �+�‒3 => x = y = z = ThuVienDeThi.com vào đề ta được: ‒5 x = ; y = ; � = Vậy 6 x = y = z = [ Bài 7: Tìm x, y biết: + 2� + 4� + 6� = = 18 24 6� + 3� + 5� + 7� b) = = 12 5� 4� Giải a) a) Vì + 2� + 4� => 24(1+2y) = 18(1+4y) = 24 18 =>24 +48y = 18 +72y Đưa 24y = => y = thay vào đề ta có + => 6� = 18 => 18x = 90 => x = 2 Ta có 18 + = 6� => 18 = 6� 1 3y 12 + 3� 12 + 5� + 7� + 20� + 35� + 3� + + = = = = 5� 4� 20� 20� 12 + 20� ‒ 12� =‒ � 12 ‒1 + 5� =>1+3y = -12y => 15y = -1 => y = thay vào =‒ � 15 5� = + Ta 5� ‒1 15 = 1 1 => 5x = ‒ => � = => x = 15 3 15 ThuVienDeThi.com Vậy x = y = ‒1 15 Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức � � = ta thường dùng số phương pháp sau: � � •) Phương pháp 1: Chứng tỏ A.D = B.C •) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số � � �à có giá trị � � •) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức * Một số kiến thức cần ý •) •) � �.� (n ≠ 0) = � �.� � � � = => � � � � � () () �= � (n ∈ N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) Bài 1: Cho tỉ lệ thức �+� �+� � � = Chứng minh = �‒� �‒� � � GIẢI Cách (pp1): ThuVienDeThi.com (a + b).(c ‒ d) = ac – ad + bc ‒ bd (a ‒ b).(c + d) = ac + ad ‒ bc ‒ bd Ta có: a c Vì = = > ad = bc b d  (a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)  Cách (pp2): Đặt � � � = �� = = k => � = �� � � } �+� �+� = �‒� �‒� { �� �ó:  �+� �+� = �‒� �‒� � + � �� + � �(� + 1) � + = = = � ‒ � �� ‒ � �(� ‒ 1) � ‒ � + � �� + � �(� + 1) � + = = = � ‒ � �� ‒ � �(� ‒ 1) � ‒ } Cách (pp3): Từ � � � � = => = � � � � Ta có:  � � �+� �‒� = = = � � �+� �‒� �+� �+� = �‒� �‒� ThuVienDeThi.com � � = � � Cách 4: Từ { => � � �+� �+� �+� � + = + => = => = � � � � �+� � � � �‒� �‒� �‒� � ‒ = ‒ => = => = � � � � �‒� �  �+� �‒� = �+� �‒� => � � Bài 2: Cho tỉ lệ thức = � � �+� �+� = �‒� �‒� �� �2 ‒ �2 Chứng minh = �� �2 ‒ �2 (1) GIẢI Cách 1: a c Vì = = > ad = bc b d Có: ab(�2 ‒ �2) = ���2 ‒ ���2 = ���� ‒ ���� ��(�2 ‒ �2) = ���2 ‒ ���2 = ���� ‒ ���� }  ab(�2 ‒ �2) = ��(�2 ‒ �2) 2  Cách 2: � � = =k � � �� � ‒ � = �� �2 ‒ �2 � = �� => � = �� thay vào vế (1) chứng minh vế có giá trị { Cách 3: ThuVienDeThi.com Vì � � � � � => = => = � � � � � � = � () () �� �2 �2 �2 ‒ �2  = = = �� �2 �2 �2 ‒ �2 B ài 3: chứng minh � � = � � �� = �� 5� + 3� 5� + 3� = 5� ‒ 3� 5� ‒ 3� 7�2 + 3�� 7�2 + 3�� b) = 2 11� ‒ 8� 11�2 ‒ 8�2 a) GIẢI � � � � 5� + 3� 5� ‒ 3� = => = = = � � � � 5� + 3� 5� ‒ 3� 5� + 3� 5� + 3� => = 5� ‒ 3� 5� ‒ 3� � � � � Từ = => = � � � � �2 �2 �� 7�2 8�2 3�� 11�2 => = = = 2= 2= = 2 �� 3�� 7� 8� 11�2 � � a) Từ b) 7�2 + 3�� 11�2 ‒ 8�2 = = 7� + 3�� 11�2 ‒ 8�2 ThuVienDeThi.com => 7�2 + 3�� 11�2 ‒ 8�2 7�2 + 3�� 11� ‒ 8� = Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng: 1) �3 + �3 ‒ �3 �+�‒� = 3 �+�‒� � +� ‒� � �3 + 8�3 + 125�3 2) = � �3 + 8�3 + 125�3 ( ) GIẢI a b = b c 1) Vì b c c2 = bd = > = c d b2 = ac = > } � � � �+�‒�  = = = � � � �+�‒� 3 � �3 � + � ‒ � �3 + �3 ‒ �3 �  = = = = 3 3 � + � ‒ � � � � + �3 ‒ �3 � ( Vậy �3 + �3 ‒ �3 ) �+�‒� = 3 �+�‒� � +� ‒� ( ) ThuVienDeThi.com �3 � Có: 2) = �3 = �3 = } �3 + 8�3 + 125�3 � �3 � � � � �à = 3= = � ��� � � � �3 + 8�3 + 125�3 � ()  � �3 + 8�3 + 125�3 = � �3 + 8�3 + 125�3 � � � Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn = = 2014 2015 2016 Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = (� ‒ �)2 Từ � GIẢI � � �‒� �‒� �‒� = = = = = 2014 2015 2016 ‒1 ‒1 2(� ‒ �) 2(� ‒ �) = =�‒� ‒1 ‒1  4(� ‒ �)(� ‒ �) = (� ‒ �)2  �' � �' Bài 6: Biết + = + = �' � �' � � CMR: abc + �'�'�'= �' Từ + = �' � � GIẢI => ab + �'�' = �'� Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + �'�'� = �'�� ThuVienDeThi.com (1) (2) �' Ta c ó : + = �' � � => bc + �'�' = �'� (3) Nhân hai vế (3) với �' ta có: �'�� + �'�'�' = �'�'� (4) Cộng hai vế (2) (4) ta có: abc + �'�'� + �'�� + �'�'�' = �'�� + �'�'�  abc + �'�'�'= Bài 7: Cho CMR: � � � = = � � � �� ‒ �� �� ‒ �� �� ‒ �� = = � � � (1) GIẢI Nhân thêm tử mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: �� - �� � = = ��� - ��� �2 = ��� - ��� �2 = ��� - ��� �2 ��� - ��� + ��� - ��� + ��� - ��� 2 � +� +� =0 � � = � �  � � �� ‒ �� = => �� = �� => = � � { �� ‒ �� = => �� = �� =>  � � � = = � � � Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) ThuVienDeThi.com (1) Trong a,b,c số khác khác thì: �‒� �‒� �‒� = = �(� ‒ �) �(� ‒ �) �(� ‒ �) GIẢI Vì a,b,c ≠ nên chia số (1) cho abc ta được: = �(� + �) �(� + �) �(� + �) �+� �+� �+� = = => = = ��� ��� ��� �� �� �� (� + �) ‒ (� + �) �� ‒ �� = (� + �) ‒ (� + �) �� ‒ ��  = (� + �) ‒ (� + �) �� ‒ �� �‒� �‒� �‒� = = �(� ‒ �) �(� ‒ �) �(� ‒ �) Dạng : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài : Cho tỉ lệ thức 3x  y x  Tính giá trị tỉ số x y y Bài giải: Cách : Từ 3x  y   4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y x y  12x – 3y = 3(x+y)  9x = 7y ThuVienDeThi.com Vậy x = y Cách 2: 3x 1 3x  y 3 y    Từ x x y 1 y Đặt x 3a  =a  = y a 1 Bài 2: Cho yzx x y z   Tính giá trị biểu thức P = x yz Cách 1: Đặt x y z   = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0) P= 3k  4k  2k 5k   2k  3k  4k 3k Vậy P = Cách : Có  x y z yzx yzx x yz x yz   =    3 4 23 yzx x yz yzx    x yz Vậy P = Bài : Cho dãy tỉ số a b c d Tính giá trị biểu thức    bcd acd abd bca ThuVienDeThi.com ... biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải tốn chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp... dụng tính chất tỉ lệ thức * Một số kiến thức cần ý •) •) � �.� (n ≠ 0) = � �.� � � � = => � � � � � () () �= � (n ∈ N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) Bài 1: Cho tỉ lệ thức. .. � � � � +) �±� �±� = � � (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c � � � = = � � � B Các dạng toán phương pháp giải Dạng

Ngày đăng: 30/03/2022, 13:15

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan