Bài 6 BIẾN đổi các BIỂU THỨC hữu tỉ GIÁ TRỊ của PHÂN THỨC

BÀI BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm điều kiện xác định phân thức, biểu thức hữu tỉ, giá trị phân thức + Hiểu vận dụng biến đổi biểu thức hữu tỉ  Kĩ + Biết cách tìm điều kiện để giá trị phân thức xác định + Biết cách biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức đại số + Biết cách tính giá trị biểu thức + Biết cách tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, tìm biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Biểu thức hữu tỉ Biểu thức hữu tỉ phân thức dãy Ví dụ: phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân 0; x3 4x 5x 3x ; x2 thức x ; 4x2 ; 2x x 1 x biểu thức hữu tỉ Điều kiện xác định phân thức đại số Phân thức xác định mẫu thức khác Là điều kiện để giá trị phân thức xác A C có điều kiện xác định B : B D định C D Giá trị phân thức Bước Tìm điều kiện xác định phân thức Bước Kiểm tra x x0 có thỏa mãn điều kiện 0; D Giá trị xác định x2 x x 2.12 Bước Nếu thỏa mãn điều kiện xác định, ta thay x x0 vào phân thức tìm giá trị SƠ ĐỒ HỆ THỐNG Điều kiện xác định P x Biến đổi biểu Biểu thức thức hữu tỉ P x x0 Q x hữu tỉ thỏa mãn điều kiện Giá trị phân thức Cộng, trừ, P x0 nhân, chia Q x0 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Ví dụ mẫu Muốn biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức ta thực bước sau: x Ví dụ: Biến đổi biểu thức Bước Thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia để rút gọn biểu thức x thành x phân thức đại số Bước Đưa biểu thức dạng phân thức đại số Trang Bước Rút gọn phân thức đại số x2 x x x x x x Xét x x x x2 x x x x x x x x x x x x x Ví dụ mẫu Ví dụ Biến đổi biểu thức sau thành phân thức đại số: a) 1 x 1 x b) x 2x x x Hướng dẫn giải a) Ta có: 1 x 1 x 1 x x x x 1 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x x x x x x x x x b) Ta có: x2 2x x x 3x x x x x x x x x x x x x x2 x x 3x x2 x x x x x x 2x x2 Bài tập tự luyện dạng Câu Biến đổi biểu thức sau thành phân thức đại số: x a) y y x 3x b) 9x2 9x2 1 Câu Rút gọn biểu thức sau a) A b) B x x 1:1 x 2x x2 x 4x x 4x : x x Trang Dạng 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức Bài tốn Tìm điều kiện xác định phân thức Phương pháp giải Muốn tìm điều kiện xác định phân thức ta thực bước sau: Bước Tìm giá trị biến x cho giá trị tương ứng mẫu thức khác Ví dụ: Với giá trị x giá trị phân thức 5x xác định? x2 Giá trị phân thức Bước Kết luận 5x xác định với x2 điều kiện x2 , tức x Vậy x phân thức xác định 1; x 1; x Ví dụ mẫu Ví dụ Với giá trị x giá trị phân thức xác định? a) 2x x b) x x x Hướng dẫn giải a) Giá trị phân thức tức x 2x xác định với điều kiện x x 0, 3 phân thức xác định Chú ý: Một tích khác x b) Giá trị phân thức x x tất thừa Vậy x x x Vậy x , tức x xác định với điều kiện số khác 0; x phân thức xác định 0; x Ví dụ Với giá trị x giá trị phân thức xác định? a) 2x x 2x b) 2x x2 Hướng dẫn giải a) Giá trị phân thức x2 2x Vậy x hay x x 2x xác định với điều kiện , suy x 1 phân thức xác định b) Giá trị phân thức Mà x 2 2x suy x 2 2x x2 xác định với điều kiện x2 2 hay x2 2 0 với giá trị biến x Trang Vậy giá trị biến x phân thức ln xác định Bài tốn Tìm điều kiện xác định biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: Bước Tìm điều kiện xác định phân thức x x x x2 : x x Hướng dẫn giải Bước Kết hợp tất điều kiện Điều kiện xác định: x x A C Chú ý: Để thực phép tính : B D x x C D x x x x x 1; 2; Vậy điều kiện xác định biểu thức x 1; x 0; x Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: x a) A 4x x x x x 2y 2x y b) B 2x x x3 2x x x 2y 4y : 2x y x y Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định biểu thức A là: x x x x x3 1; Ta thấy x x 2 x 4 x 2 hay x2 x với x; Vậy điều kiện xác định biểu thức A x b) Điều kiện xác định biểu thức B là: 2x y x 2x x 4y x 2y 4y x y 2y ; 2y ; 2y Vậy điều kiện xác định biểu thức B x 2y ; x 2y ; y Bài tập tự luyện dạng Câu Với giá trị x giá trị phân thức sau xác định? Trang a) 2x x 2x b) 2x x2 c) 7x 5x d) x x2 Câu Tìm điều kiện xác định biểu thức: a) A b) B x x x 1 x x x 2x x : x y y xy 2y Dạng Thực phép tính với biểu thức hữu tỉ toán liên quan Bài tốn Thực phép tính tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Muốn thực phép tính với biểu thức hữu tỉ ta thực bước sau: Ví dụ: Rút gọn biểu thức: P Bước Tìm điều kiện xác định phân thức x x Bước Thực phép cộng, trừ, nhân, chia Điều kiện x phân thức để rút gọn biểu thức Ta có: P x x : x x 1; x : x 0; x x x x x x2 : x x x x x 2x x2 2x x x 3 : x x x x x x 1 x x x x Ví dụ mẫu Ví dụ Cho biểu thức: A x2 x x 10 x x 50 x x x a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức xác định b) Tính giá trị A x Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x b) Ta có A 0; x x2 x x 10 x x 50 x x x Trang x2 x x x x 2x x 2x x x3 x 2x x x3 x2 50 x 2x x 5 x 50 2x x 50 x 2x x x 50 50 x 2x x x3 x x 2x x x x2 4x 2x x x x x 2x x 5 x Thay x 2 vào A ta A x x2 2x x x x 2x x x2 x Ví dụ Cho biểu thức: B a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tính giá trị B x Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x b) Ta có B 2; x x x2 x 1; x x x2 2x x x x 2x x x x x x x x x x x x x x x 2x 2 x2 5x x x x x2 x x x x x x x x 2x x x x2 x x x x x 2x 5x x2 x x x x x x x 2x Trang x x 2 x2 x x x x x 2x x2 2x x x x x c) Thay x x x x 2 2x vào B ta B 1 Bài tốn Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Ta sử dụng kiến thức sau: +) A B A B dấu +) A B A B trái dấu +) Hằng đẳng thức đáng nhớ ý A2 y x y a) Tìm x để P Để P với A +) Với x, y x với x x Ví dụ: Cho phân thức P x x x 1 x x x x x 2 x x x y Ư x x Có 0 0 suy x hay x 2 (thỏa mãn) Vậy: x P P x b) Tìm giá trị nhỏ Q Có Q P x x x x x x x 2 x x x x2 3x x2 x x 2 2 9 Trang Có x Suy x Dấu " Suy Q " xảy x 2 hay x Vậy giá trị nhỏ Q để P c) Tìm x Có P x x Để P x 2 x Vậy x x x x x hay x x 2 Ư −3 −1 −5 −3 −1 5; 3; 1;1 P Ví dụ mẫu x2 Ví dụ Cho phân thức A a) Tìm x để A 3; x2 để A b) Tìm x 4x với x x Hướng dẫn giải a) Ta có A x2 4x x nên x Vì x Để A x Vậy x A b) Ta có A Để A Vậy x x2 2 2.2.x 22 x hay x x 2 x x x2 4x x x 3x x x x x Ư x −2 −1 x 1; 2; 4;5 A Ví dụ Tìm x để phân thức B x 4x đạt giá trị lớn Trang Hướng dẫn giải Có B Vì x x 2 4x 0, x nên x x 2.2 x 22 2 x 1, x x Hay B Dấu " 8, x x " xảy x 2 hay x Vậy giá trị lớn B x 2x2 x2 x Ví dụ Cho biểu thức P 2 x x x (với x 1, x ) a) Rút gọn P b) Tìm x để P c) Tính giá trị biểu thức P x thoả mãn x2 x Hướng dẫn giải a) Ta có P 2x2 x2 x x x x2 x x x x x x x x x 3x x x b) P Vậy x x x P 0 c) Ta có x Thay x x 3x x x x x 3x x x x x x x 1 vào P ta có P x x x x x x x (thỏa mãn) x x 1 1 x (không thỏa mãn) x (thỏa mãn) Bài tập tự luyện dạng Câu Cho biểu thức A x x 3 x 3x x x (với x 3; x ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết x 2 4x2 c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Trang 10 Câu Cho biểu thức B x x2 : x x x x 1 x (với x ) a) Rút gọn biểu thức B b) Chứng minh biểu thức B x c*) Tìm giá trị nhỏ B Câu Cho biểu thức E x3 x2 x x3 2x x2 x (với x x 2x 1; x ) a) Rút gọn biểu thức E b) Tính giá trị biểu thức E biết x2 c*) Chứng minh E x Trang 11 ĐÁP ÁN Bài tập luyện tập dạng Câu x a) y y x xy y xy x xy x y xy x y b) Ta có: 3x x2 9x2 3x 3x x2 9x2 1 3x 1 9x2 9x2 3x 3x x x2 9x2 3x 3x 1 3x 3x 3x 3x 3x 3x 1 3x Câu 2 x x 1:1 x 2 x x2 a) Ta có A x x x x x x 2x : 2x x 2x : x2 x2 x2 x2 2x 3x x 2x x2 2x x2 x x2 8x : x 2x x2 2x 2x 2x : x x x x x 2x x 2x 2x x x b) B x 4x x x 2 x x 4x 2 x : x x x x x 2 1 x : 2 : x x x x x x x2 4 x Bài tập tự luyện dạng Trang 12 Câu a) Điều kiện xác định: x 2 x b) Điều kiện xác định: x2 x 0; x x c) Điều kiện xác định: 5x x d) Điều kiện xác định: x2 với giá trị x Câu a) Điều kiện xác định biểu thức A x x x x 3; x x x x 2; x Vậy điều kiện xác định biểu thức A x 0; x x b) Điều kiện xác định xy 2y x y y 0; x 0 y x x hay y y x 2; 1; Vậy điều kiện xác định biểu thức B x 2; x 0; y y Bài tập tự luyện dạng Câu a) A x 3x x x x 3 x x x x x 3x 9 x x x x2 x x x x 2x x x x 2x x b) Ta có x 2 4x2 Trường hợp 1: x Trường hợp 2: x 2 x hay x x hay x (loại) (thỏa mãn) Trang 13 ta A Thay x 2x x c) Ta có A Để A x 2x 4 x Ư 4 x 4; 2; 1;1; 2; suy x Đối chiếu với điều kiện ban đầu giá trị x Vậy x 2;0;1; 4;6 A 2;0;1;3; 4;6 khơng thỏa mãn Câu x x2 : x x2 x a) Ta có B x x x2 : x x2 x x x2 : x x x 1 x2 x x x x2 x x x2 x x x2 x x2 x x x2 x x x2 2x : x x2 x x x : x x2 x x x : 2 x x x x2 x x b) Ta có B Ta có x x2 x x2 x 2 x 2 x x x x 2 2.x B x x 2 2 Suy điều phải chứng minh c*) Ta có x Dấu " 2 " xảy x x 2 x x 2 4 x x B 2 B Trang 14 Vậy giá trị nhỏ B x Câu a) Ta có E x3 2x 1 b) Ta có x +) Với x +) Với x 2x x2 x x 2x x3 x x x x2 x 1 x2 x x3 x x x x E E x x x x2 x x x2 x 2x x x 2x x2 x x x2 x x x 2x x2 x x2 x x x x (thỏa mãn điều kiện) 10 c*) Xét hiệu E x2 x Suy E x x2 2x x2 x x x2 2.x 2 x 1 4 x 2 x 1; x 2 (điều phải chứng minh) Trang 15 ... x0 Q x hữu tỉ thỏa mãn điều kiện Giá trị phân thức Cộng, trừ, P x0 nhân, chia Q x0 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Ví dụ mẫu Muốn biến đổi biểu thức hữu tỉ.. . Với giá trị x giá trị phân thức 5x xác định? x2 Giá trị phân thức Bước Kết luận 5x xác định với x2 điều kiện x2 , tức x Vậy x phân thức xác định 1; x 1; x Ví dụ mẫu Ví dụ Với giá trị x giá trị phân. .. TRỌNG TÂM Biểu thức hữu tỉ Biểu thức hữu tỉ phân thức dãy Ví dụ: phép tốn (cộng, trừ, nhân, chia) phân 0; x3 4x 5x 3x ; x2 thức x ; 4x2 ; 2x x 1 x biểu thức hữu tỉ Điều kiện xác định phân thức đại