N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 22 KHỐI TRỤ 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng c[.]
22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG 22 KHỐI TRỤ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm: Hình trụ trịn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ A D r Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h B C Đường thẳng AB gọi trục Đoạn thẳng CD gọi đường sinh Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h gọi chiều cao hình trụ Hình trịn tâm A, bán kính r = AD hình trịn tâm B , bán kính r = BC gọi hai đáy hình trụ Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ ? Cơng thức tính diện tích hình trụ thể tích khối trụ: Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh Diện tích tồn phần hình trụ: Thể tích khối trụ: V = B · h = πr2 h BÀI TẬP MẪU Ví dụ (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình trụ có bán kính đáy Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục, thiết diện thu hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho A 18π B 36π C 54π D 27π Lời giải 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm yếu tố hình trụ HƯỚNG GIẢI: B1: Theo giả thiết ta có r = Vì thiết diện hình vng nên độ dài đường cao l = 2r = B2: Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrl = 36π LỜI GIẢI CHI TIẾT B O A O D Theo giả thiết ta có r = Vì thiết diện hình vng nên độ dài đường cao h = 2r = Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh = 36π Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ THÁT TRIỂN Câu Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, BC = 3a Thể tích khối trụ cho A 12πa3 B 16πa3 C 4πa3 D 8πa3 Lời giải B O A 3a C O0 D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN C 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN AB = 2a Độ dài đường cao h = BC = 3a Thể tích khối trụ: V = πr2 h = π(2a)2 3a = 12πa3 Theo giả thiết ta có r = Chọn phương án A Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC = 2a Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ABCD quanh trục AB A 2πa3 B 1πa3 C 4πa3 D 8πa3 Lời giải A D r Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h B C Theo giả thiết ta có r = BC = a Độ dài đường cao h = AB = 2a Thể tích khối trụ: V = πr2 h = π · a2 · 2a = 2πa3 Chọn phương án A Câu Cắt hình trụ (T ) mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30cm2 chu vi 26cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ (T ) Diện tích tồn phần hình trụ (T ) 23π 69π cm2 cm2 A 23π cm2 B C D 69π cm2 2 Lời giải Gọi r bán kính mặt đáy, h đường cao hình trụ Thiết diện hình chữ nhật có kích thước 2r h Hình chữ nhật có diện tích 30cm chu vi 26cm nên có: ® r = 2rh = 30 (Vì chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy) ⇔ h = 10 2(2r + h) = 26 2 69π Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2πrh + 2πr = 2π · · 10 + 2π · = 2 Chọn phương án C Câu Biết thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh a Diện tích tồn phần hình trụ cho A 2πa2 B 3πa2 C 4πa2 D 3πa2 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải a Theo giả thiết ta có r = Độ dài đường cao h = a Diện tích tồn phần khối trụ Stp = 2πrh + 2πr2 2 a a = 2π a + 2π 2 = 3πa2 Chọn phương án B Câu Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50π độ dài đường sinh đường kính đường trịn √ đáy Tính bán kính r đường trịn đáy √ A r= B r = C r= 2π √ D r = π Suy ra: rh = 25 ⇔ r · 2r = 25 ⇔ r2 = 25 ⇔r= 2 Chọn phương án A Câu Cho hình trụ (T ) có diện tích xung quanh 24cm2 , bán kính đường trịn đáy 4cm Tính thể tích khối trụ (T ) A 24cm3 B 12cm3 C 48cm3 D 86cm3 Lời giải Ta có: Sxq = 2πrh = 24 ⇔ πrh = 12 ⇒ V = πr2 h = πrh · r = 48 Chọn phương án C Câu Cắt hình trụ mặt phẳng (α) vng góc với mặt đáy, ta thiết diện hình vng có diện tích 16 Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng (α) Tính thể tích khối trụ √ 52π A B 52π C 13π D 3π Lời giải B I O0 A B0 O A0 Gọi O, O hai tâm mặt đáy Thiết diện hình vng ABBA với A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O; A, B thuộc mặt đáy chứa 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Theo giả thiết ta có diện tích xung quanh Sxq = 2πrh = 50π ⇔ rh = 25 Độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy nên l = 2r Đường sinh đường cao hình trụ √ nên: h = l = 2r 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN tâm O Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng (ABBA) Thiết diện hình vng có diện tích 16 ⇒ Cạnh hình vng Khoảng cách từ tâm O đáy hình trụ đến mặt phẳng (α) ⇒ OI = √ √ √ Ta có: OA = IA2 + IO2 = 22 + 32 = 13 √ Thể tích khối trụ: V = πr2 h = π( 13)2 = 52π Chọn phương án B √ Câu Một hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục, cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho √ √ √ √ A 10 3π B 39π C 20 3π D 10 39π Lời giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B I O0 A B0 O A0 Gọi O, O hai tâm mặt đáy Thiết diện hình chữ nhật ABBA với A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O; A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng (ABBA) √ √ Hình trụ có chiều cao ⇒ AA = Mặt phẳng song song với trục, cách trục khoảng ⇒ OI = Thiết diện thu có diện tích 30 ⇒ AB · AA = 30 √ √ ⇔ AB · = 30 ⇔ AB = p √ √ Ta có: OA = IA2 + IO2 = ( 3)2 + 12 = √ √ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh = 2π · · = 20 3π Chọn phương án C Câu Cho AABB thiết diện song song với trục OO hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O) Cho biết AB = 4, AA = thể tích hình trụ V = 24π Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (AABB) A d = B d = C d = D d = Lời giải 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B I O0 A B0 O A0 Câu 10 Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45◦ Tính diện tích xung quanh hình trụ √ √ √ √ A Sxq = 2πa2 B Sxq = πa2 C Sxq = πa2 D Sxq = πa2 Lời giải D N O C I A / M O 45◦ / B Gọi M, N, I trung điểm AB, CD, OO Dễ chứng minh M, N, I thẳng hàng ’I = 45◦ Góc (ABCD) mặt đáy góc OM 50 DẠNG TỐN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng ABBA Ta có: AB = 4, AA = √ Thể tích khối trụ: V = πr2 h = πr2 = 24π ⇔ r = p 2 √ √ Ta có: OA2 = IA2 + IO2 ⇔ OI = OA2 − IA2 = (2 2)2 − 22 = Vậy khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (ABBA) Chọn phương án B 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ a a Ta có: IM = , OM = OI = 4√ √ a a Suy h = OO = r = OC = Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq √ √ √ πa2 a a · = = 2πrh = 2π · 2 Chọn phương án D Câu 11 Cho khối trụ có bán kính đáy r = a chiều cao h = 2a Mặt phẳng (P ) song song với trục OO khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục V1 , biết (P ) cách OO khoảng OO, V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số V2 √ a 3π + 3π − 3π + 3π − A B C D π−2 π−2 π−2 π−2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải B I O0 A B0 O A0 Gọi (H1 ) phần khối trụ chứa trục OO; (H2 ) phần lại khối trụ Gọi ABBA thiết diện mặt phẳng (P ) khối trụ Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng ABBA Thể tích khối trụ: V = πr2 h = πa2 2a = 2πa √ √ a a ⇒ OI = 2Å √ ã √ √ a a Ta có: OA2 = IA2 + IO2 ⇔ IA = OA2 − OI = a2 − = 2 Ta có: (P ) cách OO khoảng ‘ = 45◦ ⇒ AOB ’ = 90◦ Suy tam giác OIA vuông cân I ⇒ IOA πa2 · 90 πa2 = 360 Diện tích tam giác AOB a2 Diện tích hình quạt AOB πa2 π − 2 − a = a 4 π − 2 3π + 2 Diện tích hình viên phân ứng với (H1 ) πa2 − a = a 4 V 3π + 2 π − 2 3π + Vì (H1 ) (H2 ) có chiều cao nên = a : a = V2 4 π−2 Suy diện tích hình viên phân ứng với (H2 ) 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án A Câu 12 Một khối trụ tích Nếu giữ nguyên chiều cao tăng bán kính đáy khối trụ gấp lần thể tích khối trụ bao nhiêu? A 54π B 162π C 27π D 18π Lời giải Gọi r1 ; r2 bán kính mặt đáy hình trụ trước sau tăng bán kính đáy r1 ⇒ r2 = 3r1 ⇒ = r2 πr12 h r1 2 V1 = = = ⇒ V2 = 9V1 = 54π Ta có: V2 πr2 h r2 Chọn phương án A A h= 4V π B h= V π3 C h= V 4π D h= 4V π5 Lời giải … Ta có: V = πr2 h ⇒ r = V πh Diện tích tồn phần lon sữa Ç… … å2 √ V = πV h + h √ V Bài toán quy tìm GTNN hàm số: S(h) = πV h + (h > 0) h √ √ πV V πV 2V S(h) = √ − 2 = √ − h h h√ h … πV 2V πV 4V 4V 4V S(h) = ⇔ √ = ⇔ = ⇔h = ⇔h= h h h π π h √ V Bảng biến thiên hàm số S(h) = πV h + (h > 0) h S(h) = 2πrh + 2πr2 = 2π V h + 2π πh h S (h) V πh » − 4V π +∞ + S(h) … Từ bảng biến thiên suy S(h) đạt giá trị nhỏ h = 4V π Chọn phương án A Câu 14 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò có hình trụ với thể tích V , nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 13 Khi sản xuất vỏ lon sữa bị có hình trụ với thể tích V , nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ chiều cao h…của lon sữa bò bao … nhiêu? … … 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy … r lon sữa bị … bao nhiêu? … … V V V V A r= B r= C r= Dr= 2π π 2π π Lời giải Gọi r(r > 0) bán kính đáy lon sữa Khi V = πr2 h ⇒ h = V πr2 Diện tích tồn phần lon sữa V = 2V + 2πr + 2πr πr2 r 2V Bài tốn quy tìm GTNN hàm số: S(r) = + 2πr2 (r > 0) r 2V S(r) = − + 4πr r … V 2V S(r) = ⇔ 4πr = ⇔ r = r 2π 2V + 2πr2 (r > 0) Bảng biến thiên hàm số S(r) = r Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA S(r) = 2πrh + 2πr2 = 2πr r » S (r) − V 2π +∞ + S(r) … Từ bảng biến thiên suy S(r) đạt giá trị nhỏ r = V 2π Chọn phương án A Câu 15 Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung Bán kính nắp đậy tích 1000cm3… … nguyên vật liệu …bằng … để nhà sản xuất tiết kiệm A r = 10 cm π B r= 500 cm π C r = 10 cm π Lời giải Gọi r(r > 0) bán kính đáy lon sữa Khi V = πr2 h ⇒ h = V πr2 Diện tích tồn phần lon sữa V 2V + 2πr2 = + 2πr2 πr r 2V Bài tốn quy tìm GTNN hàm số: S(r) = + 2πr2 (r > 0) r 2V S(r) = − + 4πr r … … … 2V V 1000 500 S(r) = ⇔ 4πr = ⇔ r = ⇔r= = r 2π 2π π 2V Bảng biến thiên hàm số S(r) = + 2πr2 (r > 0) r S(r) = 2πrh + 2πr2 = 2πr Dr= 500 cm π 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN r » −∞ S (r) − 500 π +∞ + +∞ +∞ S(r) … Từ bảng biến thiên suy S(r) đạt giá trị nhỏ r = 500 cm π Chọn phương án B Ta có: V = πr2 h ⇒ r = V πh Gọi r (cm) bán kính đáy, h (cm) đường cao hình trụ Thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 2r h Ta có: 4r + 12h = 12 ⇔ 2r + h = ⇔ h = − 2r r + r + − 2r Thể tích khối trụ: V = πr2 h = πr2 (6 − 2r) ≤ π = 8π Dấu xảy r = − 2r ⇔ r = Vậy giá trị lớn của thể tích khối trụ 8π Chọn phương án A Câu 17 Một miếng tơn hình chữ nhật có chiều dài 10, 2dm, chiều rộng 2πdm uốn lại thành mặt xung quanh thùng đựng nước có chiều cao 2πdm (như hình vẽ) Biết chỗ ghép 2cm Hỏi thùng đựng lít nước? 2πdm 2πdm A 20, 4l B 20l C 50l Lời giải Gọi r bán kính mặt đáy thùng 10 Vì chỗ ghép 2cm nên ta có: 2πr = 10(dm) ⇔ r = (dm) 2π 10 2 Thể tích thùng V = πr h = π 2π = 50l D 100l 2π Chọn phương án C Câu 18 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1 ), (H2 ) xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2 = r1 , h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30cm3 , thể tích khối trụ (H1 ) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 16 Mặt phẳng chứa trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện có chu vi 12 cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ tương ứng A 8π cm2 B 32π cm2 C 16π cm2 D 64π cm2 Lời giải … 22 KHỐI TRỤ A 24cm3 Lời giải PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B 15cm3 C 20cm3 D 10cm3 Thể tích khối trụ (H1 ) V1 = πr12 h1 thể tích khối trụ (H2 ) V2 = πr22 h2 = πr12 h1 ⇒ V2 = V1 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Thể tích tồn khối đồ chơi 30cm3 ⇒ V1 + V2 = 30 ⇔ V1 = 30 ⇔ V1 = 20 Chọn phương án C Câu 19 Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, có bán kính đáy 1m 1, 8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 2, 8m B 2, 6m C 2, 1m D 2, 3m Lời giải ® Bán kính đáy 1m 1, 8m nên thể tích bể nước Thể tích bể nước V = V1 + V2 = 4, 24πh.… Bán kính bể nước V = πr2 h ⇔ r = V ⇔r= πh … V1 = πr12 h = πh V2 = πr22 h = 3, 24πh 4, 24πh √ = 4, 24 ≈ 2, 06 πh Chọn phương án C Câu 20 Từ tơn hình chữ nhật kích thước h a, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao h, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng Cách 2: Cắt tơn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gò V1 V2 V B = V2 theo cách Tính tỉ số A V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Lời giải Gọi r1 , r2 bán ® kính thùng theo cách cách Tổng chu vi đường trịn mặt đáy a nên ta có: 2πr1 = a · 2πr2 = a ® Thể tích thùng theo cách ⇒ 2πr1 = 4πr2 ⇒ V1 = πr12 h r1 = r2 V1 ⇒ = V2 V2 = πr2 h r 2 r2 = 22 = Chọn phương án B 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 22 KHỐI TRỤ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A 11 A A 12 A C 13 A B 14 A A 15 B C 16 A B 17 C C 18 C B 19 C 10 D 20 B ... Theo giả thi? ??t ta có r = Vì thi? ??t diện hình vng nên độ dài đường cao l = 2r = B2: Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrl = 36π LỜI GIẢI CHI TIẾT B O A O D Theo giả thi? ??t ta có r = Vì thi? ??t diện... 52π Chọn phương án B √ Câu Một hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục, cách trục khoảng 1, thi? ??t diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho √ √ √ √ A 10... đáy Thi? ??t diện hình chữ nhật ABBA với A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O; A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng (ABBA) √ √ Hình trụ có chiều cao ⇒ AA = Mặt phẳng song song