Bài tập xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu ôn thi THPT môn Toán

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2. HƯỚNG GIẢI:.[r]

(1)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

DẠNG 14. XÁC ĐỊNH TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ

TÍCH CỦA MẶT CẦU

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tính chất mặt cầu

Phương trình mặt cầu dạng tắc:

Cho mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R Khi phương trình tắc mặt cầu (S) : (x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2=R2

Phương trình mặt cầu dạng khai triển (S) :x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= Khi mặt cầu có có tâm I(a;b;c), bán kính R=√a2+b2+c2−d a2+b2+c2−d >0

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

mặt cầu (S) : (x+ 1)2+ (y−2)2+ (z −1)2 = Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R (S)

A I(−1; 2; 1) R= B I(1;−2;−1) R= C I(−1; 2; 1) R= D I(1;−2;−1) R= Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn sử dụng tính chất để xác định tâm bán kính mặt cầu

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa phương trình mặt cầu dạng tắc tìm tâm bán kính mặt cầu

– Bước 2: Mặt cầu (S) : (x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2 =R2 có tâm I(a;b;c) bán kính R

LỜI GIẢI CHI TIẾT

(2)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu có phương trình(x−1)2+(y+3)2+z2 = 9. Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu

A I(−1; 3; 0); R= B I(1;−3; 0); R= C I(1;−3; 0); R = D I(−1; 3; 0); R = Lời giải

Mặt cầu cho có tâm I(1;−3; 0) bán kính R = Chọn phương án C

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) :x2+y2+z2−6x+ 4y−8z+ = Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R mặt cầu (S)

A I(3;−2; 4), R = 25 B I(−3; 2;−4), R = C I(3;−2; 4), R = D I(−3; 2;−4), R = 25 Lời giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3;−2; 4)

Bán kính mặt cầu (S) R =p(3)2+ (−2)2+ (4)2−4 = 5. Chọn phương án C

Câu Trong khơng gian Oxyz, diện tích mặt cầu (S) : 3x2+ 3y2+ 3z2+ 6x+ 12y+ 18z−3 =

A 20π B 40π C 60π D 100π

Lời giải

Ta có 3x2+ 3y2+ 3z2+ 6x+ 12y+ 18z−3 = 0⇔x2+y2+z2+ 2x+ 4y+ 6z−1 = Mặt cầu (S) có tâm I(−1;−2; 3)

Bán kính mặt cầu (S) R =p(−1)2+ (−2)2+ (3)2+ =√15. Diện tích mặt cầu V = 4πR2 = 60π

Chọn phương án C

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) có phương trìnhx2+y2+z2− 2x−4y−6z+ = Tính diện tích mặt cầu (S)

A 42π B 36π C 9π D 12π

Lời giải

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) bán kính R =√12+ 22+ 32−5 = Diện tích mặt cầu (S) S = 4πR2= 4π32 = 36π

Chọn phương án B

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−1)2+ (y+ 2)2+z2 = Mặt cầu (S) tích

A V = 16π B V = 36π C V = 14π D V =

36π Lời giải

Mặt cầu (S) : (x−1)2+ (y+ 2)2+z2= có tâm (1;−2; 0), bán kính R= Thể tích mặt cầu V =

3πR

3= 36π.

(3)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 0; 2) đường thẳng d: x−1 =

y −1 =

z

1 Gọi (S) mặt cầu có tâm I, tiếp xúc với đường thẳng d Bán kính (S)

A

√

3 B

5

3 C

4√2

3 D

√ 30 Lời giải

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu ta tìm bán kính mặt cầu R = d(I;d)

– Bước 2: Dựa vào công thức tính khoảng cách từ điểm dến đường thẳng ta tìm bán kính

R=

ỵ# »

M I;#»uó |#»u| =

√ 30 Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Đường thẳng d qua M(1; 0; 0) có véc-tơ phương #»u = (2;−1; 1) Bán kính mặt cầu khoảng cách từ I đếnd nên ta có: R=

ỵ# »

M I;#»uó |#»u| =

√ 30 Chọn phương án D

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;−2; 3) Bán kính mặt cầu tâm I, tiếp xúc với trục Oy

A √10 B √5 C D 10

Lời giải

Gọi M hình chiếu vng góc tâm I(1;−2; 3) lên trục Oy, suy M(0;−2; 0) Vì mặt cầu tiếp xúc với trục Oy nên có bán kính R =IM =√10

Chọn phương án A

Câu Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; 0;−2) tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x+ 2y−2z+ = có đường kính

A B C D

Lời giải

(4)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu ta tìm bán kính mặt cầu

R = d (I; (α))

– Bước 2: Dựa vào cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta tìm bán kính

R= |Ax0√+By0+Cz0+D| A2+B2+C2 Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Ta có R = d (I,(α)) = |1 + + 4| = Đường kính 2R =

Câu Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm A(2; 1; 1)và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)có bán kính

A B C D

Lời giải

Gọi M hình chiếu vng góc tâm A(2; 1; 1) lên mặt phẳng (Oxy), suy M(2; 1; 0) Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) nên có bán kính R=AM =

Chọn phương án D

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x−2y+ 2z−2 = điểm I(−1; 2;−1) Bán kính mặt cầu (S) có tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính

A √34 B √5 C D 10

Lời giải

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu ta tìm bán kính mặt cầu

R = d (I; (α))

– Bước 2: Dựa vào công thức R=√d2+r2 ta tìm bán kính mặt cầu, với d là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng cắt, r bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu

(5)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Ta có d= d (I,(P)) = | −1−4−2−2| = Khi R2=d2+r2= + 25 = 34

Bán kính R =√34

I

H M

d R r

Chọn phương án A

Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâmI(−2; 3; 4) cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) theo hình trịn giao tuyến có diện tích 16π Thể tích khối cầu

A 80π B 500

3 π C 100π D 25π Lời giải

GọiR,r bán kính mặt cầu bán kính đường trịn giao tuyến

Hình trịn giao tuyến có diện tích 16π ⇔πr2= 16π ⇔r= Khoảng cách từ I(−2; 3; 4) đến (Oxz) h=|yI|=

Suy R=√h2+r2 =√9 + 16 = 5. Thể tích khối cầu (S) V =

3πR

3 = 500

3 π

I

H M

R r

Chọn phương án B

Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâmI(−1; 2; 3) cắt mặt phẳng (β) : 2x−y+ 2z−8 = theo hình trịn giao tuyến có chu vi bằng 8π Diện tích mặt cầu (S)

A 80π B 50π C 100π D 25π

Lời giải

Đường trịn giao tuyến có chu vi 8π nên bán kính r=

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến d = d (I,(β)) = p| −2−2 + 6−8| 22+ (−1)2+ 22 = Theo cơng thức R2=r2+d2= 20

Diện tích mặt cầu (S) S = 4πR2= 80π Chọn phương án A

(6)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

A r =√3 B r =

…

3

2 C r= √

2 D r= √

2 Lời giải

Gọi I(m; 0; 0) tâm mặt cầu có bán kính R; d1, d2 khoảng cách từ I đến (P) (Q) Ta có d1 =

|m+ 1| √

6 d2 =

|2m−1| √

6 Theo đề ta có pd21+ = pd22+r2⇔

…

m2+ 2m+

6 + =

…

4m2−4m+ +r

2⇔m2−2m+ 2r2−

8 = (1)

Yêu cầu tốn tương đương phương trình(1) có nghiệm m ⇔1− 2r2−8= ⇔r2 =

2 ⇔r= 3√2

2

Chọn phương án D

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, choA(−1; 0; 0),B(0; 0; 2), C(0;−3; 0) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A √

14

3 B

√ 14

4 C

√ 14

2 D

√ 14 Lời giải

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn điểm hay ngoại tiếp tứ diện

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Giả sử mặt cầu có dạngx2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= a2+b2+c2−d >0 (∗) – Bước 2: Thế tọa độ điểm nằm mặt cầu vào phương trình (∗) ta giải hệ phương

trình tìm a, b, c, d

– Bước 3: Khi mặt cầu cần tìm có tâm I(a;b;c), bán kính R=√a2+b2+c2−d. Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Cách 1: Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= 0, a2+b2+c2−d >0

Vì O, A, B, C thuộc (S) nên ta có:           

d=

1 + 2a+d= 4−4c+d= + 6b+d=

⇔               

a=−1 b =−3 c= d= Vậy bán kính mặt cầu (S) R=√a2+b2+c2−d=

…

1 4+

9 4+ =

√ 14

Cách 2: OABC tứ diện vng có cạnh OA= 1, OB = 2, OC = có bán kính mặt cầu ngoại tiếp

là R=

√

OA2+OB2+OC2 =

√

1 + + = √

(7)

50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(2; 2; 2) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính

A √

3

2 B

√

3 C

√

3 D

Lời giải

Gọi I(a;b;c) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng (S) : x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= 0, a2+b2+c2−d >0

Vì A, B, C, D∈(S) nên ta có hệ phương trình           

4−4a+d = 4−4b+d= 4−4c+d=

12−4a−4b−4c+d= ⇔     

d= 4a−4 a=b=c

12−12a+ 4a−4 = ⇔     

d= 4a−4 a=b=c 8−8a=

⇔

®

d=

a=b=c=

Suy I(1; 1; 1), bán kính mặt cầu R=IA=√3 Chọn phương án B

Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2;−2) Mặt phẳng (α) qua H cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (α)

A R = B R = C R= D R=

Lời giải

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định tâm bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (α) qua H cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Ta chứng minh OH ⊥(ABC)

– Bước 2: Khi mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R=OH Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Ta có H trực tâm tam giác ABC ⇒OH ⊥(ABC) Thật vậy:

®

OC ⊥OA OC ⊥OB

⇒OC ⊥AB (1)

Mà CH ⊥AB (vì H trực tâm tam giác ABC) (2) Từ (1) (2) suy AB ⊥(OHC)⇒AB⊥OH (∗) Tương tự BC ⊥(OAH)⇒BC ⊥OH (∗∗)

Từ (∗) (∗∗) suy OH ⊥(ABC)

Khi mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán

kính R=OH = x

(8)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0;−1), mặt phẳng (P) : x+y−z−3 = Mặt cầu (S) có tâm I nằm mặt phẳng(P), qua điểm A gốc tọa độO cho chu vi tam giácOIA +√2 Diện tích mặt cầu (S)

A S = 16π B S = 26π C S = 49π D S = 36π

Lời giải

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính diện tích mặt cầu có tâm I nằm mặt phẳng (P), qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác OIA a

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Giả sử (S) : x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= a2+b2+c2−d >0 – Bước 2: Thế tọa độ tâm I(a;b;c) vào phương trình (P) ta phương trình (1)

– Bước 3: Mặt cầu (S) qua A O nên tọa độ điểm A O vào phương trình (S) ta phương trình (2), (3)

– Bước 4: Chu vi tam giác OIA a nên OI+OA+AI =a (4)

– Bước 5: Giải hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) tìm a, b, c, d ⇒R=√a2+b2+c2−d. Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Giả sử (S) : x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= a2+b2+c2−d >0 (S) có R=√a2+b2+c2−d và tâm I(a;b;c)∈(P)⇒a+b−c−3 = 0 (1). (S) qua A O nên

®

2−2a+ 2c+d=

d= ⇒1−a+c= (2) ⇒c=a−1 Cộng vế theo vế (1) (2) ta suy b= Từ đó, suy I(a; 2;a−1) Chu vi tam giác OIA +√2 nên OI+OA+AI = +√2

⇔2p2a2−2a+ = 6⇔a2−a−2 = 0⇔

ñ

a=−1 a= Với a =−1⇒I(−1; 2;−2)⇒R= Do S = 4πR2 = 36π

Với a = 2⇒I(2; 2; 1)⇒R= Do S = 4πR2 = 36π Chọn phương án D

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−1)2+ (y−2)2+ (z−3)2 = tâmI mặt phẳng (P) : 2x+ 2y−z+ 24 = Gọi H hình chiếu vng góc củaI (P) Điểm M thuộc (S) cho đoạn M H có độ dài lớn Tìm tọa độ điểm M

A M(−1; 0; 4) B M(0; 1; 2) C M(3; 4; 2) D M(4; 1; 2) Lời giải

(9)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điểmM thuộc (S)sao cho đoạn M H có độ dài lớn nhất, với H hình chiếu vng góc I (P)

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu (S)

– Bước 2: Nhận xét: Do d (I; (P)) = 9> R nên mặt phẳng (P) khơng cắt mặt cầu (S) Do H hình chiếu I lên (P) M H lớn nên M giao điểm đường thẳng IH với mặt cầu (S)

– Bước 3: Phương trình đường thẳng IH     

x= + 2t y= + 2t z = 3−t

– Bước 4: Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH mặt cầu (S) tìm tọa độ điểm M Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Ta có tâm I(1; 2; 3) bán kính R = Do d (I; (P)) = > R nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) Do H hình chiếu I lên (P) M H lớn nên M giao điểm đường thẳng IH với mặt cầu (S)

Ta có IH# »= #»n(P) = (2; 2;−1)

Phương trình đường thẳng IH     

x= + 2t y= + 2t z = 3−t

Giao điểm IH với (S): 9t2 = 9⇔t=±1⇒M1(3; 4; 2) M2(−1; 0; 4) Khi M1H = d (M1; (P)) = 12; M2H = d (M2; (P)) =

Vậy điểm cần tìm M1(3; 4; 2) Chọn phương án C

Câu 19 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ∆1:     

x= y= +t z =−t

, ∆2:     

x= +t y= 3−2t z = 1−t

Gọi (S)

là mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 Bán kính mặt cầu (S)

A √

10

2 B

√ 11

2 C

3

2 D

√ Lời giải

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm bán kính nhỏ mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2

(10)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

– Bước 1: Giả sử: A∈∆1⇒A(1; +t;−t), B ∈∆2 ⇒B(4 +t0; 3−2t0; 1−t0)

– Bước 2: Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 có đường kính độ dài đoạn AB nên có bán kính r= AB

2 , với AB độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng ∆1 ∆2

Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Giả sử A∈∆1 ⇒A(1; +t;−t), B ∈∆2 ⇒B(4 +t0; 3−2t0; 1−t0) Ta có AB# »= (3 +t0; 1−2t0−t; 1−t0+t)

Véc-tơ phương đường thẳng ∆1 #»u1 = (0; 1;−1) Véc-tơ phương đường thẳng ∆2 #»u2 = (1;−2;−1) Ta có

®# »

AB· #»u1 = # »

AB· #»u2 = ⇔

®

1−2t0−t−(1−t0+t) =

3 +t0−2(1−2t0−t)−(1−t0+t) = ⇔

®

−t0−2t = 6t0+t = ⇔t

0 =t = 0.

Suy AB# »= (3; 1; 1)⇒AB =√11

Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 có đường kính độ dài đoạn AB nên có bán kính r= AB

2 = √

(11)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

BẢNG ĐÁP ÁN

1 C C C B B D A C D 10 A