Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức Bài 44 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1 Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức a) 1 x x2 1 x 2 + − + ; b) 2 2 1 x x 1 1 1 x x − + + ; c) 2 2 2y y[.]
Bài 9: Biến đổi biểu thức hữu tỉ Giá trị phân thức Bài 44 trang 36 SBT Toán Tập 1: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: a) x ; + 1− x x+2 x− b) x2 1 1+ + x x ; 2y y 1− + x x2 ; c) 1 − x y x −1 + 4x d) x − + x Lời giải: a) x x + = + x + −x 1− x x+2 x+2 = + x x(x + 2) = + 2 x+2 +x(x +2) + x + 2x ( x + 1) = = = 2 2 x− b) 1+ x2 1 + x x2 1 = x − : + + x x x = x − x + x +1 : x2 x2 x3 − x2 (x − 1)x = = x x + x +1 x (x + x +1) = (x − 1)(x + x + 1)x = x −1 x (x + x +1) 2y y 1− + x x c) 1 − x y 2y y 1 = 1 − + : − x x x y x − 2xy + y y − x = : x2 xy (x − y) xy (x − y) xy = = x2 y − x x [ − (x − y)] = (x − y)y −(x − y)y y ( y − x ) = = x.(−1) x x x −1 + 4x d) x − + x x 1 x = −1 + : − + 4x x 4 x − 4x + x − 12 + x = : 4x 2x x − 4x + 2x = 4x x − 12 + x (x − 4x + 3).2x (x − x) − (3x − 3) = = 4x(x − 12 + x) (x −9)+ (x − 3) = x(x − 1) − 3(x − 1) (x − 3)(x − 1) = 2 (x +3)(x − 3) + (x − 3) 2(x + + 1)(x − 3) = (x − 3)(x − 1) x −1 = 2(x +4)(x − 3) 2(x+ 4) Bài 45 trang 36 SBT Toán Tập 1: Thực phép tính sau: 5x + y 5x − y x − 25y a) ; + 2 x − 5xy x + 5xy x + y b) 4xy y − x2 1 ; : − 2 x + 2xy + y x − y 4x + 4xy + y 2 c) ; + + 2 (2x + y) 16x (2x − y) 4x − y d) − x + x + 4x + Lời giải: : + x − − x 5x + y 5x − y x − 25y a) + 2 x − 5xy x + 5xy x + y 5x + y 5x − y (x + 5y)(x − 5y) = + x(x − 5y) x(x + 5y) x 2+ y (5x + y)(x +5y) + (5x − y)(x − 5y) (x + 5y)(x − 5y) = x(x + 5y)(x − 5y) x 2+ y 5x + 25xy + xy +5y + 5x − 25xy − xy + 5y (x + 5y)(x − 5y) = x(x + 5y)(x − 5y) x 2+ y 10x + 10y (x + 5y)(x − 5y) = x(x + 5y)(x − 5y) x 2+ y = 10(x + y ) (x + 5y)(x − 5y) x(x + 5y)(x − 5y) x 2+ y2 = 10(x + y )(x + 5y)(x − 5y) 10 = x(x + 5y)(x − 5y)(x + y ) x b) 4xy y2 − x 1 : − x − y2 x + 2xy + y 1 : − (x + y) (x +y)(x − y) −4xy 1(x − y) − 1.(x + y) = 2: x −y (x + y) (x − y) = 4xy y − x2 = −4xy −2y : (x +y)(x − y) (x + y) (x − y) −4xy (x + y) (x − y) = (x +y)(x − y) −2y −4xy.(x + y) (x − y) = = 2x(x +y) (x +y)(x − y)( −2y) 4x + 4xy + y 2 c) + + 2 (2x + y) 16x (2x − y) 4x − y (2x +y) 2 = + + 2 (2x − y) (2x + y)(2x − y) (2x + y) 16x 1.(2x + y) + 2(2x + y)(2x − y) +1.(2x − y) (2x +y) = (2x − y) (2x +y) 16x = 4x + 4xy + y + 2(4x − y ) +4x − 4xy + y (2x +y) (2x − y) (2x +y) 16x = 16x (2x +y) (2x − y) (2x +y) 16x = 16x (2x +y) x = (2x − y) (2x +y) 16x (2x − y) d) − x + x + 4x + : + x −4 − x = − : − x + (x + 2) (x + 2)(x − 2) x − 2(x +2) − − 1.(x +2) = : (x + 2) (x + 2)(x − 2) 2x −x : (x + 2) (x + 2)(x − 2) 2x (x +2)(x − 2) = (x + 2) −x = = 2x(x +2)(x − 2) −2(x − 2) ( − x ) = = (x + 2)2 (− x) x+2 x+2 Bài 46 trang 36 SBT Toán Tập 1: Tìm điều kiện biến để giá trị phân thức xác định: a) 5x − 4x + ; 20 b) ; x + 2004 c) 4x ; 3x − x2 d) x +z Lời giải: a) Phân thức: 5x − 4x + xác định với x 20 b) Phân thức: xác định x + 2004 ≠ ⇒ x ≠ - 2004 x + 2004 c) Phân thức: 4x xác định 3x – ≠ x 3x − (vì 20 ≠ 0) x2 d) Phân thức: xác định x + z ≠ ⇒ x ≠ - z x +z Bài 47 trang 36 SBT Toán Tập 1: Phân tích mẫu thức phân thức sau thành nhân tử tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định: a) ; 2x − 3x b) 2x ; 8x +12x 2+ 6x + −5x c) ; 16 − 24x + 9x d) x − 4y 2 Lời giải: a) 5 = xác định khi: 2x − 3x x(2 − 3x) x x0 x(2 − 3x) 2 − 3x x Vậy phân thức b) x xác định với x ≠ 2x − 3x 2x 2x = xác định (2x + 1) ≠ 8x +12x + 6x + (2x +1) Suy ra: 2x + ≠ x −1 −5x −5x = c) xác định khi: 16 − 24x + 9x (4 − 3x) (4 – 3x)2 ≠ ⇒ – 3x ≠ x d) 3 xác định khi: = x − 4y (x + 2y).(x − 2y) x + 2y x −2y (x – 2y)(x + 2y) ≠ x 2y x − 2y x 2y Bài 48 trang 37 SBT Tốn Tập 1: Có bạn nói phân 2x 5x ; ; thức có điều kiện biến x Điều hay 2x − x − 2x +1 (x − 1).(x + 1) sai? Vì sao? Lời giải: Ta có: 2x xác định 2x – ≠ ⇒ 2x ≠ ⇒ x ≠ 2x − 1 = xác định (x – 1) ≠ ⇒ x – ≠ ⇒ x ≠ x − 2x +1 ( x − 1) 5x xác định (x – 1)(x2 + 1) ≠ hay x – ≠ (x − 1).(x + 1) (vì với x x2 ≥ nên x2 + > 0) 5x Do đó, phân thức xác định với x ≠ (x − 1).(x + 1) 2x 5x ; ; Vậy phân thức có điều kiện biến x 2x − x − 2x +1 (x − 1).(x + 1) Bài 49 trang 37 SBT Toán Tập 1: a) Tìm phân thức (một biến) mà giá trị xác định với giá trị biến khác số nguyên lẻ lớn nhỏ 10 b) Tìm phân thức (một biến) mà giá trị xác định với giá trị biến khác Lời giải: a) +) Tập hợp số nguyên lẻ lớn nhỏ 10 là: {7; 9} +) Do đó, phân thức cần tìm xác định với x ≠ 7; x ≠ Suy ra: x – ≠ x – ≠ Ta chọn phân thức (x − 7).(x − 9) b) Phân thức biến mà giá trị xác định với giá trị biến khác nên x x − Suy ra: x − x + ta chọn phân thức: a a = (x + 2).(x − 2) x − (với a số) Bài 50 trang 37 SBT Tốn Tập 1: Đố Đố em tìm cặp phân thức biến x mà giá trị phân thức giá trị phân thức không xác định ngược lại giá trị phân thức giá trị phân khơng xác định Em tìm cặp thế? Lời giải: Ta cần tìm hai phân thức nghịch đảo với tử mẫu chứa biến x khơng có giá trị x để tử mẫu đồng thời Ví dụ: x −5 x +2 x +2 x −5 Có vơ số cặp phân thức Bài 51 trang 37 SBT Toán Tập 1: Tính giá trị biểu thức: 3x − x a) x = – 8; 9x − 6x +1 x + 3x + b) x = 000 001 x + 2x − x − Lời giải: a) ĐKXĐ: 9x2 – 6x + ≠ ⇒ (3x – 1)2 ≠ x Ta có x = – thỏa mãn ĐKXĐ 3x − x x(3x − 1) x = = 2 9x − 6x +1 (3x − 1) 3x − Thay x = – vào biểu thức, ta có: −8 −8 = = 3.(−8) − −24 − 25 b) Ta có: x3 + 2x2 – x – = x2(x + 2) – (x + 2) = (x2 – 1) (x + 2) = (x + 1).(x – 1)(x + 2) Do đó, phân thức cho xác định x3 + 2x2 – x – ≠ hay (x + 2)(x – 1)(x + 1) ≠ ⇒ x ≠ – x ≠ ± Ta có: x = 000 001 thỏa mãn điều kiện x + 3x + x + 2x + x + (x + 2).(x + 1) = = = x + 2x − x − (x +2)(x − 1).(x +1) (x + 2)(x − 1)(x +1) x − Thay x = 000 001 vào biểu thức ta được: 1 = 1000001 − 1000000 Bài 52 trang 37 SBT Toán Tập 1: Tìm điều kiện biến phân thức sau Chứng minh giá trị phân thức xác định giá trị không phụ thuộc vào biến x y (nghĩa chứng tỏ biến đổi phân thức cho thành biểu thức không chứa x y): x − y2 a) (x + y)(6x − 6y) b) 2ax − 2x − 3y + 3ay −3 (a số khác ) 4ax + 6x + 9y + 6ay Lời giải: x − y2 a) xác định khi: (x + y)(6x – 6y) ≠ (x + y)(6x − 6y) x +y x − y x − y Suy ra: 6x − 6y x − y x y Điều kiện x ≠ ± y, ta có: x − y2 (x + y).(x − y) = = (x + y)(6x − 6y) (x + y).6.(x − y) Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y b) 2ax − 2x − 3y + 3ay xác định 4ax + 6x + 9y + 6ay ≠ 4ax + 6x + 9y + 6ay ⇒ 2x(2a + 3) + 3y(2a + 3) = (2a + 3)(2x + 3y) ≠ −3 a 2a + Suy ra: 2x + 3y x −3y Điều kiện: x −3 −3 y a 2 2ax − 2x − 3y + 3ay 2x(a − 1) + 3y(a − 1) = 4ax + 6x + 9y + 6ay (2a + 3).(2x + 3y) = (2x + 3y).(a − 1) a −1 = (2a + 3).(2x + 3y) 2a + Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y Bài 53 trang 37 SBT Toán Tập 1: Đố Đố em tìm giá trị x để giá trị 4x − 4x + x phân thức bằng: x − 2x a) – ; b) 2; c) Lời giải: Điều kiện: x3 – 2x2 = x2(x – 2) ≠ ⇒ x ≠ x ≠ 4x − 4x + x x (x − 4x + 4) x (x − 2) = = = x −2 Ta có: x − 2x x (x − 2) x (x − 2) a) Nếu phân thức cho – biểu thức x – có giá trị – Suy ra: x – = – ⇒ x = không thỏa mãn điều kiện Vậy khơng có giá trị x để phân thức – b) Nếu phân thức cho biểu thức x – có giá trị Suy ra: x – = ⇒ x = Với x = thỏa mãn điều kiện Vậy x = phân thức có giá trị c) Nếu phân thức có giá trị biểu thức x – có giá trị Suy ra: x – = ⇒ x = mà x = không thỏa mãn điều kiện Vậy khơng có giá trị x để phân thức có giá trị x + 2x x − 50 − 5x + + Bài 54 trang 37 SBT Toán Tập 1: Cho biểu thức 2x +10 x 2x(x + 5) a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức xác định b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức −1 d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức – Lời giải: a) Biểu thức xác định 2x + 10 ≠ 0, x ≠ 2x(x + 5) ≠ Suy điều kiện xác định: x ≠ x ≠ – x + 2x x − 50 − 5x + + Ta có: 2x +10 x 2x(x + 5) = x(x + 2) x − 50 − 5x + + 2(x + 5) x 2x(x +5) x (x + 2) (x − 5).2(x + 5) 50 − 5x = + + 2x(x + 5) x.2(x + 5) 2x(x +5) x (x + 2) + (x − 5).2.(x + 5) + 50 − 5x = 2x(x + 5) x +2x +2x − 50 + 50 − 5x = 2x(x + 5) x + 4x − 5x x(x + 4x − 5) = = 2x(x + 5) 2x(x + 5) = x(x − 1)(x + 5) x −1 = 2x(x + 5) b) Nếu giá trị phân thức giá trị biểu thức Suy ra: x −1 x −1 = ⇒ x – = ⇒ x = mà x = thỏa mãn điều kiện Vậy x = giá trị phân thức c) Nếu giá trị phân thức −1 x −1 −1 giá trị biểu thức 2 Suy ra: x − −1 = ⇒ x – = – ⇒ x = mà x = không thỏa mãn điều kiện 2 Vậy khơng có giá trị x để phân thức −1 d) Nếu giá trị phân thức – giá trị biểu thức Suy ra: x −1 = − ⇒ x – = – ⇒ x = – mà x = – không thỏa mãn điều kiện Vậy khơng có giá trị x để phân thức – Bài 55 trang 38 SBT Tốn Tập 1: Tìm x, biết: 2x +1 2x + − = 0; x − 2x + x − 6x x − + = b) x −3 − x x +3 a) Lời giải: a) x −1 – 2x +1 2x + − = (điều kiện x 1 ) x − 2x + x − 2x +1 2x + − =0 (x − 1) (x + 1)(x − 1) (2x +1)(x +1) − (2x +3)(x − 1) =0 (x − 1) (x +1) 2x +2x + x +1 − (2x − 2x + 3x − 3) =0 (x − 1) (x +1) 2x +2x + x +1 − 2x + 2x − 3x + =0 (x − 1) (x +1) 2x + =0 (x − 1)2 (x + 1) Biểu thức tử mẫu khác Ta có: 2x + = nên x = – (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x = – giá trị biểu thức b) 6x x − + = (điều kiện x ) x −3 − x2 x +3 6x x + + =0 x −3 x −9 x +3 3(x + 3) 6x x(x − 3) + + =0 (x − 3)(x + 3) (x + 3).(x − 3) (x + 3)(x − 3) 3(x + 3) + 6x + x(x − 3) =0 (x + 3).(x − 3) x + 6x + =0 (x + 3).(x − 3) (x + 3) =0 (x + 3).(x − 3) x+3 =0 x −3 Biểu thức tử mẫu khác Ta có: x + = nên x = – (khơng thỏa mãn điều kiện) Vậy khơng có giá trị x để biểu thức Bài 56 trang 38 SBT Toán Tập 1: Với giá trị x giá trị biểu thức sau 0: a) x + ? x − (x + 2)2 b) + x − 1? x + x +1 Lời giải: a) Biểu thức xác định khi: x2 – = (x + 2).(x – 2) ≠ (x + 2)2 ≠ hay x ≠ ± Ta có: x x + = + x − (x + 2)2 (x +2).(x − 2) (x + 2) x(x + 2) + 3(x − 2) x + 2x + 3x − = = (x + 2)2 (x − 2) (x + 2) (x − 2) x + 5x − x − x + 6x − = = (x + 2) (x − 2) (x + 2) (x − 2) x(x − 1) + 6(x − 1) (x − 1)(x + 6) = = (x + 2) (x − 2) (x + 2) (x − 2) Biểu thức (x – 1)(x + 6) = (x – 2)(x + 2)2 ≠ +) Ta có: (x – 1).(x + 6) = x – 1= hay x + = x – = x = (thỏa mãn điều kiện) x + = x = – (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x = x = – giá trị biểu thức b) + x −1 x + x +1 = + (x − 1).(x + x +1) x + x +1 + x3 − x3 = = x + x +1 x + x +1 Biểu thức x3 = x2 + x + ≠ Ta có: x3 = ⇒ x = 0; 1 1 x + x + = x + 2.x + + = x + + với x 4 2 2 Vậy với x = giá trị biểu thức Bài 57 trang 38 SBT Toán Tập 1: Tìm giá trị nguyên biến x để giá trị biểu thức sau số nguyên: a) ; x −3 b) ; x +2 c) 3x − 4x + x − x−4 3x − x +1 d) 3x + Lời giải: a) Vì số nguyên nên ⁝ (x – 3) x ≠ x −3 Suy ra: x – ∈ Ư(2) = {– 2; – 1; 1; 2} Ta có: x – = – ⇒ x = (t/m x số nguyên) x – = – ⇒ x = (t/m) x – = ⇒ x = (t/m) x – = ⇒ x = (t/m) Vậy với x ∈ {1; 2; 4; 5} b) Vì số nguyên x −3 số nguyên nên ⁝ (x + 2) x ≠ – x +2 Suy ra: x + ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3} Ta có: x + = – ⇒ x = – 5; x + 2= – ⇒ x = – 3; x + = ⇒ x = – 1; x+2=3⇒x=1 Vậy với x ∈ {– 5; – 3; – 1; 1} c) Ta có: số ngun x +2 3x − 4x + x − x−4 (3x + 8x + 33)(x − 4) +131 = x −4 = 3x + 8x + 33 + 131 x−4 Với x số nguyên ta có: 3x2 + 8x + 33 số nguyên Để biểu thức cho số nguyên 131 ⁝ (x – 4) x ≠ Suy ra: x – ∈ Ư(131) = {– 131; – 1; 1; 131} Ta có: x – = – 131 ⇒ x = – 127; x – = – ⇒ x = 3; x – = ⇒ x = 5; x – = 131 ⇒ x = 135 Vậy với x ∈ {– 127; 3; 5; 135} 3x − 4x + x − số nguyên x−4 3x − x + d) Ta có: 3x + = (3x + 2).(x − 1) + 3 −2 = x −1+ (với x ) 3x + 3x + Vì x số nguyên nên x – số nguyên Để biểu thức cho số nguyên ⁝ (3x + 2) x Suy ra: 3x + ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3} Ta có: 3x + = – ⇒ x = −5 (loại) 3x + = – ⇒ x = – (thỏa mãn) 3x + = ⇒ x = −1 3x + = ⇒ x = (loại) (loại) 3x − x + Vậy với x = – có giá trị nguyên 3x + Bài tập bổ sung −2 Bài 9.1 trang 39 SBT Toán Tập 1: Biết x − 6x + (x − 3) x −3 Q= = = x −9 (x − 3).(x + 3) x + Hãy tính giá trị biểu thức Q Câu trả lời sau sai ? A Giá trị Q x = 4−3 = 4+3 B Giá trị Q x = − −1 = 1+3 C Giá trị Q x = 3−3 =0 3+3 D Giá trị Q x = không xác định Lời giải: Chọn đáp án C x − 6x + (x − 3) x −3 = = Giá trị biểu thức Q = x2 − (x + 3).(x − 3) x + Giá trị Q x = 3−3 = sai x = phân thức cho không xác định 3+3 Bài 9.2 trang 39 SBT Toán Tập 1: Với biểu thức sau, tìm giá trị x để giá trị tương ứng biểu thức 1: + x2 + a) 2+ x x; ... số cặp phân thức Bài 51 trang 37 SBT Tốn Tập 1: Tính giá trị biểu thức: 3x − x a) x = – 8; 9x − 6x +1 x + 3x + b) x = 000 001 x + 2x − x − Lời giải: a) ĐKXĐ: 9x2 – 6x + ≠ ⇒ (3x – 1)2 ≠ x ... x Ta có x = – thỏa mãn ĐKXĐ 3x − x x(3x − 1) x = = 2 9x − 6x +1 (3x − 1) 3x − Thay x = – vào biểu thức, ta có: ? ?8 ? ?8 = = 3.(? ?8) − −24 − 25 b) Ta có: x3 + 2x2 – x – = x2(x + 2) – (x + 2)... + Vậy với x = – có giá trị nguyên 3x + Bài tập bổ sung −2 Bài 9. 1 trang 39 SBT Toán Tập 1: Biết x − 6x + (x − 3) x −3 Q= = = x ? ?9 (x − 3).(x + 3) x + Hãy tính giá trị biểu thức Q Câu trả lời